第6讲 立方根
【知识扫描】
知识点一 立方根的定义及表示方法
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么x叫做a的立方根。一个数的立方根用符号表示，读作三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数，表示开3次方。
【例1】33＝27，则_______叫做_______的立方根，可表示为_______。
【变式】，则_______叫做_______的立方根，可表示为_______。
知识点二 开立方与立方根的性质
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
归纳：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2），，
（3）任何一个数都有唯一的立方根；立方根等于本身的数有0和±1三个。
（4）互为相反数的数的立方根也互为相反数。
【例2】求下列各数的立方根
（1）－27； （2）； （3）0.216； （4）
【例3】求下列各式的值。
（1）； （2）； （3）； （4）
知识点三 平方根和立方根的区别
（1）被开方数：立方根可为任何数，平方根为非负数；
（2）根指数：在用根号表示平方根时，根指数2可以省略；而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；
（3）个数：正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个。
【例4】下列说法正确的是（ ）
A. 的立方根是 B．－49的平方根是±7
C．11的算术平方根是 D．(－1)2的立方根是－1
【变式】下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2
C．＝±2 D．(－2)2＝－2
【考点探究】
考点一 综合考查立方根与平方根的概念
【例5】已知是m＋n＋10的算术平方根，是4m＋6n－1的立方根，
（1）求出m、n的值．
（2）求A－B的平方根．
【变式】已知是a＋b＋36的算术平方根，B＝a－2b是27的立方根，求：A＋B的平方根．
考点二 根据立方根的定义解方程
【例6】求下列各式中x的值。
（1） （2）
【变式】（1） （2）
考点三 立方根特殊性质的运用
【例7】已知，求a的值。
【变式】已知，互为相反数，且y≠0，求代数式的值。
考点四 立方根在实际生活中的应用
【例8】一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积．
【变式】已知长方体冰箱的容积为480立方分米，它的长、宽、高的比是5：4：3，则它的长、宽、高分别为多少分米？
第6讲 立方根（巩固练习）
一、选择题
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．1的立方根是±1
C．－1没有平方根 D．0的平方根与算术平方根都是0
3. 已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
4. 若a＜0，那么a的立方根是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则x的值是（ ）
A．－3 B．－1 C. D. 以上都不对
二、填空题
6. 4的算术平方根是________，－64的立方根是________
7. 计算的结果是________
8. 5x＋9的立方根是4，则2x＋3的平方根是________
9. 若，，则＝_______
10. 若，，则＝________
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
12. 已知5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，求a－2b的平方根。
13. 已知是m＋3的算术平方根，是n－2的立方根，试求M－N的值．
14. 老师要求每一名同学糊一个正方体盒子，糊完后小伟对小宇说：“我糊的盒子的表面积为96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你表面积，只知道我糊的盒子比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小伟思考了一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？（注：73＝343）
第6讲 立方根
【知识扫描】
知识点一 立方根的定义及表示方法
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么x叫做a的立方根。一个数的立方根用符号表示，读作三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数，表示开3次方。
【例1】33＝27，则_______叫做_______的立方根，可表示为_______。
【解答】3 27
【变式】，则_______叫做_______的立方根，可表示为_______。
【解答】－3 －27
知识点二 开立方与立方根的性质
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
归纳：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2），，
（3）任何一个数都有唯一的立方根；立方根等于本身的数有0和±1三个。
（4）互为相反数的数的立方根也互为相反数。
【例2】求下列各数的立方根
（1）－27； （2）； （3）0.216； （4）
【解答】（1）∵，∴－27的立方根为－3，即；
（2）∵，∴的立方根为，即
（3）∵，∴0.216的立方根为0.6，即
（4）∵，而，∴的立方根为，即
【例3】求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）；（4）
【解答】（1）
（2）
（3）
（4）
知识点三 平方根和立方根的区别
（1）被开方数：立方根可为任何数，平方根为非负数；
（2）根指数：在用根号表示平方根时，根指数2可以省略；而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；
（3）个数：正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个。
【例4】下列说法正确的是（ ）
A. 的立方根是 B．－49的平方根是±7
C．11的算术平方根是 D．(－1)2的立方根是－1
【解答】解：A、的立方根是，故此选项错误；
B、－49没有平方根，故此选项错误；
C、11的算术平方根是，正确；
D、(－1)2＝1的立方根是1，故此选项错误；
故选：C．
【变式】下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是±2 B．8的立方根是±2
C．＝±2 D．(－2)2＝－2
【解答】解：A. 4的平方根是±2，正确；
8的立方根是2，故本选项错误；
C. ＝2，故本选项错误；
D．(－2)2＝4，故本选项错误；
故选：A．
【考点探究】
考点一 综合考查立方根与平方根的概念
【例5】已知是m＋n＋10的算术平方根，是4m＋6n－1的立方根，
（1）求出m、n的值．
（2）求A－B的平方根．
【解答】解：（1）根据题意得：m－n＝2，m－2n＋3＝3，
解得：m＝4，n＝2；
（2）∵m＝4，n＝2，
∴m＋n＋10＝16，A＝4；4m＋6n－1＝27，B＝3，
∴A－B＝1，
A－B的平方根为±1．
【变式】已知是a＋b＋36的算术平方根，B＝a－2b是27的立方根，求：A＋B的平方根．
【解答】解：由题意可得：a－b＝2，a－2b＝3，
解得：a＝1，b＝－1，
∴A＝6，B＝3，
∴A＋B＝9，
∴A＋B的平方根为±3．
考点二 根据立方根的定义解方程
【例6】求下列各式中x的值。
（1） （2）
【解答】
【变式】（1） （2）
【解答】
考点三 立方根特殊性质的运用
【例7】已知，求a的值。
【解答】解：一个数的立方根等于它本身的数有0，1，－1
当时，，则a＝±1
当时，，即a＝0
当时，，即
【变式】已知，互为相反数，且y≠0，求代数式的值。
【解答】解：根据题意得：(1－2x)＋(3y－2)＝0
即3y－2x＝1，2x＋1＝3y 则
考点四 立方根在实际生活中的应用
【例8】一个正方体的体积是16cm3，另一正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的表面积．
【解答】解：另一个正方体的体积＝4×16＝64cm3，
则边长＝＝4cm
故另一个正方体的表面积＝6×(4×4)＝96cm2
【变式】已知长方体冰箱的容积为480立方分米，它的长、宽、高的比是5：4：3，则它的长、宽、高分别为多少分米？
【解答】解：设长方体的长、宽、高分别是5x、4x、3x
由题意得 5x×4x×3x＝480
解得： x＝2
答：长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米、6分米。
第6讲 立方根（巩固练习）
一、选择题
1. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：A. ，错误； B. ，错误；
C. ，正确 D. ，错误
故选：C
2. 下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．1的立方根是±1
C．－1没有平方根 D．0的平方根与算术平方根都是0
【解答】解：A．5是25的算术平方根，此选项说法正确；
B．1的立方根是1，此选项说法错误；
C．－1没有平方根，此选项说法正确；
D．0的平方根与算术平方根都是0，此选项说法正确；
故选：B
3. 已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是( )
A．－2 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，
∴3a－1－5－a＝0，
解得：a＝3，
∴3a－1＝8，
这个数是82＝64，
64的立方根为4，
故选：D．
4. 若a＜0，那么a的立方根是（ ）
A. B. C. D.
【解答】解：∵a＜0，
那么a的立方根是
故选：A
5. 若，则x的值是（ ）
A．－3 B．－1 C. D. 以上都不对
【解答】解：∵
∴
故有2x－1＝－5x－8
解之得x＝－1，
故选：B
二、填空题
6. 4的算术平方根是________，－64的立方根是________
【解答】解：4的算术平方根是2，－64的立方根是－4
7. 计算的结果是________
【解答】解：
8. 5x＋9的立方根是4，则2x＋3的平方根是________
【解答】解：根据题意知5x＋9＝64，
则x＝11，
∴2x＋3＝25，
则2x＋3的平方根是±5
9. 若，，则＝_______
【解答】解：∵，
∴
10. 若，，则＝________
【解答】解：∵
∴
三、解答题
11. 求下列各式中x的值
（1） （2）
【解答】
12. 已知5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，求a－2b的平方根。
【解答】解：∵5a＋2的立方根是3，4a＋2b＋1的平方根是±5，
∴5a＋2＝27，4a＋2b＋1＝25，
解得：a＝5，b＝2，
故a－2b＝5－4＝1，
∴a－2b的平方根为：±1
13. 已知是m＋3的算术平方根，是n－2的立方根，试求M－N的值．
【解答】解：依题意可得
n－1＝2，2m－4n＋3＝3
解得：m＝6，n＝3，
∴，
∴M－N＝3－1＝2
14. 老师要求每一名同学糊一个正方体盒子，糊完后小伟对小宇说：“我糊的盒子的表面积为96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你表面积，只知道我糊的盒子比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小伟思考了一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？（注：73＝343）
【解答】解：小伟所作纸盒的棱长＝＝4
小伟所作纸盒的体积＝43＝64．
小宇所作纸盒的体积＝64＋279＝343．
小宇所占纸盒的棱长＝7．
小宇所作纸盒的表面积＝6×72＝294cm2．
