2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）解析版

2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）不等式的解集是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．[3，+∞）
C．（﹣2，3） D．（﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）
2．（5分）数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于（　　）
A．28 B．27 C．33 D．32
3．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，，则数列{log2an}的前7项和等于（　　）
A．7 B．8 C．27 D．28
7．（5分）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．（5分）已知正数x、y满足x2+2xy﹣3＝0，则2x+y的最小值是（　　）
A．1 B．3 C．6 D．12
9．（5分）（理） 空间三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．的单位向量是（1，1，0）
C．与夹角的余弦值
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
10．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，若|PF|＝4，则直线AF的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（　　）
A．+＝1 B．+＝1
C．+＝1 D．+＝1
12．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分）
13．（5分）已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，则c＝　 　．
14．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是　 　．
15．（5分）设实数x、y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值和最大值的和为　 　．
16．（5分）若向量，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是　 　．
17．（5分）若直线y＝x+t与抛物线y2＝4x交于两个不同的点A、B，且弦AB中点的横坐标为3，则t＝　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（1）求a，b的值．
（2）当c∈R时，解关于x的不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA＝c．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b+c的值．
21．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝2，PD＝，M为棱PB的中点．
（1）证明：DM⊥平面PBC；
（2）求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值．

22．（15分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，A为上端点，P为椭圆上任一点（与左、右顶点不重合）．
（1）若AF1⊥AF2，求椭圆的离心率；
（2）若P（﹣4，3）且＝0，求椭圆方程；
（3）若存在一点P使∠F1PF2为钝角，求椭圆离心率的取值范围．




2018-2019学年陕西省渭南市临渭区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：不等式等价为（3﹣x）（x+2）＞0，
即（x﹣3）（x+2）＜0，
得﹣2＜x＜3，
即不等式的解集为（﹣2，3），
故选：C．
2．【解答】解：∵数列的前几项为2，5，11，20，x，47，
其中5﹣2＝3，
11﹣5＝6
20﹣11＝9，
猜想：x﹣20＝12，
47﹣x＝15，
而x＝32时，正好满足上述要求．
故选：D．
3．【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，
∴，
解得a1＝﹣2，d＝4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
4．【解答】解：∵＝，∴＝，
∴＝，∴＝，
∴y＝±x．
故选：D．
5．【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，
若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．
由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．
故选：A．
6．【解答】解：各项均为正数公比为q的等比数列{an}中，，
则：，
所以：，
即：a4＝2，
所以：T7＝log2a1+log2a2+…+log2a7，
＝log2（a1?a2…?a7），
＝，
＝7．
故选：A．
7．【解答】解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，
∴∠B＝60°，∠A+∠C＝120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin2B＝sinA?sinC＝，②
由①②得：sinA?sin（120°﹣A）
＝sinA?（sin120°cosA﹣cos120°sinA）
＝sin2A+?
＝sin2A﹣cos2A+
＝sin（2A﹣30°）+
＝，
∴sin（2A﹣30°）＝1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A＝60°．
故选：D．
8．【解答】解：∵x2+2xy﹣3＝0，∴y＝，
∴2x+y＝2x+＝＝+≥2＝3．
当且仅当＝即x＝1时取等号．
故选：B．
9．【解答】解：A：＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），所以，所以不共线，所以A错误．
B：因为＝（2，1，0），所以的单位向量为：或，所以B错误．
C：＝（2，1，0），，所以cos＝＝﹣，所以C错误．
D：设平面ABC的一个法向量是，因为＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），所以，即，所以x：y：z＝1：（﹣2）：5，所以D正确．
故选：D．
10．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，
∴|PF|＝||PA|，F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1，
设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，
设P（m，n），依|PF|＝|PA|得，m+1＝4，
解得m＝3，n＝2，
∵PA∥x轴，
∴点A的纵坐标为2，点A的坐标为（﹣1，2），
则直线AF的斜率＝﹣，
则有直线AF的倾斜角等于．
故选：C．

11．【解答】解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，
∴2|F1F2|＝|PF2|+|PF1|＝2a，
∴a＝2c．
设椭圆方程为，则
解得a＝2，c＝，b2＝6．
故椭圆的方程为+＝1．
故选：A．
12．【解答】解：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，
∴设MF1＝m，则MF2＝3m，
由双曲线的定义得3m﹣m＝2a，即m＝a，
在直角三角形MF2F1中，9m2﹣m2＝4c2，即2m2＝c2，
即2a2＝c2，
则e＝，
故选：D．

二、填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分）
13．【解答】解：∵a＝8，b＝7，B＝60°，
∴根据余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac?cosB，得：72＝82+c2﹣16c?cos60°，
整理得：c2﹣8c+15＝0，
∴解得：c＝3或c＝5，
故答案为：3或5．
14．【解答】解：由双曲线得a2＝16，b2＝9，∴＝5．
取焦点F（5，0），其渐近线y＝±．
∴焦点F（5，0）到渐近线的距离d＝＝3．
故答案为3．
15．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z．
平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A（3，4）时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，z＝10
直线y＝﹣2x+z经过点B（1，2）时，
直线y＝﹣2x+z的截距最小，
此时z最小．
即z＝2x+y的最小值为：z＝4．
则z＝2x+y的最小值和最大值的和为：14．
故答案为：14．

16．【解答】解：∵向量，且与的夹角为钝角，
∴＝﹣3x+2x2﹣5＝2x2﹣3x﹣5＜0，
解得﹣1＜x＜，
∴实数x的取值范围是（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）．
17．【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y2），线段AB的中点为M（3，m），
把A，B的坐标代入抛物线方程得，，
两式相减得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），得2m×1＝4，解得m＝2．
∴2＝3+t，解得t＝﹣1．
故答案为﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．【解答】解：（1）根据题意，不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，
即1、b是方程ax2﹣3x+2＝0的两根，
则有，解可得，
（2）由（1）的结论，a＝1，b＝2；
原不等式即x2﹣（c+2）x+2c＜0；即（x﹣2）（x﹣c）＜0，
方程x2﹣（c+2）x+2c＝0有两根，2和c，
当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，
当c＝2时，不等式的解集为?．
综合可得：当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，
当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}，
当c＝2时，不等式的解集为?．
19．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，，a1＝3也符合，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n+1．
（2），
∴
20．【解答】解：（1）∵acosB+bsinA＝c，
由正弦定理可得，sinAcosB+sin BsinA＝sinC＝sin（A+B），
∴sinAcosB+sin BsinA＝sinAcosB+sinBcosA，
∴sin BsinA＝sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴sinA＝cosA，即tanA＝1
∵0＜A＜π，
∴A＝；
（2）∵A＝，△ABC的面积为，
∴＝，
∴bc＝2﹣，
∵a＝2，由余弦定理可得，cos＝＝，
∴b+c＝．
21．【解答】（1）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，
由题意知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD＝BD＝，PD⊥BD，M为PB的中点，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC＝B，
∴DM⊥平面PDC．
（2）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0，），M（，，），
设平面ADM的法向量，
由，取，得，
设平面ADM的法向量，
由，取，得．
∴cos＜＞＝，
∵二面角A﹣DM﹣C的平面角是钝角，
∴二面角A﹣DM﹣C的余弦值为﹣．

22．【解答】解：（1）如图，若AF1⊥AF2，据对称性，△F1AF2为等腰直角三角形，即AO＝OF2，即b＝c，
故；
（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），
则有，
∵，
∴（4﹣c）（4+c）+9＝0，即c2＝25，
又，解得，
即椭圆方程为；
（3）设P（x0，y0），则|x0|＜a，即，
又∠F1PF2∈（0，π）．
若∠F1PF2为钝角，当且仅当有解，
即有解，即．
又，
∴，
∴，
即．
故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，
∴，即，
又0＜e＜1，
∴．