高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法课件 新人教B版选修2_2（37张）

课件37张PPT。数学归纳法请问：?以上三个结论正确吗？为什么?
?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。 问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” 问题 2：三角形的内角和为180o，四边形的内角和为2?180o,五边形的内 角和为3?180o，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) ?180o。
? 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。一、提出问题? 1、错2、对3、对二、概念1、归纳法定义：
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。2、归纳法分类：
　　 归纳法 想一想：由两种归纳法得出的结论一定正确吗？说 明：（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论
不一定正确。（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。提出问题如何寻找一种严格推理的归纳法？思考？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）创设情境⑴ 第一块骨牌倒下；⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下?两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。【归纳奠基】【归纳递推】例题：用数学归纳法证明（二）、数学归纳法的步骤根据(1)(2)知对任意的 　　　　　　时命题成立。注：（1）证明当 取第一个值 或 时结论正确两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。（1）（2）用数学归纳法证明：
练习1用数学归纳法证明：
证明：
请你来批作业第二步的证明没有用上归纳假设!用数学归纳法证明：
证明：
练习1
证明：1、当n=1时,左=12=1，右=
∴n=1时，等式成立
2、假设n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=12+22+…+k2+(k+1)2=
=右
∴n=k+1时，原等式成立
由1、2知当n?N*时，原等式都成立练习1.用数学归纳法证明第二步的证明要用上归纳假设!(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到
n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学
归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无
效. 证明中的几个注意问题：(2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时
应根据具体情况而定.(3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要
分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清
应增加的项.1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；
2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；
3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；
5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：多米诺骨牌动画演示返回问题情境三 题型一 用数学归纳法证明等式问题第二步的证明要用上归纳假设!例3、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且
用数学归纳法证明:证:(1)当n=1时,
=1,结论成立.(2)假设当n=k时,结论成立,即则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.第二步的证明要用上归纳假设!题型二 用数学归纳法证明不等式问题例5、用数学归纳法证明:证:(1)当n=2时, 左边= 不等式
成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有:题型二 用数学归纳法证明不等式问题即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例6、证明不等式:证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:则当n=k+1时,我们有:即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例7、求证:证:(1)当n=2时,左边= ,右边= ,由于

故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例8、已知x> ?1，且x?0，n?N，n?2．
求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
当n=k+1时，因为x> ?1 ，所以1+x>0，于是
左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；
右边=1+(k+1)x．
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．
根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x?0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立例9、已知 求证 : . 证:(1)当n=2时, ,
不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时, 有:即当n=k+1时,不等式成立.由(1),(2)所证不等式对一切 都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除问题例11、用数学归纳法证明:
当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命
题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有 都能被x+y整除.故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.例12、用数学归纳法证明: 能被8
整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即
是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是
8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.例13、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被
x2+x+1整除则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+12+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1
= x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1)-整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.即当n=k+1时,命题成立.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.题型四 用数学归纳法证明几何问题例15、平面内有n (n?2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的 个数 为多少?并证明.当n=k+1时：第k+1条直线分别与前k条直线各交于
一点，共增加k个点，由1）、2）可知，对一切n∈N?原命题均成立。证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1,
而f(2)= ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。 ∴k+1条直线交点个数=f(k)+k= k(k-1)+k
= k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1),

即当n=k+1时命题仍成立。2）假设n=k(k∈N?,k≥2)时，k条直线交点个数为
f(k)= k(k-1),题型四 用数学归纳法证明几何问题题型五 用数学归纳法解决探究性问题题型五 用数学归纳法解决探究性问题例18、是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.题型五 用数学归纳法解决探究性问题(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.