西师大版五年级下册第一单元第4课时
《公因数、公倍数》教学设计
课题
公因数、公倍数
单元
第一单元
学科
数学
年级
五年级
学习
目标
1.通过找两个数的因数与倍数，认识公因数与公倍数，并学会求最大公因数与最小公倍数。
2.通过找一找、填一填等活动，培养学生的有序思考。
3.进一步发展学生的数学思考与实践应用能力，培养学生的自信心，激发学生热爱数学的情感。
重点
认识公因数与公倍数，学会求最大公因数与最小公倍数。
难点
学会用短除法和分解质因数找两个数的最大公因数与最小公倍数。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习旧知
1.找出下面各数的因数。
32 15 12
师：能说说你们是怎么找出来的？
反馈：找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找。
2.找出下面各数的倍数。
2 6 9 4
揭示：找一个数的倍数，给这个数乘以自然数：1、2、3、4、5、6...... 所得到的数都是这个数的倍数。
3.用短除法将下面合数写成几个质数相乘的形式。
32 27 18
导入新课
课件出示：
师：老师想把这张卡纸剪成大小一样的正方形，怎样剪不浪费？这个正方形的边长最大是多少呢？
师：我们一起来研究研究好吗？
学生独自完成，然后集体交流。
学生自由说说。
学生独自完成，然后集体交流。
学生摇头。
学生：好。
通过复习旧知考查学生对找一个数的因数和找一个数倍数方法掌握的情况，同时为后面学习公因数与公倍数奠定基础。
生活与数学师紧密联系在一起的，由此利用解决实际问题而导入新课，可以调动学生学习的积极性。
讲授新课
一、认识公因数
师：要想知道这个正方形的边长最大是多少，还需要知道什么条件？
课件出示：
师： 一张长30cm，宽12cm的才发现纸，剪成大小相等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？想想可以怎样思考？分组说说。
师：谁来说说呢？
师：这是一个不错的方法，那么现在就来找找这个长方形长与宽的因数吧！
课件出示：
反馈：12的因数：1，2，3，4，6，12
30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30
师：可以用哪些数作为正方形的边长呢？
师：最大的边长是多少呢？
师：观察这些数据，你发现了什么？同桌之间相互说说。
反馈：我发现12和30都有因数1，2，3，6。
4，12是12独有的因数；
5，10，15，30是30独有的因数；
……
师：这是一个不错的发现，我们可以用集合圈的方式表示出来。
课件出示：
师：中间重合的部分表示什么？该怎么填呢？
反馈：中间重合的部分表示12和30公有的因数。
可以把1，2，3，6填在中间间重合的部分，把12和30独有的因数分别填在两边。
根据学生的回答，课件出示答案：
师：1，2，3，6是12和30的公因数，叫做12和30的公因数，其中6是最大的一个公因数，叫做它们的最大公因数。我们上面找最大公因数的方法称之为列举法，想想还可以用什么方法找呢？分小组交流、讨论。
师巡视并指导。
反馈：我是利用分解质因数的方法：
12=2×2×3
30=2×3×5
2和3是12和3公有的质因数，所以12和30的最大公因数是2×3=6。
还可以这样求最大公因数：
课件出示：
12和30都有因数2，所以12÷2=6，3÷2=15；6和15都有因数3，所以6÷3=2，15÷3=5。
12和30的最大公因数是2×3=6。
师：这是运用的什么方法呢？
师：还需要继续除下去吗？
师：求两个数的最大公因数的方法：
把两个数写在短除法竖式内；
用两个数公有的质因数作除数；
最后除得两个数的商只有公因数1。
把所有公有的质因数相乘，积就是这两个数的最大公因数。
二、试一试
课件出示：
你能找出6和12的公因数和最大公因数吗？7和9的最大公因数呢？
反馈：6和12的公因数有1，2，3，6，最大公因数是6。
7和9的最大公因数是1。
提出思考：
6和12是什么关系？最大公因数是什么数？
7和9又是什么关系？最大公因数是什么数？
反馈：6和12是倍数关系，最大公因数是较小数；
7和9只有公因数1，最大公因数是1。
师：是不是所有的倍数关系和只有公因数1的两个数最大公因数都是这样的呢？
反馈：4和2是倍数关系，最大公因数是较小数；
1和10只有公因数1，最大公因数是1；
……
师：由此我们可以得出两种特殊关系找最大公因数的方法是：
当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数。
当两个数只有公因数1时，最大公因数是1。
认识公倍数
师：我们已经学习了找一个数的倍数，现在你能分别找出4和6的倍数吗？填入下表。
课件出示：
根据学生的回答，完善表格。
师：观察表中的数据，你发现了什么？
反馈：我发现12，24，36，…既是4的倍数，又是6的倍数。
师：12，24，36，…应该是4和6的什么数呢？我们也给它们起个名字好吗？谁来完整的说说？
师：说的真好！你们能在公倍数中找到最大的和最小的数吗？
师：那么12就叫做……？
师：除了用列举法可以找出最小公倍数外，还能用什么方法找呢？
反馈：可以这样算：
2是4和6公有的质因数，2和3是4和6独有的质因数，所以4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
师：不错，利用分解质因数的方法可以求出最小公倍数，注意：要用公有的质因数×独有的质因数。
也可以这样算：
4和6都有因数4，所以4÷2=2，6÷2=3，2和3只有公因数1，那么4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
师：这是利用短除法的方法也可以求出最小公倍数，但是需要注意：
求两个数的最小公倍数的方法：
（1）把两个数写在短除法竖式内；
（2）用两个数公有的质因数作除数；
（3）最后除得两个数的商只有公因数1。
（4）把所有公有的和独有的质因数相乘，积就是这两个数的最小公倍数。
四、试一试
课件出示：
你能找出6和8的公倍数和最小公倍数吗？16和8，3和7的最小公倍数呢？
反馈：6和8的公倍数有24，48，72，…，最最小公倍数是6。
16和8的最小公倍数是16。
3和7的最小公倍数是21。
提出思考：
16和8是什么关系？最小公倍数是什么数？
3和7又是什么关系？最小公倍数是什么数？
再举例验证结论的普遍性。
反馈：16和8是倍数关系，最小公倍数是较大数；
3和7只有公因数1，最小公倍数是21。
……
师生共同总结出：
当两个数是倍数关系时，最小公倍数是较大数。
当两个数只有公因数1时，最小公倍数是两个数的乘积。
学生：需要知道这个长方形的长与宽。
学生自由说说。
反馈：可以先找找30和12的因数。
学生独自完成，然后集体交流。
学生：可以用1cm，2cm，3cm，6cm作为正方形的边长。
学生：这个正方形的边长最大的边长是6厘米。
同桌之间相互说说。
学生自由说说。
学生分组交流。
学生：这是利用得短除法。
学生：2和5只有公因数1，如果用1继续除下去，就除不完了。
学生独自找找，然后集体反馈。
学生分组交流，然后集体交流。
学生举例验证。
学生独自找一找，然后交流反馈。
同桌之间相互说说，然后集体反馈。
学生：12，24，36，…是4和6公有的倍数，叫做4和6的公倍数。
学生：只能找到最小的公倍数，它是12。
学生：12是公倍数中最小的数，叫做4和6的最小公倍数。
学生分组交流，尝试找一找，然后反馈。
学生独自找一找，然后集体反馈。
学生独立思考，然后集体交流。
通过了解题意培养学生认真审题、分析题意的意识，这样可帮助学生建立良好的学习习惯。
本环节让学生独自找出两个数的因数，进而通过观察得出正方形的边长取值，这样可以培养学生观察、分析、比较、总结等思维能力。
集合圈的填写是学生最容易出错的，由此通过看一看、说一说引导学生认识集合圈，并间接的了解了填写的方法，符合学生的认知规律。
采用多种方法求两个数的最大公因数，可以拓展学生的思维，同时感受方法的多样性。
用短除法求两个数的最大公因数是本节课重点内容，通过答疑解惑让学生更加深刻的认识短除法。
学生已经掌握了求两个数最大公因数的方法，通过试一试的练习，不仅可以帮助学生巩固新知，同时感受倍数关系与互质关系求两个数最大公因数的方法。
采用列举法让学生独自找出两个数的倍数，进而经过观察让学生发现两个数公有的倍数，为后面引入公倍数与最小公倍数做准备。
学生已经会找两个数的最大公因数，由此本环节完全放手交给学生自主研究，可以检查学生“举一反三”的能力，同时感受数学知识之间的互通性。
利用提出思考问题，帮助学生观察特殊两个数找最小公倍数的方法，感受数学知识间的联系，进而发挥了学生为主体的地位。
巩固练习
1.议一议：把16个橘子，20个苹果按下面要求放到篮子里，最多需要多少个篮子？
师：谁来说说对这道题的理解？
反馈：每个篮子里既放橘子又放苹果；
每个篮子里橘子个数相同，苹果个数也相同。
引导学生得出：本题实际是求16和20的最大公因数。
2.填一填。
55以内9和6的公倍有（ ）。
9和6的最小公倍数是（ ）。
3.分解质因数
21=（ ）×（ ）
12=（ ）×（ ）×（ ）
公有的质因数是（ ）。
独有的质因数是（ ）。
21和12的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
4.你能直接说出下面几组数的最大公因数与最小公倍数吗？
15和5 81和9
2和3 9和13
5.利用短除法求出下面几组数的最大公因数和最小公倍数。
15和18 9和6
拓展提高：
10路车每6分钟发一次车，15路车每8分钟发一次车，现在两路车同时从起点发车，至少再过多少分钟两路车又同时发车？
7.布置作业
教材练习四第1~4题。
学生自由说说。
学生独自完成，然后集体订正。
练习就是检查学生掌握知识的情况，由此由不同层次的练习考查学生掌握情况，同时极大的锻炼了学生解决问题的能力，并感受到数学与生活的紧密联系。
课堂小结
通过本节课的学习，你们有什么收获？
1.公因数与公倍数的意义。
2.用短除法求两个数最大公因数与最小公倍数的异同。
学生自由说一说。
利用说一说的方式总结本课，是对本课知识的一个总结，可以充分提高学生的兴趣。
板书
公因数、公倍数
公因数——两个数公有的因数
12和30的最大公因数是2×3=6。
公倍数——两个数公有的倍数
4和6的最小公倍数是2×2×3=12。
通过简洁、有效的板书，帮助学生形成知识体系。
《公因数、公倍数》练习
填一填。
几个数（ ）叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做（ ）。
几个数（ ）叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做（ ）。
3.12的因数：（ ）
15的因数：（ ）
20的因数：（ ）
（1）12和15的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
（2）12和20的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
（3）15和20的公因数有（ ），最大公因数是（ ）。
4.5的倍数：（ ）
4的倍数：（ ）
5和4的公倍数：（ ）
5和4的最小公倍数是（ ）。
5.A=2×2×3，B=2×3×3×5，A和B的最大公因数是（ ） ，最小公倍数是（ ）。
二、选一选。
1.最大公因数不是1的一组数是（ ）
A.11和12 B.15和5
C.37和20 D.100和1
2.最大公因数是12的两个数（ ）
A.24和36 B.3和4
C.24和48 D.6和12
3.两个数的（ ）有最小的，没有最大的。
A.公倍数 B.公因数 C.因数 D.倍数
求最大公因数和最小公倍数。
14和42 12和18
四、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数，观察每组数的特点，你有什么发现？
（1）3和6 24和8 11和33
（2）8和9 3和8 15和2
我的发现是：
当两个数是（ ）关系时，最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
当两个数（ ）时，最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
五、解决问题。
1.有两根分别长20和16米的方木．要把它们都锯成同样长的木段做家私用不许有剩余，每根木段最长能有多长？一共可以锯成多少段？
2.一袋糖果，平均分给20个小朋友或25个小朋友后，最后都剩下3粒．这袋糖果至少有多少粒？
解析与答案
一、1.【解析】根据公因数的意义，几个数公共有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个数叫作它们的最大公因数作答即可。
4.【解析】先分别找出两个数的倍数，然后根据公倍数与倍数的意义求解。
【答案】5，10，15，20，25，…；4，8，12，16，20，…；20，40，60，…；20。
5.【解析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，即可得解。
【答案】6；180。
二、1.【解析】公因数只有1的两个数，它们的最大公因数是1，由此看给出的选项中的两个数是不是只有公因数只有1即可。
【答案】B。
2.【解析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。
【答案】A。
3.【解析】根据公因数与公倍数的特点求解。
【答案】A。
三、【解析】用短除法，然后将所有的除数相乘即可求出最大公因数，将所有的除数与商相乘即可求出最下公倍数。
【答案】8；5；6。
四、【解析】两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。
【答案】（1）3，6；8，24；11，33；（2）1，72；1，24；1，30；倍数，较小数，较大数；只有公因数1，1，两数乘积。
五、1.【解析】根据题意，可计算出20与16的最大公因数，即是每根木料最长的长度，然后再用20除以最大公因数加上16除以最大公因数的商，即是一共锯成的段数，列式解答即可得到答案。
【答案】20和16的最大公因数是：2×2=4，即每小段最长是4米。
20÷4+16÷4=9（段）。
2.【解析】本题实际是求20和25的最小公倍数，由此即可求出分出去的数量，然后再加上还剩的个数即可求解。
【答案】20和25的最小公倍数是：5×2×2×5=100，所以这袋糖果至少有：100+3=103（粒）。
课件33张PPT。公因数、公倍数西师大版 五年级下新知导入找出下面各数的因数。32 15 1232的因数：1 2 4 8 16 3215的因数：1 3 5 1512的因数：1 2 3 4 6 12找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找。新知导入找出下面各数的倍数。 42的倍数：2 4 6 8 10 12 …8的倍数：8 16 24 32 40…9的倍数：9 18 27 36 45…4的倍数：4 8 12 16 20… 找一个数的倍数，给这个数乘以自然数：1、2、3、4、5、6...... 所得到的数都是这个数的倍数。新知导入用短除法将下面合数写成几个质数相乘的形式。32 27 18 322 16 2 8 32=2×2×2×2×22422 273 9 3 3 27=3×3×3 182 9 3 3 18=2×3×3新知讲解 用短除法分解质因数一般从最小的质数开始除起，除到商是质数为止，注意：除数和商必须是质数。 新知讲解把这张卡纸剪成大小一样的正方形，怎样剪不浪费？这个正方形的边长最大是多少呢？30cm12cm新知讲解一张长30cm，宽12cm的才发现纸，剪成大小相等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？找找这个长方形长与宽的因数。 12的因数 30的因数 1 2 3 4 6 12 1 2 3 5 6 10 15 30这个正方形的边长最大的边长是6厘米。新知讲解 12的因数 30的因数 1 2 3 4 6 12 1 2 3 5 6 10 15 30观察这些数据，你发现了什么？12的因数30的因数12和30的公因数 1 2
3 6 4 12 5 10
15 30新知讲解12的因数30的因数12和30的公因数 1 2
3 6 4 12 5 10
15 30 1，2，3，6是12和30的公因数，叫做12和30的公因数，其中6是最大的一个公因数，叫做它们的最大公因数。列举法新知讲解我是利用分解质因数的方法。12=2×2×330=2×3×512和30的最大公因数是2×3=6。还可以这样求最大公因数。 12 3026 15 3 2 512和30的最大公因数是2×3=6。2和5只有公因数1。短除法分解质因数新知讲解求两个数的最大公因数的方法:（1）把两个数写在短除法竖式内。
（2）用两个数公有的质因数作除数；
（3）最后除得两个数的商只有公因数1。
（4）把所有公有的质因数相乘，积就是这两个数的最大公因数。新知讲解试一试你能找出6和12的公因数和最大公因数吗？7和9的最大公因数呢？6的因数：1 2 3 612的因数：1 2 3 4 6 126和12的公因数：1 2 3 6 6和12的最大公因数：6 7的因数：1 79的因数：1 97和9的最大公因数：1 新知讲解思考提示：
6和12是什么关系？最大公因数是什么数？
7和9又是什么关系？最大公因数是什么数？6和12的最大公因数：6 7和9的最大公因数：1 找出示例验证一下。新知讲解当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数。
当两个数只有公因数1时，最大公因数是1。新知讲解找一找，想一想。4的倍数6的倍数……481216202428326121824303642483654你发现了什么？我发现12，24，36，…既是4的倍数，又是6的倍数。新知讲解 12，24，36，…是4和6公有的倍数，叫做4和6的公倍数。 12是公倍数中最小的数，叫做4和6的最小公倍数。新知讲解可以这样算：4= 2 × 26= 2 × 34和6的最小公倍数是2×2×3=12。也可以这样算： 4 62 2 34和6的最小公倍数是2×2×3=12。要用公有的质因数×独有的质因数。新知讲解求两个数的最小公倍数的方法：（1）把两个数写在短除法竖式内；
（2）用两个数公有的质因数作除数；
（3）最后除得两个数的商只有公因数1。
（4）把所有公有的和独有的质因数相乘，积就是这两个数的最小公倍数。新知讲解试一试你能找出6和8的公倍数和最小公倍数吗？16和8，3和7的最小公倍数呢？6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，…8的倍数：8，16，24，32，40，48，…6和8的公倍数：24，48，… 6和8的最小公倍数：24 16 828 4 2 2 14 2 216和8的最小公倍数是2×2×2×2=16。3和7的最小公倍数是3×7=21。新知讲解思考提示：
16和8是什么关系？最小公倍数是什么数？
3和7又是什么关系？最小公倍数是什么数？
再举例验证结论的普遍性。16和8的最小公倍数是2×2×2×2=16。3和7的最小公倍数是3×7=21。新知讲解当两个数是倍数关系时，最小公倍数是较大数。
当两个数只有公因数1时，最小公倍数是两个数的乘积。 课堂活动议一议：把16个橘子，20个苹果按下面要求放到篮子里，最多需要多少个篮子？每个篮子里既放橘子又放苹果。每个篮子里橘子个数相同，苹果个数也相同。 16 2028 10 2 4 516和20的最大公因数是2×2=4，所以最多需要4个篮子。填一填。课堂活动 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 6 12 183645546372 9 9 18 278124303642485455以内9和6的公倍有（ ）。
9和6的最小公倍数是（ ）。18 36 5418 21=（ ）×（ ）
12=（ ）×（ ）×（ ）
公有的质因数是（ ）。
独有的质因数是（ ）。
21和12的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。课堂练习分解质因数。 3 7 3 2 2 3 7 2 2 3 84 课堂练习你能直接说出下面几组数的最大公因数与最小公倍数吗？15和5 81和9
2和3 9和13 15和5的最大公因数：515和5的最小公倍数：1581和9的最大公因数：981和9的最小公倍数：812和3的最大公因数：12和3的最小公倍数：69和13的最大公因数：19和13的最小公倍数：117课堂练习利用短除法求出下面几组数的最大公因数和最小公倍数。15和18 9和6 15 1835 6 15和18的最小公倍数是3×5×6=90。 9 633 2 9和6的最小公倍数是3×3×2=18。拓展练习公共汽车始发站，1路车每5分钟发车一次，2路车每10分钟发车一次，3路车每12分钟发车一次．这三路汽车同时发车后，至少再经过 几分钟又同时发车？10=2×512=2×2×35、10和12的最小公倍数是：5×2×2×3=60。答：至少再经过 60分钟又同时发车。课堂总结我的收获是：1.公因数与公倍数的意义。
2.用短除法求两个数最大公因数与最小公倍数的异同。课堂总结用短除法求两个数最大公因数与最小公倍数的异同。求两个数最大公因数 求两个最小公倍数相同点不同点用短除法，用两个数公有的质因数作除数，直到商只有公因数1为止。把所有的除数相乘把所有的除数和商相乘板书设计 公因数、公倍数
公因数——两个数公有的因数 公倍数——两个数公有的倍数
12 3026 15 3 2 512和30的最大公因数是2×3=6。 4 62 2 34和6的最小公倍数是2×2×3=12。作业布置完成教材练习四第1~4题。
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