2018_2019学年高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课件新人教A版必修1

课件25张PPT。3.1.2　用二分法求方程的近似解目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入　在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在600～1 000元之间的一款手机,选手开始报价:
选手:800.
主持人:低了.
选手:900.
主持人:高了.
选手:850.
主持人:高了.
选手:825.
主持人:祝贺你,答对了.想一想 导入中的实例给出价格的一个范围,是如何逐步逼近其真实价格的?
(它是利用了二分法的思想,通过对中点值的判断,每次把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近真实价格,从而在较短的时间内猜中真实价格)知识探究1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上 且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.连续不断f(a)·f(b)<0 一分为二零点 2.二分法的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间[a,b],验证 ,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈ );
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε:即若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).f(a)·f(b)<0 (a,c) (c,b) |a-b|<ε 【拓展延伸】
用二分法求方程的近似解要注意的问题
利用二分法还可以求两条曲线的交点坐标.求曲线y=f(x)和y=g(x)交点的横坐标,实际上是求函数y=f(x)-g(x)的零点,即求方程f(x)-g(x)=0的实根.
用二分法求方程的近似解要注意的问题:①要看清题目要求的精确度,它决定着二分的次数.②初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数却相差较大.③在二分法的第四步,由|a-b|<ε便可判断零点近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.④用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并不是所有函数都可以用二分法求零点近似值,必须满足在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.自我检测1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　 　)
(A)[-2,-1] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[1,2]
2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3-2x-1的零点时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为(　 　)
(A)(1,2) (B)(1.75,2)
(C)(1.5,2) (D)(1,1.5)ACB 4.(二分法的概念)观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
　　　.?答案:①3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是(　 　)
(A)ε越大,零点的精确度越高
(B)ε越大,零点的精确度越低
(C)重复计算次数就是ε
(D)重复计算次数与ε无关题型一二分法的概念课堂探究·素养提升【例1】 (2018·恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)解析:能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,图象要穿过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,即条件f(a)?f(b)<0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用.即时训练1-1:下面关于二分法的叙述,正确的是　　　　　.(填序号)?
①用二分法可求所有函数零点的近似值;
②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位;
③二分法无规律可循;
④只有在求函数零点时才用二分法.解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似值,故①错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故③错;求方程的近似解也可以用二分法,故④错.答案:②题型二 二分法的步骤【例2】 用二分法求方程f(x)=0在[0,4]上的近似解时,至少经过　　　　次计算精确度可以达到0.001.?答案:12即时训练2-1:用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
(A)(0,0.5),f(0.125) (B)(0.5,1),f(0.875)
(C)(0.5,1),f(0.75) (D)(0,0.5),f(0.25)解析:因为f(x)=x5+8x3-1,f(0)<0,f(0.5)>0,
所以f(0)f(0.5)<0,
所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应为f(0.25),故选D.【备用例1】 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是　　　　　　　.?题型三 用二分法求方程的近似解【例3】 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精确度0.1)解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,
用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下:观察表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式,使计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0,并且在区间(1,2)内,
设f(x)=lg x+x-2,用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);
f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5).
因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
所以方程的近似解可取为1.812 5.解:方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=2x与y=4-x的图象,如图所示,由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解.
设f(x)=2x+x-4,利用计算器计算得,
f(1)<0,f(2)>0?x1∈(1,2),f(1)<0,f(1.5)>0?x1∈(1,1.5),f(1.25)<0,f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5),f(1.375)<0,f(1.5)>0?x1∈(1.375,1.5),
f(1.437 5)>0,f(1.375)<0?x1∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.437 5.【备用例2】 利用计算器,求方程2x+x=4的近似解(精确度0.1).题型四 易错辨析——忽视系数致误【例4】 已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1,若f(x)的图象与x轴只有一个交点,求m的值.纠错:忽略了二次项系数为零,默认函数是二次函数.即时训练4-1:已知方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一解,则实数m的取值范围是　　　　.?解:设f(x)=mx2-x-1,因为方程mx2-x-1=0在(0,1)内恰有一解.所以当m=0时,方程-x-1=0在(0,1)内无解,当m≠0时,由f(0)·f(1)<0,即-(m-1-1)<
0,解得m>2.答案:(2,+∞)谢谢观赏！