2018-2019学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（文科）（三）（12月份）解析版

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（文科）（三）（12月份）
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.将答案填在答题纸相应位置上.
1．（5分）命题“?x＞0，则x2+2x+a＜0”的否定为　 　．
2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则＝　 　．
3．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x2+4x+1，则f（x）的极小值为　 　．
4．（5分）在直角坐标系xOy中，双曲线的右准线为l，则以l为准线的抛物线的标准方程是　 　．
5．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱PA＝3，则正三棱锥P﹣ABC的体积为　 　．
6．（5分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，直线l：y＝kx与圆M相交于A，B两点，若，则实数k的值为　 　．
7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交椭圆C于A，B两点，则△ABF1的周长为　 　．
8．（5分）下列关于直线a，b和平面α，β的四个命题中：
（1）若a⊥b，b⊥α，则a∥α；（2）若a∥α，α∥β，b⊥β，则a⊥b；
（3）若a?α，a∥b，b?α，则a∥α；（4）若a∥α，α⊥β，则a⊥β．
所有正确命题的序号为　 　．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，己知圆C过点A（0，﹣8），且与圆x2+y2﹣6x﹣6y＝0相切于原点，则圆C的方程为　 　．
10．（5分）已知函数f（x）＝lnx，若直线y＝kx﹣1与函数f（x）的图象相切，则k＝　 　．
11．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x+sinx，x∈[﹣1，1]，则不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）＞0的解集为　 　．
12．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P在CC1上，且，设三棱锥A1﹣ABP的体积为V1，三棱锥P﹣ABC的体积为V2，则＝　 　．
13．（5分）已知函数，若函数f（x）在定义域上不是单调函数，则实数b的取值范围为　 　．
14．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点A的直线与y轴交于点E（异于原点），在线段OE上取点G，使得，连接BG并延长交AE于点M，且MF⊥AB，则椭圆C的离心率为　 　．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（15分）已知的定义域为R，q：?x∈R，使得不等式x2﹣x+a＜0成立，关于x的不等式（x﹣m+1）（x﹣2m）≤0的解集记为B．
（1）若p∧q为真，求实数a的取值集合A；
（2）在（1）的条件下，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16．（15分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，点M、F分别是线段AA1、BC的中点．
（1）求证：AF⊥DD1；
（2）求证：AF∥平面MBC1．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD．
求证：（1）EF∥平面PBD；
（2）平面PAE⊥平面PEF．
18．（15分）如图，某小区准备在直角围墙ABC（∠ABC＝90°）内建有一个矩形EFGB的少儿游乐场，E，G分别在墙AB，CD上，为了安全起见，过矩形的顶点F建造一条如图所示的围栏AD，A，D分别在墙AB，CD上，其中，EB＝1m，EF＝8m．
（1）①设AE＝x，用x表示围栏AD的长度；
②设∠AFE＝θ，用θ表示围栏AD的长度；
（2）在第一问中，选择一种表示方法，求如何设计，使得围栏AD的长度最小．
19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左右顶点分别是A，B，P为直线上一点（P点在x轴的上方），直线PB与椭圆的另一个交点为M，直线PA与椭圆的另一个交点为C．
（1）若△AOC的面积是△PBC的面积的，求直线PA的方程；
（2）设直线AP与直线AM的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值；
（3）若CB的延长线交直线l于点Q，求线段PQ长度的最小值．
20．（15分）已知函数f（x）＝（x+a）ex．
（1）求f（x）在[﹣1，2]上的单调区间；
（2）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞e2的解集；
（3）当a＝0时，设函数g（x）＝x+lnx，求证：不等式f（x）≥eg（x）在定义域上恒成立．

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高二（上）调研数学试卷（文科）（三）（12月份）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.将答案填在答题纸相应位置上.
1．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即?x＞0，x2+2x+a≥0，
故答案为：?x＞0，x2+2x+a≥0
2．【解答】解：∵z（1﹣i）＝2i，
∴，
∴．
故答案为：﹣1﹣i．
3．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣8x+4＝（3x﹣2）（x﹣2），
令f′（x）＝0，解得x＝2或．
列出表格：
x



2
（2，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由表格可知：函数f（x）在x＝2时取得极小值，f（2）＝23﹣4×22+4×2+1＝1．
故答案为：1．
4．【解答】解：双曲线的a＝1，b＝，c＝2，
右准线为l：x＝，
可设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），
可得准线方程为x＝，
即＝，解得p＝1，即抛物线的方程为y2＝﹣2x．
故答案为：y2＝﹣2x．
5．【解答】解：取BC中点D，连结PD，AD，
过P作PO⊥底面ABC，交AD于O，
∵正三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧棱PA＝3，
∴AO＝AD＝＝，
PO＝＝＝，
S△ABC＝＝，
∴正三棱锥P﹣ABC的体积：
V＝＝＝．
故答案为：．
6．【解答】解：根据题意，圆M：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4，圆心M（1，3），半径r＝2，
又由，则圆心M到直线AB的距离d＝＝1，
又由直线l即AB的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，
则有d＝＝1，
解可得：k＝；
故答案为：
7．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，则a＝1，
由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝2．
∴△ABF1的周长＝|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝4．
故答案为：4．
8．【解答】解：（1）由a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α，故（1）错误；
（2）由a∥α，α∥β，则a∥β或a?β，又b⊥β，则a⊥b，故（2）正确；
（3）若a?α，a∥b，b?α，由直线与平面平行的判定可得a∥α，故（3）正确；
（4）若a∥α，α⊥β，则a?β或a∥β或a与β相交，故（4）错误．
∴正确命题的序号为（2），（3）．
故答案为：（2），（3）．
9．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣6y＝0，即圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝18，表示以（3，3）为圆心，半径为3 的一个圆．
∵所求的圆与圆x2+y2﹣6x﹣6y＝0相切于原点，故两圆圆心的连线在直线y＝x上，可设所求圆的圆心为（a，a），
则设所求圆的半径为＝．
求得a＝﹣4，所求圆的圆心为（﹣4，﹣4），半径为＝4，
可得所求圆的方程为（x+4）2+（y+4）2＝32，即x2+y2+8x+8y＝0，
故答案为：x2+y2+8x+8y＝0．
10．【解答】解：根据题意，直线y＝kx﹣1与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（a，b），
函数f（x）＝lnx，则有b＝lna，其导数f′（x）＝，则f′（a）＝；
则切线的方程为y﹣b＝（x﹣a），变形可得y＝x﹣1+b，
又由切线的方程为y＝kx﹣1，
则有，
解可得b＝0，a＝1，k＝＝1；
故答案为：1．
11．【解答】解：函数f（x）＝x3+2x+sinx，x∈[﹣1，1]是奇函数，
且f′（x）＝3x2+2+cosx＞0在x∈[﹣1，1]上恒成立，
则f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
由f（x﹣1）+f（2x﹣1）＞0，得f（x﹣1）＞﹣f（2x﹣1）＝f（1﹣2x），
∴，解得：＜x≤1．
∴不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）＞0的解集为（，1]．
故答案为：（，1]．
12．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点P在CC1上，且，
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，
三棱锥A1﹣ABP的体积为V1，三棱锥P﹣ABC的体积为V2，
则V2＝＝＝，
＝＝＝，
∴V1＝（V﹣）＝＝，
∴＝＝3．
故答案为：3．
13．【解答】解：f′（x）＝b++＝，
①b≥0，f'（x）＞0，f（x）在定义域单调递增，不符合题意；
②b＜0，△＝4﹣4b2＞0，﹣1＜b＜0，
所以﹣1＜b＜0，
故答案为：（﹣1，0）．
14．【解答】解：椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），
且A（﹣a，0），B（a，0）；
由PF⊥x轴，不妨设M（﹣c，t），（t≠0）；
则直线AM的方程为＝，
令x＝0，得y＝，
∴直线AM与y轴的交点为E（0，）；
又直线BM的方程为＝
令x＝0，得y＝，
∴直线BM与y轴的交点为G（0，）；
∵，
∴＝，
∴＝，
化简得a＝2c，
∴e＝＝，
则曲线C的离心率为，
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．【解答】解：（1）若函数的定义域为R，则ax2﹣ax+≥0恒成立，
当a＝0时，不等式等价为≥0恒成立，
当a≠0时，要使不等式恒成立，则满足，
得，即0＜a≤1，综上0≤a≤1，即p：[0，1]，
若?x∈R，使得不等式x2﹣x+a＜0成立，
则判别式△＝1﹣4a＞0，得a＜，即q：（﹣∞，），
若p∧q为真，即p真，q 真，则，得0≤a＜，即A＝[0，）．
（2）不等式（x﹣m+1）（x﹣2m）≤0对应方程不等式（x﹣m+1）（x﹣2m）＝0的根为x＝m﹣1，或x＝2m，
①若m﹣1＜2m，即m＞﹣1，此时B＝[m﹣1，2m]
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A?B．即，，得，即≤m≤1；
②若m﹣1＝2m，即m＝﹣1，此时B＝{﹣2} 不符合题意．
③若m﹣1＞2m，即m＜﹣1，此时B＝[2m，m﹣1]
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则A?B．即，此时无解；
综上所述：≤m≤1．
16．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，点F是线段BC的中点，
∴AF⊥BC．…………………………………………（2分）
又∵平面BB1C1C⊥底面ABC，AF?平面ABC，
平面BB1C1C∩底面ABC＝BC，
∴AF⊥平面BB1C1C．………………………………………………………（5分）
又CC1?平面BB1C1C，∴AF⊥CC1，
又CC1∥DD1，∴AF⊥DD1．………………………………………………………（7分）
（2）连结B1C与BC1交于点E，连结EM，FE．
在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点E为B1C的中点．
∵点F是BC的中点，
∴FE∥B1B，FE＝B1B．…………………………（10分）
又∵点M是平行四边形BCC1B1边AA1的中点，
∴AM∥B1B，AM＝B1B．
∴AM∥FE，AM＝FE．
∴四边形AFEM是平行四边形．
∴EM∥AF．………………………………………………………………………（12分）
又EM?平面MBC1，AF?平面MBC1，
∴AF∥平面MBC1．………………………………………………………………（14分）
17．【解答】（本题满分14分）
证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF∥BD，
∵EF?平面PBD，BD?面PBD，
∴EF∥平面PBD．
解：（2）不妨设AB＝a，由题意得EF＝a，AE＝a，AF＝，
∴AE2+EF2＝AF2，即AE⊥EF，
∵PF⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PF⊥AE，又PF∩EF＝F，且PF，EF?平面PEF，
∴AE⊥平面PEF，
又∵AE?平面PAE，∴平面PAE⊥平面PEF．
18．【解答】解：（1）①利用△AEF与△ABD相似，可得＝得：BD＝8+
∴AD＝（x+1），x∈（0，+∞），
②在△AEF中，AF＝； 在△ABD中，DF＝
∴AD＝f（θ）＝+，θ∈（0，），
（2）根据①AD2＝f（x）＝（1+）（x+1）2，
∴f′（x）＝2（x+1）?，
令f′（x）＝0，解得x＝2，
当x∈（0，2）时，此时f′（x）＜0，f（x）单调减，
x∈（2，+∞） 此时f′（x）＞0，f（x）单调增，
∴f（x）在处x＝2最小值．
根据②AD＝f（θ）＝+，θ∈（0，），
∴f′（θ）＝﹣+，
令f′（θ）＝0，解得tanθ＝
∵tanθ＝＞0，不妨设θ0∈（0，），tanθ0＝，
当θ∈（0，θ0）时，此时f′（θ）＜0，f（θ）单调减，
θ∈（θ0，） 此时f′（θ）＞0，f（θ）单调增，
∴f（θ）在θ＝θ0，即tanθ0＝取最小值．
19．【解答】解：（1）∵，
∴，即C为PA的中点，
∴xC＝（xA+xP）＝
代入椭圆方程得：
，
∴直线方程为：y＝
（2）由消y可得：（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣2＝0
由﹣xC＝，得xC＝，yC＝，
由得P（2，3k），
∴kPB＝3k，
由 得：（1+18k2）x2﹣36k2+36k2﹣2＝0
得：M（，），
∴kAM＝＝﹣，
∴k1k2＝﹣．
（3）∵kCB＝﹣，
由 得Q（2，﹣）
∴PQ＝3k+≥2，当且仅当k＝时取最小值．
20．【解答】解：（1）f′（x）＝（x+a+1）ex＝0，则x＝﹣（a+1），
①当﹣（a+1）≤1，即a≥﹣2 此时f′（x）≥0，
∴f（x）在[﹣1，2]上单调增； ……………（2分）
②当1＜﹣（a+1）＜2，即﹣3＜a＜﹣2，
在（1，﹣（a+1）），此时f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，﹣（a+1））上单调减；
在（﹣（a+1），2），此时f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣（a+1），2）上单调增． ……………（4分）
③当﹣（a+1）≥2，即a≤﹣3，此时f′（x）≤0，
∴f（x）在[﹣1，2]上单调减．
综上所述：
a≥﹣2时，f（x）在[﹣1，2]上单调增，
﹣3＜a＜﹣2时，f（x）在（1，﹣（a+1））上单调减，f（x）在（﹣（a+1），2）上单调增，
a≤﹣3时，f（x）在[﹣1，2]上单调减 ……………（6分）
（2）a＝﹣1时，f（x）＞e2即（x﹣1）ex＞e2，
此时f（x）的导数f′（x）＝xex≤在（﹣∞，0]恒成立，
∴f（x）在（﹣∞，0]上单调减；
在[0，+∞）上，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调增．
当x≤0时，f（x）＜0恒成立．
当x＞0时，f（2）＝e2，且为单调增函数，
所以不等式的解集为（2，+∞）； ……………（10分）
（3）由题意知可令：h（x）＝f（x）﹣eg（x）＝xex﹣ex﹣elnx，
则有
又因为x＞1时有xex＞e，0＜x＜1时，有xex＜e，
即函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
所以h（x）min＝h（1）＝0，
即有xex≥e（x+lnx）；得证……………（16分）