第6章 实 数
6.1 平方根、立方根
第1课时 平方根
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示正数的平方根;
2.了解开方与平方互为逆运算,会求某些非负数的平方根.
【过程与方法】
通过对实际生活中问题的解决,体验数学与实际生活的紧密联系.
【情感、态度与价值观】
通过学习平方根,进一步认识数、数学与实际生活的密切联系,发展数感与符号感,为今后学习无理数做好准备.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平方根的概念.
【教学难点】
平方根的概念和符号表示的抽象性.
◇教学过程◇
一、问题导入
减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算.平方、立方运算是否也有逆运算呢?
已知一个正方形的边长为5,根据正方形的面积公式可求得该正方形的面积为25.反过来,已知一个正方形的面积为25,你能求出这个正方形的边长是多少吗?
面积为49的正方形边长是多少?面积为2的正方形边长是多少呢?
二、合作探究
探究点1 平方根的概念与求法
典例1 指出下列各数的平方根,并用符号表示.
(1)25;(2);(3)0.49;(4)0.
[解析] (1)25的平方根是±5,即±=±5.
(2)的平方根是±,即±=±.
(3)0.49的平方根是±0.7,即±=±0.7.
(4)0的平方根是0,即=0.
变式训练 求下列各数的平方根,并用式子表示.
(1)100;(2);(3)1;(4)0.09.
[解析] (1)100的平方根是±10,即±=±10.
(2)的平方根是±,即±=±.
(3)1的平方根是±1,即±=±1.
(4)0.49的平方根是±0.7,即±=±0.7.
【技巧点拨】熟悉0~20这21个整数的平方值,有利于求某些特殊数的平方根.
探究点2 正数的两个平方根互为相反数
典例2 一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a,求x的值.
[解析] 因为一个正数x的两个平方根是2a-3与5-a,
所以2a-3+5-a=0,解得a=-2,
所以2a-3=2×(-2)-3=-7,
所以x=(-7)2=49.
变式训练 一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2,则a的值为 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
[答案] B
三、板书设计
平方根
平方根
◇教学反思◇
教师先通过问题导入本节内容,利用正方形的面积求边长,让学生产生25与5、49与7等的初步联系;接着提出平方根的概念与符号表示,并辅以典例,以发展学生的数感、符号感,同时用练习巩固新知,由量变到质变,进一步帮助学生牢固掌握平方根的主要知识.
第2课时 算术平方根
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根;
2.了解开方与平方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根;会用计算器求一个正数的算术平方根.
【过程与方法】
体验从特殊到一般的数学思想方法,运用算术平方根的知识解决简单的实际问题.
【情感、态度与价值观】
渗透从实践到理论、从具体到抽象的辩证唯物主义观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
算术平方根的概念.
【教学难点】
算术平方根和平方根的区别.
◇教学过程◇
一、问题导入
1.填表:
数a 1 9 25 36 81 100
± ±2 ±4 ±7 ±8
2.一个正数的一个平方根为x,则这个正数的另一个平方根为 .?
二、合作探究
探究点1 算术平方根的概念及其符号表示
典例1 求下列各数的算术平方根,并用式子表示.
(1)169;(2)0.36;(3)1.
[解析] (1)因为132=169,且13为正数,所以169的算术平方根是13,即=13.
(2)因为0.62=0.36,且0.6为正数,所以0.36的算术平方根是0.6,即=0.6.
(3)因为1,且为正数,
所以1的算术平方根是,即.
【技巧点拨】当被开方数是带分数如本例中的1时,要先化成假分数如1,再求算术平方根.
变式训练 如果一个数的算术平方根是9,那么这个数是 ;是 的算术平方根;100的算术平方根用符号记作 ,其结果等于 .?
[答案] 81 7 10
探究点2 一个正数的算术平方根随着被开方数的变化规律
典例2 通过观察回答问题:
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
(1)表格中x= ,y= ;?
(2)利用a与数位的变化规律解决下面两个问题:
①已知≈3.16,则≈ ,≈;?
②已知=8.973,=897.3,则b是m的 倍.?
[解析] (1)x==0.1,y==10.
(2)①由题意得,≈31.6,≈0.316.②由a与数位的变化规律,得b=10000 m.
[答案] (1)0.1 10
(2)①31.6 0.316 ②10000
变式训练 我们知道,平方数(如9,100等)的开平方运算可以直接求得,如等;有些数则不能直接求得,如,但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系,运用规律求得.请你观察下表,回答问题:
a … 0.04 4 400 40000 …
… x 2 y z …
(1)表格中的三个值分别为x= ;y= ;z= ;?
(2)用公式表示这一规律:当a=4×100n(n为整数)时,= ;?
(3)利用这一规律,解决下面的问题:
已知≈2.358,则≈ ;≈ .?
[答案] (1)0.2 20 200
(2)2×10n
(3)0.2358 23.58
三、板书设计
算术平方根
1.算术平方根:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.0的算术平方根也是0.
2.当a为一个正数时,表示a的正的平方根(即算术平方根);-表示a的负的平方根(即算术平方根的相反数);±表示a的平方根.
◇教学反思◇
算术平方根与平方根是学生容易混淆的两个概念,着重从以下几个方面反复对比:正数有两个平方根,记作±;正数有一个算术平方根,记作;零有一个平方根,零的平方根也就是零的算术平方根;负数既没有平方根,也没有算术平方根.
第3课时 立方根
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解立方根的概念,会用符号表示一个数的立方根;
2.会用立方运算求一个数的立方根;
3.会用计算器求某些数的立方根.
【过程与方法】
在学过平方根的知识后,经历用类比的方法学习立方根的知识,领会类比思想.
【情感、态度与价值观】
在立方根概念、符号、求法的探究过程中,培养学生联系实际、勇于探索的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
立方根的概念.
【教学难点】
立方根和平方根的联系与区别.
◇教学过程◇
一、情境导入
要做一只容积是125 dm3的立方体木箱(如图所示),它的棱长是多少?
设它的棱长是x dm,则x3=125.
这是已知一个数的立方,求这个数的问题,实质上是立方运算的逆运算——开立方.
思考:这里的x与125是什么关系呢?你能模仿平方根的定义,给出立方根的定义吗?
二、合作探究
探究点1 立方根的概念与求法
典例1 求下列各数的立方根,并用式子表示.
(1)-27;(2);(3)0.343;(4)2.
[解析] (1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即=-3.
(2)因为,所以的立方根是,即.
(3)因为(0.7)3=0.343,所以0.343的立方根是0.7,即=0.7.
(4)因为2,且,所以2的立方根是,即.
变式训练 下列说法正确的是 ( )
A.一个数的立方根不是正数就是负数
B.负数没有立方根
C.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是零
D.一个数的立方根与这个数同号,零的立方根是零
[答案] D
(1)熟悉0~10这些整数的立方值,有利于求某些特殊数的立方根.
(2)求像2这样的带分数的立方根,常需要先将其化为假分数,再求立方根.
(3)正数的立方根是一个正数,负数的立方根是一个负数,0的立方根是0.
探究点2 平方根与立方根的联系、区别
典例2 已知2m+2的算术平方根是4,3m+n+1的立方根是3,求m+2n的值.
[解析] 因为2m+2的算术平方根是4,3m+n+1的立方根是3,
所以2m+2=16 ①,3m+n+1=27 ②,
由①,解得m=7,
把m=7代入②,得3×7+n+1=27,解得n=5.
当m=7,n=5时,m+2n=7+2×5=17,
故m+2n的值是17.
变式训练 若5x+19的立方根是4,求2x+18的平方根.
[解析] 根据题意,得5x+19=43,即5x=45,则x=9,
所以2x+18=36,则2x+18的平方根是±6.
三、板书设计
立方根
1.立方根:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根,也叫做三次方根,记作,读作“三次根号a”.
2.开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方.
3.正数、负数、零的立方根特点:正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根是0.
◇教学反思◇
在平方根的基础上学习、研究立方根,类比平方根的概念很自然地得出立方根的概念,使学生体会到平方根与立方根的联系和区别.然后通过探究交流、练习,加深对立方根概念的理解,并且在教学过程中发展学生的求同存异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非、正确处理.
6.2 实 数
第1课时 无理数的概念
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解无理数和实数的概念;
2.了解从有理数到实数的扩展过程;
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【过程与方法】
了解“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法,形成估算意识,培养学生的数感.
【情感、态度与价值观】
通过了解无理数的产生过程,激励学生大胆质疑,弘扬合作钻研、为真理奋斗的精神.
◇教学重难点◇
【教学重点】
无理数的概念.
【教学难点】
无理数的抽象性及认识无理数存在的意义.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,每个小正方形的边长为1,你能求出图中阴影正方形的边长吗?
二、合作探究
探究点1 区分有理数与无理数
典例1 下列各数中哪些是有理数,哪些是无理数?
0.113,,,2.78282282228…,-3.1415926,-6.,-.
[解析] 0.113是有限小数;是开方开不尽的数;是分数;=是分数;2.78282282228…的位数无限且不循环,是无限不循环小数;-3.1415926是有限小数;-6.是无限循环小数;-是开方开不尽的数.所以0.113,,,-3.1415926,-6.是有理数;,2.78282282228…,-是无理数.
变式训练 下列各数:①,②1.,③-π,④,⑤0.01020304….其中是无理数的有 .(填写序号)?
[答案] ③④⑤
(1)有些含根号的数(开方开不尽)是无理数,不是所有含根号的数都是无理数.(2)分数(分数的分子和分母都是整数)一定能化为有限小数或无限循环小数,有限小数或无限循环小数一定能化为分数,无限不循环小数(如π)不能化为分数.(3)有理数包括整数、分数.由于有限小数或无限循环小数都可以化为分数,所以它们都是有理数.像的分子不是整数,所以并不是分数,而是无理数.
探究点2 无理数的估算
典例2 已知a,b为两个连续的整数,且a<
[解析] 根据,得出a=5,b=6,所以a+b=11.
[答案] 11
变式训练 大于且小于的整数是 .?
[答案] 2
三、板书设计
无理数的概念
1.无限不循环小数叫做无理数.
2.无理数的分类:无理数
3.常见的无理数:
(1)如π,-π,2π+1,……
(2)开方开不尽的数,如,……
(3)有一定规律但不循环的无限小数,如
0.1010010001…(两个1之间依次多1个0),
0.12345678910…(小数部分由相继的正整数组成),……
◇教学反思◇
虽然无理数的概念说起来简单,但它的“无限”导致出的抽象性特点,给学生的学习增加了难度,教师引导学生借助计算器这个工具,给学生提供了可视化平台,以逐渐解惑释疑.
第2课时 实数的相关概念
◇教学目标◇
【知识与技能】
知道实数与数轴上的点一一对应,了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义.
【过程与方法】
类比有理数的相反数、倒数、绝对值的学习,进一步拓宽知识面.
【情感、态度与价值观】
扩大了数的范围,体会这种扩大对今后数学学习的重要意义.
◇教学重难点◇
【教学重点】
实数的相反数、绝对值、倒数的意义.
【教学难点】
实数和数轴上的点一一对应的关系.
◇教学过程◇
一、问题导入
1.边长为1的正方形的对角线的长是多少?
2.任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么一个无理数(如)也可以用数轴上的点来表示吗?
二、合作探究
探究点1 实数和数轴上的点一一对应
典例1 数轴上与原点相距个单位长度的点,它所表示的数为 .?
[解析] 当该点在原点右侧时,它表示;当该点在原点左侧时,它表示-.
[答案] ±
变式训练 在本节课的开始,我们画了这样一个图,即以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形,然后以原点O为圆心,正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A,请根据下图回答问题:
(1)线段OA的长度是 ;?
(2)这种研究和解决问题的方式,体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)?
A.数形结合 B.代入
C.分类讨论 D.换元
(3)这个图形的目的是为了说明什么?
[答案] (1).
(2)A.
(3)答案不唯一,如:数轴上的点和实数是一一对应关系,数轴上的点也可以用来表示无理数,能在数轴上找到表示无理数的点,等等.
到原点的距离为a(a>0)的点所表示的数是a或-a,不要漏掉其中一个数.
探究点2 实数的相反数、绝对值、倒数
典例2 (1)下列各组数中互为相反数的是 ( )
A.-3与 B.2与-|-2|
C.5与 D.-2与
(2)实数-的倒数是 .?
(3)实数-2的绝对值是 ( )
A.2- B.-2 C.--2 D.+2
[解析] (1)|-3|=3,-3与不仅仅是符号不同,其绝对值也不相等,故选项A错误;-|-2|=-2,2与-2只有符号相反,所以2与-|-2|是相反数,故B选项正确;=5,即5与
是相等关系,故选项C错误;=-2,即-2与是相等关系,故选项D错误.
(2)因为互为倒数的两个数乘积为1,所以-的倒数是1÷=-.
(3)因为<2,所以-2是负数,其绝对值为-2的相反数,即|-2|=-(-2)=2-,故选A.
[答案] (1)B (2)- (3)A
变式训练 (1)-的相反数是 ;?
(2) 的相反数是-;?
(3)|-|= ;?
(4)绝对值等于的数是 .?
[答案] (1) (2) (3) (4)±
【技巧点拨】非负数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.求一个数的绝对值先要判断这个数的正负性.
三、板书设计
实数的相关概念
1.实数与数轴
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.即:实数和数轴上的点一一对应.
2.实数的相反数、绝对值、倒数
实数 相反数 绝对值 倒数
a -a |a| (a≠0)
◇教学反思◇
先复习“单位正方形的对角线长为”“有理数的数轴表示”,再顺理成章地提出问题:无理数能否用数轴上的点来表示?怎样表示?接着用类比的思想方法学习实数的相反数、绝对值、倒数,符合学生的认知规律,有利于新知的掌握,也有益于旧知的升华.
第3课时 实数的运算
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用;
2.能进行简单的近似计算;
3.会比较两个实数的大小.
【过程与方法】
通过举例,明白有理数的运算法则、运算律仍然适用于实数范围内.
【情感、态度与价值观】
在生活中运用实数的计算,进一步体会学习实数的实用性、提高数学学习兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
实数的运算法则.
【教学难点】
认识在实数范围内有理数的运算法则、运算律仍然适用的合理性.
◇教学过程◇
一、问题导入
给出三个无理数,-,你能在数轴上找到表示这三个数的点的大致位置吗?你能写出这三个数的相反数、绝对值、倒数吗?
实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算如何进行?有理数的运算法则、运算律仍然适用吗?
二、合作探究
探究点1 实数的运算
典例1 计算:
(1);
(2)3×(2-)×-|2|;
(3)|-|+||-;
(4)+π.(精确到0.01)
[解析] (1)原式=0.1+12×0.1=1.3.
(2)原式=(2-)×3×-2=-4+2-2=-4.
(3)原式=+[-()]-0=+3-=3.
(4)原式≈1.732+3.142≈4.87.
变式训练 计算:|a-π|+|-a|.(其中[解析] 原式=-(a-π)+[-(-a)]=π-a+a-=π-≈3.142-1.414≈1.73.
探究点2 实数的大小比较
典例2 比较大小,并简单说明理由:
(1)与6;
(2)-+1与-;
(3)--1与--1;
(4)+2与-1.
[解析] (1)因为6=,而35<36,
所以<6.
(2)因为-+1≈-2.236+1=-1.236,-≈-0.707,
而1.236>0.707,所以-+1<-.
(3)因为|--1|=+1,|--1|=+1,而+1>+1,
所以--1>--1.
(4)因为+2<5,-1>6,
所以+2<-1.
【技巧点拨】比较实数大小的方法有多种.如:第(1)小题中,当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时,首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式,比较被开方数.第(2)小题中,采用近似求值的方法来比较大小.第(3)小题中,两个负数比较大小,先比较它们的绝对值,绝对值大的那个数反而小.第(4)小题中,采用放缩法——先判断两个无理数的大致范围,再比较大小.
变式训练 在数轴上标出下列各数:-(-3),-|-2|,0,,(-1)2,.并把它们用“<”连接起来.
[解析] 如图,
<-|-2|<0<<(-1)2<-(-3).
三、板书设计
实数的运算
运算有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用.
比较(1)在数轴上表示的两个实数,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
(2)两个负数比较:绝对值大的那个负数反而小.
◇教学反思◇
在教师的引导下,通过学生自己的探究活动,经历实数的运算化简、大小比较,培养他们的合作精神和探索能力,充分调动、发挥学生主动性的多样化学习方式,促进学生富有个性的学习,不断获得成功的体验.
