【鲁教版八下精美学案】6.2.2 矩形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】6.2.2 矩形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-02-28 20:28:03 | ||
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文档简介
第2节 矩形的性质与判定
第2课时
知 识 梳 理
知识点1 矩形的判定
1.定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
几何语言: 如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝__________，
∴四边形ABCD是矩形。
2.定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言:如图所示，
∵______________________，
∴四边形ABCD是矩形。
3.定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，_____________，
∴ ABCD是矩形。
注意 判定矩形的两种基本思路:
（1）四边形矩形
（2）平行四边形 → → 矩形
知识点2 解决矩形问题常添辅助线
1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形
2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形
考 点 突 破
考点1: 矩形的判定
【典例1】如图所示，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证:四边形ECD是矩形。
思路导析:根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形.结合等腰三角形ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 BECD是矩形。
证明: ∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD。
∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD∴四边形BECD是平行四边形。
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BECD是矩形。
方法归纳 （1）若已知四边形是平行四边形，再加有一个角是直角或对角线相等即可判定为矩形。（2）若未知四边形是平行四边形，则由四边形有三个角是直角可得到矩形。
变式1已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使ABCD为矩形，需添加下列的一个条件（ ） A.OA＝OB B.∠BAC＝∠DAC C.AC⊥BD D.AB＝BC
变式2下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分
考点2: 矩形的性质和判定的综合应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE。
（1）求证:△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论。
思路导析:（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD为矩形，理由如下:由OD＝AC，得到OB＝AC，即OD＝OA＝OC＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证。
解:（1）证明:DF∥BE，∴∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO。
∵O为AC的中点，OA＝OC。∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF。
在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形。理由如下:
∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD。∵OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴BD＝AC
∴四边形ABCD为矩形
方法归纳 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键。
变式3 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF。
（1）求证:四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证:四边形ADCF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论。
变式4 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E。
（1）求证:四边形ADBE是矩形；
（2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求△ABC的面积。
考点3:矩形中的折叠问题
【典例3】 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B’处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，求矩形ABCD的面积。
思路导析: 在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由于把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°,∠A＝∠A′＝90°，
AE＝A′E＝2，AB＝A′B′，在△EFB′中可知∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°，故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E＝90°－60°＝30°，根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
解:在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝60°。
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝2，
AB＝A′B′。
在△EFB′中，∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°，∴△EFB′是等边三角形。
在Rt△A′EB′中，∠A′B′E＝90°－60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2.
∴B′E＝4，∴A′B′＝2.∴AB＝2。
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE＋DE＝2＋6＝8。
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×8＝16。
友情提示 本题考查了矩形的性质；翻折变换的性质；两直线平行，内错角相等的性质，找直角三角形并熟记性质是解题的关键。
变式5 矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为____________。
变式6 如图所示，已知AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
（1）求证:四边形AECF是平行四边形。
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积。
考点4: 矩形在平面直角坐标系中的应用
【典例4】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6,0），（0,4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是__________。
思路导析:由矩形的性质得出BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，
∠B＝∠OCB＝90°，分三种情况:①当PO＝PA时；②当AP＝AO＝6时；③当OP＝OA＝6时，分别求出PC的长，即可得出结果。
解:∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，∠B＝∠OCB＝90°
分三种情况:如图所示:
①当PO＝PA时，P在OA的垂直平分线上，P是 BC的中点，PC＝3，
∴点P的坐标为（3，4）；
②当AP1＝AO＝6时，BP1＝＝2，
∴P1C＝6-2。
∴P1（6-2，4）
③当OP2＝OA＝6时，P2C＝＝2，∴P2（2，4）
综上所述:点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（6-2，4）.
答案:（3，4）或（25，4）或（6-25，4）
友情提示 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键。
变式7 如图所示，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A.3 B.2 C. D.4
变式8 如图所示，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（-5，4）点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（ ）
A.（-5，3） B.（-5，4） C.（-5，） D.（-5，2）
考点5:矩形中的动点问题
【典例5】在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t。
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
思路导析:（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；（2）分两种情形列出方程即可解决问题。
解:（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6-t＝10-2t，解得t＝4。
即t＝4s时，四边形EFCD为矩形。
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4-2t，解得t＝。
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t-4，解得t＝4
综上所述，t＝4s或s时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形。
友情提示 本题考查矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题。
变式9 如图所示，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形。
变式9图
变式10 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点.
（1）求证:四边形PBQD为平行四边形；
（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点P的运动时间为ts.问:四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由。
巩 固 提 高
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.∠ABC＝90° B.AC＝BD
C.AD＝BC，AB∥CD D.∠BAD＝∠ADC
2.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A.22 B.26 C.22或26 D.28
4.在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
5.如图所示，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（ ）
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形.
A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
6.如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为___________。
7.如图所示，△ABC中，∠B＝90°,AB＝8，BC＝6，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是_______。
8.如图所示，在平行四边形中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时动点E以相同速度从点C出发，沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t，连接DE，CF.
探究: ①当t＝_______s，四边形DECF是菱形；
②当t＝_________s，四边形DECF是矩形。
9.已知:如图所示，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F。
（1）求证:△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么关系时四边形DEBF是矩形？请说明理由。
10.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF。
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2） ①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由。
11.如图所示，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB＝10cm，AD＝8cm，DE＝6cm.
（1）求证:平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长。
12.如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形:△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题:
（1）求证:四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，□AFED是否总存在？
真 题 训 练
1.（2018·上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC
2.（临沂中考）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C.若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
3.（2017春·滦县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC，AC，AB边的中点分
E别是点D，E，F，则下列说法BDC可能不正确的为（ ）
A.四边形CDFE是矩形 B.DE＝CF＝AB C.S△ABC＝4S△AEF D.∠B＝30°
4.（2018·沈阳）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E。
（1）求证:四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，ABCD的面积是_____________。
参考答案及矩形
知识梳理
知识点1: 1.90° 2.∠A＝∠B＝∠C＝90° 3.AC＝BD
考点突破
1.A 2.B
3.解:（1）证明:∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD.
在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝BD。∴AF＝DC，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形，
证明:∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝BC＝DC。∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形
4.解:（1）证明:∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形。
∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC。即∠ADB＝90°，
∴四边形ADCE为矩形。
（2）在矩形ADCE中，AO＝， DE = AB = 5。
∵D是BC的中点，∴AE=DB=4，∴AB＝2AO＝5.
∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝3.
∴△ABC的面积=BC·AD = ×8×3 = 12.
2.5
6.解:（1）证明:由折叠的性质，得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝∠CME＝90o，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC。
∴AM＝CN，∠DAC＝∠BCA.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中， ∴△ANF≌△CME。
∴AF＝CE。∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
（2）AB＝6，AC＝10，，BC＝8.
设CE＝x，则EM＝8-x，CM＝10-6＝4
在Rt△CEM中，（8-x）2＋42＝x2，解得?四边形AECF的面积＝EC?AB＝5×6＝30。
7.C 8.A 9. 4
10.解:（1）证明:?四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OD＝OB.
∴∠PDO＝∠QBO，又∠POD＝∠QOB，∴△POD≌△QOB
∴OP＝OQ，∴四边形PBQD为平行四边形
（2）能.点P从点A出发运动t s时，AP＝t cm，PD＝（4-t）cm，当PB＝PD＝（4 - t )cm时，四边形PBQD是菱形.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°
∴在Rt△ABP中，AP2＋AB2＝PB2，即t2＋32＝（4－t）2.解得t＝。
∴点P的运动时间为s时，四边形PBQD为菱形.
巩固提高
1.C 2.B 3.C 4.A 5.B
6.DF⊥DE 7. 4.8 8. 4
9.解:（1）证明:∵ ABCD，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF。
在△ADE与△CBF中 ∴△ADE≌△CBF（ASA）
（2）当AD＝BD时，∵DE平分∠ADB，∴DE⊥BE。
∴∠DEB＝90o。∵△ADE≌△CBF，∴DE = BF。
∵∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF。
∴四边形DEBF是平行四边形。
∵∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形。
10.解:（1）E是AD的中点，∴AE = ED。∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECD。
在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC。
∴AF = DC。∵AF＝BD，∴BD = DC.
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形。
证明:∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形。
∵AB＝AC， BD = DC，∴AD⊥BC。
∴∠ADB＝90o，∴四边形AFBD是矩形。
②当∠BAC＝90o时，四边形AFBD是菱形。
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形。
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形。
11.解:（1）证明:把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100，又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100。
∴AD2＋DE2＝AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°。
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4 cm， FC＝BC－BF＝8－X，
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋（8-x）2＝x2，解得x＝5，
故BF＝5cm；
（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2＋BF2＝AF2，
∵AB＝10 cm， BF＝5 cm，
∴AF＝＝5cm。
12.解:（1）证明:四边形ADEF是平行四边形。
理由；△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.∴∠DBE＝∠ABC.
∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC。
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF。
同理可得:△ABC≌△FEC，即EF＝AB=DA
∵DE＝AF， DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形
（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°。
∵∠DAB＝∠FAC＝60o，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150° 。
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形；
（3）当∠BAC≠60o且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，
∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFE是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形；
（4）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在。
真题训练
1.B 2.D 3.D
4.解:（1）证明:四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90o
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形.∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝ OD＝1，DE = OC＝2.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2。
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×4×2＝4.
故答案是4.
第2课时
知 识 梳 理
知识点1 矩形的判定
1.定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
几何语言: 如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝__________，
∴四边形ABCD是矩形。
2.定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。
几何语言:如图所示，
∵______________________，
∴四边形ABCD是矩形。
3.定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，_____________，
∴ ABCD是矩形。
注意 判定矩形的两种基本思路:
（1）四边形矩形
（2）平行四边形 → → 矩形
知识点2 解决矩形问题常添辅助线
1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形
2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形
考 点 突 破
考点1: 矩形的判定
【典例1】如图所示，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证:四边形ECD是矩形。
思路导析:根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形.结合等腰三角形ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 BECD是矩形。
证明: ∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD。
∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD∴四边形BECD是平行四边形。
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BECD是矩形。
方法归纳 （1）若已知四边形是平行四边形，再加有一个角是直角或对角线相等即可判定为矩形。（2）若未知四边形是平行四边形，则由四边形有三个角是直角可得到矩形。
变式1已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使ABCD为矩形，需添加下列的一个条件（ ） A.OA＝OB B.∠BAC＝∠DAC C.AC⊥BD D.AB＝BC
变式2下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分
考点2: 矩形的性质和判定的综合应用
【典例2】如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE。
（1）求证:△BOE≌△DOF；
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论。
思路导析:（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA＝OC，又AE＝CF，得到OE＝OF，利用AAS即可得证；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD为矩形，理由如下:由OD＝AC，得到OB＝AC，即OD＝OA＝OC＝OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证。
解:（1）证明:DF∥BE，∴∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO。
∵O为AC的中点，OA＝OC。∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF。
在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是矩形。理由如下:
∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD。∵OD＝AC，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴BD＝AC
∴四边形ABCD为矩形
方法归纳 此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键。
变式3 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF。
（1）求证:四边形ADCF是平行四边形；
（2）当AB＝AC时，求证:四边形ADCF是矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论。
变式4 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E。
（1）求证:四边形ADBE是矩形；
（2）连接DE，交AB于点O，若BC＝8，AO＝，求△ABC的面积。
考点3:矩形中的折叠问题
【典例3】 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B’处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，求矩形ABCD的面积。
思路导析: 在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由于把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°,∠A＝∠A′＝90°，
AE＝A′E＝2，AB＝A′B′，在△EFB′中可知∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°，故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E＝90°－60°＝30°，根据直角三角形的性质得出A′B′＝AB＝2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
解:在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝60°。
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝2，
AB＝A′B′。
在△EFB′中，∠DEF＝∠EFB＝∠EB′F＝60°，∴△EFB′是等边三角形。
在Rt△A′EB′中，∠A′B′E＝90°－60°＝30°，
∴B′E＝2A′E，而A′E＝2.
∴B′E＝4，∴A′B′＝2.∴AB＝2。
∵AE＝2，DE＝6，
∴AD＝AE＋DE＝2＋6＝8。
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×8＝16。
友情提示 本题考查了矩形的性质；翻折变换的性质；两直线平行，内错角相等的性质，找直角三角形并熟记性质是解题的关键。
变式5 矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为____________。
变式6 如图所示，已知AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
（1）求证:四边形AECF是平行四边形。
（2）若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积。
考点4: 矩形在平面直角坐标系中的应用
【典例4】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6,0），（0,4），点P是线段BC上的动点，当△OPA是等腰三角形时，则P点的坐标是__________。
思路导析:由矩形的性质得出BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，
∠B＝∠OCB＝90°，分三种情况:①当PO＝PA时；②当AP＝AO＝6时；③当OP＝OA＝6时，分别求出PC的长，即可得出结果。
解:∵四边形OABC是矩形，∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，∠B＝∠OCB＝90°
分三种情况:如图所示:
①当PO＝PA时，P在OA的垂直平分线上，P是 BC的中点，PC＝3，
∴点P的坐标为（3，4）；
②当AP1＝AO＝6时，BP1＝＝2，
∴P1C＝6-2。
∴P1（6-2，4）
③当OP2＝OA＝6时，P2C＝＝2，∴P2（2，4）
综上所述:点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（6-2，4）.
答案:（3，4）或（25，4）或（6-25，4）
友情提示 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键。
变式7 如图所示，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A.3 B.2 C. D.4
变式8 如图所示，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（-5，4）点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（ ）
A.（-5，3） B.（-5，4） C.（-5，） D.（-5，2）
考点5:矩形中的动点问题
【典例5】在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t。
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
思路导析:（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；（2）分两种情形列出方程即可解决问题。
解:（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，则有6-t＝10-2t，解得t＝4。
即t＝4s时，四边形EFCD为矩形。
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4-2t，解得t＝。
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t-4，解得t＝4
综上所述，t＝4s或s时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形。
友情提示 本题考查矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题。
变式9 如图所示，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形。
变式9图
变式10 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点.
（1）求证:四边形PBQD为平行四边形；
（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点P的运动时间为ts.问:四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由。
巩 固 提 高
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A.∠ABC＝90° B.AC＝BD
C.AD＝BC，AB∥CD D.∠BAD＝∠ADC
2.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为（ ）
A.22 B.26 C.22或26 D.28
4.在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
5.如图所示，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（ ）
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形.
A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
6.如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为___________。
7.如图所示，△ABC中，∠B＝90°,AB＝8，BC＝6，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是_______。
8.如图所示，在平行四边形中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，动点F从D出发，以1个单位每秒的速度从D向A运动，同时动点E以相同速度从点C出发，沿BC方向在BC的延长线上运动，设运动时间为t，连接DE，CF.
探究: ①当t＝_______s，四边形DECF是菱形；
②当t＝_________s，四边形DECF是矩形。
9.已知:如图所示，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F。
（1）求证:△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么关系时四边形DEBF是矩形？请说明理由。
10.如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF。
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2） ①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由。
11.如图所示，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB＝10cm，AD＝8cm，DE＝6cm.
（1）求证:平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长。
12.如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形:△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题:
（1）求证:四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，□AFED是否总存在？
真 题 训 练
1.（2018·上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A.∠A＝∠B B.∠A＝∠C C.AC＝BD D.AB⊥BC
2.（临沂中考）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C.若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
3.（2017春·滦县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC，AC，AB边的中点分
E别是点D，E，F，则下列说法BDC可能不正确的为（ ）
A.四边形CDFE是矩形 B.DE＝CF＝AB C.S△ABC＝4S△AEF D.∠B＝30°
4.（2018·沈阳）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E。
（1）求证:四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1，DE＝2，ABCD的面积是_____________。
参考答案及矩形
知识梳理
知识点1: 1.90° 2.∠A＝∠B＝∠C＝90° 3.AC＝BD
考点突破
1.A 2.B
3.解:（1）证明:∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD.
在△AEF和△DEB中， ∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝BD。∴AF＝DC，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，
∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形，
证明:∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝BC＝DC。∵四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形
4.解:（1）证明:∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形。
∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC。即∠ADB＝90°，
∴四边形ADCE为矩形。
（2）在矩形ADCE中，AO＝， DE = AB = 5。
∵D是BC的中点，∴AE=DB=4，∴AB＝2AO＝5.
∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝3.
∴△ABC的面积=BC·AD = ×8×3 = 12.
2.5
6.解:（1）证明:由折叠的性质，得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝∠CME＝90o，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC。
∴AM＝CN，∠DAC＝∠BCA.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中， ∴△ANF≌△CME。
∴AF＝CE。∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形.
（2）AB＝6，AC＝10，，BC＝8.
设CE＝x，则EM＝8-x，CM＝10-6＝4
在Rt△CEM中，（8-x）2＋42＝x2，解得?四边形AECF的面积＝EC?AB＝5×6＝30。
7.C 8.A 9. 4
10.解:（1）证明:?四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OD＝OB.
∴∠PDO＝∠QBO，又∠POD＝∠QOB，∴△POD≌△QOB
∴OP＝OQ，∴四边形PBQD为平行四边形
（2）能.点P从点A出发运动t s时，AP＝t cm，PD＝（4-t）cm，当PB＝PD＝（4 - t )cm时，四边形PBQD是菱形.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°
∴在Rt△ABP中，AP2＋AB2＝PB2，即t2＋32＝（4－t）2.解得t＝。
∴点P的运动时间为s时，四边形PBQD为菱形.
巩固提高
1.C 2.B 3.C 4.A 5.B
6.DF⊥DE 7. 4.8 8. 4
9.解:（1）证明:∵ ABCD，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF。
在△ADE与△CBF中 ∴△ADE≌△CBF（ASA）
（2）当AD＝BD时，∵DE平分∠ADB，∴DE⊥BE。
∴∠DEB＝90o。∵△ADE≌△CBF，∴DE = BF。
∵∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF。
∴四边形DEBF是平行四边形。
∵∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形。
10.解:（1）E是AD的中点，∴AE = ED。∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECD。
在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC。
∴AF = DC。∵AF＝BD，∴BD = DC.
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形。
证明:∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形。
∵AB＝AC， BD = DC，∴AD⊥BC。
∴∠ADB＝90o，∴四边形AFBD是矩形。
②当∠BAC＝90o时，四边形AFBD是菱形。
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形。
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形。
11.解:（1）证明:把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100，又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100。
∴AD2＋DE2＝AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°。
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4 cm， FC＝BC－BF＝8－X，
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋（8-x）2＝x2，解得x＝5，
故BF＝5cm；
（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2＋BF2＝AF2，
∵AB＝10 cm， BF＝5 cm，
∴AF＝＝5cm。
12.解:（1）证明:四边形ADEF是平行四边形。
理由；△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°
∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.∴∠DBE＝∠ABC.
∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC。
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，∴DE＝AF。
同理可得:△ABC≌△FEC，即EF＝AB=DA
∵DE＝AF， DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形
（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°。
∵∠DAB＝∠FAC＝60o，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150° 。
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AFED是矩形；
（3）当∠BAC≠60o且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，
∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFE是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形；
（4）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在。
真题训练
1.B 2.D 3.D
4.解:（1）证明:四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90o
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形.∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE＝ OD＝1，DE = OC＝2.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2。
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×4×2＝4.
故答案是4.