2019年春人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除》同步测试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 2019年春人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除》同步测试题（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 536.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-28 18:51:12 | ||
图片预览
文档简介
2019年春人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除》同步测试题（解析版）
一．选择题（共10小题）
1．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2 B．（ ）2＝2 C．＝a D．＝3
2．如图所示，数轴上点A与点B分别对应实数a、b，下列四个等式中正确的个数有（ ）
（1）＝﹣a （2）（）2＝a （3）＝a+b （4）＝b﹣a
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
5．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
6．若成立，则（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：＝＝＝﹣
乙：＝＝＝﹣．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
9．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
10．化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
二．填空题（共4小题）
11．＝ ．
12．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ ．
13．计算：＝ ．
14．已知a＝﹣2，若a与b的积为有理数，则b＝ ．
三．解答题（共9小题）
15．下列二次根式化成最简二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
16．计算：×
17．计算：（a＞b＞0）
18．已知＝0，求﹣的值；
19．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．
20．已知x＝+2，y＝﹣2
（1）求代数式的值；
（2）求x2+y2+7的平方根．
21．（1）计算：（﹣1）6+12×（﹣3）2﹣；
（2）求不等式组的所有整数解．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果是a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ + ；
（3）化简：．
23．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： |
解：隐含条件1﹣3x≥0解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，
化简：
2019年春人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除》同步测试题（解析版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2 B．（ ）2＝2 C．＝a D．＝3
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝2，故此选项错误；
B、（）2＝4，故此选项错误；
C、＝|a|，故此选项错误；
D、＝3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．如图所示，数轴上点A与点B分别对应实数a、b，下列四个等式中正确的个数有（ ）
（1）＝﹣a （2）（）2＝a （3）＝a+b （4）＝b﹣a
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a＞0，b＜0，b﹣a＜0，a+b＞0，再根据＝|a|进行分析即可．
【解答】解：（1）∵a＞0，
∴＝a，故原题说法错误；
（2）∵a＞0，
∴（）2＝a，故原题说法正确；
（3）∵a＞0，b＜0，|a|＞|b|．
∴a+b＞0，
∴＝a+b，故原题说法正确；
（4）∵b＜0，a＞0，
∴b﹣a＜0，
∴＝a﹣b，故原题说法错误；
故正确的个数为2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，以及数轴，关键是掌握＝|a|．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
B、被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；
C、（y≥0）＝y，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
【分析】直接利用二次根式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、（﹣）2＝2，正确；
C、÷＝，故此选项错误；
D、＝4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
【分析】先由二次根式有意义的条件得出x的取值范围，再判断出2x﹣1的取值范围，继而根据二次根式的性质化简可得．
【解答】解：∵1﹣3x≥0，
∴x≤，
则2x﹣1≤﹣，
原式＝﹣（1﹣3x）
＝1﹣2x﹣1+3x
＝x，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算顺序和运算法则及二次根式的性质与二次根式有意义的条件．
6．若成立，则（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解答】解：∵成立，
∴a≥0，b≤0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
【分析】求出ab的乘积是多少，即可判断出a与b的关系．
【解答】解：∵ab＝×＝＝1，
∴a与b互为倒数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，以及实数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：＝＝＝﹣
乙：＝＝＝﹣．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
【分析】分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断≠．
【解答】解：甲进行分母有理化时不能确定﹣≠0，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于分母有理化时要确定﹣≠0．
9．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
10．化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：﹣a
＝﹣a﹣a2?
＝﹣a+a
＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
二．填空题（共4小题）
11．＝ ﹣2 ．
【分析】根据简＝|a|得到原式＝|2﹣|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】解：原式＝|2﹣|＝﹣（2﹣）＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了绝对值的意义．
12．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ 8 ．
【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
【解答】解：由题意，得：解得：，
∴a+b＝8．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．
13．计算：＝ ．
【分析】先化简二次根式，再分母有理化即可得．
【解答】解：＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与分母有理化．
14．已知a＝﹣2，若a与b的积为有理数，则b＝ n（+2）（n为有理数） ．
【分析】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式，据此可得b的值．
【解答】解：∵a＝﹣2，a与b的积为有理数，而（﹣2）（+2）＝3，
∴b＝n（+2）（n为有理数），
故答案为：n（+2）（n为有理数）．
【点评】本题考查了分母有理化，两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式；一个二次根式的有理化因式不止一个．
三．解答题（共9小题）
15．下列二次根式化成最简二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
【分析】利用最简二次根式定义，将各式化为最简即可．
【解答】解：（1）原式＝＝10；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝；
（4）原式＝﹣＝﹣．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
16．计算：×
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：×
＝×
＝×
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．计算：（a＞b＞0）
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．已知＝0，求﹣的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故﹣＝﹣
＝﹣
＝2+﹣（2﹣）
＝2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
19．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．
【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围进而化简二次根式和绝对值进而得出答案．
【解答】解：由数轴可得
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）
＝2a+b+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
20．已知x＝+2，y＝﹣2
（1）求代数式的值；
（2）求x2+y2+7的平方根．
【分析】（1）先化简分式，再代入求值；
（2）变形代数式，求出代数式的值，再求其平方根．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝＝；
（2）原式＝（x+y）2﹣2xy+7
＝（+2+﹣2）2﹣2（）（）+7
＝（2）2﹣2（5﹣4）+7
＝25
∴x2+y2+7的平方根为±5．
【点评】本题考查了分式的化简求值、代数式的变形和平方根及二次根式的混合运算．先约分再代入能使（1）简便，恒等变形后代入求值能使（2）简便．
21．（1）计算：（﹣1）6+12×（﹣3）2﹣；
（2）求不等式组的所有整数解．
【分析】（1）直接利用二次根式乘除运算法则结合实数运算法则化简得出答案；
（2）分别解不等式进而得出整数解．
【解答】解：（1）原式＝1+108﹣4
＝105；
（2）
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x＞﹣2.5．
∴该不等式组的解集是﹣2.5＜x＜2．
∴该不等式组所有整数解为：﹣2，﹣1，0，1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果是a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ 2 + 1 ；
（3）化简：．
【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；
（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，
7+4＝（2+）2；
故答案为：，2，1；
（3）＝＝+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键．
23．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： |
解：隐含条件1﹣3x≥0解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，
化简：
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质＝|a|及三角形三边间的关系等知识点．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2 B．（ ）2＝2 C．＝a D．＝3
2．如图所示，数轴上点A与点B分别对应实数a、b，下列四个等式中正确的个数有（ ）
（1）＝﹣a （2）（）2＝a （3）＝a+b （4）＝b﹣a
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
5．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
6．若成立，则（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：＝＝＝﹣
乙：＝＝＝﹣．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
9．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
10．化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
二．填空题（共4小题）
11．＝ ．
12．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ ．
13．计算：＝ ．
14．已知a＝﹣2，若a与b的积为有理数，则b＝ ．
三．解答题（共9小题）
15．下列二次根式化成最简二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
16．计算：×
17．计算：（a＞b＞0）
18．已知＝0，求﹣的值；
19．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．
20．已知x＝+2，y＝﹣2
（1）求代数式的值；
（2）求x2+y2+7的平方根．
21．（1）计算：（﹣1）6+12×（﹣3）2﹣；
（2）求不等式组的所有整数解．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果是a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ + ；
（3）化简：．
23．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： |
解：隐含条件1﹣3x≥0解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，
化简：
2019年春人教版八年级数学下册《16.2 二次根式的乘除》同步测试题（解析版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式成立的是（ ）
A．＝﹣2 B．（ ）2＝2 C．＝a D．＝3
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝2，故此选项错误；
B、（）2＝4，故此选项错误；
C、＝|a|，故此选项错误；
D、＝3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．如图所示，数轴上点A与点B分别对应实数a、b，下列四个等式中正确的个数有（ ）
（1）＝﹣a （2）（）2＝a （3）＝a+b （4）＝b﹣a
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a＞0，b＜0，b﹣a＜0，a+b＞0，再根据＝|a|进行分析即可．
【解答】解：（1）∵a＞0，
∴＝a，故原题说法错误；
（2）∵a＞0，
∴（）2＝a，故原题说法正确；
（3）∵a＞0，b＜0，|a|＞|b|．
∴a+b＞0，
∴＝a+b，故原题说法正确；
（4）∵b＜0，a＞0，
∴b﹣a＜0，
∴＝a﹣b，故原题说法错误；
故正确的个数为2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，以及数轴，关键是掌握＝|a|．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、＝2，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
B、被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；
C、（y≥0）＝y，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4
【分析】直接利用二次根式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、（﹣）2＝2，正确；
C、÷＝，故此选项错误；
D、＝4，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
5．化简﹣（）2得（ ）
A．2 B．﹣4x+4 C．x D．5x﹣2
【分析】先由二次根式有意义的条件得出x的取值范围，再判断出2x﹣1的取值范围，继而根据二次根式的性质化简可得．
【解答】解：∵1﹣3x≥0，
∴x≤，
则2x﹣1≤﹣，
原式＝﹣（1﹣3x）
＝1﹣2x﹣1+3x
＝x，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算顺序和运算法则及二次根式的性质与二次根式有意义的条件．
6．若成立，则（ ）
A．a≥0，b≥0 B．a≥0，b≤0 C．ab≥0 D．ab≤0
【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．
【解答】解：∵成立，
∴a≥0，b≤0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
7．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等
【分析】求出ab的乘积是多少，即可判断出a与b的关系．
【解答】解：∵ab＝×＝＝1，
∴a与b互为倒数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，以及实数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．
8．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：＝＝＝﹣
乙：＝＝＝﹣．
A．两人解法都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．两人都错
【分析】分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断≠．
【解答】解：甲进行分母有理化时不能确定﹣≠0，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；
乙分子因式分解，再与分母约分，故乙正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于分母有理化时要确定﹣≠0．
9．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
【点评】此题考查二次根式和绝对值问题，此题难点是由绝对值和二次根式的化简求得x的取值范围，要求对绝对值的代数定义和二次根式的性质灵活掌握．
10．化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：﹣a
＝﹣a﹣a2?
＝﹣a+a
＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
二．填空题（共4小题）
11．＝ ﹣2 ．
【分析】根据简＝|a|得到原式＝|2﹣|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】解：原式＝|2﹣|＝﹣（2﹣）＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了绝对值的意义．
12．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ 8 ．
【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
【解答】解：由题意，得：解得：，
∴a+b＝8．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．
13．计算：＝ ．
【分析】先化简二次根式，再分母有理化即可得．
【解答】解：＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与分母有理化．
14．已知a＝﹣2，若a与b的积为有理数，则b＝ n（+2）（n为有理数） ．
【分析】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式，据此可得b的值．
【解答】解：∵a＝﹣2，a与b的积为有理数，而（﹣2）（+2）＝3，
∴b＝n（+2）（n为有理数），
故答案为：n（+2）（n为有理数）．
【点评】本题考查了分母有理化，两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式；一个二次根式的有理化因式不止一个．
三．解答题（共9小题）
15．下列二次根式化成最简二次根式
（1）；（2）；（3）；（4）﹣．
【分析】利用最简二次根式定义，将各式化为最简即可．
【解答】解：（1）原式＝＝10；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝；
（4）原式＝﹣＝﹣．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
16．计算：×
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：×
＝×
＝×
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．计算：（a＞b＞0）
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．已知＝0，求﹣的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵＝0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故﹣＝﹣
＝﹣
＝2+﹣（2﹣）
＝2．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
19．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．
【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围进而化简二次根式和绝对值进而得出答案．
【解答】解：由数轴可得
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）
＝2a+b+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
20．已知x＝+2，y＝﹣2
（1）求代数式的值；
（2）求x2+y2+7的平方根．
【分析】（1）先化简分式，再代入求值；
（2）变形代数式，求出代数式的值，再求其平方根．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝＝；
（2）原式＝（x+y）2﹣2xy+7
＝（+2+﹣2）2﹣2（）（）+7
＝（2）2﹣2（5﹣4）+7
＝25
∴x2+y2+7的平方根为±5．
【点评】本题考查了分式的化简求值、代数式的变形和平方根及二次根式的混合运算．先约分再代入能使（1）简便，恒等变形后代入求值能使（2）简便．
21．（1）计算：（﹣1）6+12×（﹣3）2﹣；
（2）求不等式组的所有整数解．
【分析】（1）直接利用二次根式乘除运算法则结合实数运算法则化简得出答案；
（2）分别解不等式进而得出整数解．
【解答】解：（1）原式＝1+108﹣4
＝105；
（2）
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x＞﹣2.5．
∴该不等式组的解集是﹣2.5＜x＜2．
∴该不等式组所有整数解为：﹣2，﹣1，0，1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法以及不等式组的解法，正确解不等式是解题关键．
22．阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果是a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ 2 + 1 ；
（3）化简：．
【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；
（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，
7+4＝（2+）2；
故答案为：，2，1；
（3）＝＝+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键．
23．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简： |
解：隐含条件1﹣3x≥0解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
（3）已知a，b，c为△ABC的三边长，
化简：
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出x的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a、b在数轴上的位置判断出a+b＜0、b﹣a＞0，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形三边间的关系得出a﹣b﹣c＜0、b﹣a﹣c＜0、c﹣b﹣a＜0，再利用二次根式的性质化简可得．
【解答】解：（1）隐含条件2﹣x≥0解得：x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）观察数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b；
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴原式＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质＝|a|及三角形三边间的关系等知识点．