课件28张PPT。17.3一元二次方程根的判别式沪科版 八年级下新知导入一元二次方程的一般形式： 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 .abc解一元二次方程的方法：直接开平方法因式分解法配方法公式法ax2＋bx＋c =0 （a≠0）新知导入用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－2 = 0
⑵ x2－2x＋1 = 0
⑶ x2－2x＋2 = 0 对于一元二次方程：ax2＋bx＋c =0（a≠0）
它的根与什么因素有关呢? 新知导入开平方法配方法方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根一元二次方程： ax2＋bx＋c =0（a≠0）
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根.一元二次方程：ax2＋bx＋c =0（a≠0） 根的情况由b2-4ac来确定新知讲解新知讲解例1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；分析：步骤：第一步：写出判别式?；第二步根据?的正负写结论。新知讲解解：因为?＝(-3)2-4×5×(-2)＝49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.解：原方程可变形为：25y2-20y+4＝0因为?＝(-20)2-4×25×4＝0，所以原方程有两个相等的实数根.（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；特别指出：当 ?≥0时，有实数根.新知讲解所以原方程没有实数根.当 时，在 实数范围内无意义，
即方程没有实数根。新知讲解例2 关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实根 B．总有实根
C．有两个相等的实根 D．没有实根分析：判别一元二次方程根的情况，主要看根的判别式与零的大小关系． 解：∵Δ＝(k＋2)2－4×2k＝k2＋4k＋4－8k
＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
∴方程总有实根．B新知讲解例3 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？解： ∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.
方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k＞0，求得k＜4，又 k≠0，
∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．步骤：1、找准a，b，c，求?；2、根据题意列不等式（方程）；3、写出参数的范围。新知讲解注：上述应用既可以顺着用也可以逆着用.新知讲解例4 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？解： ∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0.
方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.
由144－36k＞0，求得k＜4，又 k≠0，
∴当k＜4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．新知讲解(1)利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，
反之，已知方程根的情况可以确定方程中待定字母系数的取值范围；
(2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c的值后再计算；
(3)已知一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即Δ≥0.课堂练习1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根的情况（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定分析：计算出判别式，可知其值大于零，进而可得方程根的情况.课堂练习1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝3的根的情况（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定A解：因为方程3x2－mx－2的判别式，Δ＝(－m)2－4×3×(-2)＝m2+24k>0.
所以该方程有两个不相等的实数根，故选:A课堂练习2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）
有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.分析：根据一元二次方程的根的判别式的意义，可以得到判别式大于零，然后解不等式即可.课堂练习2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.k＜1解： ∵关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴Δ>0,即(－2)2－4×k×1>0.
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1，
故答案为： k＜1 ．课堂练习3.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.要证明无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0 ，一定有两个不相等的实根，只需证明判别式大于零即可.分析：课堂练习证明：∵m ＞0，
∴此方程为一元二次方程，
∴?＝[－(2m－1)]2－4m(m－2)＝4m+1，
∵m ＞0，
∴ 4m+1＞0，即?＞0，
故原方程有两个不相等的实根.3.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.中考链接1.（2018上海）下列对一元二次方程x2+x–3=0根的情况的判斯，正确的是（ ）
(A)有两个不相等的实数根
(B)有两个相等的实数根
(C)有且只有一个实数根
(D)没有实数根分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出判别式大于零，进而可得方程有两个不相等的实根.1.（2018上海）下列对一元二次方程x2+x–3=0根的情况的判斯，正确的是（ ）
(A)有两个不相等的实数根
(B)有两个相等的实数根
(C)有且只有一个实数根
(D)没有实数根中考链接A解：因为方程x2+x－3的判别式，Δ＝12－4×1×(-3)＝13>0.
所以该方程有两个不相等的实数根，故选:A中考链接分析：将原方程变形为一般式，根据根的判别式等于0，可得关于a的一元二次方程，解之即可得出结论.2.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
(A)-1 (B)1 (C)-2或2 (D)-3或1中考链接2.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
(A)-1 (B)1 (C)-2或2 (D)-3或1解：原方程可变形为x2+(a+1)x=0，
因为该方程有两个相等的实数根,
所以， Δ＝(a+1)2－4×1×0＝0,
解得：a=-1.故选:A课堂总结(2)一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.(1)一元二次方程根的判别式；1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.板书设计1. 一元二次方程根的判别式：2.根的判别式的应用：作业布置必做：教材36页1、2、3
选做：教材36页第4、5题.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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17.3一元二次方程根的判别式
一.选择题
1. 方程x2-x+3=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
2. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ）
A. x2-4x-4=0 B.x2-36x+36=0
C.4x2+4x+1=0 D.x2-2x-1=0
3. 下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A. x2-x-4=0 B. 4x2-6x+9=0
C. x2=-x D. x2-mx-2=0
4. 一元二次方程(m+1)x2-2x-1=0有两个相等的实数根，则m等于（ ）
A.-6 B.-1
C.-2 D.1
5. 关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-1=0有两个实数根，a的取值范围为（ ）
A.a≥0 B.a<2
C.a≥0或a≠1 D.a≤2或a≠1
二.填空题
1. 一元二次方程x2+mx-2=0的根的情况是 .
2. 如果二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
3. 关于x的方程x2+mx+m2=0有实数根，则m的取值范围是 .
4. 已知方程x2-5x+k=0有两个相等的实数根，则k等于 .
5. 关于x的方程x2-3x+m=0, 其根的判别式为 .
三.解答题
1. 已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
(1)求 k的取值范围，
(2)当k=1时,求方程的解。
2. 当k为何值时，关于x的方程x2+(2k-3)x+k2+1=0有实数根。
3. 已知关于x的方程x2+9x+25+m=0，
（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解.
参考答案
一.1.Ｃ 2.Ｃ 3.Ｂ 4.Ｃ 5.Ｃ
二.1. 有两个不相等的实数根;
2.
3.m=0
4.
5.9-4m
三 1、解：（1）∵关于x的方程，有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22-4×1×(-k)=4+4k>0
解得:k>-1
∴k的取值范围为k>-1，
(2) 当k=1时,原方程为x2+2x-1=0
解得：
∴方程的解为.
3、解：（1）∵关于x的方程x2+9x+25+m=0有实数根，
∴Δ＝92-4×1×(25+m)=-19-4m≥0
解得:
∴m的取值范围为;
(2) 由（1）得m=-5，
∴原方程为x2+9x+20=0，即（x+4）(x+5)=0
解得:
∴当m=-5时，方程的解为-4或-5.
沪科版数学八年级下册17.3一元二次方程根的判别式
课题
17.3一元二次方程根的判别式
单元
第17章
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程．
2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证．?
3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
【过程与方法】?
经历探索一元二次方程的根的情况由它的判别式的值所决定的过程，培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.
【情感态度与价值观】
渗透分类的数学思想和数学的简洁美，培养学生的协作精神
重点
一元二次方程的根的判别式的运用.
难点
会运用根的判别式判断含字母系数的一元二次方程根的情况.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们，前面我们学习了一元二次方程及其解法，回想一下一元二次方程有几种解法？
1.试着用公式法解下面方程：
⑴ x2＋x－2 = 0
⑵ x2－2x＋1 = 0
⑶ x2－2x＋2 = 0
师：请同学们根据以往的经验，一元二次方程的根，我们碰到过几种情况？它的关于哪些因素有关？结合刚才所做的练习，能否不解方程直接判断它们的根的情况？
2.回忆求根公式的推导方法，由一般式ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方得到等式
能否直接对方程开平方？
师：下面对b2-4ac进行分类讨论：
如果b2-4ac＞0，方程会有两个不相等的实数根
如果b2-4ac＝0，方程会有两个相等的实数根．
如果b2-4ac＜0，方程没有实数根
积极思考，运用公式法解方程，
使用配方法，推导方程根与哪些因素有关
通过复习回顾，用公式法解方程，探索发现，方程的根与判别式的关系，
通过回顾求根公式的推导过程，进一步理解影响根的原因，
讲授新课
师：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”表示，即 Δ=b2-4ac，
师：从刚才讨论的结果我们发现，一元二次方程： ax2＋bx＋c =0（a≠0）
师：上述三个结论反过来说成立吗？为什么呢？假设一元二次方程有两个不相等的实数根，而Δ不大于0，即Δ=0或者Δ＜0，根据刚才所得的结论与我们的条件相矛盾，故一元二次方程有两个不相等实数根时，Δ>0，以此类推.上述三个结论反过来说依然是成立的.
师：请同学们根据上面所学完成例题1，
例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）
师：如果将方程中的数字系数换成字母系数，你还能判断根的情况吗？请完成例2
例2 关于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实根 B．总有实根
C．有两个相等的实根 D．没有实根
师：如果我们知道根的情况，能判断方程中字母的取值范围吗？请完成例3，
例3 k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？
师：对于求根公式的有关证明，你能够证明吗？请完成例4，
例4 关于x的一元二次方程kx2－（2k-2）x＋(k-2)＝0(k ≠ 0)
(1)求证:无论k为何值时，总有两个不相等的实数根;
(2)要使方程的两个实数根都是整数，求k的可能取值，
在老师的指导下，理解概念，同时学会表达判别式的符号，
在老师的指导下，独立合作，独立完成，四个例题，
师生共同，探索新知，并理解新知，
通过例题，进一步让学生理解根的判别式及其应用，进而提高学生的各种能力，
课堂练习
1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根
的情况（ ）
A.有两个不相等的实数根
Ｂ有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）
有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.
3.求证：无论m取何值，方程mx2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.
小组合作交流，自主探索，积极发言，展示成果，
进一步巩固应用新知，
中考链接
1.（2018上海）下列对一元二次方程x2+x–3=0根的情况的判斯，正确的是（ ）
(A)有两个不相等的实数根
(B)有两个相等的实数根
(C)有且只有一个实数根
(D)没有实数根
2.（2018安徽）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
(A)-1 (B)1 (C)-2或2 (D)-3或1
在老师的引导和同学的交流下，完成相关内容，
通过真题演练，提升学生的解题能力，
课堂小结
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
积极思考，回顾，踊跃发言，
为学生梳理，所学新知内容，
板书
1. 一元二次方程根的判别式：
2.根的判别式的应用：
认真记录整理笔记，
为学生留下，思考的线索，
