第1课时 二次根式的概念
知识要点基础练
知识点1 二次根式的定义
1.在下列各式中,一定是二次根式的是 (C)
A.32 B.-10 C.a2+1 D.a
2.若a=5,则下列代数式是二次根式的是 (B)
A.3-a B.5-a C.a-52 D.a-322
知识点2 二次根式有意义的条件
3.(扬州中考)使x-3有意义的x的取值范围是 x≥3 .?
4.在下列二次根式中,x的取值范围是x>3的是(D)
A.3-x B.x+3 C.x-3 D.1x-3
综合能力提升练
5.下列各式:10,2a,b2-1,x2+y2,-3,4,m2+1中,一定是二次根式的有 (B)
A.3个 B.4个 C.5个 D.7个
6.(苏州中考)若x+2在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是 (D)
7.当x分别取-3,-1,0,2时,使二次根式2-x的值为有理数的是 (D)
A.-3 B.-1 C.0 D.2
8.已知24n是整数,则正整数n的最小值为 (C)
A.0 B.1 C.6 D.36
9.当x= -1 时,二次根式x+1取最小值,其最小值为 0 .?
10.如果代数式xx-1有意义,那么x的取值范围是 x>1 .?
11.(盘锦中考)若式子2-x+x-1有意义,则x的取值范围是 1≤x≤2 .?
12.观察下列数,3,22,15,26,…,则第6个数是 43 ;第n个数是?n2+2n .?
13.已知|2017-x|+x-2018=x,求x-20172的值.
解:由题意得x-2018≥0,
所以x≥2018,
所以x-2017+x-2018=x,
即x-2018=2017,
两边平方,得x-2018=20172,
所以x-20172=2018.
14.观察下表中各式子,回答下面的问题.
第1个
第2个
第3个
第4个
…
12-1
22-2
32-3
42-4
…
(1)试写出第n个式子(用含n的代数式表示),这个式子一定是二次根式吗?为什么?
(2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间?试说明理由.
解:(1)第n个式子是n2-n.
∵n2-n=n(n-1),n≥1,∴n(n-1)≥0,
∴一定是二次根式.
(2)应在15和16之间.
理由:第16个式子是162-16=16×15.
∵15×15<16×15<16×16,
∴152<16×15<162,即15<16×15<16.
拓展探究突破练
15.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与 -1 是关于1的平衡数,5-2与 -3+2 是关于1的平衡数;?
(2)已知m为整数,若(m+3)×(1-3)=-5+33,判断m+3与5-3是否是关于1的平衡数,并说明理由.
解:(2)不是.
∵(m+3)×(1-3)=m-3m+3-3,又(m+3)×(1-3)=-5+33,
∴m-3m+3-3=-5+33,
∴m-3m=-2+23,
即m(1-3)=-2(1-3),∴m=-2.
∴(m+3)+(5-3)=(-2+3)+(5-3)=3.
∴(-2+3)与(5-3)不是关于1的平衡数.
第2课时 二次根式的性质
知识要点基础练
知识点1 二次根式的性质
1.下列等式正确的是 (A)
A.(3)2=3 B.(-3)2=-3
C.33=3 D.(-3)2=-3
2.已知b>0,化简-a3b的结果是 (C)
A.aab B.-aab
C.-a-ab D.a-ab
知识点2 代数式
3.在下列各式中,代数式的个数是 (B)
①-2x2;②x+y=0;③a2+b2;④0;⑤x-1>0;⑥x-32.
A.6 B.4 C.3 D.2
4.代数式x2+1,x,|y|,(m-1)2,3a3中一定是正数的有 (A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
综合能力提升练
5.化简38得 (C)
A.248 B.34 C.64 D.322
6.若(3-b)2=b-3,则 (C)
A.b>3 B.b<3 C.b≥3 D.b≤3
7.化简x-1x,正确的是 (C)
A.-x B.x C.--x D.-x
8.若a3+3a2=-aa+3,则a的取值范围是 (A)
A.-3≤a≤0 B.a≤0
C.a<0 D.a≥-3
9.实数a在数轴上的位置如图所示,则(a-5)2+(a-13)2化简后为 (A)
A.8 B.-8
C.2a-18 D.无法确定
【变式拓展】在数轴上实数a,b的位置如图所示,化简|a+b|+(a-b)2的结果是 (D)
A.-2a-b B.-2a+b
C.-2b D.-2a
10.若x<0,y>0,化简x2y3= -xyy .?
11.若1
12.若x=2-1,则x2+2x+3= 2 .?
13.请将下列代数式进行分类:
12,a,3x,y+1y,a2+b2,a+13,a2+x,4x2ay,x+8.
解:单项式:12,a,3x,4x2ay;多项式:a+13,a2+x,x+8;分式:y+1y;二次根式:a2+b2.(答案不唯一)
14.已知a,b,c是三角形的三边长,化简(a-b-c)2-|b-a+c|.
解:∵a,b,c是三角形的三边长,
∴a∴原式=|a-(b+c)|-|b+c-a|
=b+c-a-(b+c-a)
=0.
15.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:a2+b2+(a+1)2+(b-1)2.
解:由数轴可得a<0,b>0,a+1>0,b-1<0,
则原式=-a+b+a+1-(b-1)=2.
16.阅读材料:
将等式52=5反过来,可得到5=52.根据这个思路,我们可以把根号外的因式“移入”根号内,用于根式的化简.例如:525=52×25=10.
请你仿照上面的方法,化简下列各式:(1)313;(2)757;(3)8332.
解:(1)313=32×13=3.
(2)757=72×57=35.
(3)8332=82×332=6.
拓展探究突破练
17.我们把像4-23,48-45,…这一类根式叫做复合二次根式.部分复合二次根式可以进行化简,例如:化简3+22.
解:∵3+22=1+2+22=12+(2)2+2×1×2=(1+2)2,
∴3+22=(1+2)2=1+2.
请你仿照上面的方法,化简下列各式:
(1)5+26;
(2)7-43.
解:(1)∵5+26=3+2+26
=(3)2+(2)2+2×3×2
=(3+2)2,
∴5+26=(3+2)2=3+2.
(2)∵7-43=4+3-43=22+(3)2-2×2×3=(2-3)2,
∴7-43=(2-3)2=2-3.
第1课时 二次根式的乘法
知识要点基础练
知识点1 二次根式的乘法运算
1.计算6×3的结果是 (C)
A.9 B.12 C.32 D.23
2.化简5×920的结果是 (A)
A.32 B.32
C.532 D.310
知识点2 积的算术平方根的性质
3.化简(-2018)2的结果是 (B)
A.-2018 B.2018 C.±2018 D.20182
4.若x2-9=x+3·x-3,则x的取值范围是 (A)
A.x≥3 B.x≤-3
C.-3≤x≤3 D.不存在
综合能力提升练
5.计算25×310的值是 (C)
A.615 B.630
C.302 D.305
6.下列各等式成立的是 (D)
A.45×25=85
B.53×42=205
C.43×32=75
D.53×42=206
7.若m<0,n>0,把代数式mn中的m移进根号内结果是 (C)
A.m2n B.-m2n
C.-m2n D.|m2n|
8.计算2x·12xy的值是 (B)
A.xy B.xy
C.2xy D.4xy
9.与23×2的值最接近的正数是 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
【变式拓展】设n为正整数,且n<13×5A.5 B.6
C.7 D.8
10.(-64)×(-81)= 72 ;649×144169=?3213 .?
11.计算2x·8xy的结果是 4xy .?
12.能使得(3-a)(a+1)=3-a·a+1成立的所有整数a的和是 5 .?
13.计算:-5127×1153×(-1)2018.
解:原式=-1319×1=-19.
14.计算:30×32223×1225.
解:原式=30×3283×1225=3430×83×25=3432=32.
15.计算:(x-3)2-(2-x)2.
解:由题意可知x-3≥0,则x≥3,所以2-x<0,
所以原式=x-3-(x-2)=-1.
16.已知a=2,b=20,用含a,b的式子表示0.004.
解:∵a=2,b=20,
∴ab=2×20=40=210,
∴0.004=0.0210=0.01×210=0.01ab.
17.若一个长方体的长为26 cm,宽为3 cm,高为2 cm,求它的体积.
解:由题意得长方体的体积为26×3×2=26×3×2=2×6=12(cm3).
答:长方体的体积为12 cm3.
拓展探究突破练
18.【探索】(1)先观察并计算下列各式,在空白处填上“>”“<”或“=”,并完成后面的问题.
4×16 =?4×16;?
49×9 =?49×9;?
925×25 =?925×25;?
169×425 =?169×425;…?
用a,b,ab表示上述规律为?a·b=ab(a≥0,b≥0) .?
【应用】(2)利用(1)中的结论,求123×2925的值.
【迁移】(3)设x=3,y=6,试用含x,y的式子表示54.
解:(2)123×2925=53×1475=49=7.
(3)∵x=3,y=6,
∴54=6×9=6×3×3=6×3×3=x2y.
第2课时 二次根式的除法
知识要点基础练
知识点1 二次根式的除法运算
1.计算8a2的值是 (B)
A.2aa B.2a C.4a D.2a
2.化简5n3n的结果为 (D)
A.3n5 B.5n23
C.5n3 D.5n3
知识点2 商的算术平方根
3.如果xx-9=xx-9成立,那么 (A)
A.x>9 B.0≤x≤9
C.x≥0 D.x≥9
4.能使等式x-1x-22=x-1x-2成立的x的取值范围是 (D)
A.x≠2 B.x≥1
C.x>2 D.x>2或x≤1
知识点3 二次根式的乘除混合运算
5.计算212×34÷3的结果是 (C)
A.32 B.34
C.3 D.23
6.计算113÷213×125的结果是 (A)
A.257 B.27 C.2 D.27
综合能力提升练
7.把-45y335y化简后得 (B)
A.-9y3 B.-y
C.-35y D.355
8.下列计算正确的是 (B)
A.-2-3=-2-3 B.a3=133a
C.3a3=a D.a5=55a
9.若-aa+1=-aa+1成立,则a的取值范围是 -110.54ab÷9ba2= a6a .?
11.已知x=3,y=4,z=6,那么yz÷xy=?2 .?
12.计算:
(1)144÷49;
解:原式=12÷7=127.
(2)48×63÷12.
解:原式=48×6×23=8.
13.化简:4x2xy÷12x3·3y.
解:原式=4x2÷12×3xy÷x3·y
=x2y2x2
=xy.
14.设长方形的面积为S,相邻两边长分别是a,b,已知S=43,a=15,求b.
解:b=S÷a=43÷15=455.
15.已知x为奇数,且x-69-x=x-69-x,求1+2x+x2÷x+1x2+7x-8的值.
解:∵x-69-x=x-69-x,∴6≤x<9,
又∵x为奇数,∴x=7,
∴1+2x+x2÷x+1x2+7x-8
=(x+1)2·(x+8)(x-1)x+1
=8×15×6
=125.
拓展探究突破练
16.丁丁同学在学习了ab=ab后,认为ab=ab也成立,因此他在计算-20-5时是这样运算的:-20-5=-5×4-5=-5×4-5=4=2.
(1)你认为丁丁同学的化简过程正确吗?如果不正确,请写出正确的化简过程.
(2)说明ab=ab成立的条件.
解:(1)丁丁同学的化简过程不正确,正确的过程是这样的:
-20-5=205=4=2.
(2)ab=ab成立的条件:a≥0,b>0.
第3课时 二次根式的应用
知识要点基础练
知识点1 最简二次根式
1.下列式子为最简二次根式的是 (D)
A.x2 B.8
C.3x2y D.x2-4
2.把二次根式272化简成最简二次根式,结果为 (D)
A.332 B.916
C.542 D.362
知识点2 二次根式的应用
3.一个长方体的体积是48 cm3,长是6 cm,宽是2 cm,则高是 (B)
A.4 cm B.2 cm
C.123 cm D.23 cm
4.现将某一个长方形纸片的长增加32 cm,宽增加62 cm,就成了一个面积为128 cm2的正方形纸片,则原长方形纸片的面积为 (B)
A.18 cm2 B.20 cm2
C.36 cm2 D.48 cm2
综合能力提升练
5.在25x3,-33,-0.5,83,336中,最简二次根式有 (A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.当a<0,b<0时,把ba化为最简二次根式是 (B)
A.1aab B.-1aab
C.-1a-ab D.aab
7.若3an是最简二次根式,则自然数n= 0或1 .?
8.若二次根式5a+3是最简二次根式,则最小的正整数a为 2 .?
9.若最简二次根式4a+b与a-b23的被开方数相同,则a+b= 8 .?
10.将-a-1a化成最简二次根式为?-a .?
11.观察分析下列数据:0,-3,6,-3,23,-15,32,…,根据数据排列得到第10个数据应是 -33 .(结果化为最简二次根式)?
12.把下列各式化为最简二次根式:
(1)118;
解:118=26.
(2)a3+4a2b+4ab2(a>0,b>0).
解:a3+4a2b+4ab2=a(a2+4ab+4b2)=a(a+2b)2=(a+2b)a.
13.如图,在等腰三角形ABC中,D是底边BC上的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.若DE+DF=22,△ABC的面积为865,求AB的长.
解:连接AD.
由题意可知AB=AC,
则S△ABC=S△ABD+S△ADC=12×DE×AB+12×DF×AC=12AB×(DE+DF)=865,
又因为DE+DF=22,则12×22×AB=865,
解得AB=835.
14.观察思考:122=12,132=13,142=14,152=15,…
(1)根据上式的规律,可以得到1n2=?1n .?
(2)计算3n+12的值(n是正整数).
解:(2)3n+12=3×1n+12=9×1n+1=9n+1.
拓展探究突破练
15.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上如53,23,23+1这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:53=5×33×3=533,23=2×33×3=63,
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2×(3-1)(3)2-12=3-1.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.23+1还可以用以下方法化简:
23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1.
(1)请用不同的方法化简25+3;
(2)化简:13+1+15+3+17+5+…+12n+1+2n-1.
解:(1)方法一:25+3=2(5-3)(5+3)(5-3)=5?3;
方法二:25+3=5-35+3=(5-3)(5+3)(5+3)=5?3.
(2)原式=12×(3-1+5?3+7?5+…+2n+1?2n-1)=2n+1-12.
第1课时 二次根式的加减运算
知识要点基础练
知识点1 二次根式的合并
1.下列二次根式中,能与3合并的是 (B)
A.32 B.12 C.24 D.8
2.下列二次根式中,化成最简二次根式后能与a合并的是 (C)
A.3a B.2a2
C.a3 D.a4
知识点2 二次根式的加减运算
3.下列计算正确的是 (D)
A.2+2=2
B.3+2=32
C.2+3=5
D.9+3=3+3
4.计算32-42的结果是 (B)
A.2 B.-2
C.72 D.-1
综合能力提升练
5.若最简二次根式5b与3+2b可以合并,则-b的值是 (C)
A.0 B.1 C.-1 D.-2
6.若x+y=x+y成立,则非负数x,y应该满足的条件是 (A)
A.至少有一个为0 B.x=y
C.xy=1 D.不可能存在这样的x,y
7.若45+a=b5(b为整数),则a的值可以是 (D)
A.15 B.27 C.24 D.20
8.若18x+2x2+x2x=10,则x的值等于 (C)
A.4 B.±2 C.2 D.±4
9.8与最简二次根式m+1能够合并,则m= 1 .?
【变式拓展】最简二次根式16-3m与4m-5可以合并,则m的值是 3 .?
10.当y=23时,8y+4?5-4y的值是?213 .?
11.已知等腰三角形的两条边长为1和5,则这个三角形的周长为 1+25 .?
12.计算:
(1)212-613+348;
解:原式=43-23+123=143.
(2)35+212?20?1232.
解:原式=35+2-25-22=5?2.
13.如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积.
解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2,
∴它们的边长分别为16=4 cm,12=23 cm,
∴AB=4 cm,BC=(23+4)cm,
∴空白部分的面积=(23+4)×4-12-16=83+16-12-16=(-12+83)cm2.
14.已知a+b=-5,ab=2,且a≠b,求bba+aab的值.
解:∵a+b=-5,ab=2,∴a<0,b<0,
∴bba+aab
=-baba?aabb
=-(a2+b2)abab
=-(a+b)2-2ababab
=-(-5)2-2×22×2
=-2122.
15.阅读理解:计算5+6+25-36时,我们可以将式子中的5,6分别看成两个不同的字母a,b,则原式可看成a+b+2a-3b.我们用类比合并同类项的方法可将上面的式子化简:5+6+25-36=(1+2)5+(1-3)6=35-26.
类比以上解答方式化简:3-22-2|2?3|.
解:3-22-2|2?3|
=3-22-2(3?2)
=3-22-23+22
=(1-2)3+(2-2)2
=-3.
拓展探究突破练
16.若a,b都是正整数,且a解:若a+b=75,即a+b=53,且a与b可以合并二次根式,又a则a=3,b=43或a=23,b=33,
即a=3,b=48或a=12,b=27.
第2课时 二次根式的混合运算
知识要点基础练
知识点 二次根式的混合运算
1.化简8?2(2+2)的结果为 (C)
A.2 B.2-2
C.-2 D.42-2
2.计算515-245÷(-5)的结果为 (A)
A.5 B.-5
C.7 D.-7
3.若要在(52?2)2的“”中填上一个运算符号,使计算结果最大,则这个运算符号应该填 (C)
A.+ B.-
C.× D.÷
综合能力提升练
4.算式6×13-1的值为 (A)
A.2?6 B.2-1
C.2-6 D.1
5.若a=22+3,b=22-3,则下列等式成立的是 (B)
A.ab=1 B.ab=-1
C.a=b D.a=-b
6.已知(4+7)·a=b,若b是整数,则a的值可能是 (C)
A.7 B.4+7
C.4-7 D.2-7
7.计算(1+2)2×(1-2)2的结果是 1 .?
8.计算:
(1)24-12?18+6;
解:原式=26?22?24?6=6?324.
(2)48÷3?12×12+24;
解:原式=16?6+26=4+6.
(3)(2-1)2+(1+2)(1-2).
解:原式=2-22+1+1-2=2-22.
拓展探究突破练
9.已知x,y为正数,且x(x+y)=3y(x+5y),求2x+xy+3yx+xy-y的值.
解:由已知条件得x-2xy-15y=0,
∴(x+3y)(x-5y)=0,
∵x+3y>0,∴x-5y=0,
∴x=5y,x=25y,
∴2x+xy+3yx+xy-y=50y+5y+3y25y+5y-y=58y29y=2.
