2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法同步课件新人教B版选修1_2（29张）

课件29张PPT。2.2.2　反证法第二章　§2.2　直接证明与间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
思考1　本故事中王戎运用了什么论证思想？
思考2　反证法解题的实质是什么？答案　运用了反证法思想.答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理　(1)反证法的概念
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与 矛盾，或与____
矛盾，从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法.
(2)反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾.
②与 、定理、公式、定义或 矛盾.
③与 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).假设某个真命题綈qq数学公理已被证明了的结论公认的简单事实(3)反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的 .
②做出与命题 相矛盾的假设.
③由 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 不真，于是_______
成立，从而间接地证明命题为真.条件和结论结论假设假定原结论1.反证法属于间接证明问题的方法.(　　)
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.(　　)
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.(　　)[思考辨析 判断正误]√×√题型探究类型一　用反证法证明否定性命题证明∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立.反思与感悟　对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.证明证明　假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.跟踪训练1　已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2　a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明　假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.反思与感悟　(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：证明跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.类型三　用反证法证明唯一性命题证明例3　求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明　∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.证明证明　设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点.
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点.跟踪训练3　求证：两条相交直线有且只有一个交点.达标检测12341.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角答案√52.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°答案√123453.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>b√12345答案123454.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交√答案12345证明证明　f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.5.已知f(x)＝x2＋px＋q.
(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
因为|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，
所以假设不成立，原命题成立，12345用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.本课结束