四川省叙州区第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题 Word版含答案

2019年春四川省叙州区第一中学高二开学考试
数学（理） 试题
满分150分，时间：120分钟.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题，，则
A．， B． ，
C．， D．，
2.若10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率是
A. B. C. D.
3.“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知双曲线的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为
A． B． C. D．
5.已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是
A． B． C. D．
6.已知实数满足不等式组，则的取值范围为
A． B． C. D．
7.直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|2，则直线倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
8.已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为
A． B． C. D．
9.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为
A． B． C． D．
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

A.　　　　　　　 B．[学优高考网]
C.　　　　　 D．
11. 中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为
A. B. C. D.
12．已知椭圆和，椭圆的左右焦点分别为、，过椭圆上一点和原点的直线交圆于、两点.若，则的值为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．某次数学测验，12名同学分数的茎叶图如下：则这些分数的中位数是 。
14．经过点（1，2）的抛物线的标准方程是 。
15.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，则的最小值为 ．
16.已知函数，若方程有且仅有3个不等实根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求的长；
（2）当先被点平分时，写出直线的方程．
18. （本小题满分12分）
设命题，使；命题不等式，任意恒成立，若为真，且或为真，求的取值范围．
19. （本小题满分12分）
已知过点作动直线与抛物线相交于，两点.
（1）当直线的斜率是时，，求抛物线的方程；
（2）设，的中点是，利用（1）中所求抛物线，试求点的轨迹方程.
20. （本小题满分12分）
某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.
单价（万元）
销量（件）
①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；
估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？
（附：）
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．
（1） 求证：∥；
（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与交于两点,求四边形面积的最大值.
2019年春四川省叙州区第一中学高二开学考试
数学（理） 试题参考答案
一．选择题
1-5：CBADC 6-10：DCCBD 11-12：DB]
二、填空题
13．80 14． 15.3 16.
三、解答题
17、解：⑴.当时，直线AB的方程为：
设圆心到直线AB的距离为d，则
∴ ………………………… 5分
⑵.当弦AB被点P0平分时 OP0⊥AB
∵ ∴
故直线AB的方程为： 即 ……………10分
18、由命题p：得或， ……………………………………4分
对于命题q：
恒成立，所以 或=0,
……………………………………………6分
由题意知p为假命题，q为真命题．……………………………………………8分
∴，∴a的取值范围为 …………………………12分
19.解：设，，显然，，…………………………1分
（1）由题意当直线的斜率为时，其方程为：，即，
又∵，∴①，…………………………3分
联立，消去得：，…………………………4分
∴，且，，
结合①式，可以解出，所以抛物线方程是：.…………………………6分
（2）当直线垂直于轴时，其与抛物线只有一个公共点，不符题意，
所以直线的方程可以设为：，设、中点，
由，消去得：，即，…………………………7分
由解得或，且，
∴，…………………………8分
∴，消去得点的轨迹方程：，
由的取值范围可求出或.…………………………10分
∴点的轨迹方程：（或）.…………………………12分
20（1）①依题意：
，…………………5分
∴回归直线的方程为.…………………6分
②由于，则负相关，故随定价的增加，销量不断降低.
设科研所所得利润为，设定价为，∴，…………………10分
∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.…………………12分
21．（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，所以∥．
又因为面， 面，所以∥面．又因为四点共面，且平面平面，
所以∥． ………………5分
（Ⅱ）取中点，连接．
因为，所以．
又因为平面平面，
且平面平面， 所以平面．所以．
在菱形中，因为， ，是中点，
所以． 如图，建立空间直角坐标系．设，
则，．…………7分
又因为∥，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．……… ……………8分
设平面的法向量为，则有所以
令，则平面的一个法向量为．……… ……………10分
因为平面，所以是平面的一个法向量．
因为， ……… ……………11分
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………12分
22.解：（1）由已知，得．
两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）
（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，
故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0，…....5分
圆心与直线mx＋2y＝0的距离为，|PQ|…....7分
设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝
令，则S＝（）
当即时，.…....12分