课件26张PPT。3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率课标要求:1.理解直线的倾斜角与斜率的概念.2.掌握倾斜角与斜率的对应关系.3.掌握过两点的直线的斜率公式. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (教学备用)(生活中的数学)意大利中部的比萨城内,有一座造型古朴而又秀巧的钟塔,是罗马式建筑的范本,这就是堪称世界建筑奇迹的比萨斜塔.每年80万游客来到塔下,无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急,同时为自己能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分.那么经过600多年的风雨沧桑,比萨斜塔的倾斜度又是如何呢?导入 (旧知引新)如图,在平面直角坐标系中,给定一条直线l.想一想 (1)若直线l过点P,直线的位置能够确定吗?
(不能)
(2)过点P可作与l相交的直线多少条?
(无数条)
(3)对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度?
(可利用直线相对于x轴的倾斜角度)1.直线的倾斜角
(1)直线l的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为 .知识探究x轴向上平行或重合0°≤α<180°探究1:若直线l与x轴垂直,其倾斜角是多少度?
答案:90°.2.斜率的概念及斜率公式正切值tan α探究2:若直线l与x轴平行,其斜率是多少?
答案:0.自我检测1.(直线倾斜角的概念)下列说法正确的是( )
(A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角
(B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
(C)与x轴平行的直线的倾斜角为180°
(D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率DCA4.(倾斜角与斜率)已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 .?答案:90°答案:12题型一直线的倾斜角、斜率的定义【例1】 (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120° 课堂探究 典例剖析·举一反三解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°,故选D.答案:(1)D(2)直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k= 时,α=60°;当k=
时,α=135°;当k>0时,α的范围是 ;当k<0时,α的范围是 .?方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角.
(2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大;
②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.即时训练1-1:(1)已知直线l过点O(0,0),A(1,1),将l绕点O逆时针方向旋转75°,得到直线l′,则直线l′的倾斜角为 ,斜率为 .?解析:(1)因为直线l过点O(0,0),A(1,1),
所以直线l的倾斜角为45°,
将l绕点O逆时针方向旋转75°,得到直线l′的倾斜角为45°+75°=120°,其斜率为k=tan 120°=- .答案:(1)120° -(2)已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜角为( )
(A)0° (B)45°
(C)60° (D)90°解析:(2)因为k= =0,所以直线的倾斜角为0°.故选A.答案:(2)A【备用例1】 (1)设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为 ;?解析:(1)设直线l2的倾斜角为α,
由图可知,α=15°+75°=90°,
所以直线l2的倾斜角为90°.答案:(1)90°(2)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
(A)α+45°
(B)α-135°
(C)135°-α
(D)当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°解析:(2)由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α+45°<180°,即0°≤ α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以当135°≤ α<180°时,l1的倾斜角为α-135°(如图所示),故选D.
答案:(2)D题型二斜率公式的应用【例2】 已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交.
(1)求直线PM与PN的斜率;(2)求直线l的斜率k的取值范围.误区警示 求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以,更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响.即时训练2-1:(1)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于( )(2)经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-1,1) (D)(1,+∞)∪(-∞,-1)直线的斜率的应用题型三【例3】 求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.变式探究:若将例3中的条件变为A(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线,求m的值,应如何解决?方法技巧 若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同,且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.即时训练3-1:下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )
(A)(1,3),(5,7),(10,12) (B)(-1,4),(2,1),(-2,5)
(C)(0,2),(2,5),(3,7) (D)(1,-1),(3,3),(5,7)【备用例2】 斜率为2的直线经过A(3,5),B(a,7),C(-1,b)三点,则a,b的值分别为 , .?答案:4 -3谢谢观赏！课件23张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课标要求:1.理解两条直线平行或垂直的条件.2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (教学备用)(生活中的数学)
过山车给人以飞翔的感觉,让你前一秒升至高空,下一秒却落至地面.从高空看下去——如果你有机会停下来看一眼的话——必定很难忘.但它不会给你时间去欣赏美景,相反会立即从高空开始急速降落,带来一次又一次的动人心魄之旅.过山车的铁轨是两条永远平行的、起伏的轨道,它们靠着一根根巨大的且垂直于地面的钢柱支撑着,你能感受到过山车中的平行与垂直吗?导入 (从初中直线的图象导入)
已知直线l1过点A(0,0),B(2,-1),直线l2过点C(4,2),D(2,-2),直线l3过点M(3,-5),N(-5,-1).想一想 (1)在同一个平面直角坐标系内画出这三条直线,并根据图形判断三条直线之间的位置关系.
(如图所示,l1∥l3,l2⊥l1,l2⊥l3) (2)这三条直线的斜率之间有什么关系?
(设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1=- ,k2=2,k3=- ,则k1=k3,k1k2=-1, k2k3=-1)1.两条直线平行的判定
设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,若l1∥l2,则k1 k2;反之,若k1=k2,则l1 l2.特别地,若两条不重合的直线的斜率不存在,则这两条直线也平行.知识探究∥探究1:如果两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
答案:不一定,只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.=2.两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 ;反之,如果它们的斜率之积等于 ,那么它们互相垂直,即 ? l1⊥l2,l1⊥l2? .探究2:如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?
答案:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.-1-1k1k2=-1k1k2=-1自我检测1.(两直线平行关系)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )
(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10B2.(垂直关系的应用)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形CB3.(两直线平行关系)已知A(-1,1),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率为( )4.(两直线垂直关系)经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是 .?5.(两直线平行关系)已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?答案:2题型一两条直线的平行关系【例1】 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); 课堂探究 典例剖析·举一反三(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.即时训练1-1:(1)下列各对直线互相平行的是( )
(A)直线l1经过A(0,1),B(1,0),直线l2经过M(-1,3),N(2,0)
(B)直线l1经过A(-1,-2),B(1,2),直线l2经过M(-2,-1),N(0,-2)
(C)直线l1经过A(1,2),B(1,3),直线l2经过C(1,-1),D(1,4)
(D)直线l1经过A(3,2),B(3,-1),直线l2经过M(1,-1),N(3,2)答案:(1)A (2)已知?ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .?答案:(2)(3,4)题型二两条直线的垂直关系【例2】 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(-3,-4),B(1,3),l2经过点M(-4,-3),N(3,1);(2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
(3)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40).方法技巧 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则将点的坐标代入斜率公式.
(2)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1⊥l2;l1与l2斜率都存在时,满足k1·k2=-1.即时训练2-1:(2018·衡水中学高一测试)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则第四个顶点的坐标为 .?答案:(2,3)【备用例题】 已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4), B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.直线平行与垂直关系的应用题型三【例3】 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3, 2),求第四个顶点D的坐标.方法技巧 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率,特别是含参数的问题,必须要分类讨论;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.即时训练3-1:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0), C(4,3),求顶点D的坐标.谢谢观赏！课件25张PPT。3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程课标要求:1.了解直线的点斜式方程的推导过程.2.掌握直线的点斜式方程并会应用.3.掌握直线的斜截式方程,了解截距的概念. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (教学备用)(生活中的数学故事)斜拉桥桥身简约刚毅,力感十足.若以桥面所在直线为x轴,桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系,那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.导入 (从初中直线方程导入)如图,直线l过P0(x0,y0),斜率为k.想一想 (1)直线l确定吗?
(确定)
(2)直线l上一点P(x,y)(P与P0不重合)的坐标满足什么关系?
(点P的坐标满足 =k)1.直线的点斜式方程
(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.知识探究(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 .x=x0探究1:(1)过点(x0,y0),且平行于x轴的直线应如何表达?
(2)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答案:(1)y=y0.
(2)不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.2.直线的斜截式方程
(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程____
_________叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式.(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程.
探究2:直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?
答案:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.y=kx+b截距直角自我检测1.(直线的点斜式方程)直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )
(A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在
(C)直线不过原点 (D)以上均不正确A A A 4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 .?答案:y=-3x+25.(两直线平行或垂直关系)若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直线l的方程为 .?答案:y= x+7题型一直线的点斜式方程【例1】 已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)AB所在直线的方程; 课堂探究 典例剖析·举一反三解:(1)如图所示,直线AB过点(1,1)且与x轴平行,故AB所在直线方程是y=1.(2)AC边与BC边所在直线的方程.误区警示 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.即时训练1-1:直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为5,试求l的方程.题型二直线的斜截式方程【例2】 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.解:由题知,直线l与l1平行,
所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同,
故在y轴上的截距是-2,
由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2.变式探究:若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?方法技巧 直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.即时训练2-1:写出下列直线的斜截式方程:
(1)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
(2)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.平行与垂直的应用题型三【例3】 当a为何值时,
(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?解:(1)设两直线的斜率分别为k1、k2,
则k1=a,k2=a+2.
因为两直线互相垂直,
所以k1·k2=a(a+2)=-1.
解得a=-1.
所以当a=-1时,两条直线互相垂直.(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?方法技巧 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+ b1,l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2?两条直线重合;③l1⊥l2?k1·k2=-1.即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.
(1)求a;即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.
(1)求a;(2)求直线AB的方程.【备用例题】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2平行;
(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.谢谢观赏！课件30张PPT。3.2.2 直线的两点式方程课标要求:1.了解直线方程的两点式的推导过程.2.会利用两点式求直线的方程.3.掌握直线方程的截距式,并会应用. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (生活中的数学)
我们要将一根木条固定在墙上,用两根钉子即可,这反映了两点确定一条直线.导入 从直线的点斜式、斜截式方程引入)
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程.答案:由斜率公式得到斜率 k= =1.
由直线的点斜式方程得直线方程为y-3=x-1,
即x-y+2=0.想一想 还有其他解法吗?知识探究探究:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示?答案:不一定.
(1)若x1=x2且y1≠y2,则直线垂直于x轴,方程为x-x1=0或x=x1.
(2)若x1≠x2且y1=y2,则直线垂直于y轴,方程为y-y1=0或y=y1.2.直线的截距式方程
(1)定义:如图所示,直线l与两个坐标轴的交点分别是P1(a,0),P2(0,b)(其
中a≠0,b≠0),则方程 叫做直(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.3.线段P1P2的中点坐标公式
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),
则自我检测1.(直线两点式方程)过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )C B B 4.(中点坐标公式)已知M(-1,2),N(3,-4),线段MN的中点坐标是 .?答案:(1,-1)5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是 .?答案:x-y-1=0题型一直线的两点式方程 课堂探究 典例剖析·举一反三【例1】 (2018·山东青岛模拟)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.方法技巧 求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.即时训练1-1:若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,则m= .?解析:因为过点A(3,2),B(4,3)的直线方程为y=x-1,P(6,m)在直线上,所以6-1=m,即m=5.
答案:5【备用例1】 一条光线从点A(3,2)出发,经x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.题型二直线的截距式方程【例2】 (12分)已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.规范解答:法一 当直线l过原点时,它在两坐标轴上的截距都是0. …2分
设直线方程为y=kx,因为过点P(4,3).变式探究:将本例中的“截距相等”改为“截距互为相反数”,如何?方法技巧 利用截距式求直线方程的策略
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可;
(2)选用截距式求直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时,采用截距式求直线方程,要注意考虑“零截距”的情况.即时训练2-1:过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有
条.?解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0)共三条.
答案:3【备用例2】 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点(6, -2),求直线l的方程.【备用例3】 求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.直线方程的应用题型三【例3】 直线过点P( ,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线分别满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.方法技巧 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择直线方程的截距式,若设直线在x轴,y轴上的截距分别为a,b,则直线与坐标轴所围成的三角形面积为S= |a||b|,周长c=|a|+|b|+ .即时训练3-1:过点P(1,3),且与x轴,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l方程为 .?答案:3x+y-6=0【备用例4】 已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为 ,求直线l的方程.谢谢观赏！课件28张PPT。3.2.3 直线的一般式方程课标要求:1.了解二元一次方程与直线的对应关系.2.掌握直线方程的一般式.3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (从直线与二元一次方程关系导入)
观察图象:想一想 (1)坐标平面内的直线,都可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C =0(A,B不同时为0)表示吗?(可以)
(2)坐标平面内的直线与关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是否为一一对应关系?
(不构成一一对应关系.坐标平面内的直线都可以看成关于x,y的二元一次方程,且方程有无数个,但一个关于x,y的二元一次方程对应着唯一的一条直线)想一想 (1)上述形式的直线方程都可以化为二元一次方程的一般形式吗?
(都可以)
(2)试总结二元一次方程与直线之间的关系.
(①平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.②任一关于x,y的二元一次方程都可以表示一条直线)知识探究直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.探究1:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?探究2:在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式 方程?自我检测1.(一般式方程的应用)直线x+3y+3=0的斜率是( )C 2.(一般式方程的应用)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是( )
(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3B C 4.(一般式方程的应用)如果AB>0,BC>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限5.(直线垂直的应用)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .?答案:1B 题型一直线的一般式方程 课堂探究 典例剖析·举一反三【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 ,且经过点A(5,3).
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.方法技巧 根据已知条件求直线方程的策略
在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:
(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;
(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式;
(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的方程的一般式为 .?答案:3x-2y+12=0【备用例题】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y =2m-6,根据下列条件分别确定实数m的值.
(1)l在x轴上的截距为-3;(2)斜率为1.题型二利用直线一般式方程解决平行、垂直问题【例2】 (12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值:
(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?方法技巧 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0和l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.即时训练2-1:(1)若直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,则实数a的值等于( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:(1)因为直线(a+1)x+2y+1=0与直线x+ay=1互相平行,
所以(a+1)·a=2.所以a2+a-2=0,
所以a=-2或a=1.
当a=-2时,直线-x+2y+1=0与直线x-2y=1重合.
当a=1时,直线2x+2y+1=0与直线x+y=1平行.选C.(2)若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为( )
(A)-3 (B)1
(C)0或- (D)1或-3解析:(2)因为l1⊥l2,
所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
即a2+2a-3=0,
故a=1或-3.选D.直线的一般式方程的应用题型三【例3】 已知△ABC的顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线l平行于AB,且分别交AC,BC于点E,F,且△CEF的面积是△ABC的面积的 .
(1)求点E,F的坐标;(2)求直线l的方程.方法技巧 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题.
(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.即时训练3-1:直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过定点A(-3,4);(2)与直线6x+y-3=0垂直.谢谢观赏！课件32张PPT。3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离课标要求:1.了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系.2.会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标.3.掌握两点间距离公式并能灵活应用. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (教学备用)(从初中二元一次方程组导入)
已知二元一次方程组想一想 (1)二元一次方程组的解法有哪些?
(代入消元法、加减消元法)
(2)在方程组中,每一个方程都可表示为一直线,那么方程组的解说明什么?
(两直线的公共部分,即交点)导入 (从直线方程引入)
想一想 (1)若两直线的方程组成的二元一次方程组有解,则两直线是否相交于一点?(不一定.两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得的方程组是否有唯一解.若方程组有无穷多组解,则两直线重合)
(2)若给出两直线y=x+1与y=3x-2,如何求其交点坐标?
(联立解方程组求方程组的解即可得)知识探究自我检测1.(两直线的交点)直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( )
(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)-6C 2.(由斜率确定两直线位置关系)下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为( )C 3.(两点间的距离)以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形4.(两直线的交点)不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐标为 .?答案:(3,4)B 5.(两点间的距离)已知点A(5,12),若P点在x轴上,且|PA|=13,则P到原点的距离为 .?答案:10或0题型一两条直线的交点问题 课堂探究 典例剖析·举一反三【思考】
1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况?提示:有三种:平行、相交、重合.2.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断两条直线的位置关系?【例1】 判断下列各组直线的位置关系,如果相交,求出相应的交点坐标.
(1)
(2)
(3)变式探究1:本例(1)中的直线改为l1:5x+4y=8+m,l2:3x+2y=6,若l1与l2的交点在第一象限,求实数m的取值范围.变式探究2:本例(1)改为:当m>4时,直线5x+4y=8+m和3x+2y=6的交点在第 象限.?答案:二方法技巧 两条直线相交的判定方法即时训练1-1:(1)已知点A(0,-1),直线AB与直线x-y+1=0垂直,垂足为B,则点B的坐标是( )
(A)(-1,0) (B)(1,0)
(C)(0,1) (D)(0,-1)答案:(1)A(2)已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5相交于一点,则k的值为 .?答案:(2)1或-【备用例1】 求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一 定点.题型二两点间距离公式的应用【例2】 已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.变式探究:若△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1), C(m,7),当m为何值时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形?解:要使△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,
则有AB2+AC2=BC2.
AB2=(-2+1)2+(-1-5)2=37,
AC2=(m+1)2+4=m2+2m+5,
BC2=(m+2)2+64=m2+4m+68,
所以m2+2m+5+37=m2+4m+68,
从而m=-13.
即当m=-13时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.方法技巧 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.即时训练2-1:已知点A(-1,2),B(2, ),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.【备用例2】 如图,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,
求证:|AE|=|CD|.对称问题题型三【例3】 已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.方法技巧 在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称,处理这类问题要抓住两点:一是过已知点与对称点的直线与对称轴垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.即时训练3-1:若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点B(-2,1),则k+b= .?谢谢观赏！课件26张PPT。3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离课标要求:1.掌握点到直线的距离公式.2.能用公式求点到直线的距离.3.会求两条平行直线间的距离. 自主学习 新知建构·自我整合【情境导学】导入 (生活中的数学故事)
在铁路的附近,有一大型仓库,现要修建一条公路与之连接起来,那么如何设计才能使所修的公路最短?最短是多少?
导入 (教学备用)(从两点间的距离引入)
在平面直角坐标系中,已知直线l与点P(x0,y0).想一想 (1)点P到x轴、y轴的距离分别是多少?(|y0|,|x0|)
(2)如何求点P到直线l的距离?(3)若过P(x0,y0)的直线l′与l:Ax+By+C=0平行,那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗?
(相等)知识探究1.点到直线的距离
(1)点到直线的距离公式:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=
(当A=0或B=0时,也成立).(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|;
④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.探究:使用两平行直线的距离公式解题,对两直线的方程有什么要求?
答案:两条平行直线的方程都是一般式,并且x,y的系数分别对应相等.自我检测1.(点到直线的距离)原点到直线x+2y-5=0的距离为( )D 2.(两平行线间的距离)直线l:5x+12y+3=0与l2:10x+24y-7=0的距离为( )B 3.(点到直线的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( )
(A)3x-4y-1=0 (B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0
(C)3x-4y+1=0 (D)3x-4y-21=0B 4.(两平行线间的距离)直线y=2x与直线y=2x+5间的距离是 .?答案:5.(点到直线的距离)若P(0,a)到直线x+y-1=0的距离为 ,则a= .?答案:3或-1题型一求点到直线的距离 课堂探究 典例剖析·举一反三【思考】
1.点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗?提示:公式中直线方程必须为一般式,如果不是,必须先将方程化为一般式方程,再利用公式求距离.2.点到直线的距离公式对于A=0,B≠0或A≠0,B=0或P点在直线l上的情况是否适用?提示:适用.(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.方法技巧 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.即时训练1-1:(1)(2018·江西广昌一中月考)已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m= .?(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为 .?【备用例1】 (1)求点A(-1,2)到直线y=2x+5的距离;
(2)若点M(-2,1)到直线x+2y+C=0的距离为1,求C的值.题型二两条平行直线间的距离【例2】 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )答案:16或-24方法技巧 求两平行线间距离一般有两种方法
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
(2)公式法:直接用公式d= ,但要注意两直线方程中x,y的系数必须分别相同.即时训练2-1:(2018·广东中山市期末)已知两条平行直线l1,l2分别过点P1(1,0),P2(0,5),且l1,l2的距离为5,则直线l1的斜率是 .?【备用例2】 直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1与l2的方程.距离公式的综合应用题型三【例3】 (12分)已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.方法技巧 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后由题意列方程求参数.也可以应用平面几何的有关知识,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程.即时训练3-1:(2018·辽宁大连期末)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).
(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式;(2)求△ABC的面积.谢谢观赏！课件35张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.直线的倾斜角是指直线与x轴所成的锐角或直角.( )
2.直线的点斜式方程可以表示与坐标轴平行的直线.( )
3.直线的截距式方程不能表示过原点的直线.( )
4.若直线l1与直线l2的斜率相等,则l1∥l2.( )
5.若直线l1与直线l2垂直,则它们的斜率之积等于-1或一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在.( )××√×√6.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)的距离是|AB|= .( )√√7.直线的一般式方程可以表示任何一条直线.( )主题串讲 方法提炼·总结升华 一、直线的斜率与倾斜角
【典例1】 (1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率.
①A(-2,0),B(-5,3);②A(3,2),B(5,2);③A(3,-1),B(3,3);③因为A(3,-1),B(3,3);所以直线l的倾斜角为90°.(2)已知直线l过点A(2,1),B(m,3),求直线l的倾斜角的范围.规律方法 直线倾斜角和斜率及其关系
(1)倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)倾斜角α与斜率k的对应关系
①α≠90°时,k=tan α;
②α=90°时,k不存在.
(3)倾斜角与斜率的单调性问题
当直线l的倾斜角为α∈[0°,90°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而增大;
当直线l的倾斜角α∈(90°,180°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而减小.
(4)斜率公式:经过A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k= (x1≠ x2),应用时注意其适用的条件x1≠x2,当x1=x2时,直线的斜率不存在.规律方法 巧设直线方程解决问题
求直线方程时,要根据题目条件灵活选择直线方程的形式,并注意其适用范围:点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线,一般式虽然可以表示任何直线,但要注意A,B不同时为零,必要时要对特殊情况进行讨论.若不做特殊说明,求出的直线方程一般化为一般式.三、两条直线的位置关系
【典例3】 已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使:
(1)l1与l2相交于点(m,-1);解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将(m,-1)代入l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1.所以直线l1的方程为x+8y+n=0,所以n=7.(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.规律方法 两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2?k1=k2且b1≠ b2;l1⊥l2?k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另一个不存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行.
(2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即l1: A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0;l1⊥ l2?A1A2+B1B2=0.即时训练3-1:(2018·江西新余高一期末)已知直线l1:(k-1)x+y+2=0和直线l2:8x+(k+1)y+k-1=0平行,则k的值是( )解析:由题意可得(k-1)(k+1)-8=0,解得k=3或k=-3,经验证当k=-3时两直线重合,不满足题意.故选A.四、距离问题
【典例4】 (2018·山东济南一中高一期末)已知正方形的中心为(0,-1),其中一条边所在直线的方程为3x+y-2=0.求其他三条边所在直线的方程.即时训练4-1:(2018·辽宁抚顺期末)点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为( )
(A)3 (B)4
(C)5 (D)7五、对称问题
【典例5】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.方法技巧 求对称直线的方程,可以转化为点对称问题解决或者用相关点转移法解决.即时训练5-1:(2018·安徽合肥市一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )
(A)x-2y+1=0 (B)x-2y-1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+2y-1=0六、最值问题
【典例6】 已知A(4,1),B(0,4)两点,在直线l:3x-y-1=0上找一点M,使得||MA|-|MB||的值最大,并求此时点M的坐标及最大值.方法技巧 本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用,利用对称问题可以解决类似的两类问题:一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之差||MA|-|MB||最大;一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之和||MA|+|MB||最小,这时还要考虑A,B两点在直线的同侧还是异侧.七、易错题辨析
【典例7】 已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的 方程.错因分析:符合题意的直线有两条,错解中忽略了斜率不存在的情况,从而只得到了一条直线.变式探究:已知一条直线经过点A(1,2)并且与点B(2,3)和C(0,-5)的距离相等,求此直线方程.真题体验 真题引领·感悟提升 1.(2014·四川卷,文9)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( )BC 3. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( ) (A)2 (B)1 (C) (D)D解析:以AB,AC所在直线分别为x轴、y轴,A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,4.(2016·上海卷,理3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离 .?5.(2013·四川卷,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2), B(1,5),C(3,6), D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .?答案:(2,4)谢谢观赏！
