7.1.1 有序数对
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解有序数对的意义;
2.了解平面上确定点的常用方法.
【过程与方法】
1.通过有序数对确定位置,让学生感受二维空间观,发展符号感及抽象思维能力;
2.体会具体—抽象—具体的数学学习过程.
【情感、态度与价值观】
经历用有序数对表示位置的过程,体验数、符号是描述现实世界的重要手段.
◇教学重难点◇
【教学重点】
用有序数对表示位置.
【教学难点】
对有序数对中的有序的理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
象棋,在中国有着悠久的历史,先秦时期已有记载.属于二人对抗性游戏的一种,由于用具简单,趣味性强,成为流行极为广泛的棋艺活动.右图一张棋盘,你能准确说出棋盘中各个棋子的位置吗?
二、合作探究
探究点1 有序数对的概念
典例1 在平面内,下列数据不能确定物体位置的是 ( )
A.3楼5号 B.北偏西30°
C.文明路38号 D.东经120°,北纬30°
[解析] 只有B选项中仅有方向角的大小,而没有距离,从而B不能确定物体的位置.
[答案] B
【技巧点拨】在平面内,确定物体位置需要两个量,即有顺序的两个数来表示.
变式训练 某教室的座位共有5排6列,其中小明的座位在2排5列,记为(2,5),王红的座位在5排3列,可记为 ( )
A.(5,6) B.(6,5)
C.(5,3) D.(3,5)
[答案] C
探究点2 有序数对的实际应用
典例2 如图是中国象棋一次对局时的部分示意图,若“帅”所在的位置用有序数对(5,1)表示.
(1)请你用有序数对表示其他的棋子的位置;
(2)我们知道马行“日”字,如图中的“马”下一步可以走到(3,5)的位置,问还可以走的位置有几个?分别如何表示?
[解析] (1)兵(3,4),相(3,1),炮(8,3),马(4,3).
(2)还可以走的位置有7个,分别可以表示为(2,2),(2,4),(3,1),(5,1),(5,5),(6,2),(6,4).
【技巧点拨】在具体的问题情境中,数对(a,b)中a和b代表特定的含义,在规定了它们的含义后,在同一问题中就不能再变,否则会出错.
变式训练 这是一个动物园游览示意图,请你设计描述这个动物园图中每个景点位置的一个方法.
[解析] 答案不唯一.我们规定,每个小正方形的边长为1个单位长度,先可以确定马的位置为(2,2),那么南门的位置表示(5,5),狮子的位置表示(1,10),飞禽(8,9),两栖动物(9,6).
三、板书设计
有序数对
1.有序数对:我们把有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
2.在进行有序数对的应用时需注意有序数对的顺序.
◇教学反思◇
有序数对是本章内容的基础.学生对实际生活中用“数对”表示点或事物的位置并不感到陌生,但对理解“有序”有一定的困难.本节内容有利于增强学生的数学符号感,是“数”向“形”的正式过渡,让学生充分认识到数学是描述解决实际问题的重要工具.
7.1.2 平面直角坐标系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解平面直角坐标系的相关概念;
2.掌握平面直角坐标系内点与坐标是一一对应的关系.
【过程与方法】
引导学生用类比的方法探求平面直角坐标系内点与坐标的一一对应关系,进一步体会数形结合的思想.
【情感、态度与价值观】
通过操作、探究、体验平面直角坐标系上的点与有序实数对的一一对应关系,感受数形结合的教学思想.
◇教学重难点◇
【教学重点】
平面直角坐标系及相关概念.
【教学难点】
体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
教学楼的走廊上,老师、小华、小丽的位置如图所示,你能根据图示描述小华和小丽相对于老师的位置关系吗?
二、合作探究
探究点1 平面直角坐标系的相关概念
典例1 在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[解析] ∵x2+1>0,可见点P的横坐标为负,纵坐标为正,∴点P在第二象限.
[答案] B
各象限内点的坐标特征如下:
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
在第一象限 + +
在第二象限 - +
在第三象限 - -
在第四象限 + -
变式训练 在一次“寻宝”游戏中,寻宝人员已经找到了坐标为(3,2)和(3,-2)的两个标志点,并且知道藏宝地点的坐标为(4,4),除此外不知道其他信息.如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”?
[解析] ①作已知两点的垂直平分线,确定其单位长度,并将其定为x轴;
②在x轴上以垂足向左方记3个单位长度,记O点;
③过O点作x轴的垂线,并记为y轴,从而确定平面直角坐标系;
④在平面直角坐标系中表示藏宝位置.
探究点2 点的坐标在几何中的应用
典例2 在平面直角坐标系xOy中,若A点坐标为(-3,3),B点坐标为(2,0),则△ABO的面积为 ( )
A.15 B.7.5 C.6 D.3
[解析] 根据题意,得△ABO的底长OB为2,高为3,∴S△ABO=×2×3=3.
[答案] D
变式训练 如图所示的平面直角坐标系中,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0,0),B(9,0),C(7,5),D(2,7).求四边形ABCD的面积.
[解析] 过点D作DE⊥AB交AB于点E,连接EC.
S四边形ABCD=S△ADE+S△CDE+S△BCE
=×2×7+×7×5+×7×5
=42.
三、板书设计
平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的概念;
2.平面直角坐标系内点的坐标特征;
3.点的位置确定点的坐标,点的坐标确定点的位置.
◇教学反思◇
平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁,是非常重要的数学工具.对于坐标概念有序性的理解是学生的一个易错点.在辨析用不同有序数对表示同一个点的位置时,要强调顺序的重要性.
7.2.1 用坐标表示地理位置
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会建立适当的平面直角坐标系描述地理位置;
2.会用方位角和距离表示平面内物体的位置.
【过程与方法】
通过学习如何用坐标表示地理位置,发展学生的空间观念.
【情感、态度与价值观】
通过学习建立平面直角坐标系有多种方法,让学生体会数学充满了探索和创造,让学生认识到数学与生活的密切联系,提高学生学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
利用坐标表示地理位置.
【教学难点】
建立适当的直角坐标系,利用平面直角坐标系解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
海战的主要方式有海上机动编队的进攻战和防御战,潜艇战和反潜战,海上封锁战和反封锁战,海上破交战和保交战等.其基本目的是消灭敌方海军兵力,夺取制海权.重要海战的胜负,对某一海洋战区战局的转变,甚至对战争的进程产生重要的影响.下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1 cm代表20海里)如下,对我方潜艇O来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距离我方潜艇20海里的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
二、合作探究
探究点1 用坐标表示地理位置
典例1 下图是永州市几个主要景点示意图,根据图中信息可确定九嶷山的中心位置C点的坐标为 .?
[解析] 由A,B两点位置,可以确定坐标原点的位置在盘王殿西边1个单位,从而确定九嶷山C的位置为(3,1).
[答案] (3,1)
【技巧点拨】先由已知点的坐标确定坐标原点及两坐标轴的位置和方向,再找出所求点在这个平面直角坐标系中的坐标.
探究点2 用方位角和距离表示点的位置
典例2 [阅读材料,获取新知]
在航空、航海等领域我们经常用距离和角度来确定点的位置.规定如下:在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,在选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM(有时也用r表示),θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.通常情况下,M的极径坐标单位为1(长度单位),极角坐标单位为rad(或°).
例如:如图①,点M到点O的距离为5个单位长度,OM与Ox的夹角70°(Ox的逆时针方向),则点M的极坐标为(5,70°);同理,点N到点O的距离为3个单位长度,ON与Ox的夹角50°(Ox的顺时针方向),则点N的极坐标为(3,-50°).
[利用新知,解答问题]
请根据以上信息,回答下列问题:
如图②,已知过点O的所有射线等分圆周且相邻两射线的夹角为15°.
(1)点A的极坐标是 ;点D的极坐标是 ;?
(2)请在图②中标出点B(5,45°),点E(2,-90°);
(3)怎样从点B运动到点C?
小明设计的一条路线为:点B→(4,45°)→(3,45°)→(3,30°)→点C.
请你设计与小明不同的一条路线,也可以从点B运动到点C.
[解析] (1)A(4,75°),D(3,-30°).
(2)如图所示.
(3)点B→(5,30°)→(5,15°)→(4,15°)→点C.
这种表示位置的方法是通过两个数据来确定的:一是方位角(角的大小);二是距离(距观察点的距离).
三、板书设计
用坐标表示地理位置
1.用坐标表示地理位置;
2.用方位角和距离表示点的位置.
◇教学反思◇
本节课是在学习了有序数对和平面直角坐标系的基础上,探究如何利用平面直角坐标系解决生活中的实际问题,通过这一节课的学习,学生应能建立平面直角坐标系描述物体的位置,并能理解坐标系的选取不同则点的坐标可能不一样,但是相对位置不会发生变化.
7.2.2 用坐标表示平移
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.掌握坐标变化与图形平移的关系;
2.能利用点的平移规律将平面图形进行平移.
【过程与方法】
会根据图形上点的坐标的变化,来判定图形的移动过程.
【情感、态度与价值观】
培养学生探究的兴趣和归纳概括的能力,体会使复杂问题简单化.
◇教学重难点◇
【教学重点】
掌握坐标变化与图形平移的关系.
【教学难点】
利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们知道,兔子爱吃胡萝卜.如图,若用点A(2,1)表示放置2个胡萝卜,1棵小白菜;点B(4,2)表示放置4个胡萝卜,2棵小白菜;以此类推.若一只兔子从点A顺着方格线向上或向右移动到达点B,试问有几条路径可供选择,其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多?走哪条路径吃到的小白菜最多?
二、合作探究
探究点1 用坐标表示点的平移
典例1 将点(-1,2)向左平移1个单位,再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ( )
A.(2,0) B.(-2,0)
C.(2,3) D.(-1,-2)
[解析] 根据题意可知,横坐标减去1,纵坐标减去2,得(-2,0).
[答案] B
变式训练 将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab= .?
[答案] -15
探究点2 用坐标表示图形的平移
典例2 在平面直角坐标系中,P(a,b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P1(a+6,b+2).
(1)请画出上述平移后的△A1B1C1,并写出点A,C,A1,C1的坐标;
(2)求出以A,C,A1,C1为顶点的四边形的面积.
[解析] (1)△A1B1C1如图所示,各点的坐标分别为A(-3,2),C(-2,0),A1(3,4),C1(4,2).
(2)如图,连接AA1,CC1.×7×2=7,
×7×2=7,故=7+7=14.
坐标系中图形平移的坐标变化规律为:左右移动改变点的横坐标,左减右加;上下移动改变点的纵坐标,下减上加.
变式训练 如图,三角形ABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2).
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6,纵坐标不变,分别得到点A1,B1,C1,依次连接A1,B1,C1各点,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变,分别得到点A2,B2,C2,依次连接A2,B2,C2各点,所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
[解析] (1)如图,所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同,三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到.
(2)三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同,它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到.
三、板书设计
用坐标表示平移
1.用坐标表示点的平移;
2.用坐标表示图形的平移.
◇教学反思◇
本课在探讨平移基本性质的基础上,进一步探讨点或图形的平移引起的坐标变化规律,从坐标的角度进一步认识平移,为后续学习利用平移探索几何性质以及综合运用平移、旋转、轴对称、相似等图形变换知识解决问题打下基础.
