学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．下列关于简谐运动的周期、频率、振幅的说法正确的是( )
A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增大，周期也增大，而频率减小
D．在自由振动下，做简谐运动的物体的频率是固定的，与振幅无关
E．固有周期与物体振幅无关
【解析】 振幅是一个标量，没有方向，选项A错误；周期和频率互为倒数，其乘积是1，选项B正确；在自由状态下，振动物体的周期与振幅的大小无关，只由振动物体本身的性质决定，故选项C错误，选项D正确．固有周期由振动物体本身属性决定，与振幅无关，E正确．
【答案】 BDE
2.如图1-2-6所示为质点的振动图象，下列判断中正确的是( )
图1-2-6
A．质点振动周期是8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末质点的速度为负，加速度为零
D．10 s末质点的加速度为正，速度为零
E．从t＝0开始经过4 s的时间质点通过的路程为4 cm
【解析】 由振动图象可读得，质点的振动周期为8 s，A对；振幅为2 cm，B错；4 s末质点经平衡位置向负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，C对；10 s末质点在正的最大位移处，加速度为负值，速度为零，D错．从t＝0开始经过4 s的时间质点通过的路程x＝2A＝4 cm，E对．
【答案】 ACE
3．如图1-2-7所示是质点做简谐运动的图象，由此可知( )
图1-2-7
A．t＝0时，质点的位移、速度均为零
B．t＝1 s时，质点的位移最大，速度为零，加速度最大
C．t＝2 s时，质点的位移为零，速度负向最大，加速度为零
D．t＝4 s时，质点停止运动
E．质点的周期为4 s，频率为0.25 Hz
【解析】 当t＝0时，质点的位移为零，加速度为零，此时质点在平衡位置具有沿x轴正方向的最大速度，选项A错误；当t＝1 s时，质点的位移最大，加速度负向最大，此时质点振动到平衡位置正方向的最大位移处，速度为零，选项B正确；t＝2 s时，质点的位移为零，加速度为零，速度最大，沿x轴负方向，选项C正确；t＝4 s时，质点速度最大，选项D错误；由图象可以确定周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，E正确．
【答案】 BCE
4．如图1-2-8所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是
( )
图1-2-8
A．t1时刻振子正通过平衡位置向上(正方向)运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向上(正方向)运动
D．该图象是从平衡位置计时画出的
E．质点的振动周期是T＝2(t3－t1)
【解析】 从图象可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向下(负方向)运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向上(正方向)运动，C正确；由图象可得：T＝2(t3－t1)，E正确．
【答案】 BCE
5．如图1-2-9所示为质点P在0～4 s内的振动图象，下列叙述正确的是( )
图1-2-9
A．再过1 s，该质点的位移是正的最大
B．再过1 s，该质点的速度沿正方向
C．再过1 s，该质点的加速度沿正方向
D．再过1 s，该质点加速度最大
E．再过2 s，质点回到平衡位置
【解析】 将图象顺延续画增加1 s，质点应在正最大位移处，故A，D正确．再过2 s质点回到平衡位置，E正确．
【答案】 ADE
6．关于简谐运动的周期，以下说法正确的是( )
A．间隔一个周期的整数倍的两个时刻，物体的振动情况相同
B．间隔半个周期的奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同
C．半个周期内物体的动能变化一定为零
D．一个周期内物体的势能变化一定为零
E．经过一个周期质点通过的路程变为零
【解析】 根据周期的定义可知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，故A选项正确．当间隔半周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等，方向相反，且物体的速度和加速度不同时为零，故B选项错误，C、D选项正确．经过一个周期，质点通过的路程为4A，E错误．
【答案】 ACD
7．如图1-2-10所示表示某质点简谐运动的图象，以下说法正确的是( )
图1-2-10
A．t1、t2时刻的速度相同
B．从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向
C．从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小
D．t1、t3时刻的加速度相同
E．由t1到t3质点通过的位移为零，路程为2A
【解析】 t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度背离平衡位置，而加速度指向平衡位置，所以速度与加速度二者方向相反，故B不正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而加速度在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，故加速度均为零，D正确；由t1到t3质点通过的位移为零，路程为2A，E正确．
【答案】 CDE
8．如图1-2-11所示是某质点做简谐运动的图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图1-2-11
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
【解析】 由图象上的信息，结合质点的振动过程可作出以下回答：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值10 cm.
(2)在1.5 s以后的时间质点位移减少，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的时间位移增大，因此是背离平衡位置运动．
(3)2 s时质点在平衡位置，因此位移为零．质点在前4 s内完成一个周期性运动，其路程10×4 cm＝40 cm.
【答案】 (1)10 cm (2)向平衡位置运动 背离平衡位置运动 (3)0 40 cm
[能力提升]
9．弹簧振子做简谐运动，振动图象如图1-2-12所示，则下列说法正确的是
( )
图1-2-12
A．t1、t2时刻振子的速度大小相等，方向相反
B．t1、t2时刻振子的位移大小相等，方向相反
C．t2、t3时刻振子的速度大小相等，方向相反
D．t2、t4时刻振子的位移大小相等，方向相反
E．t3、t4时刻振子的速度大小相等，方向相反
【解析】 从图象可以看出，t1、t2时刻振子位于同一位置，位移大小相等，方向相同，速度大小相等，方向相反，故A正确，B错误，同理E正确；t2、t3时刻振子位移大小相等，方向相反，速度大小相等，方向相同，故C错误；t2、t4时刻振子分别位于平衡位置两侧且对称，位移大小相等，方向相反，故D正确．
【答案】 ADE
10．如图1-2-13所示为某质点做简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是( )
图1-2-13
A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B．质点在1.5 s时的位移最大
C．1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D．1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
E．2.1 s到2.9 s，质点的加速度先增大后减小
【解析】 由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在1.5 s时的位移到达最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s过程中，正在远离平衡位置，所以其位移在增加，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故D项错误；从2.1 s到2.9 s质点位移先增大后减小，故加速度先增大后减小，E正确．
【答案】 BCE
11．如图1-2-14所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子做简谐运动的表达式．
图1-2-14
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
【解析】 (1)由振动图象可得
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝＝ rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为
x＝5sint(cm)．
(2)由题图可知，在t＝2 s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度的值达到最
大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过25个周期，所以前100 s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25 cm＝500 cm.
【答案】 (1)x＝5sint(cm) (2)见解析
(3)0 500 cm
12．物体做简谐运动，通过A点时的速度大小为v，经1 s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过1 s物体又通过B点，已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm.则该简谐运动的周期和振幅分别是多少？
【解析】 物体通过A点和B点的速度大小相等，A、B两点一定关于平衡位置O对称．如果物体从A先向平衡位置运动，根据题意作出物体的运动路径图如图甲所示，物体从A点向右运动到B，即图甲中从1运动到2，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，从1到3共经历了0.5 T，即0.5 T＝2 s，T＝4 s,2A＝12 cm，A＝6 cm.
甲 乙
如果物体从A先远离平衡位置运动，如图乙所示，当物体第一次以相同的速度通过B点时，即图乙中从1运动到2时，时间为1 s，从2运动到3，又经过1 s，同样A、B两点关于O点对称，从图中可以看出1到3共经历了1.5T，即1.5T＝2 s，T＝s,1.5×4A＝12 cm，A＝2 cm.
【答案】 T＝4 s，A＝6 cm或T＝ s，A＝2 cm
课时跟踪检测(二) 振动的描述
(时间：30分钟 满分：50分)
一、选择题(共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确。)
1．若做简谐运动的弹簧振子从平衡位置到最大位移处所需最短时间是0.1 s，则( )
A．振动周期是0.2 s B．振动周期是0.1 s
C．振动频率是0.4 Hz D．振动频率是2.5 Hz
2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1 1∶1 B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4 D．1∶2 1∶2
3．(北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是图1中的( )
图1
4．如图2所示为某质点做简谐运动的图像，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
图2
A．质点在0.7 s时，正在背离平衡位置运动
B．质点在1.5 s时的位移最大
C．1.2～1.4 s时间内，质点的位移在减小
D．1.6～1.8 s时间内，质点的位移在增大
5．(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
6．一质点做简谐运动，其运动图像如图3所示。那么在－Δt和＋Δt两个时刻，质点的( )
图3
A．速度相同
B．加速度相同
C．相对平衡位置的位移相同
D．回复力相同
二、非选择题(共2小题，共20分)
7．(10分)如图4是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：
图4
(1)振动的振幅、周期、频率各是多少？
(2)如果从O点算起，到图线上哪一点为止，振子完成了一次全振动？从A点算起呢？
(3)从零到1.6 s时间内，哪些点的动能最大？哪些点的势能最大？
8．(10分)有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度。
图5
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图5中做出该振子的位移—时间图像；
(3)写出该简谐运动的表达式。
答 案
1．解析：选D 从平衡位置到最大位移处的最短时间恰好是四分之一周期，所以周期为0.4 s，频率f＝＝2.5 Hz，D正确。
2．解析：选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。
3．解析：选A 由简谐运动中加速度与位移的关系a＝－x可知，在T/4时刻，加速度正向最大，则位移负向最大，故选项A正确。
4．解析：选B 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，选项A错误；质点在1.5 s时的位移达到最大，选项B正确；1.2～1.4 s时间内，质点正在背离平衡位置运动，所以其位移在增大，选项C错误；1.6～1.8 s时间内，质点正在向平衡位置运动，所以其位移在减小，选项D错误。
5．解析：选C 由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝A sin ωt(从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s，选项C正确。
6．解析：选A 由图像知，时刻质点在平衡位置，根据简谐运动的对称性，在－Δt和＋Δt两时刻，质点必处在关于平衡位置对称的两位置。所以，在这两时刻质点的位移、回复力、加速度必定大小相等，方向相反。速度、动能大小必定相等。从题图中不难看出，－Δt和＋Δt两时刻，质点速度的方向相同。选项A正确。
7．解析：(1)由图像可知振动的振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s，由此可得频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8 s、1.6 s三个时刻，振动质点的运动状态相同，图中A、E两点，即在0.2 s、1.0 s两个时刻，振动质点的运动状态相同。所以，如果从O点算起，到图像上的D点，如果从A点算起，到图像上的E点，均为振子的一次全振动。
(3)从0～1.6 s内，在0、0.4 s、0.8 s、1.2 s、1.6 s各时刻，即对应图中的O、B、D、F、H各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2 s、0.6 s、1.0 s、1.4 s各时刻，即对应图中的A、C、E、G各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。
答案：(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz (2)D点 E点
(3)O、B、D、F、H A、C、E、G
8．解析：(1)由题设所给的已知条件可知，弹簧振子的振幅为10 cm，周期T＝＝0.2 s
则ω＝＝10π rad/s
(2)由振子从平衡位置时开始计时，经振子具有正向最大加速度可知，时振子在负的最大位移处，即t＝时，x＝－10 cm，则其位移—时间图像如图所示。
(3)由公式x＝Asin(ωt＋φ0)得φ0＝π，所以简谐运动表达式为x＝0.1sin(10πt＋π)m(或x＝－0.1sin 10πt m)。
答案：(1)10 cm 0.2 s (2)图像见解析
(3)x＝0.1sin (10πt＋π)m[或x＝－0.1sin (10πt) m]
