课件39张PPT。1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征课标要求:1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念.3.概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】小学和初中我们学过平面上的一些几何图形,如直线,三角形,长方形,圆等.现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小,那么它们有很多相同的特征.想一想 观察下面两组物体,你能说出各组内物体的共同点吗?
(1)
(2) (第(1)组中每个物体都是由多个平面多边形围成,第(2)组中每个物体都是由平面图形旋转得到)1.空间几何体的分类知识探究平面多边形它所在平面内封闭几 何体 多边形公共边棱与棱定直线2.柱体的结构特征平行四边形平行两个互相平行其余各面公共边公共顶点ABCD-A′B′C′D′矩形的一边轴垂直于轴平行于轴母线柱体圆柱OO′3.锥体的结构特征多边形三角形多边形面三角形面公共顶点公共边S-ABCD一条直角边锥体圆锥SO探究1:根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;
(2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形.答案:(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,可满足每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱.
(2)该几何体的其中一个面是四边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.4.台体的结构特征平行于棱锥底面底面截面ABCD-A′B′C′D′平行于圆锥底面截面圆台台体圆台OO′5.球的结构特征直径球体球球心半径直径球O(1)简单组合体:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:
①由简单几何体 而成;
②由简单几何体 一部分而成.简单几何体拼接截去或挖去6.简单组合体的结构特征答案:如图所示.
绕任一直角边旋转,都将得到一个圆锥,但是底面半径不同,分别是BC,AB,母线长都是斜边AC.
绕其斜边AC旋转,得到的是一个组合体,由两个同底面的圆锥组成.探究2:如图所示,将一个直角三角形绕其一边旋转,得到的几何体是什么?自我检测1.(简单几何体的结构特征)下列几何体是棱柱的有( )D(A)5个 (B)4个
(C)3个 (D)2个2.(多面体的结构特征)下列说法错误的是( )
(A)多面体至少有四个面
(B)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
(C)长方体、正方体都是棱柱
(D)三棱柱的侧面为三角形D3.(简单组合体的结构特征)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )D4.(旋转体的结构特征)下列命题中正确的是( )
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的 母线;
④圆柱的任意两条母线相互平行.
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)②④D5.(棱锥的结构特征)如果一个棱锥的侧面都是正三角形,则该棱锥最多是 棱锥.?答案:五题型一简单几何体的结构特征【思考】
1.有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗? 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:不一定.如图所示的几何体中,平面ABC与平面A′B′C′互相平行.其余各面是平行四边形,但它不是棱柱.反之,若一个几何体是棱柱,则它有两个面互相平行,其余各面均是平行四边形是正确的.2.若一个几何体有两个面互相平行,其余面均为梯形,那么它一定是棱台吗?提示:不一定.因为棱台是由棱锥得到,其侧棱延长应相交于一点,若侧棱延长后不相交于一点,则它不是棱台.【例1】 (1)下列命题中,正确的命题是( )
①有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
④四面体都是三棱锥.
(A)②④ (B)①②
(C)①②③ (D)②③④解析:(1)①错误;反例:将两个相同的斜平行六面体叠放;②正确,在长方体中可以截出;③错误,侧棱可能无法聚成一点;④正确.故选A.(2)下列叙述正确的是( )
(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥
(B)用一个平面截圆柱,截面一定是圆面
(C)圆锥截去一个小圆锥后,剩下的是一个圆台
(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线解析:(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥,为组合体,故A错;用平行于底面的平面去截圆柱,截面才是圆面,故B错.通过圆台侧面上一点有且只有一条母线,故D错.C正确.选C.方法技巧 准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.解析:(1)选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正三角形,故A错;选项B,如图所示,△ABC为正三角形,若PA=PB=AB=BC=AC≠PC, △PAB,△PBC,△PAC都为等腰三角形,但它不是正三棱锥,故B错;选项C,顶点在底面面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形皆可,故C错;选项D,顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面三角形为正三角形,因此,外心即中心,故D正确.故选D.即时训练1-1:(1)下列说法中正确的是( )
(A)顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥
(B)底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
(C)底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
(D)底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥(2)下列命题正确的是( )
(A)圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
(B)圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线
(C)矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴
(D)矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱解析:(2)由圆柱的定义和有关概念可知,A正确;圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面,所以B不正确;矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴,C错误;矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱,因此D错误,故选A.题型二折叠与展开问题【例2】 如图所示平面图形沿虚线折起后,①为 ,②为 ,③为 .?解析:由图①知几何体各侧面是矩形,底面为四边形.该几何体是四棱柱;由图②知几何体各侧面是三角形,底面是三角形,该几何体是三棱锥;由图③知几何体侧面是三角形,底面为四边形,故该几何体是四棱锥.
答案:四棱柱 三棱锥 四棱锥方法技巧 (1)对于所给展开图发挥空间想象力,若想象力不足,应当动手折纸做实验.
(2)对于给出的几何体的展开图,应当给顶点标上字母,先把底面画出来,再依次画出侧面,还原出几何体的形状.即时训练2-1:有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.?答案:5π简单组合体的结构特征题型三【例3】 (1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
解:(1)A.(2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?解:(2)旋转后的图形草图分别如图(1),(2)所示.
其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.变式探究:(1)(变换条件)若将典例(1)选项B中的平面图形旋转一周,想象并说出它形成的几何体的结构特征.解:(1)①是直角三角形,旋转后形成圆锥;②是直角梯形,旋转后形成圆台;③是矩形,旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知,该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.(2)若将典例(1)选项B中的图形改为以下面的底边所在直线为轴旋转一周,说出它形成的几何体的结构特征.解:(2)可把原图看成由①,②两部分构成,即大梯形挖去一个小梯形,则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组合而成.方法技巧 不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征的分析策略
(1)分割:首先要对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形.
(2)定形:然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.即时训练3-1:某奖杯的形状如图,说出它的结构特征.解:该奖杯是由球、四棱柱、四棱台三个几何体拼接而成.【备用例题】 一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为 (只填写序号).?解析:当截面与正方体的一面平行时,截面图形如①,
当截面不与正方体的一面平行,截面图形如②③.
答案:①②③谢谢观赏！课件28张PPT。1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图课标要求:1.了解中心投影与平行投影.2.能画出简单的空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (教学备用)(生活中的数学)如图所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断,请同学们考虑它们是怎样得到的?答案:通过光线投影得到.【情境导学】想一想 我们看到的皮影戏是皮纸偶的一面投影,而在实际生活中我们要观察一个物体,需要从哪几个角度观察,才能了解其全面的形状?(需从正面、侧面、上面三个角度观察)导入 在初中,我们已学习过三视图的概念,那么正方体、圆锥的三视图分别是什么平面图形?
答案:正方体的三视图为全等的正方形;圆锥的三视图中,正视图、侧视图均为等腰三角形,俯视图为圆形.1.投影
(1)投影的定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,我们把 叫做投影线,把 叫做投影面.
(2)投影的分类
①中心投影:光由 散射形成的投影.
②平行投影:在一束 照射下形成的投影.
当投影线 时,叫做正投影,否则叫做 .知识探究光线留下物体影子的屏幕一点向外平行光线正对投影面斜投影探究1:一条线段的投影可能是什么形状?答案:点或线段.
2.空间几何体的三视图前面向后面左面向右面上面向下面探究2:如果把物体左右方向的尺寸称为长,前后方向的尺寸称为宽,上下方向的尺寸称为高,则正视图与侧视图应当具有相同的 ;正视图与俯视图具有相同的 ;侧视图与俯视图具有相同的 .?答案:高 长 宽自我检测1.(投影)已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面平行,则经过中心投影后(投影线与投影面相交)所得的三角形与△ABC( )
(A)全等
(B)相似
(C)不相似
(D)以上均有可能B2.(由几何体画三视图)在三棱锥、正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台、球中,正视图、俯视图、侧视图都相同的几何体有( )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个B3.(由三视图画三视图)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )D4.(三视图的识别)一个简单几何体的正视图,侧视图如图所示,则其俯视图不可能为( )
(A)长方形 (B)直角三角形
(C)圆 (D)椭圆C5.(由三视图还原几何体)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个( )
(A)棱台 (B)棱锥
(C)棱柱 (D)正四面体A6.(与三视图有关的计算)如图是某个几何体的三视图,由图中所标尺寸,得俯视图中圆的面积为 ,这个几何体的高线长为 .?答案:9π 4题型一简单几何体的三视图【例1】 画出下列几何体的三视图. 课堂探究 典例剖析·举一反三解:三视图如图方法技巧 画几何体的三视图时需注意的问题
(1)确定正视的方向,同一物体观察的角度不同,所画的三视图可能不同;
(2)注意辨析分界线,以及轮廓线的实与虚;
(3)正确摆放三个视图的位置.即时训练1-1:(1)定义:底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱.将正三棱柱截去一个角(如图1所示,M,N分别是AB,BC的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为( )解析:(1)N的投影是C,M的投影是AC的中点.对照各图.选D.
答案:(1)D(2)一个几何体的三视图如图所示,则俯视图的面积是 .?答案:(2)6【备用例1】 三棱锥D-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为 .?题型二简单组合体的三视图【例2】 如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图.(单位:cm)解:三视图如图:方法技巧 画简单组合体的三视图,首先确定组合体的组成形式,然后确定每个组成部分,最后画出三视图.若相邻两个几何体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要将分界线按虚(或实)线画出.解析:该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体,三视图为B.即时训练2-1:一根钢管如图所示,则它的三视图为( )【备用例2】 画出如图中几何体的三视图.解:该几何体的三视图如图所示.由三视图还原几何体题型三【例3】 如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物图是( )解析:根据三种视图的对角线的位置,可以判断A是正确的.故选A.解:因为实物图为A,所以该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的.变式探究:本例中三视图对应的几何体是一个什么样的组合体?方法技巧 (1)根据三视图还原几何体,要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象,然后综合三视图的形状,从不同的角度去还原.
(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单组合体.即时训练3-1:如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
(A)三棱锥 (B)三棱柱
(C)四棱锥 (D)四棱柱解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).故选B.【备用例3】 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )谢谢观赏！课件30张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图课标要求:1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (教学备用)美术与数学有着千丝万缕的联系,在美术图中,空间图形或实物在画板上画得既有立体感,又要表现出各主要部分的位置关系和度量关系.空间图形或实物如何在画板上表示出来?如何反映它们的主要特征呢?这就是空间几何体的直观图,画好空间几何体的直观图应首先从水平放置的平面图形入手.想一想 一个水平放置的正六边形,你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?导入 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,从三种不同的角度去研究几何体的长、宽、高,但三视图的直观性较差,那么如何把三视图所表示的几何体直观地呈现呢?这就是空间几何体的直观图.1.斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取 的x轴和y轴,两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=
,它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于 .
或 的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度 ;平行于y轴的线段,长度为原来的 .知识探究互相垂直 45°(或135°) x′轴y′轴不变一半2.空间图形直观图的画法
空间图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.自我检测1.(几何体的直观图画法)下列说法中正确的是( )
(A)互相垂直的两条直线的直观图仍然是两条互相垂直的直线
(B)梯形的直观图可能是平行四边形
(C)矩形的直观图可能是梯形
(D)正方形的直观图可能是平行四边形D2.(由直观图还原几何体)如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=
A′C′,那么△ABC是( )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形
(D)钝角三角形B3.(斜二测画法规则)若AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,在直观图中,AB的直观图为A′B′,CD的直观图为C′D′,则( )
(A)A′B′=2C′D′
(B)A′B′=C′D′
(C)A′B′=4C′D′
(D)A′B′= C′D′C4.(由直观图还原几何体)△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
(A)AB (B)AD
(C)BC (D)ACD5.(由直观图还原几何体)如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 .?答案:③6.(直观图与原图形的互联关系)已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形,则此正方形的面积为 .?答案:16或64题型一画水平放置的平面图形的直观图【例1】 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示. 课堂探究 典例剖析·举一反三名师导引:如何建立坐标系才方便作图?(画直观图时,在平面图形上建立坐标系时,应使图形的顶点尽量多的在坐标轴上)解:画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.
(2)以 O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′= OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.
(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.方法技巧 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变.即时训练1-1:(2018·福州师大附中高一测试)利用斜二测画法得到:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论中,正确的是 (填序号).?解析:由直观图的画法可知,三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形,正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,故正确的是①②.
答案:①②【备用例题】 画出上底DC为1,下底AB为3,高为2的等腰梯形ABCD的直观图,并求直观图的面积.解:(1)如图所示,取AB所在的直线为x轴,AB的中点O为原点,建立直角坐标系,画出对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.题型二画空间几何体的直观图【例2】 有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为5 cm,画出这个正六棱锥的直观图.解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形水平放置的直观图,如图①所示.
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,如图②所示.(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.方法技巧 (1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又快又准的画出.解:(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°), ∠x′O′z′=90°,如图①所示.即时训练2-1:如图所示,由下列几何体的三视图画出它的直观图.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA′,BB′,CC′,DD′,EE′都等于正视图的高.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,去掉辅助线,改被挡部分虚线,如图②所示.直观图还原为平面图形题型三【例3】 (10分)如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.规范解答:设O′C′=h,
则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
C′B′=CB,O′A′=OA.……………………2分
过C′作C′D⊥O′A′于D,变式探究:如例题图所示,若在O′A′上取点D′,且梯形A′B′C′D′的面积是S,求梯形ABCD的面积.方法技巧 (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.
(3)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S=2 S′.即时训练3-1:一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图若O′B′=1,那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为 .?谢谢观赏！课件31张PPT。1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积课标要求:1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (教学备用)(生活中的数学)
在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中,被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的?这真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑,塔底边长230 m,塔高146.5 m,你能计算出建此金字塔用了多少石块吗?【情境导学】导入 (从旧知引入)
在初中都学过哪些面积、体积公式?各是什么?想一想 棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积如何求呢?
(把这些几何体的侧面、底面展开,转化为已学过的平面图形的面积计算问题,进而求和解决)1.柱体、锥体、台体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的 和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式知识探究面积底面半径侧面母线长底面半径侧面母线长上底面半径下底面半径侧面母线长探究1:把一张长为6,宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围矩形的底面半径是多少?答案:①若其长边重合,则底面周长是4,半径是 .
②若其短边重合,则底面周长是6,半径是 .2.柱体、锥体与台体的体积公式底面积底面积上、下底面面积高高高探究2:探究1中所得圆柱的体积是多少?自我检测1.(求体积)已知圆锥的母线长为5,底面周长为6π,则它的体积为( )
(A)36π (B)30π
(C)24π (D)12πD2.(圆台的侧面积公式的应用)若圆台的高为4,母线长为5,侧面积为45π,则圆台的上、下底面的面积之和为( )
(A)9π (B)36π
(C)45π (D)81πC3.(求体积)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )D4.(求表面积)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积是( )B题型一空间几何体的表面积【例1】 一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为 .? 课堂探究 典例剖析·举一反三答案:2∶1方法技巧 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和.
(2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决.
(3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆台通常还要还原为圆锥.即时训练1-1:已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.【备用例1】 (1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( )
(A)4πS (B)2πS
(C)πS (D) πS(2)一个几何体的三视图及尺寸如图所示,其中正视图、侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆,则该几何体的表面积是( )
(A)12π (B)14π
(C)16π (D)28π(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为( )
(A)81π (B)100π (C)168π (D)169π题型二空间几何体的体积【例2】 (12分)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16 π,求圆锥的体积.方法技巧 (1)常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,其中该圆柱的底面半径为1,高为2,于是其体积V= ×π×12×2=π,选B.【备用例2】 (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为4π和2π的矩形,求这个圆柱的体积;解:(1)设圆柱的底面半径为R,高为h,当圆柱的底面周长为2π时,h=4π,
由2πR=2π,得R=1,
所以V圆柱=πR2h=4π2.
当圆柱的底面周长为4π时,h=2π,
由2πR=4π,得R=2,
所以V圆柱=πR2h=4π·2π=8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.(2)如图,圆台高为3,轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°,轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.组合体的表面积与体积题型三【例3】 如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm).
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)求这个几何体的表面积及体积.方法技巧 求组合体表面积与体积时应注意的问题
(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.即时训练3-1:(2015·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.?谢谢观赏！课件31张PPT。1.3.2 球的体积和表面积课标要求:1.了解球的表面积和体积计算公式.2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积. 自主学习 新知建构·自我整合导入 如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌.【情境导学】想一想 如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
(比较半球与圆锥体积的大小,即可判断)1.半径是R的球的体积为V= .
2.半径是R的球的表面积为S= .知识探究4πR2自我检测D2.(球的体积)把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( )
(A)R (B)2R
(C)3R (D)4RDB4.(表面积体积)若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是
.?答案:8∶275.(球的切接问题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都等于6,且各顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 .?答案:84π题型一球的表面积与体积【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比; 课堂探究 典例剖析·举一反三(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.方法技巧 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题.即时训练1-1:已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
(A)36π (B)64π
(C)144π (D)256π【备用例1】 (1)已知球的表面积为64π,求它的体积;(2)用与球心的距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,求这个球的体积与表面积.题型二由与球相关的三视图计算表面积与体积【例2】 (1)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的体积为( )答案:(1)D(2)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .?答案:(2)3π变式探究:若将上面(1)中的三视图中的俯视图改成如图的图形,又如何呢?方法技巧 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.即时训练2-1:(1)一个几何体的三视图(单位:m)如图所示,则该几何体的体积为 m3.?答案:(1)(18+9π)(2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 .? 答案:(2)(2+ )π【备用例2】 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得几何体的表面积是( )
(A)4π+24 (B)4π+32
(C)22π (D)12π解析:由三视图可知,该几何体的下方是一个长为2宽为2高为3的长方体,上方是半径为1的球,所以其表面积S表=4π×12+2×2+2×2+4×2×3= 32+4π.故选B.与球相关的“切”“接”问题题型三【思考】
1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、b、c有何关系?
提示:长方体的对角线为球的直径,即2R= .
2.若半径为R的球内切于棱长为a的正方体,则球半径R与棱长a有什么关系?
提示:球的直径为正方体的棱长,即2R=a.方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略:
(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.谢谢观赏！课件38张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱.( )
2.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫做棱台.( )
3.圆锥是由一个直角三角形绕其一边旋转得来的.( )
4.到定点的距离等于定长的点的集合是球.( )
5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.( )
6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.( )
7.圆台的侧面积公式是π(r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l是其母线长.( )××××××√主题串讲 方法提炼·总结升华 一、空间几何体的结构特征
【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三
角形;解:(1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.解:(2)两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.
(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,且勿想当然做出判断.二、空间几何体的三视图与直观图
【典例2】 (1)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则侧视图为( )解析:(1)由正视图、俯视图可知该几何体由半圆锥与三棱锥构成,且有共同的顶点,中间的线是可以看得到的为实线,所以侧视图为D项.
答案:(1)D(2)如图所示为水平放置的△ABC在坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,∠BAC≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有 条.?解析:(2)由斜二测画法可知,原图形为直角三角形,且∠B=90°,又D为AC的中点,由直角三角形的性质可知,
BD=AD=DC,即与BD的长度相等的线段有2条.
答案:(2)2规律方法 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几何体.
(2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系. 规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题,一般情况下先确定几何体的结构特征,再由三视图中的数据确定几何体中的相关数据,代入公式求解即可.四、球与其他几何体的组合问题
【典例4】 (2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为 .?解析:正四棱锥P-ABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R, PO1=4,OO1=4-R,
或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π.
答案:36π规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:
①明确切点和接点的位置;
②确定有关元素间的数量关系;
③作出合适的截面图.
(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.五、易错题辨析
【典例5】 如图所示是正四棱台(上、下底面都是正方形,且上、下底面的中心的连线垂直于上、下底面)ABCD-A1B1C1D1的三视图.根据图中所给数据,求这个正四棱台的侧面积.错因分析:正四棱台的正视图与侧视图的高是正四棱台的高,但不是其侧面梯形的高.上面的解法由于对三视图认识不到位而导致错误.
正解:正四棱台的直观图如图所示.【典例6】 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的表面积为
m3.?错因分析:解答本题失误的主要原因是未减去圆锥与圆柱重叠部分的面积造成了重复计算.真题体验 真题引领·感悟提升 1.(2016·全国Ⅰ卷,理6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( )
(A)17π (B)18π
(C)20π (D)28πA2.(2017·全国Ⅰ卷,理7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )
(A)10 (B)12
(C)14 (D)16B3.(2017·全国Ⅱ卷,文6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
(A)90π (B)63π
(C)42π (D)36πBB 5.(2016·四川卷,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .?6.(2016·天津卷,理11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m3.解析:由三视图知V=2×1× ×3=2(m3).
答案:27.(2016·浙江卷,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.?解析:几何体为两个相同长方体组合,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32,由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2(2×2)=72.
答案:72 328.(2016·江苏卷,17)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少;(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,当PO1为多少时,仓库的容积最大?谢谢观赏！
