2018-2019学年度高中数学人教A版必修二课时作业：2.3.1　直线与平面垂直的判定+Word版含解析

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1　直线与平面垂直的判定
【选题明细表】
知识点、方法
题号
线面垂直的定义及判定定理的理解
1,2,3,5,6
线面垂直的判定及证明
4,8
直线与平面所成的角
7,9
综合问题
10,11
基础巩固
1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是(　A　)
(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α (B)若l∥α,m?α,则l∥m
(C)若l⊥m,m?α,则l⊥α (D)若l∥α,m∥α,则l∥m
解析:易知A正确.
B.l与m可能异面,也可能平行.
C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,
D.l与m可能平行、异面或相交.
2.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是(　C　)
(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直
(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交
解析:取BD的中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.
3.(2018·云南玉溪中学高一测试)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则直线l和平面α的位置关系是(　D　)
(A)垂直 (B)平行
(C)l在α内 (D)无法确定
解析:当l与平面α内的无数条直线都垂直,若这无数条直线互相平行,则l可能在α内,也可能与平面α平行,相交,故选D.
4.(2018·陕西西安高一期末)已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的(　B　)
(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心
解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.
5.下列说法中错误的是(　D　)
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必
相交;
②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;
④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.
(A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③
解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.
6.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为　　　　.(写出所有真命题的序号)?
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m?α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m?α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;对于③④,若直线m?α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确.
答案:②④
7.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为　　　　.?
解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.
答案:45°
8.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.
证明:因为∠ACB=90°,
所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.
因为AD?平面SAC,所以BC⊥AD.
又SC⊥AD,SC∩BC=C,
所以AD⊥平面SBC.
能力提升
9.(2018·宁夏银川高一期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中(底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:如图,分别取C1A1,CA的中点E,F,连接B1E与BF,则B1E⊥平面CAA1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA1C1,连接AH,则∠DAH为AD与平面AA1C1所成的角,由已知易得DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH=
=.
10.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是　　　　.?
解析:连接SO,如图所示,
因为四棱锥S-ABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.
因为SD⊥底面ABCD,
所以SD⊥AC,
因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,
因为SB?平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;
因为AB∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD,
所以AB∥平面SCD,则②正确;
因为SD⊥底面ABCD,
所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,
因为AD=CD,SD=SD,
所以∠SAD=∠SCD,则③正确;
因为AC⊥平面SBD,SO?平面SBD,
所以AC⊥SO,则④正确.
答案:①②③④
教师备用:侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°,
AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.
(1) 求证:MN∥平面A′ACC′;
(2) 求证:A′N⊥平面BCN;
(3) 求三棱锥C-MNB的体积.
(1)证明:如图,连接AB′,AC′,
因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,
所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,
又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,
又MN?平面A′ACC′,且AC′?平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点,
所以A′N⊥B′C′.
又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′,
所以A′N⊥平面BCN.
(3)解:由图可知=,
因为∠BAC=90°,所以BC==2,
S△BCN=×2×4=4.
由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=,
因为M为A′B的中点,
所以M到平面BCN的距离为,
所以==×4×=.
探究创新
11.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).
(1)求证:DE∥平面A1CB;
(2)求证:A1F⊥BE;
(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.
(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC.
又因为DE?平面A1CB,BC?平面A1CB,
所以DE∥平面A1CB.
(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,
所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D,DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.
而A1F?平面A1DC,
所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,
所以A1F⊥平面BCDE.
所以A1F⊥BE.
(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,
则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.
所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.