课件34张PPT。2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面课标要求:1.正确理解平面的概念.2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (生活中的数学)在生活中,我们常看到这样的现象:
(1)在工程建筑中,质检员为检测墙面是否平整,常拿直尺放在墙面上,还不时地交叉检测.【情境导学】想一想 1:质检员是如何判断墙面的平整的?
(把直尺放在墙面上,如果直尺与墙面间没有空隙,则说明直尺所在直线在平面内,交叉检测可知墙面是否平整)想一想 2:你知道自行车的停放原理吗?
(自行车通过两车轮一车腿三点触地,可确定一平面,因而能稳定地停放)(2)自行车由两轮与车腿三点就可以稳定地停放在地面上.1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1).知识探究无限延展45° 2倍②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).(3)平面的表示
图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平面”二字不能省略.虚线2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αα∩β=l3.平面的基本性质两点不在一条直线上一个过该点探究:把下列符号语言表示的图形画出来:α∩β=l,A∈l,B∈α,D∈α且BD∥l.
答案:自我检测1.(平面的概念)下列说法:
①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
2.(公理2)三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( )
(A)1个 (B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个BC3.(公理1)若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则( )
(A)C∈α (B)C?α
(C)AB?α (D)AB∩α=C
4.(平面的概念)三个平面将空间最多能分成( )
(A)6部分 (B)7部分
(C)8部分 (D)9部分CA5.(点、线、面的位置关系)如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a, N∈b,M∈l,N∈l,则( )
(A)l?α (B)l?α
(C)l∩α=M (D)l∩α=N解析:因为M∈l,N∈l,且M∈α,N∈α,所以l?α.A6.(公理3)如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .
.?答案:点P在直线DE上题型一文字语言、图形语言、符号语言的转换【例1】 完成下列各题:
(1)将下列文字语言转换为符号语言.
①点A在平面α内,但不在平面β内;
②直线a经过平面α外一点M;
③直线l在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l). 课堂探究 典例剖析·举一反三解:(1)①A∈α,A?β.②M∈a,M?α.③α∩β=l.(2)将下列符号语言转换为图形语言.
①a?α,b∩α=A,A?a;
②α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P.解:(2)①
②方法技巧 实现三种语言转换要注意
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α与β重合
(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l与n确定唯一平面解:(1)选D.(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解:(2)在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a?α, b?β,a∩l=P,b∩l=P.【备用例1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l, P?α,Q∈l,Q∈α解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.题型二点线共面【思考】
过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平行直线呢?提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.【例2】 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一 (纳入法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法技巧 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.即时训练2-1:空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的平面数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)1或3解析:两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面,共可确定3个平面,故选D.【备用例2】 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)AA1与CC1是否在同一平面内?解:(1)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1可确定平面ACC1A1,
所以AA1与CC1在同一平面内.(2)点B,C1,D是否在同一平面内?
(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线,平面ACD1与平面BDC1的交线.解:(2)因为点B,C1,D不共线,
所以B,C1,D可确定平面BC1D,
所以点B,C1,D在同一平面内.
(3)因为AC∩BD=O,D1C∩DC1=E,
所以O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D.
又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D,
所以平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1.
同理平面ACD1∩平面BDC1=OE.多点共线、多线共点问题题型三【例3】 (12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB, AA1上的点,且D1F∩CE=M,求证:M∈AD.证明:因为D1F∩CE=M,
且D1F?平面A1D1DA,
所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,
从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.方法技巧 (1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.即时训练3-1:(2016·安徽淮南期末)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O三点共线
(B)A,M,O,A1不共面
(C)A,M,C,O不共面
(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC.
所以A1,C1,C,A四点共面.
所以A1C?平面ACC1A1.
因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,
所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
所以A,M,O三点共线.故选A.谢谢观赏！课件32张PPT。2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课标要求:1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角.3.能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (教学备用)(生活中的数学)
立交桥是伴随高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建设的美丽风景.为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年到1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥.从此,城市交通开始从平地走向立体.【情境导学】想一想 若把立交桥抽象成直线,它们是否在同一平面内?有何特征?
(有的在同一平面内,有的不在同一平面内;不在同一平面内的直线无公共点)
导入 (从所学过的长方体模型导入)
观察长方体,在长方体的几条棱中,每条棱所在直线有几种位置关系?试归纳.
答案:三种:平行;相交;既不平行、也不相交.1.异面直线
(1)定义:不同在 的两条直线叫做异面直线.
(2)画法:知识探究任何一个平面内2.空间两条直线的位置关系有且只有一个公共点探究1:若直线a?α,b?β,a和b一定异面吗?
答案:不一定.当a与b不同在任何一个平面内,a,b才异面.3.平行线的传递性
公理4:平行于同一条直线的两条直线 .
符号表示:a∥b,b∥c?a∥c.
4.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.互相平行相等或互补锐角直角探究2:若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗?
答案:不一定.例如墙角处的三条直线两两垂直,但是没有任何两条直线是互相平行的.自我检测1.(位置关系)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
(A)异面 (B)平行
(C)相交 (D)以上都有可能
2.(等角定理)已知∠BAC=30°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠B′A′C′等于( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)大小无法确定DC3.(异面直线的判定)在三棱锥S-ABC中,与AB异面的棱为( )
(A)BC (B)SA
(C)SC (D)SB
4.(公理4、位置关系)下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4BC5.(异面直线所成的角)正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是( )
(A)30° (B)45°
(C)60° (D)90°
6.(异面直线的判定)如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有 .(填序号)?答案:②④C题型一空间位置关系的判断【思考】
过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线,正确吗? 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:正确.【例1】 已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC边上的高,DF是△BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.证明:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为β,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因为B∈EF,C∈EF,而EF?β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,
所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.方法技巧 判定两直线异面的常用方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.即时训练1-1:正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面且垂直的棱有( )
(A)8条 (B)6条 (C)4条 (D)3条解析:如图所示,一共有12条棱,其中有三条与AB平行,有四条与AB相交,还剩四条,这四条是CC1,DD1,A1D1,B1C1都是与AB异面且垂直.故选C.【备用例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC; (3)A1C与D1B; 解:(1)因为C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,
又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB与CC1异面.
(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.
(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,
则A1,B,C,D1在同一平面内.
所以A1C与D1B相交.(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.解:(4)因为B∈平面ABCD,DC?平面ABCD,
又B?DC,D1?平面ABCD,所以DC与BD1异面.
(5)CF与DA的延长线交于G,连接D1G,
因为AF∥DC,F为AB的中点,所以A为DG的中点.
又AE∥DD1,所以GD1过AA1的中点.所以直线D1E与CF相交.题型二公理4及等角定理的应用【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:EE′∥FF′.证明:因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,
所以BE∥B′E′,且BE=B′E′,
所以四边形EBB′E′是平行四边形.
所以EE′∥BB′,
同理可证FF′∥BB′,所以EE′∥FF′.变式探究1:在本例中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.变式探究2:将本例变为已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.证明:如图所示,连接EE′.
因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,
所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形.方法技巧 证明两直线平行的常用方法:(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.答案:平行【例用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)MC∥A1E,A1F∥CN;(2)∠EA1F=∠NCM.证明:(2)由(1)知A1F∥CN,
MC∥A1E,
又A1E,A1F与CM,CN的方向分别相反,
所以∠EA1F=∠NCM.求异面直线所成的角题型三方法技巧 求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.谢谢观赏！课件22张PPT。2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系课标要求:1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系.2.会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (教学备用)(生活中的数学现象)
观察教室内的线、面,线与面、面与面有几种位置关系?
答案:线与面关系有:相交、平行、在平面内;面面关系有:相交、平行.【情境导学】导入 (长方体模型导入)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1B.
A1B与长方体各面有几种位置关系?长方体的各面之间有几种位置关系?答案:A1B与长方体各面的位置关系有三种:相交、平行、直线在平面内;长方体的各面之间位置关系有两种:平行、相交.1.直线与平面的位置关系知识探究a?α无数个a∩α=A一个a∥α无探究1:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.
2.平面与平面的位置关系α∥β无公共点α∩β=l一条直线上探究2:分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?
答案:分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面.自我检测1.(直线与平面的位置关系)直线l与平面α有两个公共点,则( )
(A)l∈α (B)l∥α
(C)l与α相交 (D)l?α
2.(平面与平面的位置关系)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )
(A)平行 (B)相交
(C)平行或相交 (D)不能确定DC3.(线面关系)设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面( )
(A)有且只有一个 (B)恰有两个
(C)没有或只有一个 (D)有无数个C解析:(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,则过P与a,b都平行的平面不存在.
(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,过P有且只有一个平面与a,b都平行.故选C.4.(线面、线线关系)直线a?平面α,直线b?平面α,则a,b的位置关系是 .?
5.(线面、面面关系)下列命题:①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②若直线l在平面α外,则l∥α;③若a?α,α∥β,则β内有无数条直线与直线a平行,其中是真命题的序号是 .?答案:平行、相交或异面解析:由直线与平面平行的定义可知①正确;由直线与平面的位置关系知②不正确;由平面与平面之间的位置关系可知③正确.
答案:①③题型一直线与平面的位置关系【思考】
直线在平面外,包括几种情况? 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:两种,平行与相交.【例1】 如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.解:因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1?面BCC1B1.
又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1.
因为C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,所以BC1与面CDD1C1相交,
同理BC1与面ABB1A相交,
BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.误区警示 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.即时训练1-1:下列说法中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条也和这个平面相交 ②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面平行 ③若直线a在平面α外,则a∥α.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由直线与平面的位置关系可知①正确;这条直线可能在经过另一条直线的平面内,所以②不正确,对于③包括两种情形,直线a∥α或直线a与α相交,故③不正确.故选B.【备用例1】 已知:直线a∥直线b,a∩平面α=P,求证:直线b与平面α相交.证明:如图所示,因为a∥b,
所以a和b确定平面β.
因为a∩α=P,
所以平面α和平面β相交于过点P的直线l.
因为在平面β内l与两条平行直线a,b中的一条直线a相交,
所以l必与b相交,
设b∩l=Q,则Q∈α.
又b不在平面α内,故直线b和平面α相交,相交于Q.题型二平面与平面的位置关系【例2】 α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )
(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β解析:对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.方法技巧 判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.即时训练2-1:平面α与平面β平行且a?α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3解析:因为α∥β,a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.【备用例2】 一个平面将空间分成两部分,那么两个平面呢?三个平面呢?解:(1)两个平面有两种情形
①当两个平面平行时,将空间分成三部分(如图(1));
②当两个平面相交时,将空间分成四部分(如图(2)).(2)三个平面有五种情形
①当三个平面互相平行时,将空间分成四部分(如图(3));
②当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分(如 图(4));
③当三个平面相交于同一条直线时,将空间分成六部分(如图(5));⑤当三个平面相交于三条直线,且三条交线相互平行时,将空间分成七部分(如图(7)).谢谢观赏！课件21张PPT。2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定课标要求:1.理解直线与平面平行的判定定理.2.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的命题. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (生活中的数学)
当门扇绕着一边转动时,门扇转动的一边所在的直线与门框所在的平面具有什么样的位置关系?将课本放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘所在的直线与桌面所在的平面具有什么样的位置关系?为什么?【情境导学】直线与平面平行的判定定理知识探究a?α 平行a∥b 探究:若a∥b,a∥α,则b∥α,这个推理正确吗?
答案:不正确.b可能在α内.自我检测1.(理解定理)若A是直线m外一点,过A且与m平行的平面( )
(A)存在无数个
(B)不存在
(C)存在但只有一个
(D)只存在两个A2.(定理应用)下列命题,能得出直线m与平面α平行的是( )
(A)直线m与平面α内的两条直线平行
(B)直线m 与平面α内无数条直线平行
(C)直线m与平面α没有公共点
(D)直线m与平面α内的一条直线平行
3.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
(A)b?α,a∥b
(B)b?α,c∥α,a∥b,a∥c
(C)b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
(D)a?α,b?α,a∥bCD4.(定理应用)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中与平面ADD1A1平行的直线是
,与直线AB平行的平面是 .?答案:BC,CC1,C1B1,BB1 平面A1B1C1D1,平面CDD1C1题型一线面平行的判定定理的理解【例1】 下列说法中正确的是( )
(A)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
(B)若直线a在平面α外,则a∥α
(C)若直线a∥b,b?α,则a∥α
(D)若直线a∥b,b?α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线 课堂探究 典例剖析·举一反三解析:选项A中,直线l?α时l与α不平行;
直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;
选项C中直线a可能在平面α内;
选项D正确.故选D.即时训练1-1:有以下三种说法,其中正确的是( )
①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;③直线a,b满足a∥α,且b?α,则a平行于经过b的任何平面.
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①解析:①正确.②错误,反例如图(1)所示.③错误,反例如图(2)所示,a,b可能在同一平面内.故选D.题型二直线与平面平行的判定【思考】
1.证明直线与平面平行有哪些常用方法?
2.要证线面平行,需寻求什么条件?体现了什么思想?提示:①定义法,②判定定理法.提示:要证线面平行,需寻求线线平行;将线面平行关系(空间问题)转化为线线平行关系(平面问题),体现了转化与化归的思想方法.【例2】 (12分)如图,M,N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.规范解答:如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,……1分
因为N是PC的中点,方法技巧 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行公理等.变式探究:改变本例中的设题背景,如在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.证明:如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,解: =1.证明如下:如图所示,【备用例题】 一个多面体的三视图及直观图如图所示,M,N分别是A1B,B1C1的中点,求证:MN∥平面ACC1A1.证明:由三视图可知该多面体是侧棱长为a,底面为等腰直角三角形的直三棱柱,AC=BC=a,∠ACB=90°.
连接AB1,AC1,由平行四边形的性质可知AB1与A1B相交于点M.
在△B1AC1中,
因为M,N分别是AB1,B1C1的中点,
所以MN∥AC1,
又MN?平面ACC1A1,
AC1?平面ACC1A1,
所以MN∥平面ACC1A1.谢谢观赏！课件26张PPT。2.2.2 平面与平面平行的判定课标要求:1.理解平面与平面平行的判定定理.2.能应用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (生活中的数学)
把三角板放置在课桌面上方,如果保持三角板的一条边与课桌面平行,观察两个平面的位置关系,如果两条边与课桌面平行,观察两个平面的位置关系,如果换成课本与课桌面,课本的两条边与课桌面平行时,两个平面有什么关系.【情境导学】想一想 三角板有两条边与课桌面平行,那么两个平面有什么位置关系?课本的两条边与课桌面平行呢?
(当三角板两条边平行于课桌面时,两个平面平行,课本的两条边平行于课桌面时,两个平面位置不能确定,需要考虑是哪两条边,若是平行边则不能判定平行,相交的两边则可以)平面与平面平行的判定定理知识探究相交a∩b=P 探究1:如果两个平面都与第三个平面平行,这两个平面平行吗?
答案:平行.
探究2:如果两个平面都平行于某一条直线,这两个平面平行吗?
答案:不一定平行.自我检测1.(理解定理)下列说法中正确的是( )
(A)如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
(B)如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
(C)如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行
(D)如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行C2.(面面平行的判定)如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)不确定A3.(定理应用)在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,平面ABC与平面A1B1C1是否平行 .(填“是”或“否”)?答案:是4.(判定定理)已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,Ρ是一个点,若a∥β, b∥β,a?α,b?α,且 (填上一个条件即可),则有α∥β.?答案:a∩b=P题型一对面面平行判定定理的理解【思考】
1.平面α内有无数条直线与β平行,α与β平行吗?
平面α内任一条直线与平面β平行,α与β平行吗? 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:不一定,平行.2.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线.那么这两个平面平行吗?提示:平行.【例1】 已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
(A)l∥β,l?α?α∥β
(B)l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β
(C)l∥m,l?α,m?β?α∥β
(D)l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β解析:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,则AB∥平面DC1,AB?平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;可证AD∥B1C1,AD?平面AC, B1C1?平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是面面平行的判定定理,所以选项D正确.故选D.方法技巧 解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.即时训练1-1:给出下列三个结论:
①一个平面α内有两条不平行的直线都平行于另一个平面β,则α∥β;②过平面α外一点且与α平行的所有直线在同一平面内;③如果平面α∩γ=a,平面γ∩β=b,a∥b,则α∥β,其中不正确的结论有 个.?解析:①,②正确;满足条件α∩γ=a,β∩γ=b,a∥b时,可能有α∥β,也可能有α与β相交,故③错误.
答案:1题型二平面与平面平行的判定【例2】 (12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C.规范解答:(1)因为B1B?? DD1,
所以四边形BB1D1D是平行四边形,……………………1分(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.规范解答:(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.…………………5分
取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G,………………………6分
又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形,………………7分
所以B1E∥AG.易得GF∥AD.………………………………………8分
又因为GF=AD,
所以四边形ADFG是平行四边形,…………………………………9分
所以AG∥DF,所以B1E∥DF,………………………………………10分
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF=D,
所以平面EB1D1∥平面FBD.………………………………………12分变式探究:本例中,条件(2)分别改为
(1)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E= A1A,问:F在何位置时,平面EB1D1∥平面FBD?(2)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E=λA1A(0<λ<1),
问: 为何值时,平面EB1D1∥平面FBD?解:(2)当 =1-λ时,平面EB1D1∥平面FBD,
证明:在DD1上取点M,使DM=λDD1,
则D1M=(1-λ)DD1=AE,
故D1M?? AE.
以下证明过程与(1)相同.即时训练2-1:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP,
而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC,
又因为四边形ABCD为平行四边形,BC∥AD,
所以MQ∥BC.
而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,所以平面MNQ∥平面PBC.谢谢观赏！课件22张PPT。2.2.3 直线与平面平行的性质课标要求:1.理解线面平行的性质定理,并能应用定理解决有关问题.2.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行的性质定理,并能证明一些空间位置关系的简单命题. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (实例导入)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB上的一点,过A1,D1,M三点的平面将长方体分割为两部分.【情境导学】想一想 实例中截面与平面ABCD的交线MN与A1D1平行吗?为什么?
(平行.因为A1D1∥平面ABCD,所以A1D1与MN无公共点,又A1D1与MN在同一平面(截面)内,所以MN与A1D1平行)
导入 (教学备用)(问题导入)
如图,在三棱锥S-ABC中,已知点E,F,G分别为棱SA,SC,BC的中点,过点E,F,G三点的平面与线段AB的交点为H.那么AC与HG什么位置关系?你能证明吗?答案:平行.证明:
因为EF∥AC,AC?平面EFGH,
EF?平面EFGH,
所以AC∥平面EFGH.
又HG?平面EFGH,所以AC与HG无交点.
又AC,HG都在平面ABC内,所以AC∥HG.直线与平面平行的性质定理知识探究平行a∥b探究:若直线a∥平面α,直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系?
答案:平行或异面.自我检测1.(线面平行性质)若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
(A)a平行于α内的所有直线
(B)α内有无数条直线与a平行
(C)直线a上的点到平面α的距离相等
(D)α内存在无数条直线与a垂直A2.(定理的理解)直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且只有一条 (D)不可能有
3.(定理应用)在三棱锥A-BCD中,E,F,M,N分别为AB,AD,BC,CD上的点, EF∥MN,则EF与BD( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)以上皆有可能BA4.(定理的理解)有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l∥平面α,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3C5.(定理应用)平面四边形ABCD中,AB?α,CD∥α,AB≠CD,则四边形ABCD的形状是 .?答案:梯形题型一直线与平面平行的性质定理的理解【思考】
目前为止你已学习过哪些证明线线平行的方法,试总结. 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:同位角相等两直线平行等(初中);公理4,线面平行的性质定理.【例1】 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:
①m,n?β,②n?α,③m∥α,④m∥n.
现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .?解析:结合线面平行的性质定理,可知①②③?④,
结合线面平行的判定定理,可知①②④?③.
答案:①②③?④或①②④?③方法技巧 解决本类问题的技巧是
(1)明确性质定理的关键条件.
(2)充分考虑各种可能的情况.
(3)特殊的情况注意举反例来说明.即时训练1-1:(2016·兰州一中高一测试)若直线a∥平面α,α内相交于一点的所有直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且仅有一条 (D)没有解析:由题意知选C.【备用例题】 下列说法中正确的是( )
①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
(A)①②③④ (B)①②③
(C)②③④ (D)①②④解析:①根据线面平行的性质定理可知:直线与平面平行,则与平面内的无数条直线平行,正确.
②根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,正确.
③可以作无数个平面与直线平行,故③错误.
④根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,故④正确,所以选D.题型二直线与平面平行的性质定理的应用【例2】 (12分)如图,AB,CD为异面直线,且AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,求证AM∶MC=BN∶ND.变式探究:若本例中的条件不变,BC与平面α相交于点Q,试判断MPNQ的形状.解:因为AB∥α且平面ABC∩α=MQ,
所以MQ∥AB,同理PN∥AB,
所以PN∥MQ,
同理:MP∥QN,
所以四边形MPQN为平行四边形.易错警示 (1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用.
(2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.即时训练2-1:如图,在△ABC中,BC=9,BC∥平面α,且平面ABC∩α=MN,若△ABC的重心G在MN上,则MN= .?答案:6谢谢观赏！课件25张PPT。2.2.4 平面与平面平行的性质课标要求:1.理解平面与平面平行的性质定理及含义.2.能运用面面平行的性质定理,证明一些空间平行关系的简单命题. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (从模型导入)
如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系?【情境导学】 (教学备用)答案:平行平面与平面平行的性质定理知识探究平行a∥b探究:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?
答案:平行.自我检测1.(定理理解)若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )
(A)平行 (B)异面
(C)相交 (D)平行或异面或相交
2.(理解定理)已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
(A)不一定存在与a平行的直线
(B)只有两条与a平行的直线
(C)存在无数条与a平行的直线
(D)存在唯一一条与a平行的直线DD3.(定理应用)过平面外一点作一平面的平行线有 条.?答案:无数4.(定理应用)(2016·邢台一中高一测试)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为 .?答案:4∶49题型一平面与平面平行的性质定理的应用【思考】
1.若两个平面互相平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面什么关系?与另一个平面内的直线又有何关系? 课堂探究 典例剖析·举一反三提示:若两平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面平行;与另一个平面内的直线平行或异面.2.平行于同一个平面的两个平面什么关系?提示:平行.【例1】 (12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.规范解答:因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,…………………………………4分
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC,……………8分
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC.………………………………………………………………12分变式探究:将本例中的三棱锥改为长方体,如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH与两平面分别交于EF,GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
答案:平行四边形方法技巧 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.即时训练1-1:如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外,且AA′,BB′,CC′,DD′互相平行.
求证:四边形ABCD是平行四边形.题型二平行关系的综合应用【例2】 (12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;规范解答:(1)法一 如图,连接AC,CD1.
因为P,Q分别是AD1,AC的中点,
所以PQ∥CD1.……………………………………1分
又PQ?平面DCC1D1,………………………………2分
CD1?平面DCC1D1,………………………………3分
所以PQ∥平面DCC1D1.…………………………4分
法二 取AD的中点G,连接PG,GQ,
则有PG∥DD1,GQ∥DC,且PG∩GQ=G,……………1分
所以平面PGQ∥平面DCC1D1.……………………2分
又PQ?平面PGQ,
所以PQ∥平面DCC1D1.……………………………4分(2)求PQ的长;
(3)求证:EF∥平面BB1D1D. 直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.方法技巧即时训练2-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?解:如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,点M在AA1上,平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO,由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点,
所以M为AA1的中点,Q为CC1的中点,
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.【备用例1】 如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1= 3∶2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为 .?求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为E,F分别为PC,PD的中点,
所以EF∥CD.
因为AB∥CD,所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面PAB.
因为AP?平面PAB,所以AP∥平面EFG.谢谢观赏！课件33张PPT。2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定课标要求:1.理解线面垂直的定义和判定定理.2.能运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.能在简单的几何体中计算线面角. 自主学习 新知建构·自我整合导入
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察折痕AD与桌面的位置关系.思考如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直.【情境导学】想一想 怎样折叠才能使AD与桌面垂直?
(当AD是高时,即AD⊥BD,AD⊥CD时AD与桌面垂直)
导入(教学备用)
你能用3根木棒组成12个直角吗?
在同一个平面内,用3根木棒可以拼成5个直角、6个直角、8个直角.如下图:因此,平面内3根木棒最多拼成8个直角.在空间内会如何呢?如果把2根木棒十字交叉地放在桌面上,另一根木棒的一端摆在前2根木棒的交叉处并使这根木棒与桌面垂直(如图(4)),这时拼出的直角也是8个.
如果把摆在桌面上的两根木棒离开桌面,紧挨着与桌面垂直的木棒向上方平移(如图(5)).那么,这时我们会发现,12个直角出现了.想一想 (1)图(4)与图(5)中的竖直木棒与由两根横向与纵向木棒所确定的平面垂直吗?
(2)如果两根横向与纵向木棒不互相垂直,该竖直木棒与它们确定的平面垂直吗?答案:(1)垂直.
(2)垂直.1.直线与平面垂直的概念
如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作 ,直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的
,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 .知识探究任意一条直线l⊥α探究1:若直线a⊥平面α,直线b?α,则a与b互相垂直吗?
答案:垂直.垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b=P探究2:若直线a⊥b,直线a⊥c,且b?α,c?α,直线a⊥平面α吗?
答案:不一定垂直,当b与c相交时,a⊥平面α.3.直线与平面所成的角
(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 .
的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.垂直斜足斜足以外斜足A锐角直角0° 自我检测1.(线面垂直的定义)如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是( )
(A)①③ (B)② (C)②④ (D)①②④交
2.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为( )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)a,b相交不垂直 (D)a,b异面不垂直AB3.(线面垂直的判定)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
(A)平面OAB (B)平面OAC
(C)平面OBC (D)平面ABC
4.(直线与平面所成的角)若直线a和直线b与平面α所成的角相等,则直线a与直线b的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)不确定CD5.(直线与平面所成的角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 .?答案:题型一线面垂直的概念与定理的理解【例1】 下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 课堂探究 典例剖析·举一反三解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.误区警示 线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.即时训练1-1:如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是 .?解析:三角形两边必相交,圆的两条直径必相交,梯形的两边有可能是平行的一组对边,正六边形的两边也可能是一组平行对边.故由线面垂直的判定定理知,能保证该直线与平面垂直的是①③.
答案:①③【备用例1】 下列命题中,正确命题的序号是 .?
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.解析:根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.
答案:④⑤⑥题型二直线与平面垂直的判定【思考】
1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?提示:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直.2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?提示:垂直.【例2】 (12分)在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥平面ABC.规范解答:如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,
所以AH⊥BC,……………………………………2分
又AP⊥BC,AH∩AP=A,
所以BC⊥平面AHP,………………………………4分
又PH?平面AHP,
所以PH⊥BC.……………………………………6分
同理可证PH⊥AB,………………………………8分
又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.………………12分变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC,求证: AB⊥PC,BC⊥AP.证明:如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,
所以AH⊥BC,又PH⊥平面ABC,
所以PH⊥BC,又PH∩AH=H,
所以BC⊥平面PAH,
所以BC⊥AP,
同理可证:AB⊥PC. 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.方法技巧即时训练2-1:如图,四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形ABCD 的中心,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.解:(1)连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心,
所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO.
因为EO?平面PAD,PA?平面PAD,所以EO∥平面PAD.(2)证明:DE⊥平面PBC.解:(2)因为PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC,
因为底面ABCD是正方形,有BC⊥DC,
所以BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC,所以BC⊥DE.
因为PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,
而DE是斜边PC的中线,
所以DE⊥PC.
又BC,PC?平面PBC,且BC∩PC=C,
所以DE⊥平面PBC.【备用例2】 如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,
在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,
所以DE∥BC,且DE⊥AB.
在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.
因为SD?平面SDE,所以AB⊥SD.
在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.
因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.证明:(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.
而BD?平面ABC,所以SD⊥BD.
因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,
所以BD⊥平面SAC.题型三直线与平面所成的角(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,
所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)求证:直线AE⊥平面BCB1;(2)证明:因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥
AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1.(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小. 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤:
(1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.方法技巧即时训练3-1:已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为 .?答案: 【备用例3】 (2015·浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.
连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.谢谢观赏！课件38张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定课标要求:1.了解二面角及其平面角的定义,并会求简单二面角的大小.2.理解两个平面互相垂直的定义.3.理解两个平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直. 自主学习 新知建构·自我整合导入 (实例导入)
建筑工人在准备砌墙时,常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,就能保证所砌的墙面和水平面垂直.【情境导学】 (教学备用)想一想 实例中墙面满足什么条件时和水平面垂直?
(墙面经过水平面的一条垂线)1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的 ,这两个半平面叫二面角的 .图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.知识探究棱面(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.垂直于棱l直角探究1:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?
答案:可以构成三个二面角,如图所示.
分别是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ.
这三个二面角都是90°.2.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 .
(2)判定定理直二面角α⊥β另一个平 面的垂线探究2:过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面?
答案:无数多个.过平面外一点可以作平面的一条垂线,过此垂线可以作出无数个平面,这些平面都与已知平面垂直.自我检测1.(二面角)下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( )
(A)①③ (B)②④
(C)③④ (D)①②B2.(判定定理)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
(A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n?α
(C)m∥n,n⊥β,m?α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
3.(面面垂直的判定)在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与面ABCD垂直的平面有( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个CD4.(面面垂直判定定理)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.?答案:35.(二面角)如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥ BC,且PC=5,则二面角P-BD-A的余弦值为 .?答案:题型一求二面角【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)求二面角D′-AB-D的大小; 课堂探究 典例剖析·举一反三解:(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.
所以二面角D′-AB-D的大小为45°.解:(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.
从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.
所以二面角M-AB-D的大小为45°.(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.方法技巧 (1)二面角的平面角满足:①顶点在二面角的棱上;②两边分别在二面角的两个半平面内;③两边分别与二面角的棱垂直.
(2)二面角的平面角θ是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0°≤θ≤180°.即时训练1-1:(2018·辽宁实验中学高一测试)正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于 .?解析:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AB⊥平面BCC1B1,
因为BC?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,所以AB⊥BC,AB⊥BC1,
所以∠CBC1为二面角C1-AB-C的平面角,
又ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以∠C1BC=45°.
答案:45°【备用例1】 在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD⊥平面ABCD,PD=a.
(1)求证:AC⊥平面PBD;(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,
所以AC⊥BD,
又PD⊥平面ABCD,
所以AC⊥PD,
又PD∩BD=D,所以AC⊥平面PBD.(2)求二面角P-BC-D的平面角;(2)解:因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,
又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD.
又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD,
所以BC⊥PC,
所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,
在Rt△PCD中,因为PD=DC=a,
所以∠PCD=45°,
即二面角P-BC-D的平面角为45°.(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.题型二平面与平面垂直的判定【例2】 (1)如图(1)在四面体ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)如图(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.
①求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1;证明:(2)①因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
所以BB1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,
所以AD⊥BB1,又D为BC的中点,
所以AD⊥BC,又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1,
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.②求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明:②因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
所以AA1⊥平面ABC,又DE?平面ABC,
所以AA1⊥DE,又DE⊥A1E,A1E∩AA1=A1,所以DE⊥平面ACC1A1,
又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.变式探究:若本例中(2)改为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,求证:平面AB1F⊥平面ACC1A1.证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1,
又FB1?平面A1B1C1,所以AA1⊥FB1,
又△A1B1C1为等边三角形,F为A1C1的中点,所以B1F⊥A1C1,
又A1C1∩AA1=A1,
所以B1F⊥平面ACC1A1,又B1F?平面AB1F,
所以平面AB1F⊥平面ACC1A1. 判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.方法技巧即时训练2-1:(2018·石家庄期末)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形, E为PD的中点.若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PDC.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,
又AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,
又AE?平面PAD,所以CD⊥AE.
因为PA=AD,E为PD中点,所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PDC,
又AE?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDC.【备用例2】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.【备用例3】 (2014·北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(1)证明:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面
所以BB1⊥AB,
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1,
因为AB?平面ABE.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求证:C1F∥平面ABE;(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.
因为E,F分别是A1C1,BC的中点,
所以FG∥AC,且FG= AC.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1.
所以四边形FGEC1为平行四边形,
所以C1F∥EG.
又因为EG?平面ABE,C1F?平面ABE,
所以C1F∥平面ABE.(3)求三棱锥E-ABC的体积.题型三线面垂直、面面垂直的综合问题【思考】
如何作二面角的平面角?提示:作二面角的三种常用方法:
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.【例3】 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 .
(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.(2)解:如图,取AB的中点F,连接PF.
因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,
又平面PAB∩平面ABC=AB,PF?平面PAB,
所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.
过F作FG⊥EC于G,连接PG.
因为PF⊥EC,PF∩FG=F,
所以EC⊥平面FPG.
因为PG?平面FPG,
所以EC⊥PG. (1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化.
(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个半平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.方法技巧即时训练3-1:如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
又BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,又BD∩BE=B,
所以AC⊥平面BED,又AC?平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.谢谢观赏！课件38张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质课标要求:理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质,并能运用性质定理解决一些简单问题. 自主学习 新知建构·自我整合实例:(1)在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.这些电线杆中的每根杆都与地面垂直.
(2)在建筑或装修房屋时,经常会看到工人师傅在竖直的墙壁上寻找与地面垂直的线.【情境导学】想一想 1:实例(1)中这些杆之间存在什么位置关系?
(电线杆与电线杆之间相互平行)想一想 2:实例(2)中工人师傅如何找到这条线呢?
(只要在墙上画一条与地面和墙壁的交线垂直的直线就符合要求)1.直线与平面垂直的性质定理知识探究平行a∥b探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗?
(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗?
(3)过一点有几条直线与已知平面垂直?答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
(2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.
(3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.2.平面与平面垂直的性质定理a⊥l垂直于交线探究2:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?
(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?
答案:(1)正确.若设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.自我检测1.(面面垂直的性质定理)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是( )
(A)AP⊥AC
(B)AP⊥AB
(C)AP⊥平面ABC
(D)AP与BC所成的角为45°D2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则( )
(A)B1B⊥l (B)B1B∥l
(C)B1B与l异面 (D)B1B与l相交
3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n?β,则下列叙述正确的是( )
(A)若α∥β,则m∥n (B)若m∥n,则α∥β
(C)若n⊥α,则m⊥β (D)若m⊥β,则α⊥βBD4.(面面垂直的性质定理)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线 上.?答案:AB5.(线面、面面垂直的应用)设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示).?答案:①③④?②(或②③④?①)题型一直线与平面垂直的性质定理的应用【例1】 (1)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③m∥n,m∥α? n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
(A)①③ (B)②④
(C)①④ (D)②③ 课堂探究 典例剖析·举一反三(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α∥β, m?α,n?β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α时,n∥α或n?α,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故④正确.故选C.(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC.
求证:①MN∥AD1;②M是AB的中点.方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.【备用例1】 如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.
(1)求证:AF⊥SC;证明:(1)因为SA⊥平面AC,BC?平面AC,所以SA⊥BC,
因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC,
又SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥AE.
又SB⊥AE,BC∩SB=B,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SC.
又EF⊥SC,AE∩EF=E,所以SC⊥平面AEF,所以AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.证明:(2)因为SA⊥平面AC,
所以SA⊥DC,
又AD⊥DC,SA∩AD=A,
所以DC⊥平面SAD.
所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,
所以SC⊥AG,
又DC∩SC=C,
所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.题型二平面与平面垂直的性质定理的应用【例2】 (12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;规范解答:(1)如图所示,连接BD.
因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,……………………………2分
因为G是AD的中点,
所以BG⊥AD.………………………………………3分
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD.
所以BG⊥平面PAD.………………………………6分(2)求证:AD⊥PB.规范解答:(2)连接PG.
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD.………………………………………7分
由(1)知BG⊥AD,
而PG∩BG=G,
PG?平面PBG,BG?平面PBG.
所以AD⊥平面PBG.………………………………10分
又因为PB?平面PBG,
所以AD⊥PB.……………………………………12分 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.方法技巧即时训练2-1:如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=
CD=2,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.
(1)求证:BC⊥平面ACD;(2)求几何体D-ABC的体积.题型三线面、面面垂直的综合问题【例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,
又BC?平面PDA,AD?平面PDA,
所以BC∥平面PDA.(2)证明:BC⊥PD;(2)证明:取CD的中点H,连接PH,
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=CD,
所以PH⊥平面ABCD.
又因为BC?平面ABCD,所以PH⊥BC.
又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,
所以BC⊥平面PDC.
又因为PD?平面PDC,所以BC⊥PD.(3)求点C到平面PDA的距离. 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.方法技巧即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;证明:(1)在矩形ABCD中,
因为AP=PB,DQ=QC,
所以AP?? CQ.
所以AQCP为平行四边形.
所以CP∥AQ.
因为CP?平面CEP,AQ?平面CEP,
所以AQ∥平面CEP.(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.证明:(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,
所以AQ⊥EP.
因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.
所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.
因为AQ?平面AEQ,
所以平面AEQ⊥平面DEP.【备用例2】 如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为AB的中点,N为BC的中点,沿DE将△ADE折起.
(1)若平面ADE⊥平面BCDE,求证:AB=AC;证明:(1)取DE的中点M,连接AM,
因为在翻折前,四边形ABCD为矩形,AB=2AD,E为AB的中点,
所以翻折后AD=AE,则AM⊥DE,
又平面ADE⊥平面BCDE,
所以AM⊥平面BCDE,所以AM⊥BC,又N为BC的中点,
所以MN⊥BC,
因为AM∩MN=M,
所以BC⊥平面AMN,
所以BC⊥AN,
又N为BC的中点,
所以AB=AC.(2)若AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE.证明:(2)由(1)设M是DE中点,
因为N为BC的中点,
所以MN∥DC,又BC⊥DC,所以MN⊥BC,
又AB=AC,所以BC⊥AN,又MN∩AN=N,
所以BC⊥平面AMN,
所以BC⊥AM,由(1)知AM⊥DE,又DE与BC不平行,
所以AM⊥平面BCDE,又AM?平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCDE.谢谢观赏！课件35张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点. ( )
2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.( )
3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.( )
4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.( )
5.平行于同一条直线的两个平面平行.( )
6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.( )
7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.( )
8.垂直于同一条直线的两个平面平行.( )√√√√×××√主题串讲 方法提炼·总结升华 一、平面基本性质的应用
【典例1】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由.解:在平面AA1D1D内,延长D1F,
因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点,
设为P,则P∈FD1,P∈DA.
又因为D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,
所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD,
所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.规律方法 证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于一点;然后证明这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.也可以证明直线a、b相交于一点A,直线b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.即时训练1-1:如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EG与HF的交点在直线AC上.证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.
因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF∥GH,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EF∥GH,且EF≠GH,
所以EG与FH必相交,设交点为M,而EG?平面ABC,HF?平面ACD,
所以M∈平面ABC,且M∈平面ACD,所以M∈AC,
即EG与HF的交点在直线AC上.二、空间线面位置关系的证明
【典例2】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;证明:(1)因为A1A⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以AC⊥A1A,
又因为∠BAC=90°,所以AC⊥AB,
因为AA1?平面AA1B1B,AB?平面AA1B1B,AA1∩AB=A,
所以AC⊥平面AA1B1B,又A1M?平面AA1B1B,所以A1M⊥AC.
又因为四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,所以A1M⊥MA,
因为AC∩MA=A,AC?平面MAC,MA?平面MAC,所以A1M⊥平面MAC.(2)证明:MN∥平面A1ACC1.证明:(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,所以MN∥AC1.又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1.规律方法 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有:
(1)平行关系的转化.(2)垂直关系的转化.
线线垂直 线面垂直 面面垂直(3)平行与垂直的转化.即时训练2-1:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;证明:(1)由底面ABCD是正方形,知AC⊥BD,
由侧棱PD⊥底面ABCD,及AC?平面ABCD知AC⊥PD.
又PD∩BD=D,
故AC⊥平面PBD.
又AC?平面PAC,
从而,由平面与平面垂直的判定定理知,平面PAC⊥平面PBD.(2)证明:PB⊥平面EFD.证明:(2)在△PDC中,由PD=DC,E是PC的中点,知DE⊥PC.
由底面ABCD是正方形,知BC⊥DC,
由侧棱PD⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,知BC⊥PD.
又DC∩PD=D,故BC⊥平面PCD.
而DE?平面PCD,所以DE⊥BC.
由DE⊥PC,DE⊥BC及PC∩BC=C,知DE⊥平面PBC.
又PB?平面PBC,故DE⊥PB.
又已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
因此PB⊥平面EFD.三、空间位置关系的证明与空间角的计算
【典例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上.
(1)证明:PE⊥FG;(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,
所以PE⊥DC.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=DC,
所以PE⊥平面ABCD.
又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)求二面角P-AD-C的正切值. 规律方法 求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类:
①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影.
③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.即时训练3-1：如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在平面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥平面α,垂足为O.
(1)证明:AB⊥平面ODE;(1)证明:如图,因为DO⊥α,AB?α,所以DO⊥AB.
连接BD,由题设知,△ABD是正三角形,
又E是AB的中点,所以DE⊥AB,DO∩DE=D,
故AB⊥平面ODE.(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算
【典例4】 如图甲,☉O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使∠CAB =45°,∠DAB=60°.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P为AC上的动点,根据图乙解答下列各题:(1)求三棱锥D-ABC的体积;
(2)求证:不论点P在何位置,都有DE⊥BP;(2)证明:因为P∈AC,所以P∈平面ABC,
所以PB?平面ABC.
又由(1)知,DE⊥平面ABC,
所以不论点P在何位置,都有DE⊥BP.(3)在 上是否存在一点G,使得FG∥平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由.规律方法 (1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化:
①等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解.
②补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解.
③分割法:将几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和.
(2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.即时训练4-1:如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;(1)证明:取BC中点G,连接AG,EG,因为E是B1C的中点,所以EG∥BB1,
且EG= BB1.
由直棱柱知AA1∥BB1,AA1=BB1,而D是AA1的中点,
所以EG∥AD,EG=AD,所以四边形EGAD是平行四边形,
所以ED∥AG,又ED?平面ABC,AG?平面ABC,
所以DE∥平面ABC.(2)求三棱锥E-BCD的体积.五、易错题辨析
【典例5】 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点, 且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.错解:因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E,BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E,所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.
所以四边形EBFD1是平行四边形.
纠错:错解中盲目地认为E,B,F,D1四点共面,由已知条件并不能说明这四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到.真题体验 真题引领·感悟提升 1.(2016·全国Ⅰ卷,理11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A2.(2017·全国Ⅰ卷,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )A解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.3.(2016·全国Ⅱ卷,理14)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m?α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)?解析:①可能有m⊥β,即α∥β,得①错,②③④正确.
答案:②③④4.(2017·全国Ⅰ卷,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP =90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,
得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.5.(2016·全国Ⅲ卷,文19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点, AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.谢谢观赏！
