17.5一元二次方程的应用
一.选择题
1. 某个市2016年旅游收入2亿元，2018年旅游收入2.88亿元，则该市2017年、2018年旅游收入的年平均增长率为（ ）
A. 2%， B. 4.4%， C. 20%， D. 44%，
2. 某个公司2018年10月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，12月份的生产成本是361万元，若该公司这两个月每个月生产成本的下降率都相同，则每个月生产成本的下降率是（ ）
A. 12%， B. 9%， C. 6%， D. 5%，
3. 从一块正方形木板上据掉3m宽的长方形木条，剩下的面积是55m2。则原来这块木板的面积是（ ）
A. 9m2 B. 64m2 C. 81m2 D. 121m2
4.某小组新年互相新年贺卡共30张，则这个小组的成员个数是 （ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D.10
５. 直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（ ）
A. B. 5 C. D.7
二.填空题
1.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数目是21，则每个支干长出 .
2. 一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字母互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是 .
3. 国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么每次降价的百分率是 .
4. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步行（宽比长少了一十二步）问阔（宽）及长各几步？设问阔（宽）为x步，则所列方程为 .
三.解答题
1.一块长方形菜地的面积是150cm2，如果它的长减少5cm，那么它就成为正方形菜地，求这个长方形菜地的长和宽?
2. 有一个直角三角形，它的三边恰好是三个连续整数，那么这个三角形的三边的长分别是多少？
3.国庆期间，某游乐园为了增加收入，进行了市场调研，调研发现，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可全部售出，如果票价每增加1元，那么售出的门票就要减少30张，要是门票总收入达到36750元，票价应该定为多少元？
4. 2017年据《印度时报》8月24日报道，印度猪流感爆发造成多人死亡。假设若发现有一人感染病毒，
（1）设每轮传染中平均一个人传染8人，则第一轮传染后有 _____ 人，第二轮传染后有_______ 人
（2）假设每轮传染中平均一个人传染x个人,如果经过两轮传染后有144人感染病毒，求x？
参考答案
一.1.C 2.D 3.C 4.C 5.B
二.
1.4个小支干
2.23或32
3.10%
4. x（x+12）=864
三 1. 解：因为长减少5cm，菜地就变成正方形，所以设长方形的宽xm，则长为（x+5）m
根据题意得：x(x+5)=150解得：x=10，x=-15（舍去）则x+5=15
答：这个长方形菜地的长为15m，宽为10m。
2.解：设较长的直角边为x，则另一条直角边为（x-1），斜边为(x+1)
根据题意得：x2+(x-1)2=(x+1)2，整理得x2-4x=0，
解得：x1=4，x2=0（舍去）
所以其他边为3和5，
答：这个三角形的三边的长分别为3，4，5。
4.(1)9,81;
(2) 解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得
（1+x）2=144
解得x1= 11 ,x2=-13(不合题意，应舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染11个人。
课件32张PPT。17.5一元二次方程的应用沪科版 八年级下新知导入解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法例1 在一块宽20m,长32m的长方形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把这块空地分成大小一样的6块,建成小花坛。如图，要使花坛的总面积为570平方米（图中长度的单位：m）,问:小路的宽应是多少?32 m20m2xx分析：若设小路的宽为x米，那么横向小路的面积为32x，纵向小路的面积为2×20x平方米，两者重叠的面积为2x2平方米，由于花坛的总面积是570平方米.新知讲解解:设小路的宽是xm，根据题意，得整理，得结合题意，x=35不可能，因此，只能取x=1.答:所求小路的宽应为1m.注意：在解方程时，注意解法。并且根据实际问题考虑方程根的取舍。 新知讲解新知讲解图形面积的转化：
平移转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法。其核心思想是将不在一起的几块图形通过平移转化为一块规则的图形，然后根据面积列出一元二次方程。新知讲解例2 原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元。求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1﹪）完成下表： 27第一次降价后的售价 27(1- x)第二次降价后的售价 27(1- x)2第二次降价后的售价 9新知讲解解：设两次降价的平均降价率是x， 根据题意，得：
27·（1-x）2 = 9
（1-x）2 ≈ 0.3333
1-x ≈ ± 0.5773
1-x ≈ 0.5773 或 1+x ≈–0.5773
x1 ≈ 0.4227 x2 ≈1.5773(舍去)
答；两次降价的平均降价率约为42% .新知讲解连续两次增长（或降低）的形式： 2.如果设平均每次降低的百分数为x，原产值（基数）a 经过两次降低到 b ， 可列出关系式为：a（1+ x） 2 = b 1.如果设平均每次增长的百分数为x，原产值（基数）a 经过两次增长到 b ， 可列出关系式为： a（1- x） 2 = b第n次增长后的量是a(1+x)n=b，这就是重要的增长率公式.注意:增长率不可为负，但可以超过1.新知讲解例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%，（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 ，求新品种花生产量的增长率.新知讲解分析：设新品种花生产量的增长率为x ，这个新品种花生出油率的增长率为 x ，根据新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率＝1980 ，可列出方程，解：设新品种花生产量的增长率为x ，根据题意得，3000（1+x)[50%(1+ x)]=1980解方程，得，x1 =0.2=20%,
x2 =-3.2(不符合题意，舍去)答 ：新品种花生产量的增长率为20% .注意:在列方程解应用题时，找到关键描述语，找到等量关系，准确列出方程，是解决问题的关键.新知讲解例4 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20厘米，容积为2880立方厘米的开口方盒，问原金属片的边长是多少？分析：根据图形，有体积公式可得方程，解方程即可.新知讲解解：设原金属片的边长为x厘米，则方盒的底边长是（x-40）厘米，20（x-40)2=2880解方程，得，x1 =52,
x2 =28(不符合题意，舍去)答 ：原金属片的边长是52厘米.根据题意得，整理，得（x-40)2=144例4 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20厘米，容积为2880立方厘米的开口方盒，问原金属片的边长是多少？列方程(组)解应用题的步骤：①设
②审
③找
④列
⑤解
⑥验
⑦答 未知数题等量关系方程（组）方程（组）检验作答审清题意:已知什么,求什么?已、未知之间有什么关系?语句要完整,有单位(统一)的要注明单位;如果是分式方程务必要检验答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.等量关系是方程的雏形，务必学会从题目里找出等量关系新知讲解新知讲解列一元二次方程解应用题的步骤，与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答，这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.注意：新知讲解例5 一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有两人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，问原来这组学生的人数是多少？分析: 设原来这组学生的人数是 x人,根据问题本身和它的本质,列出下面的关系120120xX+2等量关系是: 原来每人费用－加人后每人的费用=3元新知讲解两边同乘x(x+2),整理得x2+2x－80=0分解得: ( x+10 )( x －8 )=0解这个方程,得 x1=-10, x2=8经检验, x1=-10, x2=8都是原方程的解,但x1=-10不符合应用题实际(学生数不可能为负数),所以取x=8
答：原来这组学生是8人.
解：设原来这组学生的人数是x人，那么每人分摊的费用是 元，增加两人后这组学生每人分摊的费用是 元，根据增加2人后每人可少分摊3元，得，新知讲解对于可化为一元二次方程的分式方程应用题，要根据它的特点，借助适当的方式(列表,示意图,关系式等)合理理解题目意思，规范解题.课堂练习1.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.解:设小路宽为x米，则化简，得答:小路的宽为3米.xxxx20+2x15+2x课堂练习2 有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？分析：设花圃的宽为x，用总长减去三个宽，即为ＢＣ的长，则ＢＣ＝（24-3x）米，再利用矩形的面积公式列出方程，求解即可，课堂练习解：设垂直于墙的一条边AB长为x米，则与墙平行于BC边长为(24-3x)米，根据题意，得
解得
当 时，24-3x?15?10不合题意，舍去；
当 时，24-3x?9＜10， 符合题意.
答：AB的长5米.课堂练习3.为了响应国家关于抚贫工作的文件精神，某单位开展了对贫困户的捐款活动。第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐 款的增长率；
(2)按照( 1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？10000x=10000（1+x）分析：10000（1+x）x=10000（1+x）2课堂练习解：(1)设捐款的增长率为x，则(2)方法一：12 100×(1＋10%)=13310(元)．
课堂练习4.某百货大楼服装柜在销售中发现：“好孩子”牌服装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件．要想平均每天销售这种服装盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？解：设每件童装应降价x元，
根据题意得（40-x）（20+2x）=1200，
∴x1=10，x2=20，
根据题意，x1=10不合题意，应取x=20．
答：每件童装应降价20元.为什么取20而不取10呢？中考链接1.(2018安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）【分析】根据题意可知2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a，由此即可得.Ａ. b=(1+22.1%×2)a
Ｂ. b=(1+22.1%)2a
Ｃ. b=(1+22.1%) ×2a
Ｄ. b=22.1%×2a解:由题意得：
2017年我省有效发明专利数为（1+22.1%）a万件，
2018年我省有效发明专利数为（1+22.1%）?（1+22.1%）a万件，
即b=（1+22.1%）2a万件，
故选B.中考链接中考链接2.(2018宁夏)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A.300（1+x）=507
B.300（1+x）2=507
C.300（1+x）+300（1+x）2=507
D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507分析:设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．中考链接解：设这两年的年利润平均增长率为x， 根据题意得：300（1+x）2=507． 故选：B．2.(2018宁夏)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A.300（1+x）=507
B.300（1+x）2=507
C.300（1+x）+300（1+x）2=507
D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507B一元二次方程的应用平均变化率问题几何图形其他类型问题增长率降低率a(1+x)2 = b其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.a(1- x)2 = b其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为增长后的量，注意1与x位置不可调换.常见几何图形面积是等量关系课堂总结通过今天的学习，你有哪些收获？和同学相互交流。板书设计1.列方程(组)解应用题的步骤：2.连续两次增长（或降低）的形式：a(1± x)2 = b作业布置1.必做题：课本45页习题17.5 2、3、4、
2.选做题：课本45页习题17.5 5、6
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沪科版数学八年级下册17.5一元二次方程的应用
课题
17.5一元二次方程的应用
单元
第17章第7节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?使学生会用列一元二次方程的方法，解决有关的实际应用题
【过程与方法】?通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题，解决问题的能力
【情感态度与价值观】通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性.
重点
根据等量关系建立一元二次方程的数学模型，并能运用它解决实际问题.
难点
根据实际问题建立一元二次方程的数学模型.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，我们学习了一元二次方程的解法，你还记得解一元二次方程有哪些方法？
师：这节课我们学习一元二次方程的应用，
认真回顾，积极回答问题，
通过复习，为学生学习新知，做好铺垫，
讲授新课
师：下面我们来看例1 ，
例1 在一块宽20m,长32m的长方形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把这块空地分成大小一样的6块,建成小花坛。如图，要使花坛的总面积为570平方米（图中长度的单位：m）,问:小路的宽应是多少?
师：对于图形面积的问题，我们要学会转化，把不规则的图形，化为规则的，容易计算的图形，图形面积的转化：
师：接下来我们来看例2，
例2 原来每盒27元的一种药品，经两次降价后每盒售价为9元。求该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到1﹪）
师：通过例2、3，我们发现，对于像这样连续两次增长（或降低）的形式：
如果设平均每次增长的百分数为x，原产值（基数）a 经过两次增长到 b ， 可列出关系式为：
a（1+ x） 2 = b
2.如果设平均每次降低的百分数为x，原产值（基数）a 经过两次降低到 b ， 可列出关系式为：
a（1- x） 2 = b
例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为3000千克，出油率为50%，（即每100千克花生可加工出花生油50千克），现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油，1980千克，已知花生出油率的增长率是产量增长率的1/2，求新品种花生产量的增长率.
师：接下来我们来看例4，
例4 正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20厘米，容积为2880立方厘米的开口方盒，问原金属片的边长是多少？
师：回顾一下，列方程(组)解应用题的步骤：
设②审③找④列⑤解⑥验⑦答
而列一元二次方程解应用题的步骤，与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答，这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.
通过以上题例，对于实际问题，我们通常要建立起数学模型，然后利用数学模型来解决这些实际问题，这是我们解决实际问题的一般思路，
例5 一组学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有两人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，问原来这组学生的人数是多少？
积极思考，认真完成例题，
通过例题，培养学生，独立思考能力，解决问题的能力，
课堂练习
1.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
2 有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长a=10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果围成面积为45 平方米的花圃，AB的长是多少？
3.为了响应国家关于抚贫工作的文件精神，某单位开展了对贫困户的捐款活动。第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；
(2)按照( 1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
4.某百货大楼服装柜在销售中发现：“好孩子”牌服装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价 4 元，那么平均每天就可多售出 8 件．要想平均每天销售这种服装盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？
组内合作，积极发言，踊跃展示，
巩固所学知识，强化能力，
中考链接
1.(2018安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年的平均增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（ ）
Ａ. b=(1+22.1%×2)a
Ｂ. b=(1+22.1%)2a
Ｃ. b=(1+22.1%) ×2a
Ｄ. b=22.1%×2a
2.(2018宁夏)某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是( )
A.300（1+x）=507
B.300（1+x）2=507
C.300（1+x）+300（1+x）2=507
D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507
认真完成，积极展示，
进一步巩固新知，培养能力，
课堂小结
师：通过今天的学习，你有哪些收获？和同学相互交流。
认真思考，回顾总结，
梳理知识，使知识内化，
板书
1.列方程(组)解应用题的步骤：
2.连续两次增长（或降低）的形式：
a(1± x)2 = b
认真笔记，
给学生留下，思考的线索，
