第五章 相交线与平行线
5.1.1 相交线
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1．[2018·贺州]如图5-1-7，下列各组角中，互为对顶角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
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图5-1-7 图5-1-8
2．如图5-1-8，直线AB，AB相交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3
＝180°，所以∠1＝∠2，其推理依据为( )
A．对顶角相等 B．同角的余角相等
C．等量代换 D．同角的补角相等
3．如图5-1-9，直线AB，AB相交于点O，OE，OF为射线，则对顶角有
( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
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图5-1-9 图5-1-10
4．[2018春·顺义区期末]如图5-1-10，AB，AB相交于点O，OE平分∠AOD.若∠BOC＝60°，则∠COE的度数是_______．
5．[2017春·天山期中]如图5-1-11，直线AB，AB，AB相交于点O，则∠AOD的对顶角是_________，∠AOC的邻补角是_______．若∠AOC＝50°，则∠BOD＝__________，∠COB＝______________．
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图5-1-11 图5-1-12
6．[2018春·江汉区期中]如图5-1-12，直线AB，AB相交于点O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，则∠BOD＝______°.
7．如图5-1-13，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE＝62°，求∠AOB的度数．
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图5-1-13
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8．[2018春·宁晋县期中]如图5-1-14，直线AB，AB相交于点O，∠BOM＝90°，∠DON＝90°.
(1)若∠COM＝∠AOC，求∠AOD的度数；
(2)若∠COM＝∠BOC，求∠BOD的度数．
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图5-1-14
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9．仔细填空：
(1)两条直线相交于一点，有____对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，有____对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，有____对对顶角；
(4)n条直线相交于一点，有________对对顶角．
参考答案
【分层作业】
1.A
2.D
3.B
4．150°
5．∠BOC ∠AOD，∠BOC 50° 130°
6． 36
7．解：因为∠DOE与∠COE互余，
所以∠DOE＋∠COE＝90°，
所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－62°＝28°.
又因为∠AOB与∠DOE是对顶角，
所以∠AOB＝∠DOE＝28°.
8．解：(1)∵∠COM＝∠AOC，
∴∠AOC＝∠AOM.
∵∠BOM＝90°，∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°－45°＝135°.
(2)设∠COM＝x°，则∠BOC＝4x°，
∴∠BOM＝3x°.
∵∠BOM＝90°，
∴3x＝90，即x＝30，
∴∠AOC＝60°，∴∠BOD＝60°.
9．2 6 12 n(n－1)
【解析】 因为两条直线相交于一点，有2＝2×1＝2×(2－1)对对顶角；三条直线相交于一点，有6＝3×2＝3×(3－1)对对顶角；四条直线相交于一点，有12＝4×3＝4×(4－1)对对顶角；…，由此可得n条直线相交于一点，有n×(n－1)对对顶角．
第五章 相交线与平行线
5.1.2.1 垂线
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1．两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是( )
A．一定有一个锐角
B．一定有一个钝角
C．一定有一个直角
D．一定有一个角不是钝角
2．与一条已知直线垂直的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
3．如图5-1-19，AO⊥OC，BO⊥OD，那么下列结论正确的是( )
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图5-1-19
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3
4．[2018·益阳]如图5-1-20，直线AB，AB相交于点O，EO⊥AB.下列说法错误的是( )
A．∠AOD＝∠BOC
B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE
D．∠AOD＋∠BOD＝180°
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图5-1-20 图5-1-21
5．[2018·新罗区校级月考]如图5-1-21，直线AB，AB，AB相交于点O，且AB⊥AB，∠1＝30°，则∠2＝______．
6．如图5-1-22，已知直线a，b，点P在直线a外，在直线b上，过点P分别画直线a，b的垂线．
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图5-1-22
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7．如图5-1-23，O是直线AB上的一点，且∠AOC＝∠BOC.
(1)求∠AOC的大小；
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图5-1-23
(2)若OC平分∠AOD，试判断OD与AB的位置关系．
8．[2018·新罗区期中]如图5-1-24，已知直线AB和AB相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥AB于点O，且∠BOF＝25°.求∠AOC与∠EOD的度数．
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图5-1-24
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9．[2017春·港南期末]如图5-1-25，直线AB，AB相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数(用含α的代数式表示)；
(3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
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图5-1-25
参考答案
【分层作业】
1.D
2.D
3.C
4.C
5．60°
6． 解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线．
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7. 解：(1)∵∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝3∠AOC，
∴∠AOC＋∠BOC＝4∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝45°.
(2)∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOC＝90°，∴OD⊥AB.
8． 解：∵OF⊥AB，
∴∠COF＝90°，
∴∠BOC＝90°－∠BOF＝65°，
∴∠AOC＝180°－65°＝115°.
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠EOF＝90°－25°＝65°，
∴∠EOD＝90°－65°＝25°.
9． 解：(1)∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝140°.
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC＝∠AOF＝70°，
∴∠EOD＝∠FOC＝70°.
而∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝50°，
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝20°.
(2)∠AOE＝α，∴∠AOF＝180°－α.
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC＝∠AOF＝90°－α，
∴∠EOD＝∠FOC＝90°－α.
而∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－α，
∴∠BOD＝∠EOD－∠BOE＝α.
(3)从(1)(2)结果中可以看出，∠BOD＝∠AOE.
第五章 相交线与平行线
5.1.2.2 垂线段
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1．点到直线的距离是指( )
A．从直线外一点到这条直线的垂线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段
C．从直线外一点到这条直线的垂线的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
2．在同一平面内，下列判断中错误的是( )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条
C．垂直于已知直线的垂线只有一条
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
3．[2018春·岳池县期中]如图5-1-31，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥AB)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
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图5-1-31
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图5-1-32
4．如图5-1-32，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
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5．读句画图：
(1)画∠AOB＝60°，再画∠AOB的平分线OP；
(2)在OP上任取一点Q, 过点Q分别画OA，OB的垂线段QC，QD；
(3)量线段QC，QD的长，并比较QC，QD的大小．
6．[2017春·召陵期中]如图5-1-33，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
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图5-1-33
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7．如图5-1-34，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小；
(2)另外，计划把河流AB中的水引入水厂H中，使之到水厂H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．
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图5-1-34
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参考答案
【分层作业】
1.D
2.C
3.D
4.D
5． 解：(1)(2)如答图所示；
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(3)用直尺量得线段QC＝QD.
6．
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解：如答图所示，(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿AC走，垂线段最短；(3)沿BD走，垂线段最短．
7．
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解：(1)如答图，连接AC和BD，线段AC和BD的交点H就是水厂的位置．
(2)如答图，HM就是铺设引水管道的位置，理由：垂线段最短．
第五章 相交线与平行线
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
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1．具有下列关系的两角：①互为补角；②同位角；③对顶角；④内错角；⑤邻补角；⑥同旁内角．其中一定有公共顶点的两角的对数为( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．[2018·金华]如图5-1-40，∠B的同位角可以是( )
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图5-1-40
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
3．[2018·广州]如图5-1-41，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6
C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
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图5-1-41 图5-1-42
4．如图5-1-42，直线AB，AB被直线MN所截，则：
(1)同位角有：______________________________________________；
(2)内错角有：_____________；
(3)同旁内角有：____________________．
5．如图5-1-43，(1)∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线______，______被第三条直线_______所截而成的；
(2)∠2的同位角是______，∠1的同位角是 _________；
(3)∠3的内错角是______，∠4的内错角是 _________；
(4)∠6的同旁内角是______________，∠5的同旁内角是________.
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图5-1-43 图5-1-44
6．[2017春·杭州期中]如图5-1-44，与∠A是同旁内角的角共有_____个．
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7．在图5-1-45中．
(1)∠BED与∠CBE是直线_______，______被直线_____所截成的_______角；
(2)∠A与∠CED是直线_______，_______被直线 _______所截成的_______角；
(3)∠CBE与∠BEC是直线_______，_______被直线__BE__所截成_______角；
(4)∠AEB与∠CBE是直线_______，______被直线__BE__所截成的_______角．
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图5-1-45 图5-1-46
8．如图5-1-46，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
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9．如图5-1-47，BF，DE相交于点A，BG交BF于点B，交AC于点C.
(1)指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；
(2)指出DE，BC被AC所截形成的内错角、同旁内角；
(3)指出FB，BC被AC所截形成的内错角、同旁内角．
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图5-1-47
参考答案
【分层作业】
1.B
2.D
3.B
4．∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8
∠2与∠7，∠3与∠6
∠2与∠3，∠6与∠7
5． AC AB EF ∠5 ∠6 ∠6 ∠5 ∠6 ∠5
∠4, ∠A ∠3
6．4
7．DE BC BE 内错 AD DE AC 同位 BC EC BE 同旁内
AE BC BE 内错
8．解：∠1和∠2是直线AB，DC被直线AB所截形成的同位角．∠1和∠3是直线AB，AB被直线AB所截形成的同位角．
9．
解：(1)同位角：∠FAE和∠B；
内错角：∠B和∠DAB；
同旁内角：∠EAB和∠B.
(2)内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；
同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA.
(3)内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；
同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG.
第五章 相交线与平行线
5.2.1 平行线
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1．[2018春·奉贤区期中]下列说法错误的是( )
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
B．在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
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图5-2-4
2．如图5-2-4，将一张长方形的硬纸片ABAB对折，MN是折痕，把面ABNM平摊在桌面上，另一个面ABMN不论怎样改变位置，总有MN∥____，MN∥____，因此____∥____．
3．两个相同的30°，60°，90°型的三角尺，最多可以拼出____组不同的平行线．
4．小红与小明是一墙之隔的邻居，现要知道他们的写字桌的边缘是否平行，应采取____________________________________________的方法．
5．如图5-2-5，根据要求填空：
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图5-2-5
(1)过点A作AE∥BC，交______于点E；
(2)过点B作BF∥AD，交______于点F；
(3)过点C作CG∥AD，交______________________；
(4)过点D作DH∥BC，交BA的___________于点H.
6．如图5-2-6，已知△ABC，分别过A，B，C三点作BC，AC，AB的平行线．
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图5-2-6
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7．如图5-2-7所示．
(1)过点D画直线DE∥BC，交AC于点E，再过点E画AB∥AB，交BC于点F.
(2)分别量出∠B，∠BDE，∠DAB，∠ABC的度数，你有什么发现？
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图5-2-7
(2)量出∠B＝45°，∠BDE＝135°，∠DAB＝45°，∠ABC＝45°，可以发现∠B＝∠DAB＝∠ABC，∠BDE＋∠B＝180°.
8．如图5-2-8，已知OA∥AB，OB∥AB，那么∠AOB是平角，为什么？
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图5-2-8
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9. 在平面上有三条直线a，b，c，它们之间有哪几种可能的位置关系？你能画出来吗？
参考答案
【分层作业】
1.A
2. AB CD AB CD
3. 3
4．判断两写字桌的边缘是否都与墙壁平行
5． DC DC AB的延长线于点G 延长线
6．
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解：如答图所示．
7．
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解：(1)如答图所示．
(2)量出∠B＝45°，∠BDE＝135°，∠DAB＝45°，∠ABC＝45°，可以发现∠B＝∠DAB＝∠ABC，∠BDE＋∠B＝180°.
8． 解：∵OA∥AB，OB∥AB，且OA，OB交于点O，根据过直线AB外一点O有且只有一条直线与已知直线AB平行，∴OA，OB共直线，∴A，O，B共线，
∴∠AOB是平角．
9. 解：有三种可能的位置关系．
(1)三条直线都平行，如答图1；
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答图1 答图2
(2)只有两条直线平行，如答图2；
(3)任意两条直线都不平行，如答图3.
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答图3
第五章 相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
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1．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥AB的是( )
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A B
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C D
2．[2018·郴州]如图5-2-15，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B. ∠1＋∠4＝180°
C. ∠5＝∠4 D. ∠1＝∠3
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图5-2-15 图5-2-16
3．如图5-2-16，直线l1，l2被直线l3，l4所截，在下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠5＝∠4
C．∠5＋∠3＝180° D．∠4＋∠2＝180°
4．[2018·龙岗区一模]如图5-2-17，能判定AB∥AB的条件是( )
A．∠A＝∠AAB B．∠A＝∠DCE
C．∠B＝∠ACB D．∠B＝∠AAB
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图5-2-17 图5-2-18
5．[2018·湘潭]如图5-2-18，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为______________________________________
_______________________________．(任意添加一个符合题意的条件即可)
6．[2016·淄博]图5-2-19是一个由4条射线构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
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图5-2-19
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7．如图5-2-20.
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图5-2-20
(1)因为∠1＝∠A(已知)，
所以_______∥______(同位角相等，两直线平行)；
(2)因为∠3＝∠4(已知)，
所以________∥________(内错角相等，两直线平行)；
(3)因为∠2＝∠5(已知)，
所以________∥________(内错角相等，两直线平行)；
(4)因为∠ADC＋∠C＝180°(已知)，
所以________∥________(同旁内角互补，两直线平行)．
8．如图5-2-21，若∠1与∠B互为补角，∠B＝∠E，那么直线AB与直线DE平行吗？直线BC与直线AB平行吗？为什么？
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图5-2-21
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9．如图5-2--22.
(1)若∠1＝∠2，能说明直线CE与直线BF平行吗？为什么？
(2)若∠3＝∠4，能说明直线AB与直线AB平行吗？为什么？
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图5-2-22
参考答案
【分层作业】
1.B
2.D
3.B
4.A
5．∠CBD＝∠BDA或∠CBA＋∠BAD＝180°或∠C＋∠ABA＝180°或∠C＝∠ABE等
6． 解：OA∥BC，OB∥AC.
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
7．BC AD AB CD AD BC AD BC
8． 解：∵∠1与∠B互为补角，
∴∠1＋∠B＝180°，
∴AB∥DE.
又∵∠1和∠EHC是对顶角，
∴∠1＝∠EHC.
∵∠B＝∠E，
∴∠EHC＋∠E＝180°，
∴BC∥AB.
9． 解：(1)若∠1＝∠2，能说明直线CE与直线BF平行．理由如下：
∵∠1＝∠5，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠5，∴CE∥BF.
(2)若∠3＝∠4，能说明直线AB与直线AB平行．因为内错角相等，两直线平行．
