高中数学第一章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数极值课件 新人教B版选修2_2（38张）

课件38张PPT。1.3　导数的应用
1.3.2　利用导数研究函数的极值(二)探要点·究所然情境导学
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在
某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题.探究点一　求函数的最值
思考1　如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答　f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值.填要点·记疑点1.函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得.端点极值点2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .极值端点处最大值最小值思考2　观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间
[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.3.在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值.
4.极值与最值的意义
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.思考3　函数的极值和最值有什么区别和联系？
答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值.例1　求下列函数的最值：
f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
解　f(x)＝2x3－12x，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：当x＝3时，f(x)取得最大值18.反思与感悟　(1)求函数的最值，求极值是关键的一环.若仅是求最值，则简化为：
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得.跟踪训练1　求下列函数的最值：
f(x)＝ x3－4x＋4，x∈[0,3]；∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.探究点二　含参数的函数的最值问题
例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
解　f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.从而f(x)max＝f(0)＝0.反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.跟踪训练2　求函数f(x)＝ x3－4x＋4在[0，a](a>0)上的最大值和最小值.
解　f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去).
因为0≤x≤a，所以当0所以f(x)在区间[0，a]上是减函数.当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝4.
当a>2时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知：当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－ ，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个.所以当2思考　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答　解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可.
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.例3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)解　∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2).
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)解　由(1)知f(x)∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞).反思与感悟　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.跟踪训练3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).
(1)求f(x)的最小值h(t)；
解　∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
解　令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，
∴只需g(t)max＝1－m<0，
∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)当堂测·查疑缺 1.函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.1234D2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值1234解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x∈(－1,1)
时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
答案　D12343.函数y＝x－sin x，x∈ 的最大值是(　　)
A.π－1 B. －1
C.π D.π＋1
解析　因为y′＝1－cos x，12341234所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.答案　C4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.
解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.1234本课小结：1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.谢谢观看