2018-2019学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（文科）解析版

2018-2019学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5分）命题：?x0＞0，＞0的否定是（　　）
A．?x≤0，x2﹣x﹣2≤0 B．?x0≤0，≤0
C．?x＞0，x2﹣x﹣2≤0 D．?x0＞0，≤0
2．（5分）若a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．ac2＞bc2 D．a3＞b3
3．（5分）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝3，S5＝5，则公差d＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（5分）已知双曲线（a＞0）的一条渐近线为x+2y＝0，则实数a的值为（　　）
A．2 B． C．±2 D．±
6．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝log2（n∈N+），设其前n项和为Sn，则使Sn＞5成立的正整数n有（　　）
A．最小值64 B．最大值64 C．最小值32 D．最大值32
7．（5分）若函数f（x）＝ax3+2ax+1在点（1，3a+1）处的切线平行于直线y＝2x+1，则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
8．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的焦点与抛物线x2＝4y的焦点相同，离心率为，则m﹣n＝（　　）
A．2﹣3 B．3﹣2 C．4﹣6 D．6﹣4
9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，则∠C＝（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．（5分）已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
11．（5分）已知点P（2，1）在椭圆（a＞b＞0）上，点M（a，b）为平面上一点，O为坐标原点，则当|OM|取最小值时，椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数f（x）＝ex（sinx﹣cosx），记f'（x）是f（x）的导函数，将满足f（x）＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，n∈N+，则数列{f'（xn）}的通项公式是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．（5分）不等式≤x的解集是　 　．
14．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则S9＝　 　．
15．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点F和A（1，2），点P为抛物线上的动点，则△PAF的周长取到最小值时点P的坐标为　 　，
16．（5分）随着人工智能的兴起，越来越多的事物可以用机器人替代，某学校科技小组自制了一个机器人小青，共可以解决函数、解析几何、立体几何三种题型．已知一套试卷共有该三种题型题目20道，小青解决一个函数题需要6分钟，解决一个解析几何题需要3分钟，解决一个立体几何题需要9分钟．已知小青一次开机工作时间不能超过90分钟，若答对一道函数题给8分，答对一道解析几何题给6分，答对一道立体几何题给9分．该兴趣小组通过合理分配题目可使小青在一次开机工作时间内做这套试卷得分最高，则最高得分为　 　分．
三、解答题
17．（10分）命题p：f（x）＝的定义域为R；命题q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．
（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；
（2）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝a2+b2﹣c2．
（1）求角C；
（2）若a＝1，c＝，求角B．
19．（12分）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝|x﹣3|．
（1）在答题卡中的平面直角坐标系里作出f（x）的图象；
（2）求满足f（x）＞g（x）的x的取值范围．
20．（12分）已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足b1＝a2＝3，a3+a5＝14，a4＝b2﹣2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令?n＝，求数列{?n}的前n项和Tn．
21．（12分）设椭圆（a＞b＞0），B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知|BF|的最小值与最大值之和为4，且离心率e＝，抛物线x2＝2py的通径为4．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设坐标原点为O，A为直线y＝kx与已知抛物线在第一象限内的交点，且有OA⊥OB．
①试用k表示A，B两点坐标；
②是否存在过A，B两点的直线l，使得线段AB的中点在y轴上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝．（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥x+1恒成立，求实数a的取值范围．

2018-2019学年江西省宜春市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：命题的否定是：?x＞0，x2﹣x﹣2≤0．
故选：C．
2．【解答】解：对于选项：A、
当c≤0时，不等式不成立．
对于选项：B、
当a＝0或b＝0时，不等式无意义．
对于选项C、
当c＝0时，不等式不成立．
对于选项D：
当a﹣b＞0时，
a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[]＞0，
故选：D．
3．【解答】解：根据正弦定理，，
则
故选：B．
4．【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝3，S5＝5，
∴S5＝5×3+＝5，
解得公差d＝﹣1．
故选：B．
5．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±，
又由双曲线（a＞0）的一条渐近线为x+2y＝0，即y＝﹣x，
则a＝2；
故选：A．
6．【解答】解：由题意可知；an＝log2（n∈N+），
设{an}的前n项和为Sn＝log2+log2+…+log2＝log2（××…×）＝log2（n+1）＞5＝log232，
∴n+1＞32，
即n＞31，
∴Sn＞5成立的正整数n有最小值为32，
故选：C．
7．【解答】解：函数f（x）＝ax3+2ax+1的导数为f′（x）＝3ax2+2a，
在点（1，3a+1）处的切线平行于直线y＝2x+1，
可得3a+2a＝2，即a＝，
故选：D．
8．【解答】解：根据题意，抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），
则椭圆（m＞0，n＞0）的焦点也为（0，1），焦点在y轴上，
则有c＝1，a＝n，b＝m
又由椭圆的离心率为，即e＝＝，则n＝a＝3，
则m＝b＝＝2，
则m﹣n＝2﹣3；
故选：A．
9．【解答】解：根据题意，若2c?cosB＝2a+b，
则有：2c×＝2a+b，
整理得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，
可得：cosC＝＝＝﹣，
又在△ABC中，0°＜C＜180°，
∴C＝120°．
故选：C．
10．【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，
则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，
则f′（）＝，则f′（）＝1，
则f′（x）＝cosx﹣sinx＝2cos（x+），
f（x）＝sinx+cosx＝2cos（x﹣），
∵f（A）＝f'（B）＝1，
∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，
则B+＝，得B＝，
f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，
则A﹣＝，则A＝，
则C＝π﹣﹣＝，
则B＝C，
即△ABC是等腰钝角三角形，
故选：D．
11．【解答】解：点P（2，1）在椭圆（a＞b＞0）上，可得，
M（a，b）为平面上一点，O为坐标原点，
则当|OM|＝＝≥＝3，当且仅当a2＝2b2，
可得a＝，b＝，c＝，
可得e＝＝＝．
故选：C．
12．【解答】证明：函数f（x）＝ex（sinx﹣cosx），由f（x）＝0，即ex（sinx﹣cosx）＝0，
解得x＝（n﹣1）π+，n∈Z．从而xn＝（n﹣1）π+（n＝1，2，3，…），
f′（x）＝ex（sinx﹣cosx）+ex（sinx+cosx）＝2exsinx，
f'（xn）＝2sin[（n﹣1）π+]＝（﹣1）n+1?，
故选：B．
二、填空题
13．【解答】解：∵≤x，
∴，
∴．
∴．
∴或，
∴x≥1或﹣1≤x＜0．
∴不等式≤x的解集是{x|﹣1≤x＜0或x≥1}．
故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥1}．
14．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，
由等比数列的性质得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，
∴2，4，S9﹣6成等比数列，
∴42＝2（S9﹣6），
解得S9＝14．
故答案为：14．
15．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），点A（1，2），
求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，
设点P在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|
因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，
P的纵坐标为：2，可得4＝8x，解得x＝．
则△PAF的周长取到最小值时点P的坐标为（，2）
故答案为：（，2）．
16．【解答】解：设函数、解析几何、立体几何三种题型的题数分别为：x，y，z，
则x+y+z＝20，x，y，z∈Z，
则有6x+3y+9[20﹣（x+y）]≤90，
化简得：x+2y≥30，
由题意可列不等式组，
目标函数m＝180﹣x﹣3y，
不等式所对应的可行域为三角形ABC边界及其内部，
由简单的线性规划及图象可得：
当直线x+3y+m﹣180＝0过点A（10，10），即时，目标函数m取最大值140，
故答案为：140．
三、解答题
17．【解答】解：（1）若命题p为真，则?x∈R，x2+mx+1≥0为真，
∴△＝m2﹣4≤0?﹣2≤m≤2．
（2）若命题q为真，则 m＜0，
又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题
∴或，
∴0≤m≤2，或m＜﹣2，
∴m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪[0，2]．
18．【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵S＝absinC，a2+b2﹣c2＝2abcosC，4S＝a2+b2﹣c2，
∴2absinC＝2abcosC，
∴sinC＝cosC，可得tanC＝1，
∵C∈（0，π），
∴C＝…6分
（2）∵a＝1，c＝，C＝，
∴由，可得：sinA＝＝＝，
∵a＜c，可得A＜C，
∴A＝，
∴B＝π﹣A﹣C＝＝…12分
19．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
则对应的图象如图：
（2）g（x）＝，
作出f（x）和g（x）的图象如图：
若f（x）＞g（x），
则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．
此时对应的x满足x＞0或x＜﹣2，
即不等式f（x）＞g（x）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
．
20．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵b1＝a2＝3，a3+a5＝2a4＝14，a4＝b2﹣2，
∴a4＝7，
∵a2+2d＝a4，∴3+2d＝7，∴d＝2，∴a1＝1．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∵a4＝b2﹣2，∴b2＝9∴q＝3．
∴bn＝3n．
（2）?n＝＝（2n﹣1）（）n．
∴数列{?n}的前n项和Tn＝1×+3×（）2+5×（）3+…+（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1×（）2+3×（）3+5×（）4+…+（2n﹣1）?（）n+1，
∴Tn＝+2×（）2+2×（）3+2×（）4+…+2×（）n﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝+﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝+﹣3×（）n+1﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝﹣（2n+2）?（）n+1
∴Tn＝1﹣（n+1）?（）n
21．【解答】解：（1）B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，|BF|的最小值与最大值之和为4，
∴a+c+a﹣c＝4，
∴a＝2，
∵e＝＝，
∴c＝，
∴b2＝a2﹣b2＝2
∴椭圆方程为+＝1，
∵抛物线x2＝2py的通径为4，
∴2p＝4，
∴抛物线的方程为x2＝4y．
（2）①设直线OA方程为y＝kx，显然k＞0，将直线OA与抛物线联立：得x＝4k，y＝4k2，
∴A（4k，4k2），（k＞0），
∵OA⊥OB，
∴设直线OB方程为y＝﹣x，将直线OB与椭圆联立：得y2＝，
当y＞0时，y＝，x＝﹣，∴B（﹣，），（k＞0），
当y＜0时，y＝﹣，x＝，∴B（，﹣），（k＞0），
综上A（4k，4k2），B（﹣，），（，﹣），（k＞0）
②当y＞0时，B（﹣，），
∵AB的中点在y轴上
∴4k﹣＝0，即4k2+7＝0，此时方程无解，
当y＜0时，B（，﹣），
∴4k+＝0，即2+1＝0，此时方程无解，
综上可知，不存在这样的直线l，使得AB的中点在y轴上．
22．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝，f′（x）＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
而f（x）在x＝0处无定义，
故f（x）的极小值是f（2）＝，无极大值；
（2）f′（x）＝＞0，
当a＞0时，解得：x＞2或x＜0，
故函数在（﹣∞，0），（2，+∞）递增，
当a＜0时，解得：0＜x＜2，
故函数在（0，2）递增；
（3）∵≥x+1，
∴a≥，
令g（x）＝，
则g′（x）＝＝，
∵x∈（0，+∞），令g′（x）＞0，解得：1﹣＜x＜1+，
∴g（x）在（0，1+）递增，在（1+，+∞）递减，
即g（x）max＝g（1+）＝，
故a≥．