18.1.2 平行四边形的判定（1）课件
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文档简介
人教版数学八年级下册
18.1.2平行四边形的判定（1）
2.平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB=CD
AD=BC
∴AB∥CD
AD∥BC
1.平行四边形的定义是什么?有什么作用?
几何语言：
我们知道了平行四边形的性质，那么，有
哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？
根据定义：两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形。
∵AB//CD , AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
几何语言：
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：原命题正确，逆命题一定正确吗？
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
连结AC
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
D
B
A
C
2
1
3
4
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理1:
几何语言：
∵AB=CD , AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
证明：
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理2:
符号语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO
OA=OC
证明：
OB=OD
∠AOD=∠COB
∴四边形ABCD是平行四边形
求证：四边形ABCD是平行四边形。
O
2
1
在△ADO 和△CBO中，
∴ ∠1=∠2
∴AD∥BC
同理 AB∥CD
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理3:
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
C
2、如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？
解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF
例1 如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平行四边形。
你还有其他的证明方法吗？
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF 即 EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
变式1 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF。
求证：四边形BFDE是平行四边形。
O
证明：作对角线BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BO=DO
∴EO=FO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
O
变式2 如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，并且AE=CF.
求证: 四边形BFDE是平行四边形。
小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：
将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木条AD，BC加固，得到的这个四边形ABCD是什么样的图形？
四边形ABCD是平行四边形
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
你能证明吗？
已知：四边形ABCD中 AB∥CD， AB＝CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：连接BD
∵ AB∥CD
∴∠ABD ＝ ∠CDB
又∵AB ＝CD ，BD ＝ DB
∴△ABD ≌△CDB (SAS)
∴AD ＝ CB
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB ＝CD
符号语言:
平行四边形的判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
在上题中，将“E，F分别是AB，CD的中点”改为
“E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF”，结论是否
仍然成立？请说明理由．
例2 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的
中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．
练习 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
例3 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB
向外作等边△ACD、等边△ABE．且∠BAC=30°，EF
⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
例4 已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为OA、OC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。
C
A
D
B
E
H
F
O
G
你还有其他的证明方法吗？
若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形BEDF还是平行四边形吗？
练习：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边BEDF是平行四边形。
还可以是：①AF＝CE
②∠ADE＝∠CBF
③∠CDE＝∠ABF
④BE⊥AC，DF⊥AC
……
试试看：你还能怎样改？
A
D
B
C
O
BE∥DF
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？是，请说明理由；不是，请举出反例。
辩一辩：
AD∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形。
不一定是，如：等腰梯形
1、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
⑴
⑷
⑶
⑵
从边来判定：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
2、补充一个合适的条件使⑴—⑶小题成立：
4、在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= ___ cm，CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=18cm，那么当AO=___ cm，DO= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．
A
B
C
D
O
8㎝
4㎝
8
4
5
9
以三角形任两边为邻边作平行四边形可作几个？
小游戏：看谁反应快？
A
B
C
作业
1.课本P50页第4、5、6 题
2.练习册 P 20-23 页
谢谢
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18.1.2平行四边形的判定（1）
2.平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB=CD
AD=BC
∴AB∥CD
AD∥BC
1.平行四边形的定义是什么?有什么作用?
几何语言：
我们知道了平行四边形的性质，那么，有
哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？
根据定义：两组对边分别平行的四边形
叫做平行四边形。
∵AB//CD , AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
几何语言：
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
思考：原命题正确，逆命题一定正确吗？
已知：四边形ABCD, AB=CD，AD=BC。
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：
连结AC
在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
D
B
A
C
2
1
3
4
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理1:
几何语言：
∵AB=CD , AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：四边形ABCD, ∠A=∠C，∠B=∠D
求证：四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
证明：
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理2:
符号语言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.
∴△ADO ≌△CBO
OA=OC
证明：
OB=OD
∠AOD=∠COB
∴四边形ABCD是平行四边形
求证：四边形ABCD是平行四边形。
O
2
1
在△ADO 和△CBO中，
∴ ∠1=∠2
∴AD∥BC
同理 AB∥CD
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形的判定定理3:
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
（1）根据定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是( )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
C
2、如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？
解：图中互相平行的线段有：AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF
例1 如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交 于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证: 四边形BFDE是平行四边形。
你还有其他的证明方法吗？
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF 即 EO=FO
又 BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
变式1 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF。
求证：四边形BFDE是平行四边形。
O
证明：作对角线BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ BO=DO
∴EO=FO
∴ 四边形BFDE是平行四边形
O
变式2 如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，并且AE=CF.
求证: 四边形BFDE是平行四边形。
小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：
将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木条AD，BC加固，得到的这个四边形ABCD是什么样的图形？
四边形ABCD是平行四边形
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
你能证明吗？
已知：四边形ABCD中 AB∥CD， AB＝CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：连接BD
∵ AB∥CD
∴∠ABD ＝ ∠CDB
又∵AB ＝CD ，BD ＝ DB
∴△ABD ≌△CDB (SAS)
∴AD ＝ CB
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB ＝CD
符号语言:
平行四边形的判定定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
在上题中，将“E，F分别是AB，CD的中点”改为
“E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF”，结论是否
仍然成立？请说明理由．
例2 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的
中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．
练习 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
例3 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB
向外作等边△ACD、等边△ABE．且∠BAC=30°，EF
⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
例4 已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为OA、OC中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。
C
A
D
B
E
H
F
O
G
你还有其他的证明方法吗？
若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形BEDF还是平行四边形吗？
练习：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边BEDF是平行四边形。
还可以是：①AF＝CE
②∠ADE＝∠CBF
③∠CDE＝∠ABF
④BE⊥AC，DF⊥AC
……
试试看：你还能怎样改？
A
D
B
C
O
BE∥DF
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？是，请说明理由；不是，请举出反例。
辩一辩：
AD∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形。
不一定是，如：等腰梯形
1、请你识别下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
⑴
⑷
⑶
⑵
从边来判定：
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定：
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的判定方法
2、补充一个合适的条件使⑴—⑶小题成立：
4、在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC= ___ cm，CD= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=18cm，那么当AO=___ cm，DO= ____cm时，四边形ABCD为平行四边形．
A
B
C
D
O
8㎝
4㎝
8
4
5
9
以三角形任两边为邻边作平行四边形可作几个？
小游戏：看谁反应快？
A
B
C
作业
1.课本P50页第4、5、6 题
2.练习册 P 20-23 页
谢谢
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