人教A版选修4-5《第1章 不等式和绝对值不等式 》2019年单元测试卷
一．选择题（共20小题）
1．已知抛物线y＝ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1＝0（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（ ）
A．4 B．12 C．24 D．36
2．设a＞，b＞0，若a+b＝2，则的最小值为（ ）
A．3+2 B．6 C．9 D．3
3．《几何原本》中的几何代数法成了后世西方数学家处理问题的重要依据，很多的代数式公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，外国学者称之为Proofwithoutwords．如图是希腊的帕普斯研究过的图形，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），设AC＝a，BC＝b，CD⊥AB，CE⊥OD，则该图形可以完成的Proofwithoutwords为（ ）
A．≤（a＞0，b＞0）
B．＜（a＞0，b＞0）
C．≤（a＞0，b＞0）
D．＜＜（a＞0，b＞0）
4．对于实数x，y，若|x﹣1|≤2，|y﹣1|≤2，则|x﹣2y+1|的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．不等式|5x﹣x2|＜6的解集为（ ）
A．（﹣1，2） B．（3，6）
C．（﹣1，2）∪（3，6] D．（﹣1，2）∪（3，6）
6．若a，b，c＞0，且a（a+b+c）+bc＝16，则2a+b+c的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知，则函数y＝x（1﹣2x）的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知x＞0，y＞0，x+2y＝1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2
9．若x，y∈R+，，则xy的最小值为（ ）
A．1 B．9 C．2 D．4
10．已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac＝1，则abc的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
11．某校高三（1）班共有45人，现采用问卷调查统计有手机与平板电脑的人数．从统计资料显示，此班有35人有手机，有24人有平板电脑．设a为同时拥有手机与平板电脑的人数；b为有手机但没有平板电脑的人数；c为没有手机但有平板电脑的人数；d为没有手机也没有平板电脑的人数．给出下列5个不等式：
①a＞b
②a＞c
③b＞c
④b＞d
⑤c＞d
其中恒成立的不等式为（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①③⑤
12．设向量＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
13．已知点M（a，b）在直线4x﹣3y+c＝0上，若（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值为4，则实数c的值为（ ）
A．﹣21或19 B．﹣11或9 C．﹣21或9 D．﹣11或19
14．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
A．1m B．1.5m C．0.75m D．0.5m
15．已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：
①；②；③．
则其中正确的结论个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
16．若关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣3，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣3）
17．若关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＞4的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，6） B．（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞） D．（﹣6，2）
18．锐角三角形ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2＝21，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（6，7]
19．已知数列{an}满足3an+1+an＝4（n∈N*）且a1＝9，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整数n是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
20．设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③+＞2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共20小题）
21．给出不等式≥（x∈R），若此不等式对任意的实数x都成立，则实数c的取值范围是 ．
22．已知直线ax﹣by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0的周长，则的最小值为 ．
23．设x＜0，y＜0，且x+2y+1＝0，则+的最大值为
24．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|，若f（x）≤a|x+3|，则a的最小值 ．
25．在平面上，一个区域内两点间距离最大值称为区域的直径，则方程（x2+y2﹣2）2＝（x|x|+y|y|）2围成封闭区域的直径是 ．
26．给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则＞；②若a＞b＞0，则a﹣＞b﹣；③若a＞b＞0，则＞；④a＞0，b＞0且2a+b＝1，则+的最小值为9．
其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．
27．对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；⑤若a＞b，，则a＞0，b＞0其中真命题为（填写序号） ．
28．不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞1的解集为 ．
29．已知正实数x，y，z满足x+y+z＝1，++＝10，则xyz的最大值为 ．
30．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为 m．
31．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为 ．
32．已知函数f（x）＝|x﹣a|+m|x+a|（0＜m＜1，m，a∈R），若对于任意的实数x不等式f（x）≥2恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，则所有满足条件的m的组成的集合是 ．
33．已知函数f（x）＝ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是 ．
34．已知实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，则的最小值是 ．
35．函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为 ．
36．已知直线ax+by﹣2ab＝0（a＞0，b＞0）过点（1，4），则a+b最小值为 ．
37．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b＝，则的最小值是 ．
38．若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为 ．
39．已知f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若|f（x）﹣2f（）|≤k恒成立，求k的取值范围．
40．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．
三．解答题（共10小题）
41．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
42．设函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．
43．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．
44．已知a＞1，求证：+＜2．
45．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈（0，+∞），且++＝m，证明：a+2b+3c≥9．
46．系统找不到该试题
47．（1）函数f（x）＝|x﹣3|，若存在实数x，使得2f（x+4）≤m+f（x﹣1）成立，求实数m的取值范围；
（2）设x，y，z∈R，若x+2y﹣2z＝4，求x2+4y2+z2的最小值．
48．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；
（2）若函数g（x）＝f（x）+|x+3|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m，求证：．
49．系统找不到该试题
50．已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等
（1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点p（a，b）在直线l上，求3a+3b的最小值．
人教A版选修4-5《第1章 不等式和绝对值不等式 》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．【解答】解：抛物线y＝ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，
∴A（﹣1，﹣3），
∴，
又＝＝＝12，当且仅当m＝n时等号成立．
故选：B．
2．【解答】解：∵a＞，b＞0，a+b＝2，∴2a﹣1+2b＝3，
则＝＝＝3，当且仅当b＝2a﹣1＝1时取等号．
故选：D．
3．【解答】解：∵AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径DO＝，
又DC＝＝，DE＝＝，
∵DE＜DC＜DO，
∴＜＜，（a＞0，b＞0），
故选：D．
4．【解答】解：实数x，y，若|x﹣1|≤2，|y﹣1|≤2，则x∈[﹣1，3]，y∈[﹣1，3]，
则|x﹣2y+1|＝|x﹣1﹣2（y﹣1）|≤|x﹣1|+2|y﹣1|≤2+2×2＝6．
当且仅当x＝﹣1或3，y＝﹣1或3时，取等号．
故选：D．
5．【解答】解：由不等式|5x﹣x2|＜6得：﹣6＜5x﹣x2＜6，
即可得不等式组，
即有，
解得：3＜x＜6，或﹣1＜x＜2．
故选：D．
6．【解答】解：因为a（a+b+c）+bc＝16，
所以16×4＝（a2+ab+ac+bc）×4＝4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc＝（2a+b+c）2，
所以2a+b+c≥8，
所以2a+b+c的最小值为8．
故选：D．
7．【解答】解：∵0＜x＜，
∴x（1﹣2x）＝?2x（1﹣2x）≤?[]2＝，
当且仅当2x＝1﹣2x时，即x＝时等号成立，
因此，函数y＝x（1﹣2x）的最大值为f（）＝，
故选：C．
8．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，∴＝（x+2y）（）＝++4＝8．（当
∵不等式＞m2+2m成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2
故选：D．
9．【解答】解：可令x+1＝u，y+1＝v，（u＞1，v＞1），
可得x＝u﹣1，y＝v﹣1，
即有+＝，
即uv＝2（u+v），
则xy＝（u﹣1）（v﹣1）＝uv+1﹣u﹣v
＝2（u+v）+1﹣u﹣v＝u+v+1
＝2（u+v）（+）+1
≥2?2?2+1＝8+1＝9，
当且仅当u＝v＝4，即x＝y＝3时，取得最小值9．
故选：B．
10．【解答】解：∵a，b，c是正实数，且ab+bc+ac＝1，∴＝≥，
∴（abc）2≤，∴abc≤，即 abc的最大值为 ，
故选：A．
11．【解答】解：由题意可得：35+24﹣a+d＝45，
∴a﹣d＝14，b＝35﹣a＝21﹣d，c＝24﹣a＝10﹣d，
可得：a＞d，b＞c，14≤a≤24，c+d＝10．
对d分类讨论：
（1）d＝0时，解得a＝14，b＝35﹣14＝21，c＝24﹣14＝10，此时②③④⑤恒成立．
（2）d＝1时，解得a＝15，b＝20，c＝9，此时②③④⑤恒成立．
（3）同理可得：d＝2，3，4，5，6，7，8，9，10时，此时②③④恒成立．
其中恒成立的不等式为②③④．
故选：B．
12．【解答】解：＝（a﹣1，1），＝（﹣b﹣1，2），
∵A，B，C 三点共线，∴2（a﹣1）﹣（﹣b﹣1）＝0，化为：2a+b＝1．
又a＞0，b＞0，则+＝（2a+b）＝4++≥4+2＝8，当且仅当b＝2a＝时取等号．
故选：C．
13．【解答】解：∵点M（a，b）在直线4x﹣3y+c＝0上，
∴点（1，1）到此直线的最小距离d＝＝2，
解得c＝9或﹣11．
故选：B．
14．【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是＝米，（0＜x＜）
则该长方体的体积V（x）＝x?2x?（），
由V′（x）＝0，得到x＝1，
且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜时，V′（x）＜0，
即体积函数V（x）在x＝1处取得极大值V（1）＝3，也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值时，x＝1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．
故选：A．
15．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，
故y＝为减函数，y＝xa在（0，+∞）上为增函数，
故，即①正确；
y＝bx为减函数，y＝在（0，+∞）上为增函数，
，即②错误；
y＝logax与在（0，+∞）上均为减函数，
故，
．即③正确；
故选：B．
16．【解答】解：|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当a＞3时，关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，故实数a的取值范围为（﹣∞，3），
故选：C．
17．【解答】解：由|x﹣m|+|x+2|≥|x﹣m﹣x﹣2|＝|m+2|，它的最小值等于|2+m|，
由题意可得|2+m|＞4，解得m＞2，或 m＜﹣6，
故选：B．
18．【解答】解：设a≤b≤c，a，b，c组成的等差数列公差为d（d≥0），
则a＝b﹣d，c＝b+d，
∵a2+b2+c2＝21，∴（b﹣d）2+b2+（b+d）2＝21，
即3b2+2d2＝21，
∴当d2＝0时，b取得最大值；
由a+b＞c得b﹣d+b＞b+d，即d＜，
∴3b2+2×＞21，解得b＞；
由三角形ABC为锐角三角形可知cosC＝＞0，
即a2+b2﹣c2＞0，
∴（b﹣d）2+b2﹣（b+d）2＞0，解得d＜，
∴3b2+2×＞21，解得b＞，
综上，＜b≤．
故选：C．
19．【解答】解：对3an+1+an＝4 变形得：3（an+1﹣1）＝﹣（an﹣1）
即：
故可以分析得到数列bn＝an﹣1为首项为8公比为的等比数列．
所以bn＝an﹣1＝8×
an＝8×+1＝bn+1
所以＝＝
|Sn﹣n﹣6|＝＜
解得最小的正整数n＝7
故选：C．
20．【解答】解：①由blna﹣alnb＝a﹣b，得blna+b＝alnb+a，即＝，
设f（x）＝，x＞0，
则f′（x）＝﹣＝，
由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，
即当x＝1时，函数f（x）取得极大值，
则＝，等价为f（a）＝f（b），
则a，b一个大于1，一个小于1，
不妨设0＜a＜1，b＞1．
则a+b﹣ab＞1等价为（a﹣1）（1﹣b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，则a+b﹣ab＞1成立，故①正确，
②由即＝，
得＝，
由对数平均不等式得＝＞，
即lna+lnb＞0，即lnab＞0，
则ab＞1，
由均值不等式得a+b＞2，故②正确，
③令g（x）＝﹣xlnx+x，则g′（x）＝﹣lnx，
则由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，
由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，
再令h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，
则h′（x）＝g′（x）+g′（2﹣x）＝﹣lnx﹣lm（2﹣x）＝﹣ln[x（2﹣x）]＞0，
则h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上为增函数，
则h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）＝0，
则g（x）＜g（2﹣x），
即g（）＜g（2﹣），
∵g（）＝﹣ln＝+lna＝＝，
∴g（）＝g（）
则g（）＝g（）＜g（2﹣），
∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，
∴＞2﹣，
即+＞2．
故③正确，
故选：D．
二．填空题（共20小题）
21．【解答】解：由不等式≥（x∈R），可得：+≥+，
化为：≥0，
由于≥0．即有1﹣≥0，可得?≥1?x2≥﹣c，
若恒成立则必有﹣c≤0，解得c≥1．
故答案为：c≥1．
22．【解答】解：直线ax﹣by＝1（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x+4y+7＝0的周长，
且圆心坐标是（2，﹣2），
故2a+2b＝1，
所以，＝（）（2a+2b）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当b＝2a＝时等号成立，
则的最小值为：9．
故答案为：9．
23．【解答】解：x＜0，y＜0，且x+2y+1＝0，
则+＝1（）（x+2y）＝﹣（3+）≤﹣（3+2）＝﹣3﹣2，
当且仅当x＝，并且x+2y+1＝0等号成立．
故答案为：
24．【解答】解：若f（x）≤a|x+3|，则|x+1|﹣a|x﹣1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x﹣1|+|x+3|），
即a≥，
由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|，
∴≤＝，当且仅当x≥1或x≤﹣3时取等号，
即a≥，则a的取值范围是a≥
即a的最小值为，
故答案为：
25．【解答】解：当x＞0，y＞0时，方程（x2+y2﹣2）2＝（x|x|+y|y|）2，
即为（x2+y2﹣2）2＝（x2+y2）2，
化为x2+y2＝1；
同理可得x＜0，y＜0时，可得x2+y2＝1；
当x＞0，y＜0时，方程（x2+y2﹣2）2＝（x|x|+y|y|）2，
即为（x2+y2﹣2）2＝（x2﹣y2）2，
化为x＝1或y＝﹣1；
同理可得当x＜0，y＞0时，可得x＝﹣1或y＝1．
作出方程表示的封闭区域，如图，
可得A（﹣1，1）和B（1，﹣1）两点的距离最大，
且为|AB|＝＝2．
故答案为：2．
26．【解答】解：对于①，若a＞b＞0，则ab＞0，
∴＞0，∴＞＞0，①错误；
对于②，由①知，若a＞b＞0，则＞，
∴﹣＜﹣，即﹣＞﹣，
∴a﹣＞b﹣，②正确；
对于③，若a＞b＞0，则
﹣＝
＝
＝＜0，
∴＜，③错误；
对于④，a＞0，b＞0且2a+b＝1，则
+＝（+）（2a+b）
＝4+1++≥5+2＝9，
当且仅当a＝b＝时取等号，∴④正确．
故答案为：②④．
27．【解答】解：对于①，若a＞b，则ac与bc大小关系不定，故①是假命题；
对于②，若ac2＞bc2，则a＞b，故②是真命题；
对于③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2，故③是真命题；
对于④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，??则，故④是真命题；
对于⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0，故⑤是假命题；
故答案为：②③④
28．【解答】解：①当x＞2时，不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞1可化为x+1﹣x+2＞1，恒成立；
②当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为x+1+x﹣2＞1，解得x＞1，∴1＜x≤2；
③当x＜﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1+x﹣2＞1，无解．
综上可知：原不等式的解集为（1，+∞）．
故答案为（1，+∞）．
29．【解答】解：∵x+y+z＝1，∴z＝1﹣（x+y），
∴，
即＝10，
设xy＝a，x+y＝b，则0＜a＜1，0＜b＜1，
∴，化简得a＝．
∴xyz＝xy[1﹣（x+y）]＝a（1﹣b）＝（1﹣b）?＝．
令f（b）＝，则f′（b）＝，
令f′（b）＝0得﹣20b3+47b2﹣36b+9＝0，即（4b﹣3）（5b﹣3）（1﹣b）＝0，
解得b＝或b＝或b＝1（舍），
∴当0＜b＜或时，f′（b）＞0，
当时，f′（b）＜0，
∴f（b）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，
∴当b＝时，f（b）取得极大值f（）＝．
又f（1）＝0，
∴f（b）的最大值为．
故答案为．
30．【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy＝8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L＝x+2y≥2＝8，当且仅当x＝2y＝4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．
故答案为：8．
31．【解答】解：令g（x）＝f（x2+2）﹣f（x）＝x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，
x≥4时，g（x）＝2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；
≤x＜4时，g（x）＝2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，
故＜x＜4；
0≤x＜时，g（x）＝0＞0，不合题意；
﹣≤x＜0时，g（x）＝2x＞0，不合题意；
x＜﹣时，g（x）＝2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
故x＜﹣2，
故答案为：．
32．【解答】解：f（x）＝|x﹣a|+m|x+a|＝m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤﹣或a≥，
∵数a的取值范围是{a|a≤﹣5或a≥5}，
故＝5，解得：m＝，
∴实数m的集合是{}．
故答案为{}．
33．【解答】解：∵f（x）＝ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，
∴0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，
作出可行域如图
设z＝2a﹣b，得b＝2a﹣z，则平移直线b＝2a﹣z，
则由图象可知当直线经过点B时，直线b＝2a﹣z得截距最小，
由可得a＝，b＝
此时z最大为z＝2×﹣＝，
当直线经过点A时，直线b＝2a﹣z得截距最大，
由可得a＝﹣，b＝，
此时z最小为z＝2×（﹣）﹣＝﹣，
∴2a﹣b的取值范围是，
故答案为：，
34．【解答】解：实数a＞0，b＞0，是8a与2b的等比中项，∴8a?2b＝2，∴23a+b＝2，解得3a+b＝1．
则＝（3a+b）＝5+≥5+2＝5+2，当且仅当b＝a＝﹣2时取等号．
故答案为：．
35．【解答】解：函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴＝（3m+n）（）＝5++≥5+2＝5+2，当且仅当n＝m时取等号，
故最小值为5+2，
故答案为：
36．【解答】解：因为直线ax+by﹣2ab＝0（a＞0，b＞0）过点（1，4），
所以a＞0，b＞0），
所以a+b＝（）（a+b）＝2++≥+2＝，
当且仅当a＝2b＝3时取等号，
所以a+b最小值是．
故答案为：．
37．【解答】解：由﹣2a﹣b＝，
得＝2a+b，
由A，B，C共线，
得：2a+b＝1且a＞0，b＞0，
故
＝﹣1+﹣1
＝+﹣2
≥2﹣2，
当且仅当a+2b＝（a+b）时“＝”成立，
故答案为：．
38．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，
∴c≤＝，
令，
∴＝f（t），
f′（t）＝＝，
当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．
∴当t＝2+时，f（t）取得最小值，＝2﹣4．
∴实数c的最大值为2﹣4．
故答案为：﹣4．
39．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3，得﹣4≤ax≤2，
又f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，，
得a＝2．
（Ⅱ）记h（x）＝f（x）﹣2f（），
则h（x）＝，
∴|h（x）|≤1
因此k≥1．
40．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，
当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；
当﹣3≤x≤1时，f（x）+f（x+4）＝4≥8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
∴不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．
（Ⅱ）证明：∵f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，
又|a|＜1，|b|＜1，
∴|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
∴|ab﹣1|＞|a﹣b|．
故所证不等式成立．
三．解答题（共10小题）
41．【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，
它的面积y＝x（l﹣3x）；
由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）；
（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（1﹣3x）≤×（）2＝，
当x＝时，这块长方形场地的面积最大，
这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．
42．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，
当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．
当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，
∴＜x＜2．
当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．
（2）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣3，
若?x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，
只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．
43．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，
∴xy＝2x+8y≥2，
∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x＝4y＝16时取等号．
故xy的最小值为64．
（2）由2x+8y＝xy，得：+＝1，
又x＞0，y＞0，
∴x+y＝（x+y）?（+）＝10++≥10+2＝18．当且仅当x＝2y＝12时取等号．
故x+y的最小值为18．
44．【解答】解：要证+＜2，
只要证a+1+a﹣1+2＜4a，
只要证＜a，
只要证a2﹣1＜a2，
只要证明﹣1＜0，显然成立，
故求证：+＜2．
45．【解答】解：（1）函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即有[﹣m，m}＝{﹣1，1]，
可得m＝1；
（2）证明：a，b，c∈（0，+∞），且++＝1，
则a+2b+3c＝（a+2b+3c）（++）
＝3+（+）+（+）+（+）
≥3+2+2+2
＝3+2+2+2＝9，
当且仅当a＝2b＝3c＝3，取得等号．
46．
47．【解答】解：（1）令g（x）＝2f（x+4）﹣f（x﹣1），则g（x）＝2|x+1|﹣|x﹣4|，
即
作出的图象，如图所示，易知其最小值为﹣5 …（5分）
所以m≥g（x）min＝﹣5，实数的取值范围是[﹣5，+∞）．
（2）由柯西不等式：[12+12+（﹣2）2]?[x2+（2y）2+z2]≥（x+2y﹣2z）2
即6（x2+4y2+z2）≥（x+2y﹣2z）2＝16，故
当且仅当时，即时等号成立，
所以x2+4y2+z2的最小值为．…（10分）
48．【解答】解：（1）当x≥1时，得，∴．
当0＜x＜1时，得1﹣x≥3﹣2x?x≥2．∴无解
当x≤0时，得
所以，不等式的解集为或；
证明（2）∵g（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4，
∴m＝4，即a+b＝4，
又由均值不等式有：，
两式相加得，
∴．
49．
50．【解答】解：（1）①当直线过原点时，直线的方程为y＝2x，
②当直线不过原点时，设直线的方程为+＝1，
代入点P（1，2），解得：a＝3，
则直线的方程为x+y﹣3＝0，
综上，直线的方程为y＝2x，或x+y﹣3＝0；
（2）由题意得l：x+y﹣3＝0，∴a+b＝3，
∴3a+3b≥2＝2＝6，
∴3a+3b的最小值为6，
当a＝b＝时，等号成立．
人教A版选修4-5《第2章 证明不等式的基本方法 》2019年单元测试卷
一．填空题（共50小题）
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60度”时，应假设“三角形的 ”（用文字作答）．
2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为 ．
3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是 ．
4．用反证法证明命题“若a，b，c均为实数，且，，，则a，b，c中至少有一个大于0”时，反设是 ．
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是 ．
6．用反比例法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，要做的假设是 ．
7．用反证法证明命题“设a，b是实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的反设是 （填序号）
（1）方程x3+ax+b＝0恰好有两个实根 （2）方程x3+ax+b＝0至多有一个实根
（3）方程x3+ax+b＝0至多有两个实根 （4）方程x3+ax+b＝0没有实根．
8．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，“假设命题结论不成立”的正确叙述是 （填序号）
（1）假设三个内角都不大于60°
（2）假设三个内角至多有两个大于60°
（3）假设三个内角至多有一个大于60°
（4）假设三个内角都大于60°．
9．用反证法证明命题：“在一个三角形的三个内角中，至少有二个锐角”时，假设部分的内容应为 ．
10．设a＝1og34，b＝1og43，c＝1og32，则a，b，c的大小关系为 ．
11．用反证法证明命题：“设实数a，b，c满足a+b+c＝3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设 ．
12．用反证法证明命题：“若xf（x）＝x2+px+q，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于”时，反设正确的是 ．
13．证明不等式﹣＜﹣（a≥2）所用的最合适的方法是 ．
14．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ；
①a，b都能被5整除
②a，b都不能被5整除
③a，b不都能被5整除
④a不能被5整除．
15．已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0且abc＞0，求证：a、b、c都大于零．用反证法证明时，应先假设 ．
16．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝（a1﹣1）（a2﹣2）…（a7﹣7）为偶数．证明：假设p为奇数，则a1﹣1，a2﹣2，…，a7﹣7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝ ＝ ＝0．但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
17．用反证法证明命题“若a2+b2＝0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为 ．
18．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是 ．
19．用反证法证明命题：若整系数方程ax2+bx+c＝0（a≠0）存在有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，则应假设a，b，c ．
20．下列对分析法表述正确的是 ；（填上你认为正确的全部序号）
①由因导果的推法；
②执果索因的推法；
③因果分别互推的两头凑法；
④逆命题的证明方法．
21．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|．
22．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．求证：
（1）ab+bc+ac≤；
（2）．
23．设c＞b＞a，证明：a2b+b2c+c2a＜ab2+bc2+ca2．
24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3＝1，求证：．
25．已知a，b，x1，x2为正实数，且满足a+b＝1．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）求证：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．
26．用反证法证明：命题“若x2+y2＝0，则x＝y＝0”为真时，假设的内容应为 ．
27．命题“a，b是实数，若|a﹣1|+|b﹣1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时，应先假设 ．
28．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为 ．
29．用分析法证明不等式+＜2（n＞0）时，最后推得的显然成立的最简不等式是 ．
30．已知x、y、z均为正数．求证：++≥++．
31．已知：a，b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
32．将“函数f（x）＝4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）＞0”反设，所得命题为 ．
33．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：b2＜3a2+ac”索的因应是 ．
34．已知x＞y＞0，则与中较大者是 ．
35．设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为 ．
36．设w＝，则w的整数部分为 ．
37．用反证法证明命题：“设实数a、b、c满足a+b+c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于”时，第一步应写：假设 ．
38．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数a，b，c中 ”．
39．如果用反证法证明“数列{an}的各项均小于2”，有下列四种不同的假设：
①数列{an}的各项均大于2； ②数列{an}的各项均大于或等于2；
③数列{an}中存在一项ak，ak≥2； ④数列{an}中存在一项ak，ak＞2．
其中正确的序号为 ．（填写出所有假设正确的序号）
40．用反证法证明“不可能成等差数列”时，第一步应假设： ．
41．用反证法证明命题“a，b，c，d∈R，a+b＝1，c+d＝1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为 ．
42．要证明“+＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）．①反证法，②分析法，③综合法．
43．已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．
44．在用反证法证明“圆内不是直径的两弦，不能互相平分”，假设 ．
45．已知a＞b，二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立，又?x0∈R，使+4x0+b＝0成立，则的最小值为 ．
46．若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，下列框图表示的证明方法是 ．
47．用反证法证明命题：“如果b，c是奇数，那么方程x2+bx+c＝0没有整数根时”，应该提出的假设是 ．
48．用反证法证明命题“若x2﹣1＝0，则x＝﹣1或x＝1”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ”．
49．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 ．
50．已知a＞b＞0，c＜d＜0，则与的大小关系为 ．
人教A版选修4-5《第2章 证明不等式的基本方法 》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共50小题）
1．【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：
三角形的三个内角都大于60°，
故答案为：三角形的三个内角都大于60°
2．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，
故填：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
3．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故答案为：a，b都不能被5整除．
4．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b，c都不大于0”，
故答案为：a，b，c都不大于0．
5．【解答】解：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°的反面是：一个三角形中，三个内角都小于60°．则应先假设在一个三角形中，三个内角都小于60°．
故答案是：一个三角形中，三个内角都小于60°．
6．【解答】解：反证法证明命题“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，
假设至多有1个锐角．
故答案为：至多有1个锐角．
7．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b＝0没有实根．
故答案为：（4）．
8．【解答】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：
三角形的三个内角都大于60°，
故答案为：（4）．
9．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“在一个三角形的三个内角中，至少有2个锐角”的否定：在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角．
故答案为：在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角．
10．【解答】解：a＝1og34＞1，0＜b＝1og43＜1，0＜c＝1og32＜1，
∵lg9＞lg8，∴2lg3＞3lg2，即lg3＞lg2＞lg2，
可得（lg3）2＞2（lg2）2，即lg3lg3＞lg4lg2，
可得，∴1og43＞1og32，
综上：a＞b＞c．
故答案为：a＞b＞c．
11．【解答】解：由于命题：“设实数a，b，c满足a+b+c＝3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”的否定为：“a，b，c都小于2．
故答案为：a，b，c都小于2．
12．【解答】解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的结论的反面成立，而“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至少有一个不小于”的否定为：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于，
故答案为：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于．
13．【解答】解：欲比较证明不等式﹣＜﹣（a≥2），只须证明不等式+＜+（a≥2），先分别求出左右两式的平方，再比较出两平方式的大小．从结果来找原因，或从原因推导结果，证明不等式所用的最适合的方法是分析法．
故答案为：分析法．
14．【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故答案为：②．
15．【解答】解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“a、b、c都大于零”的否定为：“a、b、c不都大于零”．
故答案为：a、b、c不都大于零．
16．【解答】解：由题意，（a1﹣1）+（a2﹣2）+（a3﹣3）+…+（a7﹣7）
＝（a1+a2+…+a7）﹣（1+2+…+7）
故答案为：（a1﹣1）+（a2﹣2）+…+（a7﹣7）；（a1+a2+…+a7）﹣（1+2+…+7）
17．【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，
所以用反证法证明命题“若a2+b2＝0，则a，b全为0 （a，b为实数）”，其反设为a，b不全为0，
故答案为：a，b不全为0．
18．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，
故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，
故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角．
19．【解答】解：∵用反证法证明：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，
∴假设a、b、c都不是偶数．
故答案为：都不是偶数．
20．【解答】解：根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．
故答案为：②．
21．【解答】解：如图：设B（a，0），C（0，b），由中点坐标公式可得M（），
则|AM|＝＝．
|BC|＝＝．
∴|AM|＝|BC|．
22．【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
得a2+b2+c2≥ab+bc+ac，由（a+b+c）2＝1，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝1，
所以3（ab+bc+ac）≤1，
所以（ab+bc+ac）≤；
（2）由，
累加可得，，
即，
所以．
23．【解答】证明：a2b+b2c+c2a﹣ab2﹣bc2﹣ca2
＝a2（b﹣c）+a（c2﹣b2）+bc（b﹣c）
＝a2（b﹣c）+（ab+ac）（b﹣c）+bc（b﹣c）
＝（b﹣c）（a2﹣ac﹣ab+bc）
＝（b﹣c）[a（a﹣c）﹣b（a﹣c）]
＝（b﹣c）（a﹣b）（a﹣c），
因为c＞b＞a，
所以b﹣c＜0，a﹣b＜0，a﹣c＜0，
所以（b﹣c）（a﹣b）（a﹣c）＜0；
即a2b+b2c+c2a＜ab2+bc2+ca2；
24．【解答】证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3＝1，
所以，
（当且仅当时等号成立）
所以．
25．【解答】解：（Ⅰ）∵a+b＝1，
∴＝＝，
∴当时，的最小值为．
（Ⅱ）证明：a，b，x1，x2均为正实数，
所以（ax1+bx2）（bx1+ax2）＝≥（a2+b2）x1x2+2abx1x2＝（a+b）2x1x2＝x1x2．
所以：（ax1+bx2）（bx1+ax2）≥x1x2．
26．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，
而要证命题的否定为“x，y不都为0”，
故答案为：x，y不都为0．
27．【解答】解：由题意，即考虑a＝b＝1的否定，由于a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1，
故答案为：a，b不都等于1．
28．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2＝OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．
故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB＝4，故CD的最大值为2，
故答案为2．
29．【解答】解：要证明+＜2（n＞0），
只要证明：n+n+4+2＜4（n+2），
只要证明：＜n+2，
只要证明：n2+4n＜n2+4n+4，
只要证明：0＜4．
故答案为：0＜4．
30．【解答】证明：因为x、y、z都是正数，所以+＝×2≥．…（3分）
同理可得+≥，+≥．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得++≥++．…（10分）
31．【解答】证明：法一：（分析法）a3+b3＞a2b+ab2 成立，
只需证（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a2﹣ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a﹣b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a﹣b≠0，
∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
32．【解答】解：函数f（x）＝4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：
函数f（x）＝4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0．
故答案为：函数f（x）＝4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0．
33．【解答】解：由a＞b＞c，且a+b+c＝0可得 b＝﹣a﹣c，a＞0，c＜0，
要证b2＜3a2+ac，
只要证3a2+ac﹣（﹣a﹣c）2＞0，
即证2a2﹣c2﹣ac＞0，
即证：（a﹣c）（a﹣b）＞0，
故：b2＜3a2+ac”索的因应是（a﹣c）（a﹣b）＞0
34．【解答】解：∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0，y+1＞0，
﹣＝＞0，
故与中较大者是，
故答案为：
35．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，
即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，
作出曲线（x﹣1）（y﹣1）＝﹣1的图象，
由题意可得|x﹣2y|即为
曲线上任一点到直线x﹣2y＝0的距离的倍的最小值．
可得与曲线相切，且与直线x﹣2y＝0平行的直线距离的倍．
设切点为（m，n），由y＝1﹣的导数为y′＝，
即有切线的斜率为＝，
解得m＝1+（负的舍去），
切点为（1+，1﹣），
则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|＝2﹣1．
故答案为：2﹣1．
36．【解答】解：∵×10＜++…+＜×11
∴＜W＜201，
∴W的整数部分为182．
故答案为：182．
37．【解答】解：由于命题：“、b、c中至少有一个数不小于”的否定为：“a、b、c都小于”．
故答案为：a、b、c都小于．
38．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数a，b，c中至多有2个偶数”的否定为：“三个数都是偶数”，
故答案为：三个数都是偶数．
39．【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{an}的各项均小于2”的否定为：“数列{an}中存在一项ak，ak≥2”，
故答案为：③．
40．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题“不可能成等差数列”的否定为：“成等差数列”．
故答案为：成等差数列．
41．【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，
由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，
故答案为：a，b，c，d全都大于等于0．
42．【解答】解：因为+＜2是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式+≥2与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找出证明的突破口，所以最合理的证明方法是分析法．
故答案为：②．
43．【解答】证明：假设与都大于或等于2，
即≥2且≥2，
∵x，y∈R+，故可化为1+x≥2y且1+y≥2x，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
44．【解答】解：欲证明“圆内不是直径的两弦，不能互相平分”，
用反证法证明，
则假设“圆内不是直径的两弦，能互相平分”．
故答案为：圆内不是直径的两弦，能互相平分．
45．【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立，
∴a＞0，且△＝16﹣4ab≤0，∴ab≥4．
再由?x0∈R，+4x0+b＝0，可得△＝0，
∴16﹣4ab＝0，
即ab＝4，
∴a＞2，
∵＝＝＝（a﹣）+
≥2＝2＝4，当且仅当a＝+时取等号
故的最小值为4，
故答案为：4．
46．【解答】解：∵P表示已知条件或已有的定义、公理或定理，Q表示所得到的结论，
∴证明方法是由因导果，是综合法的思路
故答案为：综合法
47．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，
∴用反证法证明命题“如果b，c是奇数，那么方程x2+bx+c＝0没有整数根时”，要做的假设是：方程x2+bx+c＝0有整数根．
故答案为：方程x2+bx+c＝0有整数根．
48．【解答】解：用反证法证明数学命题时，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的否定．
而命题“若x2﹣1＝0，则x＝﹣1或x＝1”的否定为：“若x2﹣1＝0，则x≠﹣1且x≠1”，
故答案为：“若x2﹣1＝0，则x≠﹣1且x≠1”．
49．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，
而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，
故答案为 三个内角都大于60°．
50．【解答】解：﹣＝＝．
因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以，a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，
又﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即 ac＜bd，则 bd﹣ac＞0，
所以（b+a）（b﹣a）﹣（bd﹣ac）＜0，
所以，﹣＝＜0，即 ＜．
故答案为 ＜．
人教A版选修4-5《第3章 柯西不等式与排序不等式 》2019年单元测试卷
一．选择题（共19小题）
1．实数x、y满足3x2+4y2＝12，则z＝2x+的最小值是（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．3 D．4
2．设实数a，b，c，d，e同时满足关系：a+b+c+d+e＝8，a2+b2+c2+d2+e2＝16，则实数e的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a1，a2，…，an推出的a＝（ ）
A． B．
C． D．
4．设M＝（﹣1）（﹣1）（﹣1）满足a+b+c＝1（其中a＞0，b＞0，c＞0），则M的取值范围是（ ）
A．[0，） B．[，1） C．[1，8） D．[8，+∞）
5．已知2x+3y+4z＝10，则x2+y2+z2的最小值为（ ）
A． B．29 C．0 D．9
6．若0＜x1＜x2，0＜y1＜y2，且x1+x2＝y1+y2＝1，则下列代数式中值最大的是（ ）
A．x1y1+x2y2 B．x1x2+y1y2 C．x1y2+x2y1 D．
7．已知a2+b2+c2＝1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[8，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞） D．[2，+∞）
8．已知a+b＝1，则以下成立的是（ ）
A．a2+b2＞1 B．a2+b2＝1 C．a2+b2＜1 D．a2b2＝1
9．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足＝，+＝，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．设a，b∈R+，a+b＝1，则+的最小值为（ ）
A．2+ B．2 C．3 D．
11．用柯西不等式求函数y＝的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
12．设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（ ）
A． B． C．﹣ D．
13．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（ ）
A．ax+cy+bz B．bx+ay+cz C．bx+cy+az D．ax+by+cz
14．已知x，y，z∈R，且＝1，则x++的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
15．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（ ）
A．12 B．20 C．28 D．36
16．若x﹣y﹣z＝3，yz﹣xy﹣xz＝3，则x2+y2+z2＝（ ）
A．0 B．3 C．9 D．﹣1
17．若x+y+z＝0，则x3+y3+z3＝（ ）
A．0 B．x2y+y2z+z2x
C．x2+y2+z2 D．3xyz
18．已知正数a、b、c满足b2+ab+bc+ac＝15，则5a+8b+3c的最小值为（ ）
A．25 B．30 C．8 D．32
19．已知2x+3y+4z＝1，则x2+y2+z2的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共30小题）
20．设x，y，z∈R，若2x﹣3y+z＝3，则x2+（y﹣1）2+z2之最小值为 ，又此时y＝ ．
21．已知x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为 ．
22．已知x，y∈R，2x2+3y2≤12，则|x+2y|的最大值为
23．已知a＞0，b＞0，3a+4b＝1，则a2+b2的最小值为 ．
24．若实数a，b满足a2+ab＝1，则3a2+b2的最小值为 ．
25．设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，则的最小值是 ．
26．设a，b，c∈R+，求++的最小值 ．
27．函数y＝2+的最大值为 ．
28．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，则的最小值为 ．
29．若a，b，x，y∈R，且a2+b2＝3，x2+y2＝1，则ax+by的最大值为 ．
30．设﹣≤a≤，b≠0，a，b∈R，则（a﹣b）2+（﹣）2的最小值为 ．
31．已知x，y，z满足方程（x﹣3）2+（y﹣4）2+（z+5）2＝2，则x2+y2+z2的最小值是 ．
32．若a2+b2＝1，x2+y2＝4，则ax+by的最大值为 ．
33．函数f（x）＝+的最大值为 ．
34．已知a，b，c都是正数，a+2b+3c＝9，则++的最小值为 ．
35．已知正实数a，b，c，且a+b+c＝1，则（a+1）2+4b2+9c2的最小值为 ．
36．设x＞0，y＞0．z＞0，且x+y＝2，x2+y2+z2＝6，则xy+yz+zx的取值范围是 ．
37．设a、b、c为正数，且a+b+c＝1，则ab2c+abc2的最大值为 ．
38．已知实数a、b、c满足a+b+c＝2，a2+b2+c2＝4，且a＞b＞c，不等式ln（a2+2a）﹣a≥M恒成立，则M的最大值是 ．
39．若x，y，z均大于零，且x+3y+4z＝6，则x2y3z的最大值为 ．
40．已知实数x，y满足+＝4，由柯西不等式可知x+y的最小值是 ．
41．实数x，y，z 满足x2+y2+z2＝1，则xy+yz的最大值是为 ．
42．已知a＞0，b＞0，c＞0，a2b+b2c+c2a＝1，则abc（abc﹣2）的最小值为 ．
43．已知x，y，z∈R，且x﹣2y+2z＝5，则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2的最小值是 ．
44．已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝4，则xy+yz的最大值为 ．
45．已知a，b，c均为正实数，且a+b+c＝12，ab+bc+ca＝45，则max{a，b，c}的最小值为 ．
46．若实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则xy+yz+zx的取值范围是 ．
47．请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且＝1，则x+y的最小值为 ．
48．已知a，b，c都是正数，且2a+b+c＝6，则a2+ab+ac+bc的最大值为 ．
49．若x、y为非零实数，代数式﹣8（）+15的取值范围是 ．
人教A版选修4-5《第3章 柯西不等式与排序不等式 》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．【解答】解：∵实数x、y满足3x2+4y2＝12，
∴，
∴，
∴z＝2x+＝4cosθ+3sinθ＝5sin（θ+α），（tanα＝），
∴z＝2x+的最小值是﹣5．
故选：A．
2．【解答】解：将题设条件变形为a+b+c+d＝8﹣e，a2+b2+c2+d2＝16﹣e2，
代入由柯西不等式得如下不等式（1?a+1?b+1?c+1?d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）
有（8﹣e）2≤4（16﹣e2），解这个一元二次不等式，得．
所以，当时，实数e取得最大值．
故选：B．
3．【解答】解：∵所测量的“最佳近似值”a是与其他近似值比较，
a与各数据的差的平方和最小．
根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，
∴a是所有数字的平均数，
∴a＝，
故选：B．
4．【解答】解：根据题意，a+b+c＝1，则﹣1＝﹣1＝≥，
同理﹣1≥，﹣1≥，
则M＝（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥??＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
则（﹣1）（﹣1）（﹣1）有最小值为8，
则M的取值范围是[8，+∞），
故选：D．
5．【解答】解：由柯西不等式可得，（2x+3y+4z）2≤（x2+y2+z2）（22+32+42），
由条件可得，x2+y2+z2≥，
当且仅当＝＝，即当x＝，y＝，y＝时取等号，
故x2+y2+z2的最小值为
故选：A．
6．【解答】解：依题意取x1＝，x2＝，y1＝，y2＝，
计算x1y1+x2y2＝，x1x2+y1y2＝，
x1y2+x2y1＝，
故选：A．
7．【解答】解：由柯西不等式得，，
即，即的最大值为3，当且仅当时等号成立．
所以对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x﹣1|+|x+m|≥3对任意实数x恒成立．
又因为|x﹣1|+|x+m|≥|（x﹣1）﹣（x+m）|＝|m+1|对任意x恒成立，因此有即|m+1|≥3，解得m≥2或m≤﹣4，
故选：B．
8．【解答】解：由柯西不等式，得1＝a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]＝1，
当且仅当＝时，上式取等号，
∴，化为a2b2＝（1﹣a2）（1﹣b2），
于是 a2+b2＝1．
故选：B．
9．【解答】解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足＝，∴tanθ＝＞1．
再由，+＝，可得 ＝，
化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3＝0．
解得 tan2θ＝3，或 tan2θ＝（舍去），∴tanθ＝＝，
故选：C．
10．【解答】解：∵a，b∈R+，a+b＝1，∴a2+b2＝1﹣2ab，
又∵＝a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2＝6﹣2ab+2（ab+2）＝10，
∴+≥，当且仅当＝时，等号成立，
故+的最小值为，
故选：D．
11．【解答】解：由柯西不等式可得，函数y＝≤?＝4，
当且仅当＝＝ 时，等号成立，
故函数y的最大值为4，
故选：C．
12．【解答】解：如图即为满足不等|x﹣2|+|y﹣2|≤1的可行域，是一个正方形，
得A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．
当x＝1，y＝2时，则＝，
当x＝2，y＝1时，则＝﹣，
当x＝3，y＝2时，则＝﹣，
当x＝2，y＝3时，则＝，
则有最大值．
故选：B．
13．【解答】解：∵a＜b＜c，x＜y＜z，
排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，
得：同序和ax+by+cz最大．
故选：D．
14．【解答】解：由柯西不等式可得x++＝（x++）（）≥（1+1+1）2＝9，
∴x++的最小值是9，
故选：D．
15．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，
∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28
∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．
故选：C．
16．【解答】解：∵x﹣y﹣z＝3，yz﹣xy﹣xz＝3
∴（x﹣y﹣z）2＝x2+y2+z2+2yz﹣2xz﹣2xy＝x2+y2+z2+2（yz﹣xy﹣xz）＝x2+y2+z2+6＝9，
∴x2+y2+z2＝3，
故选：B．
17．【解答】解：∵x+y+z＝0，
∴x3+y3+z3＝（x+y）[（x+y）2﹣3xy]+z3＝（x+y）3﹣3xy（x+y）+z3，
∴x3+y3+z3＝3xyz．
故选：D．
18．【解答】解：b2+ab+bc+ac＝（a+b）（b+c）＝15
∴（5a+5b）（3b+3c）＝152，
∴（5a+5b）（3b+3c）≤[（5a+5b）+（3b+3c）]2＝（5a+8b+3c）2，
∴5a+8b+3c≥30，
∴5a+8b+3c的最小值为30．
故选：B．
19．【解答】解：∵2x+3y+4z＝1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2＝1，
故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，
故x2+y2+z2 的最小值为，
故选：D．
二．填空题（共30小题）
20．【解答】解：z＝3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2＝x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2＝5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
＝5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
＝5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8y2+1.6y+2.8
＝5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+y+（）2]+2.8﹣
＝5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+）2+≥．
当且仅当x＝，y＝﹣时，取得最小值，且为．
故答案为：，﹣．
21．【解答】解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）
故x2+y2+z2≥，当且仅当 取等号，
此时y＝2x，z＝3x，x+2y+3z＝14x＝1，
∴x＝，y＝，x＝，
x+y+z＝．
故答案为：．
22．【解答】解：根据题意，2x2+3y2≤12，
则（x+2y）2≤（2x2+3y2）（）＝12×＝22，
即（x+2y）2≤22，
则有|x+2y|≤，
|x+2y|的最大值为，
故答案为：．
23．【解答】解：根据题意，a＞0，b＞0，3a+4b＝1，
则有（a2+b2）（32+42）≥（3a+4b）2，
即25（a2+b2）≥1，
变形可得：（a2+b2）≥，
则a2+b2的最小值为，
故答案为：．
24．【解答】解：3a2+b2＝2a2+a2+b2≥2a2+2ab＝2，
∴3a2+b2的最小值为2，
故答案为：2．
25．【解答】解：∵a+b+c＝1，a，b，c＞0，
∴1≥3，
∴≥27，
∴≥3≥27（当且仅当a＝b＝c时取等号），
故答案为：27．
26．【解答】解：设3b+c＝x，c+2a＝y，2a+3b＝z．解得，a＝（y+z﹣x），b＝（x+z﹣y），c＝（x+y﹣z），
则++＝++，
＝+﹣++﹣++﹣，
＝（+）+（+）+（+）﹣，
≥2+2+2﹣当且仅当2x2＝3y2＝z2取等号，
＝++﹣，
故答案为：++﹣．
27．【解答】解：由函数y＝2+＝++≤?＝
当且仅当＝，等号成立，
故函数y的最大值为，
故答案为：．
28．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，
∴z＝x2﹣3xy+4y2，又因为x，y，z为正实数，
因此，＝＝+﹣3，
根据基本不等式，+≥2＝4，当且仅当x＝2y时，取“＝”，
所以，+﹣3∈[1，+∞），
所以，的最小值为1，
故填：1．
29．【解答】解：根据柯西不等式（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），
?（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2）＝3×1＝3，
当且仅当ay＝bx时取等号，
所以，ax+by∈[﹣，]，
因此，ax+by的最大值为，
故填：．
30．【解答】解：式子（a﹣b）2+（﹣）2可以看成：
动点P（a，）与动点Q（b，）之间距离的平方，其中，
点P在半圆x2+y2＝2（y≥0）上，圆心为O，半径r＝，
点Q在双曲线xy＝9上，如右图，
根据基本不等式，|OQ|＝≥3，
所以，|PQ|min＝|OQ|min﹣r＝3﹣，
因此，原式的最小值为：（3﹣）2＝8，
故填：8．
31．【解答】解：根据空间两点间的距离公式，方程（x﹣3）2+（y﹣4）2+（z+5）2＝2
可以看成空间直角坐标系中的动点P（x，y，z）到定点Q（3，4，﹣5）的距离为定值，
因此，动点P在以Q为球心，以半径r＝的球面上，
设O为坐标原点，则|OQ|＝＝5，
而x2+y2+z2表示的是：动点P（x，y，z）到原点O距离的平方，
根据几何关系，|OP|min＝|OQ|﹣r＝5﹣＝4，
所以，（x2+y2+z2）min＝（4）2＝32．
故填：32．
32．【解答】解：因为a2+b2＝1，x2+y2＝4，
由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，得
4≥（ax+by）2，当且仅当ay＝bx时取等号，
所以ax+by的最大值为2．
故答案为：2．
33．【解答】解：函数f（x）＝+
＝+?
≤＝2，
当＝?，即为x＝，
则有f（x）的最大值为2．
故答案为：2．
34．【解答】解：∵（a+2b+3c）＝≥＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，
又a+2b+3c＝9，
∴++≥，即最小值为．
故答案为：．
35．【解答】解：∵a+b+c＝1?（a+1）+?（2b）+?（3c）﹣1，
∴1?（a+1）+?（2b）+?（3c）＝2，
根据柯西不等式，（x1x2+y1y2+z1z2）2≤（x12+y12+z12）?（x22+y22+z22）得，
[1?（a+1）+?（2b）+?（3c）]2≤（1++）?[（a+1）2+4b2+9c2]，
即，4≤?[（a+1）2+4b2+9c2]，
因此，（a+1）2+4b2+9c2≥，
当且仅当，1：（a+1）＝：2b＝：3c时取“＝”，解得a＝，b＝，c＝，
故（a+1）2+4b2+9c2的最小值为．
36．【解答】解：∵x2+y2+z2＝6，
∴x2+y2＝6﹣z2，
∴（x+y）2﹣2xy＝6﹣z2，
∵x+y＝2，
∴xy＝z2﹣1，
∴xy+yz+zx＝（x+y）z+xy＝z2﹣1+2z＝（z+2）2﹣3，
∵0＜xy≤（x+y）2＝1，
∴0＜z2﹣1≤1，
∴＜z≤2，
∴2＜xy+yz+zx≤5．
故答案为：（2，5]．
37．【解答】解：ab2c+abc2＝abc（b+c）＝（3a）（2b）（2c） （b+c）≤＝．
当且仅当a＝，b＝c＝时取等号．
故答案为：．
38．【解答】解：由a+b+c＝2，得b+c＝2﹣a①，由a2+b2+c2＝4，得b2+c2＝4﹣a2②，
由柯西不等式，得（b2+c2）（1+1）≥（b+c）2③，
将①②代入③得，2（4﹣a2）≥（2﹣a）2，解得﹣≤a≤2，
又a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＝2，∴a＞．
∴＜a≤2．
令f（a）＝ln（a2+2a）﹣a（＜a≤2）．
则f′（a）＝，
当＜a＜时f′（a）＞0，当＜≤2时f′（a）＜0，
∴f（）为极大值，也为最大值，
f（a）min＝min{f（），f（2）}，
而f（）＝ln﹣，f（2）＝ln8﹣2，
f（）﹣f（2）＝（4ln2﹣2ln3﹣）﹣（3ln2﹣2）＝ln+≈﹣1.514+1.333＜0，
∴f（a）min＝f（），
∴M≤ln﹣．
即M的最大值为ln﹣，
故答案为：ln﹣．
39．【解答】解：∵x+3y+4z＝6，
∴6＝x+3y+4z＝x+x+y+y+y+4z≥6，
∴x2y3z≤1，
∴x2y3z的最大值为1．
故答案为：1．
40．【解答】解：∵实数x，y满足+＝4，由柯西不等式可得（2x+1+2y+3）（1+1）≥，
即 4x+4y+8≥16，求得x+y≥2，当且仅当 ＝＝2时，取等号，
故x+y的最小值是2，
故答案为：2．
41．【解答】解：因为1＝x2+y2+z2＝（x2+y2）+（y2+z2）≥2xy+2yz＝（xy+yz），
所以xy+yz≤，
故xy+yz的最大值为．
故答案为：．
42．【解答】解：∵a＞0，b＞0，c＞0，a2b+b2c+c2a＝1，
∴1≥3，
∴0＜abc≤，
设t＝abc，则0＜t≤，
abc（abc﹣2）＝t（t﹣2）＝（t﹣1）2﹣1，
∴t＝时，abc（abc﹣2）的最小值为﹣，
故答案为：﹣
43．【解答】解：由于[（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2][（12+（﹣2）2+22）]≥[（x+5）+（﹣2）（y﹣1）+2（z+3）]2
＝324，
则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2≥36（当且仅当，即时取等号．
故答案为：36
44．【解答】解：由于4＝x2+y2+z2＝（x2+y2）+（y2+z2）≥2xy+2yz＝（xy+yz）
∴xy+yz≤2，
∴xy+yz的最大值为2，
故答案为：2．
45．【解答】解：不妨设a＝Max{a，b，c}
由a+b+c＝12得到a≥4并有（a﹣b）（a﹣c）≥0得到关系a2﹣ab﹣ac+bc＞＝0
即：a2﹣a（12﹣a）+bc≥0 即：bc≥12a﹣2a2，
由45＝ab+bc+ac＝bc+a（12﹣a）≥12a﹣2a2+a（12﹣a）
∴（a﹣5）（a﹣3）≥0
∴a≥5
∴max{a，b，c}的最小值为5．
故答案为：5．
46．【解答】解：∵（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2≥0，
∴x2+y2+z2≥xy+xz+yz，
∴xy+yz+zx≤1；
又（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）≥0，
∴xy+xz+yz≥﹣（x2+y2+z2）＝﹣．
综上可得：﹣≤xy+xz+yz≤1．
故答案为：[﹣，1]．
47．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，
可得（）（x+y）≥（+）2，
∵＝1，
∴x+y≥（+）2＝a+b+2，
∴x+y的最小值为a+b+2，
故答案为：a+b+2．
48．【解答】解：∵a，b，c都是正数，
∴a2+ab+ac+bc＝（a+b）（a+c）≤，
∴2a+b+c＝6，
∴a2+ab+ac+bc≤9，
∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，
故答案为：9．
49．【解答】解：令＝t，则若xy＞0，则t≥2，若xy＜0，则t≤﹣2，
∴原式＝t2﹣2﹣8t+15＝t2﹣8t+13＝（t﹣4）2﹣3，
当t≥2时，t＝4时，原式取最小值为﹣3，无最大值，
当t≤﹣2时，原式取最小值，且为33，
∴原式的取值范围是[﹣3，+∞）．
故答案为：[﹣3，+∞）．
人教A版选修4-5《第4章 用数学归纳法证明不等式 》2019年单元测试卷
一．选择题（共9小题）
1．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了（A）中的一项，但又减少了另一项
D．增加了（B）中的两项．但又减少了另一项
2．使用数学归纳法证明不等式1++++…+＞f（n）（n∈N*），假设n＝k时成立，当证明n＝k+1时，左端应增加的式子是（ ）
A． B．
C．+ D．++
3．在用数学归纳法证明某不等式“”的过程中，如果从左边推证到右边，则由n＝k时的归纳假设证明n＝k+1时，左边增加的项数为（ ）
A．1项 B．k项 C．2k项 D．2k+1项
4．已知n为正整数用数学归纳法证明f（n）＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2时，假设n＝k（k∈N*）时命题为真，即f（k）＝k2成立，则当n＝k+1时，需要用到的f（k+1）与f（k）之间的关系式是（ ）
A．f（k+1）＝f（k）+2k﹣3 B．f（k+1）＝f（k）+2k﹣1
C．f（k+1）＝f（k）+2k+1 D．f（k+1）＝f（k）+2k+3
5．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
6．某个命题与正整数有关，若当n＝k（k∈N*）时该命题成立，那么推得n＝k+1时该命题成立，现已知当n＝8时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n＝7时，该命题成立 B．当n＝7时，该命题不成立
C．当n＝9时，该命题成立 D．当n＝9时，该命题不成立
7．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k（k≥2）为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝（ ）时等式成立．
A．n＝k+1 B．n＝k+2 C．n＝2k+2 D．n＝2（k+2）
8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）
A．假设n＝k（k∈N*），证明n＝k+1命题成立
B．假设n＝k（k为正奇数），证明n＝k+1命题成立
C．假设n＝2k+1（k∈N*），证明n＝k+1命题成立
D．假设n＝k（k为正奇数），证明n＝k+2命题成立
9．用数学归纳法证明n2＜2n（n为自然数且n≥5）时，第一步应（ ）
A．证明n＝0时，n2＜2n B．证明n＝5时，n2＜2n
C．证明n＝1时，n2＜2n D．证明n＝6时，n2＜2n
二．解答题（共9小题）
10．已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1+++……+．
11．观察以下4个等式：1＜2，，，，…
（1）照以上式子规律，猜想第n个不等式（n∈N）；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个不等式成立（n∈N）．
12．在数列{an}，已知a1＝，an+1＝．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明之．
13．在数列{an}中，a1＝1，，其中n＝1，2，3，…
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
14．观察下列等式：
1＝1；
2+3+4＝9；
3+4+5+6+7＝25；
4+5+6+7+8+9+10＝49；
……
（1）照此规律，归纳猜想第n（n∈N*）个等式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
15．设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an﹣2（n∈N*）
（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
16．已知数列，…的前n项和为Sn．
（1）计算S1，S2，S3，S4的值，根据计算结果，猜想Sn的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的Sn表达式．
17．用数学归纳法证明：+++…+＞（n∈N，n≥1）
18．用数学归纳法证明：+++…+＝（n∈N*）．
人教A版选修4-5《第4章 用数学归纳法证明不等式 》2019年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：当n＝k时，左端＝++…+，
那么当n＝k+1时 左端＝++…+++，，
故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了+项，同时减少了这一项，
故选：D．
2．【解答】解：n＝k时，f（k）＝1++++…+，
当n＝k+1时，f（k+1）＝1++++…+++＝f（k）++．
当证明n＝k+1时，左端应增加的式子是：+．
故选：C．
3．【解答】解：用数学归纳法证明不等式“”的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝，
则当n＝k+1时，左边：，
∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了：，共1项，
故选：A．
4．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n﹣1＝2n2﹣n时，
假设n＝k时，命题成立，1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，
则当n＝k+1时，左端为1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1），
需要用到的f（k+1）与f（k）之间的关系式是：f（k+1）＝f（k）+2k+1．
故选：C．
5．【解答】解：n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，
即有1+++…+＜k，
当n＝k+1时，即证1+++…++++…+＜k+1，
由此可得左边与n＝k时的不等式左边增加了++…+，
共2k+1﹣1﹣2k+1＝2k项，
故选：C．
6．【解答】解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，
P（n）对n＝8不成立，P（n）对n＝7也不成立，
否则n＝7时命题成立，由已知必推得n＝8也成立．
与当n＝8时该命题不成立矛盾
故选：B．
7．【解答】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k（k≥2）为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证n＝k+2，
不是n＝k+1，因为n是偶数，k+1是奇数，
故选：B．
8．【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n＝k（k为正奇数）时，
xn+yn能被x+y整除，证明n＝k+2时，xn+yn 也能被x+y整除，
故选：D．
9．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，
n＝5时，右＝25＝32，左＝52＝25，n2＞2n不成立，
第一步应证明n＝5时，n2＜2n．
故选：B．
二．解答题（共9小题）
10．【解答】证明：当n＝1时，＝2，不等式成立，
②假设n＝k时，不等式成立，即1+++……+，
当n＝k+1时，1+++……++＜2+＝＜＝2．
∴当n＝k+1时，不等式成立．
由①②得1+++……+．
n为正整数，1+++……+．
11．【解答】解：（1）对任意的n∈N*，1+++…+＜2
（2）证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2．
左边＜右边，所以不等式成立，
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，
即1+++…+＜2．
那么当n＝k+1时，
1+++…++＜2+＝
＜＝＝2．
这就是说，当n＝k+1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立．
12．【解答】解：（1）a1＝，an+1＝，
∴a2＝?a1＝
a3＝?a2＝
a4＝?a3＝，
（2）猜想an＝，
证明如下：①当n＝1时，猜想成立，
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
那么当n＝k+1时，即ak+1＝?＝＝，
由①②可得an＝，对任意n∈N*都成立．
13．【解答】（Ⅰ）解：由题意，得，，．
（Ⅱ）解：由a1，a2，a3，a4猜想．
以下用数学归纳法证明：对任何的n∈N*，．
证明：①当n＝1时，由已知，得左边a1＝1，右边，
所以n＝1时等式成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时，成立，
则n＝k+1时，，
所以 当n＝k+1时，等式也成立．
根据 ①和 ②，可知对于任何n∈N*，成立．
14．【解答】解：（1）第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2．（n∈N*）．
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，
所以当n＝1时，原等式成立．
②假设当n＝k，（k∈N*）时原等式成立，
即k+（k+1）+（k+2）+（3k﹣2）＝（2k﹣1）2，（k∈N*），
则当n＝k+1时，（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+3k+（3k+1）
＝[（2k﹣1）2﹣k]+（3k﹣1）+3k+（3k+1）
＝4k2+4k+1＝（2k+1）2＝[2（k+1）﹣1]2，
∴当n＝k+1时，原等式也成立．
由①②知，（1）中的猜想对任何n∈N*都成立．
故第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2．（n∈N*）．
15．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝S1＝2a1＝2，∴a1＝2，
当n＝2时，a1+a2＝S2＝2×a2﹣2，∴a2＝4．
当n＝3时，a1+a2+a3＝S3＝2×a3﹣2，∴a3＝8．
当n＝4时，a1+a2+a3+a4＝S4＝2×a4﹣2，∴a4＝16．
由此猜想：an＝2n （n∈N*）．
（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．
②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即ak＝2k，
那么n＝k+1时，
ak+1＝Sk+1﹣Sk＝2ak+1﹣2ak
∴ak+1＝2ak＝2k+1，
这表明n＝k+1时，猜想成立，
由①②知猜想an＝2n 成立．
16．【解答】解：（I）S1＝＝，S2＝+＝，S3＝+＝，S4＝＝
猜想Sn＝；
（2）①当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，
猜想成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即+++…+＝，
那么当n＝k+1时，+++…++
＝+＝＝＝，
所以，当n＝k+1时猜想也成立．
根据①②可知，猜想对任何n∈N*都成立．
17．【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝＞，∴n＝1时成立（2分）
（2）假设当n＝k（k≥1）时成立，即
那么当n＝k+1时，左边＝
＝
＞+＞．
∴n＝k+1时也成立（7分）
根据（1）（2）可得不等式对所有的n≥1都成立（8分）
18．【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，等式成立．
（2）假设当n＝k时，等式成立，即++…+＝，
那么，当n＝k+1时，左边＝++…++＝+＝，
这就是说，当n＝k+1时等式也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．
