人教高中数学选修2-2 1.2.2 基本初等函数的公式及导数的运算法则（22张）

基本初等函数的公式及导数的运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则，
会求一些函数的导数． 2.理解两函数的积（或商）的导数法则，
会求一些函数的导数?? 3.会求一些简单复合函数的导数.

教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算
教学重难点
知识链接
基本初等函数的导数公式
例1
假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系
p(t) = p0(1+5%)t,
其中 为t=0时的物价.假定某种商品的 =1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解:
p?(t)=1.05tln1.05,
p?(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年).
因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
思考
如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t
求p关于t导数可以看成求函数
f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数.
如何求?
例2
根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.
解:
y?=(x3-2x+3)?＝(x3)?－(2x)?＋(3)?
＝3x2－2,
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y?=3x2-2.
堂上练习
求下列函数的导数：
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%; (2) 98%.
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢?
令 u=x+2 (x>-2),则y=lnu.
y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x>-2)复合得到.
y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x)
y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f (g(x))
且 yx?=yu??ux?
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4
求下列函数的导数:
解:
(1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有
(2)函数 y=e-0.05x+1 可以看作函数 y=eu 和u=
-0.05x+1的复合函数.根据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(?x+?) 可以看作函数 y=sinu 和u=?x+?的复合函数.根据复合函数求导法则有
例 6　设 y = sin2 x，求 y ?.
　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式，
将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.
而
所以
这里，
我们用复合函数求导法.
求 y ?.
解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
这样可以直接写出下式
例 7
达标练习
5.　设 f (x) = sinx2 ，求 f ?(x).
导数的四则运算法则
推论 1　 (cu(x))? = cu?(x) (c 为常数).
课堂小结
小结
基本初等函数的导数公式
导数运算法则
复合函数的导数