3.1.1 倾斜角与斜率
基础巩固
1.已知直线l的倾斜角为α,则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为( C )
(A)α (B)90°-α
(C)180°-α (D)90°+α
解析:根据倾斜角的定义,结合图形知所求直线的倾斜角为180°-α.
2.(2018·湖北宜昌期末)若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB斜率为( A )
(A) (B)1 (C) (D)-
解析:因为直线经过A(1,0),B(4,)两点,
所以直线AB斜率k==.故选A.
3.(2018·天津期末)经过两点A(4,a),B(2,3)的直线的倾斜角为45°,则a等于( C )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:由题意可得=tan 45°=1,解得a=5.故选C.
4.若经过A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( A )
(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)
(C)(-∞,-1) (D)(-1,+∞)
解析:由l的倾斜角为锐角,可知kAB=>0,即m<1.故选A.
5.(2018·江西师大附中高一测试)当直线l的倾斜角α满足0°≤α<120°,且α≠90°时,它的斜率k满足( C )
(A)--
(C)k≥0或k<- (D)k≥0或k<-
解析:当0°≤α<90°时,k≥0;当90°<α<120°时,k<-.
6.已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 .?
解析:直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是(90°,180°).
答案:(90°,180°)
7.求过下列两点的直线l的斜率:
(1)A(a,b),B(ma,mb)(m≠1,a≠0);
(2)P(4,2),Q(2m,1).
解:(1)因为m≠1,a≠0.
所以k===.
(2)当m=2时,斜率不存在;
当m≠2时,k==.
8.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°.
解:(1)当点P在x轴上时,设点P(a,0),
因为A(1,2),所以直线PA的斜率k==.
又直线PA的倾斜角为60°,
所以tan 60°=,
解得a=1-,
所以点P的坐标为(1-,0).
(2)当点P在y轴上时,设点P(0,b),
同理可得b=2-,
所以点P的坐标为(0,2-).
能力提升
9.(2018·广东中山期末)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则,,的大小关系为( B )
(A)>> (B)<<
(C)>> (D)<<
解析:作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示.由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以<<,故选B.
10.已知M(1,),N(,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( B )
(A) (B) (C)1 (D)
解析:设直线MN的倾斜角为α,
则tan α===,α=60°,
所以直线l的倾斜角为30°,斜率为,故选B.
11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+= .?
解析:因为A,B,C三点共线,所以=,
所以(a-2)(b-2)=4,即ab=2a+2b=2(a+b).
所以+===.
答案:
12.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1),
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化 范围.
解:(1)由斜率公式得kAB==0,kBC==.kAC==.
(2)如图所示.设直线CD的斜率为k,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为[,].
探究创新
13.已知实数x,y满足关系式x+2y=6,当1≤x≤3时,求的取值范围.
解:的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率.
因为点M在y=3-x的图象上,且1≤x≤3,
所以可设该线段为AB,其中A(1,),B(3,).
由于kNA=-,kNB=,
所以的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线平行关系
2,6,9
两直线垂直关系
3,4,7,10,12
两直线平行、垂直关系的应用
1,5,8,11,13
基础巩固
1.下列说法正确的有( B )
①若两不重合直线斜率相等,则两直线平行;
②若l1∥l2,则k1=k2;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线垂直;
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为( B )
(A)-1 (B) (C)2 (D)
解析:由kAB=kPQ,得=,
即m=.故选B.
3.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( C )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形
解析:如图所示,
易知kAB==-,kAC==,
由kAB·kAC=-1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形,故选C.
4.若A(0,1),B(,4)在直线l1上,且直线l1⊥l2,则l2的倾斜角为( C )
(A)-30° (B)30°
(C)150° (D)120°
解析:因为==,所以l1的倾斜角为60°.因为两直线垂直,所以l2的倾斜角为60°+90°=150°.故选C.
5.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,则四边形ABCD的形状是( D )
(A)平行四边形 (B)矩形
(C)菱形 (D)直角梯形
解析:因为kAB==,
kCD==,kAD==-3,
kBC==-,
所以AB∥CD,AD⊥AB,
所以四边形ABCD为直角梯形.
6.(2018·湖北武汉检测)已知直线l1的斜率k1=3,直线l2过点A(3, -1),B(4,y),C(x,2),且l1∥l2,则x= ,y= .?
解析:由题知解得
答案:4 2
7.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x= ,y= .?
解析:因为l1⊥l2,且l1的斜率为2,则l2的斜率为-,
所以==-,所以x=-1,y=7.
答案:-1 7
8.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
解:设D(x,y),
则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.
因为kCD·kAB=-1,kAD=kCB,
所以
所以
即D(0,1).
能力提升
9.(2016·湖南师大附中高一测试)已知直线l1的斜率为2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),若l1∥l2,则lox等于( D )
(A)3 (B) (C)2 (D)-
解析:由题意得=2,得x=3,
所以lo3=-.
10.已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为( C )
(A)(0,-6) (B)(0,7)
(C)(0,-6)或(0,7) (D)(-6,0)或(7,0)
解析:由题意可设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以AP⊥BP,且直线AP与直线BP的斜率都存在.
又kAP=,kBP=,kAP·kBP=-1,
即·(-)=-1,
解得y=-6或y=7.
所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7),故选C.
11.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),则给出下面四个结论:①AB∥CD,②AB⊥CD,③AC∥BD,④AC⊥BD.其中正确结论的序号是 .?
解析:因为kAB=-,kCD=-,kAC=,kBD=-4,
所以kAB=kCD,kAC·kBD=-1,所以AB∥CD,AC⊥BD.
答案:①④
12.如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA⊥EF.
证明:建立如图所示的直角坐标系.
设A(0,1),P(x,x),
则E(1,x),F(x,0)(0kPA==,kEF=,
因为kPA·kEF=-1,
所以PA⊥EF.
探究创新
13.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(2,1),中心E(3,3).
(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形;
(2)点P(x,y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动,求的取值范围.
解:(1)因为平行四边形的对角线互相平分,
所以由中点坐标公式得C(5,4),D(4,5).
所以kAB=-1,kBC=1.
所以kAB·kBC=-1,
所以AB⊥BC,
即平行四边形ABCD为矩形.
又|AB|=,|BC|=3,
所以|AB|≠|BC|,
即平行四边形ABCD不是正方形.
(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动,
所以的几何意义为直线OP的斜率.作出大致图象,如图所示,
由图可知kOB≤kOP≤kOA,
因为kOB=,kOA=2,所以≤kOP≤2,
所以的取值范围为[,2].
3.2.1 直线的点斜式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的点斜式方程
4,5,6,7,8,11
直线的斜截式方程
1,2,3,9,10
基础巩固
1.(2018·北京海淀期末)直线2x+y-1=0在y轴上的截距为( D )
(A)-2 (B)-1 (C)- (D)1
解析:直线2x+y-1=0化为y=-2x+1,则在y轴上的截距为1.故选D.
2.(2018·深圳调研)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( B )
解析:当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.故选B.
3.(2018·陕西西安高一期末)已知直线的斜率是2,在y轴上的截距是-3,则此直线方程是( A )
(A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0
(C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0
解析:由直线方程的斜截式得方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.
4.经过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( C )
(A)x+y+3=0 (B)x-y+5=0
(C)x+y-3=0 (D)x+y-5=0
解析:过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为=-1.所求的直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
5.已知三角形的三个顶点A(4,3),B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的高CD所在的直线方程是( A )
(A)5x+y-2=0
(B)x-5y-16=0
(C)5x-y-8=0
(D)x+5y+14=0
解析:△ABC的高CD与直线AB垂直,故有直线CD的斜率kCD与直线AB的斜率kAB满足kCD·kAB=-1
kAB==,所以kCD=-5.
直线CD过点C(1,-3),故其直线方程是y+3=-5(x-1)
整理得5x+y-2=0,选A.
6.(2018·深圳模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为 .?
解析:因为l1∥l2,且l1的斜率为2,则直线l2的斜率k=2,又直线l2过点(-1,1),所以直线l2的方程为y-1=2(x+1),整理得y=2x+3,令x=0,得y=3,所以P点坐标为(0,3).
答案:(0,3)
7.直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是 .?
解析:直线y=x+2的倾斜角是45°,从而直线l的倾斜角是90°,其斜率k不存在,直线l的方程是x=1.
答案:x=1
8.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(,-1);
(2)在y轴上的截距是-5.
解:因为直线y=-x+1的斜率k=-,
所以其倾斜角α=120°.
由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°,
故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
(1)因为所求直线经过点(,-1),斜率为,
所以所求直线方程是y+1=(x-),
即x-3y-6=0.
(2)因为所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,
所以所求直线的方程为y=x-5,
即x-3y-15=0.
能力提升
9.已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a的值是( D )
(A)± (B)±1 (C)1 (D)-1
解析:由于直线l1与直线l2平行,故有a2-2=-1.
所以a2=1.解得a=±1.
当a=1,l1:y=-x+2,l2:y=-x+2,重合;
当a=-1,l1:y=-x-2,l2:y=-x+2,平行.选D.
10.(2016·兰州二十七中高二上期末 )在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线方程是 .?
解析:如图所示,直线l的倾斜角是60°或120°,斜率是或-,又直线在y轴上的截距是-6,故所求直线方程是y=x-6或y=-x-6.
答案: y=x-6或y=-x-6
探究创新
11.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总过第一象限;
(2)为了使直线l不过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明:直线l的方程可化为y-=a(x-),
由点斜式方程可知直线l的斜率为a,且过定点A(,),
由于点A在第一象限,所以直线一定过第一象限.
(2)解:如图,直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间,kAO==3,直线AP的斜率不存在,故a≥3.即a的取值范围为[,+∞).
3.2.2 直线的两点式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的两点式方程
2,3,11
直线的截距式方程
5,7,10
中点坐标公式、直线方程的理解及应用
1,4,6,8,9,12,13
基础巩固
1.下列四个命题中的真命题是( B )
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.
2.(2018·三明市高一测试)已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为( A )
(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0
(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0
解析:由两点式得直线l的方程为=,即y+2=-(x-1).故选A.
3.已知△ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( A )
(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0
(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0
解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.
4.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( A )
(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0
(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0
解析:设所求的直线方程为+=1.
所以解得a=2,b=6.故所求的直线方程为3x+y-6=0.故选A.
5.(2018·安徽黄山调研)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )
(A)1 (B)-1
(C)-2或-1 (D)-2或1
解析:①当a=0时,y=2不合题意.②当a≠0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.
6.点M(4,1)关于点N(2,-3)的对称点P的坐标为 .?
解析:设P(x,y),则所以
故点P的坐标为(0,-7).
答案:(0,-7)
7.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= .?
解析:直线方程可化为-=1,
所以-×4=3,所以m=-.
答案:-
8.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,
所以BC的中点D(2,0).
由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.
能力提升
9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy ( D )
(A)无最小值且无最大值 (B)无最小值但有最大值
(C)有最小值但无最大值 (D)有最小值且有最大值
解析:线段AB的方程为+=1(0≤x≤3),于是y=4(1-)(0≤x≤3),从而xy=4x(1-)=-(x-)2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.故选D.
10.(2018·四川宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( B )
(A)2x-3y=0
(B)3x-2y=0或x+y-5=0
(C)x+y-5=0
(D)2x-3y=0或x+y-5=0
解析:①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时,
设该直线的方程为x+y=a,
把(2,3)代入所设的方程得a=5,
则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0;
②当所求的直线与两坐标轴的截距都为0时,
设该直线的方程为y=kx,
把(2,3)代入所求的方程得k=,
则所求直线的方程为y=x,即3x-2y=0.
综上,所求直线的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故选B.
11.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .?
解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得=,
即x-(a-1)y+3a-4=0.
这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
答案:x-(a-1)y+3a-4=0
12.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.
解:因为A、B两点纵坐标不相等,
所以AB与x轴不平行.
因为AB⊥CD,
所以CD与x轴不垂直,-m≠3,即m≠-3.
①当AB与x轴垂直时,
-m-3=-2m-4,
解得m=-1.
而m=-1时C、D纵坐标均为-1,
所以CD∥x轴,
此时AB⊥CD,满足题意.
②当AB与x轴不垂直时,由斜率公式
kAB==,
kCD==.
因为AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,
即·=-1,
解得m=1,
综上m的值为1或-1.
探究创新
13.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图,BC⊥CD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)
解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图,则A(0,60),B(90,0).
AB所在的直线方程为+=1,即y=60-x.
所以可设P(x,60-x),其中0开发面积S=(300-x)(240-y)=(300-x)[240-(60-x)]=-x2+20x+ 54 000(0当x=-=15,且y=50时,S取最大值54 150.
即矩形顶点P距离AE 15 m,距离BC 50 m时,面积最大,为54 150 m2.
3.2.3 直线的一般式方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线的一般式方程
1,2,3,8,9
平行与垂直
4,5,6,10
一般式方程的综合应用
7,11,12,13
基础巩固
1.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)150°
解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.
2.(2018·安丘一中高二上期末)若直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)经过第一、二、三象限,则系数A,B,C满足的条件为( B )
(A)A,B,C同号
(B)AC>0,BC<0
(C)AC<0,BC>0
(D)AB>0,AC<0
解析:如图所示,
若直线经过第一、二、三象限,应有
所以A·B<0且B·C<0,A,B异号,B,C异号,
从而A,C同号.选项B符合要求.
3.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )
(A)3 (B)-3
(C) (D)-
解析:由题意,得a-3m+2a=0,
所以a=m,
又因为m≠0,
所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.
4.(2017·陕西西安高一期末)已知直线l1:ax-y+2a=0,l2:(2a-1)x+ ay=0互相垂直,则a的值是( C )
(A)0 (B)1
(C)0或1 (D)0或-1
解析:因为直线l1:ax-y+2a=0,
l2:(2a-1)x+ay=0互相垂直,
所以(2a-1)a+a(-1)=0,
解得a=0或a=1.
5.(2018·河南南阳期末)两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,则a的值是( C )
(A)3 (B)-1
(C)-1或3 (D)0或3
解析:因为两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,所以a(a+1)+(1+a)(3-2a)=0,解得a=-1或a=3.
所以a的值是-1或3.故选C.
6.(2018·辽宁大连期末)已知直线l经过点P(-2,5),且与直线4x+3y+2=0平行,则直线l的方程为 .?
解析:设直线l的方程为:4x+3y+m=0,把点P(-2,5)代入可得:-8+15+m =0,解得m=-7.所以直线l的方程为4x+3y-7=0.
答案:4x+3y-7=0
7.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为 .?
解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t≤0,得t≥.
答案:
8.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.
(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;
(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);
(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;
(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.
解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为
y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,
整理得其一般式为3x+y=0.
(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,
整理得其一般式为x+y-4=0.
(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,
将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.
故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.
(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.
从而得8x+6y-36=0,
即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.
能力提升
9.(2018·陕西延安期末)如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( D )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为直线Ax+By+C=0可化为
y=-x-,又AB<0,BC<0,
所以->0,->0,
所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.
10.(2018·辽宁抚顺高一期末)已知点P(a,b)和点Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程为( C )
(A)x+y=0 (B)x-y=0
(C)x-y+1=0 (D)x+y-1=0
解析:因为点P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a≠b-1)关于直线l对称,
所以直线l为线段PQ的中垂线,
PQ的中点为(,),
PQ的斜率为=-1,
所以直线l的斜率为1,
即直线l的方程为y-=x-,
化简可得 x-y+1=0.
11.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为 .?
解析:由题意得
所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,
又两点确定一条直线,
所以所求直线的方程为2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
12.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);
(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),
又直线l2过点(-1,3),
故3×(-1)+4×3+m=0,
解得m=-9,
故直线l2的方程为3x+4y-9=0.
(2)因为l1⊥l2,
所以直线l2的斜率k2=.
设l2的方程为y=x+b,
则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),
所以S=|b|·|-b|=4,
所以b=±,
所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.
探究创新
13.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使l′满足:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
解:(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
所以所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
所以所求直线方程为4x-3y+13=0.
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线的交点
1,5,6,9
两点间的距离
2,3
对称问题
7,11,13
综合应用问题
4,8,10,12
基础巩固
1.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )
(A)-24 (B)6
(C)±6 (D)24
解析:在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=,在x-ky+12=0中,令x=0,得y=,所以=,解得k=±6.选C.
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( C )
(A)1 (B)-5
(C)1或-5 (D)-1或5
解析:因为|AB|==5,
所以a=-5或a=1,故选C.
3.(2018·临沂高一测试)已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )
(A)等腰三角形 (B)等边三角形
(C)直角三角形 (D)斜三角形
解析:因为kAC==,kBC==-,kAC·kBC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|= =|a|.|BC|==|a|.
所以△ABC为直角三角形.
4.过两直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点,并且与直线l1垂直的直线方程是( B )
(A)x-3y+7=0 (B)x-3y+13=0
(C)2x-y+7=0 (D)3x-y-5=0
解析:直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0的交点为(-1,4),与l1垂直,得斜率为,由点斜式得y-4=(x+1),即x-3y+13=0,故选B.
5.(2018·广东广州荔湾区期末)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是( A )
(A)-6(C)k<-6 (D)k>-2
解析:解方程组得x=k+6,y=k+2.
因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,
所以x=k+6>0,y=k+2<0,所以-66.(2018·四川雅安期末)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y- (k-11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是 .?
解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,
即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,
根据k的任意性可得解得
所以不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3).
答案:(2,3)
7.(2018·河南鹤壁高一期末)点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标 .?
解析:设点P(5,-2)关于直线x-y+5=0 对称的点Q的坐标为(a,b),
则
解得
故点Q的坐标为(-7,10).
答案:(-7,10)
8.已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程.
解:因为AC⊥BH,所以由kBH=得kAC=-2,
因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,
与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),
因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),
则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)- -5=0,解得y=-3,
因此B(-1,-3),
所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.
能力提升
9.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )
(A) (B)1+
(C)1+ (D)2-
解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.
由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=-(舍).
10.直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为 .?
解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,
易知AC⊥x轴,
所以点C的坐标为(,2).
答案:(,2)
11.(2018·重庆万州区期末)若△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则BC边所在的直线方程为 .?
解析:因为∠B,∠C的平分线分别是x=0,y=x,
所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.
则A(3,-1)关于x=0的对称点A′(-3,-1)在直线BC上,
A关于y=x的对称点A″(-1,3)也在直线BC上,
由两点式得,=,
所求直线BC的方程为2x-y+5=0.
答案:2x-y+5=0
12.矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,它的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.
解:联立方程组得
所以点A的坐标为A(2,3).
因为点M(-1,1)是AC的中点,设点C的坐标为C(x0,y0),则有=-1且=1解得x0=-4,y0=-1,
所以点C的坐标为(-4,-1),因为CD∥AB,BC∥AD,
所以kBC=kAD=-2,kCD=kAB=,
所以直线BC的方程是y-(-1)=-2[x-(-4)],
即2x+y+9=0,
直线CD的方程是y-(-1)=[x-(-4)],
即x-2y+2=0.
探究创新
13.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P.
(1)使|PA|+|PB|最小;
(2)使||PA|-|PB||最大.
解:(1)可判断A,B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1),
则有
解得
由直线的两点式方程得直线A1B的方程为=,即y=(x-4)+1,
由得直线A1B与l的交点为P(,-),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.
(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为=,即x+y-5=0.由得直线AB与l的交点为P(8,-3),此时||PA|-|PB||最大.
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
点到直线的距离
1,2,4,6
两平行线间的距离
3,5,9,10
综合应用
7,8,11,12,13
基础巩固
1.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是原点,则|OP|的最小值是( B )
(A) (B)2 (C) (D)2
解析:由题意可知|OP|的最小值即原点(0,0)到直线x+y-4=0的距离d==2.
2.已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为( D )
(A)1 (B)-1 (C) (D)±
解析:由题意,得=1,即|a|=,
所以a=±.故选D.
3.(2018·四川绵阳市模拟)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+ 5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为=≠,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.故选C.
4.直线l垂直于直线y=x+1,原点O到l的距离为1,且l与y轴正半轴有交点,则直线l的方程是( A )
(A)x+y-=0 (B)x+y+1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+=0
解析:因为直线l与直线y=x+1垂直,所以设直线l的方程为y=-x+b.又l与y轴正半轴有交点,知b>0,即x+y-b=0(b>0),原点O(0,0)到直线x+y-b=0(b>0)的距离为=1,解得b=(b=-舍去),所以所求直线l的方程为x+y-=0.
5.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0, l2:6x+by+c=0间的距离为3,则b+c等于( D )
(A)-12 (B)48 (C)36 (D)-12或48
解析:将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,
因为两条直线平行,所以b=8.
由=3,解得c=-20或c=40.
所以b+c=-12或48.故选D.
6.若A(3,2)和B(-1,4)到直线l:mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于 .?
解析:因为A,B两点到直线l的距离相等,所以AB∥l或l过AB的中点,所以=-m或m+3+3=0,所以m=或m=-6.
答案:或-6
7.一直线过点P(2,0),且点Q到该直线的距离等于4,则该直线的倾斜角为 .?
解析:当过P点的直线垂直于x轴时,Q点到直线的距离等于4,此时直线的倾斜角为90°,
当过P点的直线不垂直于x轴时,直线斜率存在,
设过P点的直线为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0.
由d==4,解得k=.
所以直线的倾斜角为30°.
答案:90°或30°
8.过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.
解:法一 因为kAB=-4,线段AB的中点为(3,-1),
所以过P(1,2)且与直线AB平行的直线方程为
y-2=-4(x-1),
即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)及线段AB的中点(3,-1)的直线方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0.
此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
法二 显然这条直线斜率存在.
设直线方程为y=kx+b,据条件有
化简得或
所以k=-4,b=6或k=-,b=.
所以直线方程为y=-4x+6或y=-x+,
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
能力提升
9.两条平行线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是( B )
(A)0(C)0解析:当两平行线与AB垂直时,两平行线间的距离最大,为|AB|=5.所以010.直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行,则它们间的距离等于 .?
解析:由两直线平行,得=,得m=4,所以两直线可化为6x+4y-6=0,6x+4y+1=0,它们之间的距离d==.
答案:
11.(2018·湖南益阳资阳区模拟)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为 .?
解析:求的最小值,就是求2x+y+5=0上的点到原点的距离的最小值,
转化为坐标原点到直线2x+y+5=0的距离d==.
答案:
12.已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,-1),可见,过P点垂直于x轴的直线满足条件,此时直线l的斜率不存在,其方程为x=2.
若直线l的斜率存在,设其方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
由已知,得=2,解得k=,此时l的方程为3x-4y-10=0.
综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)过P点且与原点O距离最大的直线是过P点且与OP垂直的直线.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl==2.由直线方程的点斜式得y+1= 2(x-2),即2x-y-5=0.
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.
(3)由(2)可知,存在过点P且到原点距离最大为的直线,因此不存在过点P到原点距离为6的直线.
探究创新
13.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,但始终保持平行,如果这两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时两条直线的方程.
解:(1)法一 ①当两条直线的斜率都不存在时,即两条直线分别为x=6和x=-3,
则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率都存在时,设这两条直线方程为
l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3),
即l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0,
所以d==,
即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.
因为k∈R,d>0,且d≠9,
所以Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,
即0综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].
法二 如图所示,显然有0而|AB|==3.
故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于直线AB.
而kAB==,
所以所求直线的斜率均为-3.
故所求的两条直线方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
