2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 251.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-27 10:53:08 | ||
图片预览
文档简介
2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．（5分）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是 ．
2．（5分）已知复数z＝2﹣i（i是虚数单位），则|z|＝ ．
3．（5分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 ．
4．（5分）“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．（5分）函数f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，）的单调递增区间是 ．
6．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则的值为 ．
7．（5分）直线l过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3），若f'（a）＝1，则实数a的值是 ．
8．（5分）古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，按此规律，＝ （n∈N*）．
9．（5分）函数f（x）的定义域为R，若对任意的x∈R，f（x）+xf'（x）＞0，且，则不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为 ．
10．（5分）在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用 来证明．
11．（5分）已知椭圆C：，过点P（0，6）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为 ．
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范围是 ．
13．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F（2，0），F关于直线的对称点Q在椭圆C上，则b＝ ．
14．（5分）若函数在（l，+∞）上的最大值为8，则实数a的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16．（14分）已知p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减（其中m∈R），q：?x∈R，x2+2x+m≥0（其中m∈R）．
（1）如果“p且q”为真，求实数m的取值范围．
（2）如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
17．（14分）（1）已知f（x）＝，x∈[0，+∞），若x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，求证：[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
（2）用反证法证明：若f（x）为R上的增函数，且a+f（a）≤b+f（b），求证：a≤b．
18．（16分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中OE＝1（单位：百米），∠OEF＝45°，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为y＝（≤x≤5），拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．
（1）设P点的横坐标为t，写出△EMN面积的函数表达式S（t）；
（2）当t为何值时，△EMN面积最小？并求出最小面积．
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点．
①如图1，若△OPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程；
②如图2所示，点Q是线段NA的中点，若AM⊥AN且∠OPQ的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率．
20．（16分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ex，h（x）＝kx2+ex﹣（k∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）求证：g（x）＞f（x）+1；
（3）若f（x）+g（x）≥h（x）恒成立，求实数k的取值范围．
2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．【解答】解：∵：“若a＝0，则ab＝0”
∴逆否命题：若ab≠0，则a≠0
故答案为：若ab≠0，则a≠0
2．【解答】解：∵复数z＝2﹣i，
∴|z|＝＝＝．
故答案为：．
3．【解答】解：∵椭圆，∴a2＝25，b2＝16
∴c2＝a2﹣b2＝9
∴c＝3
∴椭圆的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）
故答案为：（﹣3，0），（3，0）
4．【解答】解：（x+2）（x﹣1）＜0，解得﹣2＜x＜1．
∴“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
5．【解答】解：由f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，），得f′（x）＝cosx﹣，
由f′（x）＝cosx﹣＞0，得cosx＞，
∵x∈（0，），∴x∈（0，），
则f（x）的单调递增区间为（0，）．
故答案为：（0，）．
6．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得e＝＝，可得a2+b2＝10a2，可得＝3．
故答案为：3．
7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝1，
切线的斜率为1，切线方程为：y﹣1＝x，
所以3﹣1＝a，解得a＝2．
故答案为：2．
8．【解答】解：由，，，，…，可归纳出：＝+，
故答案为：+，
9．【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，
可得g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，
由，得g（2）＝2f（2）＝1，
∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1化为g（x2+1）＞g（2），
又g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∴x2+1＞2，得x＜﹣1或x＞1．
∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
10．【解答】解：在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用 A?B且B?A来证明．
故答案为：A?B且B?A．
11．【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线AB的方程y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A是线段PB的中点，
∴2x1＝x2，①
由，消y整理可得（3+4k2）x2+48kx+96＝0，
∴x1+x2＝﹣，②，x1x2＝，③，
由①②③可得＝，
整理解得4k2＝9，
∴x12＝＝4，
∴x1＝±2，
∴y1＝±3，
∴A（2，3）或（﹣2，3）
故答案为：（2，3）或（﹣2，3）
12．【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x2+m，由g′（x）＝3x2﹣6x＝0可得，x＝0或x＝2．
g（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增，在（0，2）递减．
要使函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则g（x）的图象只能如下图所示，
∴∴0＜m＜4．
故答案为：（0，4）．
13．【解答】解：设Q（m，n），
由F关于直线的对称点Q在椭圆C上，
∴?＝﹣1，＝?（），
解得m＝，n＝，
∵点Q在椭圆上，且a2＝4+b2，
∴+＝1，
整理可得b2（b2+4）2＝256，
∴b（b2+4）＝16，
解得b＝2，
故答案为：2
14．【解答】解：函数在（l，+∞）上的最大值为8，
∴函数≤8，在（l，+∞）上恒成立．
化为：a≤（2x3﹣7x2+8x）min，x∈（l，+∞）．
令f（x）＝2x3﹣7x2+8x，x∈（l，+∞）．
则f′（x）＝6x2﹣14x+8＝2（3x﹣4）（x﹣1），
可得x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，＝．
∴实数a的值为．
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．【解答】解：z＝＝．
（1）若z是纯虚数，则，即m＝2；
（2），
由在复平面上对应的点在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．
16．【解答】解：（1）当p为真时，即函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减，则m≥1，
当q为真时，即：?x∈R，x2+2x+m≥0，则△＝（2）2﹣4m≤0，即m≥3，
“p且q”为真，则p为真且q为真，
即，即m≥3；
（2）由“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，
由（1）得：
即，解得：1≤m＜3．
17．【解答】解：（1）分析法：要证明[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
即证明+＜2，
即证明（+）2＜（2）2，
即x1+x2+2＜4×＝2（x1+x2）
即证明2＜x1+x2，
∵x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，
∴2＜x1+x2，成立，即[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
（2）反证法：
假设结论不成立，即a＞b，
∵若f（x）为R上的增函数，
∴g（x）＝x+f（x）在R上为增函数，
则g（a）＞g（b），即a+f（a）＞b+f（b），与已知a+f（a）≤b+f（b）矛盾，
即假设不成立，则原命题成立．
18．【解答】解：（1）由已知可知P（t，），故直线MN的斜率为﹣，
∴直线MN的方程为y＝﹣（x﹣t）+，
令y＝0可得x＝2t，∴M（2t，0）．
又E（1，0），∠OEF＝45°，
∴直线EF的方程为y＝﹣x+1，
联立方程组，解得x＝，y＝，
∴yN＝，
∴S（t）＝＝（2t﹣1）?＝（≤t≤5）．
（2）S′（t）＝．
∴当≤t＜2时，S′（t）＜0，当2＜t≤时，S′（t）＞0，
∴当t＝2时，S（t）取得最小值S（2）＝．
∴当t＝2时，△EMN面积最小，最小面积为．
19．【解答】解：（1）∵椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A（2，0）．
∴，a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆C的方程为．
（2）①∵△OPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方．
∴OP的方程为：y＝x，AP的方程为：y＝x﹣2．
由可得P（1，1）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝2，y1+y2＝2
∴，，
两式相减可得＝0．∴kMN
∵kOP＝1，∴＝﹣，即k．
∴直线MN的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0．
②设AM的斜率为k，∵点P是线段MN的中点，点Q是线段NA的中点，∴kPQ＝k．
∵∠OPQ的角平分线与x轴垂直，∴kOP+kPQ＝0，∴kOP＝﹣k．
由①可得kMN，∴．
设AM的方程为y＝k（x﹣2）．
由可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
∴2，
∴x，，
以﹣换k，可得，y，
∴＝，
整理可得：10k4+7k2﹣3＝0，解得，k＝±．
∴直线AM的斜率为．
20．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
由f′（x）＞0，可得x＞；由f′（x）＜0，可得0＜x＜；
即f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；
（2）证明：设F（x）＝﹣lnx﹣（x＞0），
可得F′（x）＝﹣+＝，
当x＞1时，ex＞1，F′（x）＞0，F（x）递增；
当0＜x＜1时，ex＞1，F′（x）＜0，F（x）递减；
可得F（x）的最小值为F（1）＝e﹣1＞0，
即有﹣lnx﹣＞0，即为xlnx+1＜ex，可得g（x）＞f（x）+1；
（3）f（x）+g（x）≥h（x）恒成立?k≤恒成立，
令m（x）＝，m′（x）＝＝，
令r（x）＝ex﹣﹣lnx+e+1﹣，r′（x）＝＝，
设G（x）＝ex﹣x+1，可得G′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，G（x）递增，可得G（x）＞G（0）＝0，
即有ex＞x+1，即有r′（x）＞0，r（x）在x＞0递增，r（1）＝0，
而在（0，1）上，r（x）＜0；m（x）在（0，1）递减；
在[1，+∞）上r（x）＞0，m（x）在[1，+∞）递增，可得m（x）的最小值为m（1）＝，即k≤，
综上可得k的取值范围是（﹣∞，]．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．（5分）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是 ．
2．（5分）已知复数z＝2﹣i（i是虚数单位），则|z|＝ ．
3．（5分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 ．
4．（5分）“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．
5．（5分）函数f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，）的单调递增区间是 ．
6．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则的值为 ．
7．（5分）直线l过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3），若f'（a）＝1，则实数a的值是 ．
8．（5分）古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，按此规律，＝ （n∈N*）．
9．（5分）函数f（x）的定义域为R，若对任意的x∈R，f（x）+xf'（x）＞0，且，则不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为 ．
10．（5分）在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用 来证明．
11．（5分）已知椭圆C：，过点P（0，6）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为 ．
12．（5分）若定义在R上的函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范围是 ．
13．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F（2，0），F关于直线的对称点Q在椭圆C上，则b＝ ．
14．（5分）若函数在（l，+∞）上的最大值为8，则实数a的值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16．（14分）已知p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减（其中m∈R），q：?x∈R，x2+2x+m≥0（其中m∈R）．
（1）如果“p且q”为真，求实数m的取值范围．
（2）如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
17．（14分）（1）已知f（x）＝，x∈[0，+∞），若x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，求证：[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
（2）用反证法证明：若f（x）为R上的增函数，且a+f（a）≤b+f（b），求证：a≤b．
18．（16分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中OE＝1（单位：百米），∠OEF＝45°，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为y＝（≤x≤5），拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．
（1）设P点的横坐标为t，写出△EMN面积的函数表达式S（t）；
（2）当t为何值时，△EMN面积最小？并求出最小面积．
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点．
①如图1，若△OPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程；
②如图2所示，点Q是线段NA的中点，若AM⊥AN且∠OPQ的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率．
20．（16分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ex，h（x）＝kx2+ex﹣（k∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）求证：g（x）＞f（x）+1；
（3）若f（x）+g（x）≥h（x）恒成立，求实数k的取值范围．
2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）
1．【解答】解：∵：“若a＝0，则ab＝0”
∴逆否命题：若ab≠0，则a≠0
故答案为：若ab≠0，则a≠0
2．【解答】解：∵复数z＝2﹣i，
∴|z|＝＝＝．
故答案为：．
3．【解答】解：∵椭圆，∴a2＝25，b2＝16
∴c2＝a2﹣b2＝9
∴c＝3
∴椭圆的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）
故答案为：（﹣3，0），（3，0）
4．【解答】解：（x+2）（x﹣1）＜0，解得﹣2＜x＜1．
∴“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
5．【解答】解：由f（x）＝sinx﹣x，x∈（0，），得f′（x）＝cosx﹣，
由f′（x）＝cosx﹣＞0，得cosx＞，
∵x∈（0，），∴x∈（0，），
则f（x）的单调递增区间为（0，）．
故答案为：（0，）．
6．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得e＝＝，可得a2+b2＝10a2，可得＝3．
故答案为：3．
7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝1，
切线的斜率为1，切线方程为：y﹣1＝x，
所以3﹣1＝a，解得a＝2．
故答案为：2．
8．【解答】解：由，，，，…，可归纳出：＝+，
故答案为：+，
9．【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，
可得g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，
由，得g（2）＝2f（2）＝1，
∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1化为g（x2+1）＞g（2），
又g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∴x2+1＞2，得x＜﹣1或x＞1．
∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
10．【解答】解：在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用 A?B且B?A来证明．
故答案为：A?B且B?A．
11．【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线AB的方程y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵A是线段PB的中点，
∴2x1＝x2，①
由，消y整理可得（3+4k2）x2+48kx+96＝0，
∴x1+x2＝﹣，②，x1x2＝，③，
由①②③可得＝，
整理解得4k2＝9，
∴x12＝＝4，
∴x1＝±2，
∴y1＝±3，
∴A（2，3）或（﹣2，3）
故答案为：（2，3）或（﹣2，3）
12．【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x2+m，由g′（x）＝3x2﹣6x＝0可得，x＝0或x＝2．
g（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增，在（0，2）递减．
要使函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则g（x）的图象只能如下图所示，
∴∴0＜m＜4．
故答案为：（0，4）．
13．【解答】解：设Q（m，n），
由F关于直线的对称点Q在椭圆C上，
∴?＝﹣1，＝?（），
解得m＝，n＝，
∵点Q在椭圆上，且a2＝4+b2，
∴+＝1，
整理可得b2（b2+4）2＝256，
∴b（b2+4）＝16，
解得b＝2，
故答案为：2
14．【解答】解：函数在（l，+∞）上的最大值为8，
∴函数≤8，在（l，+∞）上恒成立．
化为：a≤（2x3﹣7x2+8x）min，x∈（l，+∞）．
令f（x）＝2x3﹣7x2+8x，x∈（l，+∞）．
则f′（x）＝6x2﹣14x+8＝2（3x﹣4）（x﹣1），
可得x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，＝．
∴实数a的值为．
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．【解答】解：z＝＝．
（1）若z是纯虚数，则，即m＝2；
（2），
由在复平面上对应的点在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．
16．【解答】解：（1）当p为真时，即函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减，则m≥1，
当q为真时，即：?x∈R，x2+2x+m≥0，则△＝（2）2﹣4m≤0，即m≥3，
“p且q”为真，则p为真且q为真，
即，即m≥3；
（2）由“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，
由（1）得：
即，解得：1≤m＜3．
17．【解答】解：（1）分析法：要证明[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
即证明+＜2，
即证明（+）2＜（2）2，
即x1+x2+2＜4×＝2（x1+x2）
即证明2＜x1+x2，
∵x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，
∴2＜x1+x2，成立，即[f（x1）+f（x2）]＜f（）；
（2）反证法：
假设结论不成立，即a＞b，
∵若f（x）为R上的增函数，
∴g（x）＝x+f（x）在R上为增函数，
则g（a）＞g（b），即a+f（a）＞b+f（b），与已知a+f（a）≤b+f（b）矛盾，
即假设不成立，则原命题成立．
18．【解答】解：（1）由已知可知P（t，），故直线MN的斜率为﹣，
∴直线MN的方程为y＝﹣（x﹣t）+，
令y＝0可得x＝2t，∴M（2t，0）．
又E（1，0），∠OEF＝45°，
∴直线EF的方程为y＝﹣x+1，
联立方程组，解得x＝，y＝，
∴yN＝，
∴S（t）＝＝（2t﹣1）?＝（≤t≤5）．
（2）S′（t）＝．
∴当≤t＜2时，S′（t）＜0，当2＜t≤时，S′（t）＞0，
∴当t＝2时，S（t）取得最小值S（2）＝．
∴当t＝2时，△EMN面积最小，最小面积为．
19．【解答】解：（1）∵椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A（2，0）．
∴，a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆C的方程为．
（2）①∵△OPA为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方．
∴OP的方程为：y＝x，AP的方程为：y＝x﹣2．
由可得P（1，1）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝2，y1+y2＝2
∴，，
两式相减可得＝0．∴kMN
∵kOP＝1，∴＝﹣，即k．
∴直线MN的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0．
②设AM的斜率为k，∵点P是线段MN的中点，点Q是线段NA的中点，∴kPQ＝k．
∵∠OPQ的角平分线与x轴垂直，∴kOP+kPQ＝0，∴kOP＝﹣k．
由①可得kMN，∴．
设AM的方程为y＝k（x﹣2）．
由可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．
∴2，
∴x，，
以﹣换k，可得，y，
∴＝，
整理可得：10k4+7k2﹣3＝0，解得，k＝±．
∴直线AM的斜率为．
20．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，
由f′（x）＞0，可得x＞；由f′（x）＜0，可得0＜x＜；
即f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；
（2）证明：设F（x）＝﹣lnx﹣（x＞0），
可得F′（x）＝﹣+＝，
当x＞1时，ex＞1，F′（x）＞0，F（x）递增；
当0＜x＜1时，ex＞1，F′（x）＜0，F（x）递减；
可得F（x）的最小值为F（1）＝e﹣1＞0，
即有﹣lnx﹣＞0，即为xlnx+1＜ex，可得g（x）＞f（x）+1；
（3）f（x）+g（x）≥h（x）恒成立?k≤恒成立，
令m（x）＝，m′（x）＝＝，
令r（x）＝ex﹣﹣lnx+e+1﹣，r′（x）＝＝，
设G（x）＝ex﹣x+1，可得G′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，G（x）递增，可得G（x）＞G（0）＝0，
即有ex＞x+1，即有r′（x）＞0，r（x）在x＞0递增，r（1）＝0，
而在（0，1）上，r（x）＜0；m（x）在（0，1）递减；
在[1，+∞）上r（x）＞0，m（x）在[1，+∞）递增，可得m（x）的最小值为m（1）＝，即k≤，
综上可得k的取值范围是（﹣∞，]．
同课章节目录