【鲁教版八下精美学案】6.2.1 矩形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】6.2.1 矩形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-28 20:22:56 | ||
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文档简介
第2节 矩形的性质与判定
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 矩形的定义
有一个角是__________的平行四边形是矩形。
注意 （1）矩形必须满足两个条件:①有一个角是直角；②是平行四边形.
（2）矩形的定义既是矩形的判定方法，又是矩形的性质.
（3）矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质。
知识点2 矩形的性质
1.定理 1:矩形的四个角都是____________。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
2.定理 2:矩形的对角线_________________。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD
3.矩形的对称性:
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线。
注意 矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决。
知识点3 矩形的面积
1.S矩形＝AB·BC
2.S矩形＝2S△ABC＝4S△AOB。
知识点4 直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言:
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD＝＝AB（或AB＝2CD）.
考 点 突 破
考点1: 利用矩形的性质求线段长
【典例1】如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE:BD＝1:4，求AC的长。
思路导析: 解法一:利用构建方程组的思想解决问题。
解法二:首先证明△ABO是正三角形，在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，由此即可解决问题。
解:解法一:∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD
又∵OF⊥AD，OF∥AB。又∵OB＝OD，∴AB＝2OF＝4cm.
∵BE:BD＝1:4，∴BE:ED＝1:3.
设BE＝x，ED＝3x，则BD＝4x
∵AE⊥BD于点E，∴AE2＝AB2－BE2=AD2-ED2。∴16-x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2＝AB2－16x2-16，
∴16－x2＝16x2－16-9x2，即8x2＝32。∴x2＝4.x＝2或x＝-2（舍去）
∴BD＝2×4＝8（cm）.∴AC＝8cm。
解法二:在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD，
∵BE:BD＝1:4，∴BE:BO＝1:2，即E是BO的中点.
又AE⊥BO，∴AB＝AO。
由矩形的对角线互相平分且相等，知AO＝BO∴△ABO是正三角形。∴∠BAO＝60°。
∴∠OAD＝90°－ 60°＝30°
在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，
∴AC＝2AO＝8.
友情提示 本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题。
变式1 如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F。若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（ ）
4 B. 5 C. 6 D. 8
变式2 如图所示，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD.若四边形BFDE是菱形，且OE＝AE，则边BC的长为（ ）
2 B. 3 C. D. 6
考点2: 利用矩形的性质求角度
【典例2】 如图所示，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°求∠DOC与∠COF的度数。
思路导析:∠DOC的度数可由∠BDF＝15°,∠CDF＝45°,求得∠ODC＝60°,再通过OC＝OD可证△COD为等边三角形求得；∠COF可放在等腰△COF中求得顶角∠OCF＝30°,求得∠COF＝75°。
解:在矩形ABCD中，∠ADC＝90°。∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝∠ADC＝×90°＝45°
又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝∠FDC＋∠BDF＝45°＋15°＝60° 。
在矩形ABCD中，OD＝BD，OC＝AC，且AC＝BD，∴OD＝OC
∴△DOC是等边三角形∴∠DOC＝60°
又∵在直角三角形DCF中，∠FDC＝45°
∴CF＝CD＝OC。∴∠COF＝∠CFO。
又∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°∴∠COF＝（180°－30°）＝75°
友情提示 在矩形中求某角度数，常通过利用对角线相等且互相平分来构造等边三角形或等腰三角形中特殊角求得。
变式3 如图所示，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠BEC＝____________。
变式4 如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE:∠BAE＝3:1，求∠BAE，∠EAO的度数。
考点3: 利用矩形的性质进行证明
【典例3】 如图所示，在矩形 ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE。
（1）求证:AE＝CF；
（2）求证:四边形AFCE是菱形。
思路导析:（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC＝∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE＝CF；（2）先推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论。
证明:（1）四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACF。
在△EOA和△FOC中， ∴△EOA≌△FOC（ASA） ∴AE＝CF；
（2）∵0A＝OC，OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形
∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形。
友情提示 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的定与性质是解题的关键。
变式5 如图所示，矩形ABCD，E为射线CD上一点，连接AE，F为AE上一点，FC交AD于点G，FA＝FG.求证:FE＝FC。
变式6 如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC。
（1）求证:△OAE≌△OCF；
（2）求证:FC＝OF；
（3）若BC＝23，求AC的长。
考点4:直角三角形斜边上中线的性质的应用
【典例4】如图所示，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，点M为BC的中点，求证:DM＝AB。
思路导析: 由点M为BC的中点，要证DM＝AB，联想到利用三角形中位线定理构造AB，即取AC的中点N，连接MN，DN，只需证明MN＝DM.可通过证明∠MDN＝∠MND，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠B＝2∠C证得结果。
证明:取AC的中点N，连接MN，DN.∵点M为BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，∴.MN∥AB，MN＝AB。
∴∠B＝∠NMC。∵AD为△ABC的BC边上的高，点N为AC的中点，
∴DN＝AC，
∴DN＝CN，∴∠C＝∠NDC。∵∠NMC＝∠NDM＋∠MND，∠B＝2∠C，
又∵∠B＝∠NMC，∴2∠NDM＝∠NDM＋∠MND，∴∠MND＝∠NDM，
∴DM＝MN，∴DM＝AB。
变式7 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B，请问CF＝DE成立吗？试说明理由。
变式8 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，请你说明EF与AC的关系。
巩 固 提 高
1.下列说法中，错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形
2.如图所示，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
3.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论:
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE
其中正确结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A.5 B. C. D.
6.如图所示，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.98 B.196 C.280 D.284
7.如图所示，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是BC上的点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PF＋PE＝_______________。
8.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点0.分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E.若AD＝6，则点E到AB的距离是____________。
9.如图所示，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F。
（1）求证:四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由。
10.如图所示，在△ABC中,∠BAC＝90°,AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF。
（1）求证:BD＝AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论。
11.如图所示，在矩形ABCD中,P是AD上一动点,O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q。（1）求证:四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝6cm，AB＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为ts，请用含t的代数式表示PD的长，并求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形并求出此时菱形的周长。
12.如图所示，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线，DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
（1）求证:△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由。
真 题 训 练
1.（西宁中考）如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A.5 B.4 C. D.
2.（2018·遵义）如图所示，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.18
3.（2018·株洲）如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为____________。
4.（辽阳中考）如图所示，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝___________。
5.（2018·张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。
（1）求证:DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD。
参考答案及矩形
知识梳理
知识点1: 直角
知识点2: 1.直角 2.相等
考点突破
1.C 2.B 3. 115°
4.解:四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°。∴∠BAE＋∠DAE＝90o，
∵∠DAE:∠BAE＝3:1，∴∠DAE＝3∠BAE。∴∠BAE＋3∠BAE＝90o。
即4∠BAE＝90°∴∠BAE＝22.5°∵∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5o＝67.5°
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90o，∴∠BAE＋∠ABE＝90o
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5o
∵OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB。
∴∠OAB＝∠ABO＝67.5°
∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5o=45o。
即∠BAE的度数为225°，∠EAO的度数为45o。
5.证明:∵FA＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.∵∠DGC＝∠FGA，∴∠FAG＝∠DGC。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°∴∠E＝90°－∠FAG，∠GCD＝90°－∠DGC.
∴∠E＝∠DCG.∴FE＝FC.
6.证明:（1）?四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO。
在△AOE和△COF中，∴△OAE≌△OCF（AAS）
（2）证明:∠BEF＝2∠BAC，且∠BEF＝∠BAC＋∠AOE，
∴∠BAC＝∠AOE；而∠BAC＝∠FCO，∠AOE＝∠FOC，
∴∠FCO＝∠FOC.∴FC＝OF
（3）如图所示，连接OB
∵△OAE≌△OCF，∴AO＝CO，OE＝OF，∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，∴∠BEF＋∠ABO＝90°
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，∴AO＝BO＝AC。
∴∠BAC＝∠ABO，又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
解得∠BAC＝30o，∵BC＝3，∴ AC=2BC＝6。
7.证明:∠ACB＝90o，点D是AB的中点，∴CD＝BD。
∴∠B=∠DCE。∵∠FEC = ∠B，∴∠DCE = ∠FEC
∵点是BC的中点∴DF∥AC。∴∠CED = 90o，∴∠ECF = 90o.
在△CDE和△ECF中，∴△CDF≌△ECF（ASA）。
∴CF=DE。
8.解1EF垂直平分AC。理由；连接AE，EC，∵∠DAB＝90o，∠BCD＝90o，
∴△DAB、△DCB都是直角三角形，∵点E是BD的中点。
∴AE=CE=BD，∴△EAC是等腰三角形。
∵点F是AC的中点，∴EF垂直平分AC。
巩固提高
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7. 8. 9
9，解（1）证明，四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.
∴∠ABD＝∠CDB
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB＝∠BDC，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF。
又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形。
（2）当∠ABE＝30o时，四边形BEDF是菱形。
∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE=60o，∠EBD=∠ABE＝30o
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90，
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30o
∴∠EDB＝∠EBD＝30°∴EB= ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形。
10.解:（1）证明:∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE。
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD。
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD= AF。
四边形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF＝DB，
∵DB=DC∴ AF = CD.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90o，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD = DC = BC，∴四边形ADCF是菱形。
11，解:（1）证明::四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。
∴∠PDO＝∠QBO，∵O为BD中点，∴OB = OD.
在△PDO和△QBO中， ∴△PDO≌△QBO（ ASA）
∴OP＝OQ，又∵OB＝OD，∴四边形PBQD是平行四边形。
（2）菱形的周长为（cm）.
12.解:（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF。
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）四边形BEDF是菱形.
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形。
∴OB＝OD，∵DG＝BG，∴EF⊥BD。
∴平行四边形BEDF是菱形.
真题训练
1.D 2.C 3. 2.5 4. 5
5.解:（1）证明:在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF。
又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°∴∠DFA＝∠B。
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB
∴DF＝AB
（2）∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF。
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 矩形的定义
有一个角是__________的平行四边形是矩形。
注意 （1）矩形必须满足两个条件:①有一个角是直角；②是平行四边形.
（2）矩形的定义既是矩形的判定方法，又是矩形的性质.
（3）矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质。
知识点2 矩形的性质
1.定理 1:矩形的四个角都是____________。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
2.定理 2:矩形的对角线_________________。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD
3.矩形的对称性:
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线。
注意 矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决。
知识点3 矩形的面积
1.S矩形＝AB·BC
2.S矩形＝2S△ABC＝4S△AOB。
知识点4 直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何语言:
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD＝＝AB（或AB＝2CD）.
考 点 突 破
考点1: 利用矩形的性质求线段长
【典例1】如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE:BD＝1:4，求AC的长。
思路导析: 解法一:利用构建方程组的思想解决问题。
解法二:首先证明△ABO是正三角形，在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，由此即可解决问题。
解:解法一:∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD
又∵OF⊥AD，OF∥AB。又∵OB＝OD，∴AB＝2OF＝4cm.
∵BE:BD＝1:4，∴BE:ED＝1:3.
设BE＝x，ED＝3x，则BD＝4x
∵AE⊥BD于点E，∴AE2＝AB2－BE2=AD2-ED2。∴16-x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2＝AB2－16x2-16，
∴16－x2＝16x2－16-9x2，即8x2＝32。∴x2＝4.x＝2或x＝-2（舍去）
∴BD＝2×4＝8（cm）.∴AC＝8cm。
解法二:在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD，
∵BE:BD＝1:4，∴BE:BO＝1:2，即E是BO的中点.
又AE⊥BO，∴AB＝AO。
由矩形的对角线互相平分且相等，知AO＝BO∴△ABO是正三角形。∴∠BAO＝60°。
∴∠OAD＝90°－ 60°＝30°
在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，
∴AC＝2AO＝8.
友情提示 本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题。
变式1 如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F。若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为（ ）
4 B. 5 C. 6 D. 8
变式2 如图所示，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD.若四边形BFDE是菱形，且OE＝AE，则边BC的长为（ ）
2 B. 3 C. D. 6
考点2: 利用矩形的性质求角度
【典例2】 如图所示，在矩形ABCD中，DF平分∠ADC，交AC于E，交BC于F，∠BDF＝15°求∠DOC与∠COF的度数。
思路导析:∠DOC的度数可由∠BDF＝15°,∠CDF＝45°,求得∠ODC＝60°,再通过OC＝OD可证△COD为等边三角形求得；∠COF可放在等腰△COF中求得顶角∠OCF＝30°,求得∠COF＝75°。
解:在矩形ABCD中，∠ADC＝90°。∵DF平分∠ADC，∴∠FDC＝∠ADC＝×90°＝45°
又∵∠BDF＝15°，∴∠BDC＝∠FDC＋∠BDF＝45°＋15°＝60° 。
在矩形ABCD中，OD＝BD，OC＝AC，且AC＝BD，∴OD＝OC
∴△DOC是等边三角形∴∠DOC＝60°
又∵在直角三角形DCF中，∠FDC＝45°
∴CF＝CD＝OC。∴∠COF＝∠CFO。
又∠OCF＝90°－∠OCD＝90°－60°＝30°∴∠COF＝（180°－30°）＝75°
友情提示 在矩形中求某角度数，常通过利用对角线相等且互相平分来构造等边三角形或等腰三角形中特殊角求得。
变式3 如图所示，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠BEC＝____________。
变式4 如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD，∠DAE:∠BAE＝3:1，求∠BAE，∠EAO的度数。
考点3: 利用矩形的性质进行证明
【典例3】 如图所示，在矩形 ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE。
（1）求证:AE＝CF；
（2）求证:四边形AFCE是菱形。
思路导析:（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC＝∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE＝CF；（2）先推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论。
证明:（1）四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACF。
在△EOA和△FOC中， ∴△EOA≌△FOC（ASA） ∴AE＝CF；
（2）∵0A＝OC，OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形
∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形。
友情提示 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的定与性质是解题的关键。
变式5 如图所示，矩形ABCD，E为射线CD上一点，连接AE，F为AE上一点，FC交AD于点G，FA＝FG.求证:FE＝FC。
变式6 如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC。
（1）求证:△OAE≌△OCF；
（2）求证:FC＝OF；
（3）若BC＝23，求AC的长。
考点4:直角三角形斜边上中线的性质的应用
【典例4】如图所示，AD为△ABC的高，∠B＝2∠C，点M为BC的中点，求证:DM＝AB。
思路导析: 由点M为BC的中点，要证DM＝AB，联想到利用三角形中位线定理构造AB，即取AC的中点N，连接MN，DN，只需证明MN＝DM.可通过证明∠MDN＝∠MND，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及∠B＝2∠C证得结果。
证明:取AC的中点N，连接MN，DN.∵点M为BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，∴.MN∥AB，MN＝AB。
∴∠B＝∠NMC。∵AD为△ABC的BC边上的高，点N为AC的中点，
∴DN＝AC，
∴DN＝CN，∴∠C＝∠NDC。∵∠NMC＝∠NDM＋∠MND，∠B＝2∠C，
又∵∠B＝∠NMC，∴2∠NDM＝∠NDM＋∠MND，∴∠MND＝∠NDM，
∴DM＝MN，∴DM＝AB。
变式7 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D，E分别为AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC＝∠B，请问CF＝DE成立吗？试说明理由。
变式8 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，请你说明EF与AC的关系。
巩 固 提 高
1.下列说法中，错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形
2.如图所示，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则AC的长为（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
3.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝6cm，则四边形CODE的周长为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
4.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论:
①△ODC是等边三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE
其中正确结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A.5 B. C. D.
6.如图所示，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）
A.98 B.196 C.280 D.284
7.如图所示，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是BC上的点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PF＋PE＝_______________。
8.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点0.分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E.若AD＝6，则点E到AB的距离是____________。
9.如图所示，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F。
（1）求证:四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由。
10.如图所示，在△ABC中,∠BAC＝90°,AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF。
（1）求证:BD＝AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论。
11.如图所示，在矩形ABCD中,P是AD上一动点,O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q。（1）求证:四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝6cm，AB＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为ts，请用含t的代数式表示PD的长，并求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形并求出此时菱形的周长。
12.如图所示，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线，DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
（1）求证:△ABE≌△CDF；
（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由。
真 题 训 练
1.（西宁中考）如图所示，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为（ ）
A.5 B.4 C. D.
2.（2018·遵义）如图所示，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.18
3.（2018·株洲）如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为____________。
4.（辽阳中考）如图所示，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝___________。
5.（2018·张家界）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F。
（1）求证:DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD。
参考答案及矩形
知识梳理
知识点1: 直角
知识点2: 1.直角 2.相等
考点突破
1.C 2.B 3. 115°
4.解:四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°。∴∠BAE＋∠DAE＝90o，
∵∠DAE:∠BAE＝3:1，∴∠DAE＝3∠BAE。∴∠BAE＋3∠BAE＝90o。
即4∠BAE＝90°∴∠BAE＝22.5°∵∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5o＝67.5°
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90o，∴∠BAE＋∠ABE＝90o
∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5o
∵OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB。
∴∠OAB＝∠ABO＝67.5°
∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝67.5°－22.5o=45o。
即∠BAE的度数为225°，∠EAO的度数为45o。
5.证明:∵FA＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.∵∠DGC＝∠FGA，∴∠FAG＝∠DGC。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°∴∠E＝90°－∠FAG，∠GCD＝90°－∠DGC.
∴∠E＝∠DCG.∴FE＝FC.
6.证明:（1）?四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠FCO。
在△AOE和△COF中，∴△OAE≌△OCF（AAS）
（2）证明:∠BEF＝2∠BAC，且∠BEF＝∠BAC＋∠AOE，
∴∠BAC＝∠AOE；而∠BAC＝∠FCO，∠AOE＝∠FOC，
∴∠FCO＝∠FOC.∴FC＝OF
（3）如图所示，连接OB
∵△OAE≌△OCF，∴AO＝CO，OE＝OF，∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，∴∠BEF＋∠ABO＝90°
∵∠ABC＝90°，AO＝CO，∴AO＝BO＝AC。
∴∠BAC＝∠ABO，又∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
解得∠BAC＝30o，∵BC＝3，∴ AC=2BC＝6。
7.证明:∠ACB＝90o，点D是AB的中点，∴CD＝BD。
∴∠B=∠DCE。∵∠FEC = ∠B，∴∠DCE = ∠FEC
∵点是BC的中点∴DF∥AC。∴∠CED = 90o，∴∠ECF = 90o.
在△CDE和△ECF中，∴△CDF≌△ECF（ASA）。
∴CF=DE。
8.解1EF垂直平分AC。理由；连接AE，EC，∵∠DAB＝90o，∠BCD＝90o，
∴△DAB、△DCB都是直角三角形，∵点E是BD的中点。
∴AE=CE=BD，∴△EAC是等腰三角形。
∵点F是AC的中点，∴EF垂直平分AC。
巩固提高
1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7. 8. 9
9，解（1）证明，四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.
∴∠ABD＝∠CDB
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB＝∠BDC，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF。
又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形。
（2）当∠ABE＝30o时，四边形BEDF是菱形。
∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE=60o，∠EBD=∠ABE＝30o
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90，
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30o
∴∠EDB＝∠EBD＝30°∴EB= ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形。
10.解:（1）证明:∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE。
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD。
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD= AF。
四边形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF＝DB，
∵DB=DC∴ AF = CD.
∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90o，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD = DC = BC，∴四边形ADCF是菱形。
11，解:（1）证明::四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。
∴∠PDO＝∠QBO，∵O为BD中点，∴OB = OD.
在△PDO和△QBO中， ∴△PDO≌△QBO（ ASA）
∴OP＝OQ，又∵OB＝OD，∴四边形PBQD是平行四边形。
（2）菱形的周长为（cm）.
12.解:（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF。
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）四边形BEDF是菱形.
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.∴四边形BEDF是平行四边形。
∴OB＝OD，∵DG＝BG，∴EF⊥BD。
∴平行四边形BEDF是菱形.
真题训练
1.D 2.C 3. 2.5 4. 5
5.解:（1）证明:在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF。
又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°∴∠DFA＝∠B。
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB
∴DF＝AB
（2）∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF。
∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8