2018-2019学年度高中数学人教A版必修二课时作业：2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系+Word版含解析

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间中直线之间的位置关系
1,3,5
平行公理与等角定理
4,8,13
异面直线所成的角
2,6,7,9,10,11,12
基础巩固
1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条(　C　)
(A)相交 (B)异面
(C)相交或异面 (D)平行
解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.
2.在三棱锥P-ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB, AC的中点,则∠FEG等于(　D　)
(A)20° (B)70°
(C)110° (D)70°或110°
解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,
所以EF∥AB,EG∥PC,
所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,
又AB与PC所成的角为70°,
所以∠FEG为70°或110°.
3.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(　C　)
(A)与a,b都相交
(B)只能与a,b中的一条相交
(C)至少与a,b中的一条相交
(D)与a,b都平行
解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.
4.(2018·宁夏育才中学高二上期末)空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是(　B　)
(A)空间四边形
(B)矩形
(C)菱形
(D)正方形
解析:如图,E,F,G,H为空间四边形ABCD各边中点,
则EFAC,HGAC.
所以四边形EFGH为平行四边形.
又FG∥BD,AC⊥BD,
所以EF⊥FG,
所以四边形EFGH为矩形,故选B.
5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　C　)
(A)CC1与B1E是异面直线
(B)C1C与AE共面
(C)AE,B1C1是异面直线
(D)AE与B1C1所成的角为60°
解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.
6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为　　　　.?
解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.
答案:45°
7.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)直线AB1和CC1所成的角为　　　　;?
(2)直线AB1和EF所成的角为　　　　.?
解析:(1)因为BB1∥CC1,
所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,
所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,
所以∠AB1C=60°.
答案:(1)45°　(2)60°
8.(2018·吉林四平月考)如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.
证明:(1)在△ABD中,因为E,H分别为AB,AD的中点,
所以EH∥BD且EH=BD.
同理在△BCD中,FG∥BD且FG=BD.
所以EH∥FG且EH=FG,
所以四边形EFGH为平行四边形.
(2)同(1)可得,EF=HG=AC,而BD=AC,
所以EH=HG=GF=FE,
所以四边形EFGH是菱形.
能力提升
9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为(　B　)
(A)90° (B)60° (C)45° (D)0°
解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,
所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,
所以HG与IJ所成的角为60°.
10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为　　　　.?
解析:还原成正方体如图所示,
可知①正确.
②AB∥CM,不正确.
③正确.④MN⊥CD.不正确.
答案:①③
11.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,
M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为　　　　.?
解析:取BC的中点E,连接EN,EM,
因为M为AB的中点,所以ME∥AC,且ME=AC=,同理得,EN∥BD,且EN=,
所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在△MEN中,EM=EN,
若∠MEN=60°,
则△MEN为等边三角形,所以MN=.
若∠MEN=120°,可得MN=a.
答案:或a
12.如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
解:(1)如图,因为CG∥BF,
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,
所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH为等边三角形,
又依题意知O为AH的中点,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.
探究创新
13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.
(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;
(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;
(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.
解:(1)因为==λ,
所以EH∥BD,且EH=BD. ①
又因为==μ.
所以FG∥BD,且FG=BD. ②
又λ=μ,所以EH??FG(公理4).
因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.
(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,
因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.
(3)因为λ=μ,
所以四边形EFGH为平行四边形.
又因为EG⊥HF,
所以四边形EFGH为菱形.
所以FG=HG.
所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,
又BD=FG=3FG,
所以=.