§2.1 向量的概念及表示
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点一 向量的概念
思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．
梳理 向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．
知识点二 向量的表示方法
思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
答案 可以用一条有向线段表示．
思考2 0的模是多少？0有方向吗？
答案 0的模为0，方向任意．
思考3 单位向量的模是多少？
答案 单位向量的模为1个单位长度．
梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．
以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用粗体a，b，c，书写时用，，)．
(3)向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作||.长度为0的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
知识点三 向量间的关系
思考1 已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？
答案 因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
答案 不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．
梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
①记法：向量a平行于b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．
1．向量就是有向线段．( × )
提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．
2．若a，b都是单位向量，则a＝b.( × )
提示 a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．
3．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．( √ )
提示 若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．
类型一 向量的概念
例1 下列说法中，正确的是．
①向量与向量的长度相等；
②两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同；
③零向量没有方向；
④两个相等向量的起点相同，则终点也相同．
答案 ①④
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；故②③都错误，①④正确．
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
跟踪训练1 下列说法正确的有．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量．
答案 ③
解析 ①错误．|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系．
②错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点A，B，C，D不一定在同一条直线上．
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
解 (1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF＝BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有与.
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反．(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解 (1)向量，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200km.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
1．下列结论正确的个数是．
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
答案 1
解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．
2．有下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；
②若a≠b，则a一定不与b共线；
③由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．
其中，正确说法的个数是．
答案 1
解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故②错误；对于③，因为零向量与任一向量平行，故③错误．
3．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积为．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解 (1)＝＝，＝.(2)，，.
1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．
一、填空题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有个．
答案 4
解析 ②③④⑤是向量．
2．下列说法中正确的个数是．
①一个向量方向不确定当且仅当模为0；②共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；③单位向量的模都相等．
答案 2
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝.
答案
解析 由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
4.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则图中所示向量与向量相等的向量为；图中所示向量与向量共线的向量为；图中所示向量与向量的模相等的向量为．(填图中所画出的向量)
答案 ， ，，，，
解析 ∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与相等的向量为；与共线的向量为，；与的模相等的向量为，，，，.
5．若a0是与a同向的单位向量，则向量与单位向量a0的长度的大小关系是．
答案 相等
解析 依题意，a是非零向量，表示与a同向的单位向量．
6．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模为2的向量有．
答案 ，，，
解析 模为2的向量有，，，.
7．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是．
答案 2
解析 ②④错误．
8．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为．
答案 菱形
解析 ∵＝，∴AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
9．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是．(填序号)
答案 ①③④
解析 相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立．
10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：
(1)图中与共线的向量有；
(2)图中与相等的向量有；
(3)图中与的模相等的向量有；
(4)图中与相等的向量有．
答案 (1)，，，，，，
(2)，
(3)，，，，，，，，
(4)
二、解答题
11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置向量．
解 (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”．
12．如图，已知＝＝.求证：
(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)＝，＝.
证明 (1)∵＝，
∴||＝||，且∥.
又∵点A不在上，∴AA′∥BB′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||，
∴＝.同理可证＝.
13．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解 (1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，
||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，
||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.
三、探究与拓展
14．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是．(填序号)
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案 ③
15.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量．
解 (1)与长度相等的向量是，，，，，，，.
(2)与相等的向量是，.
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，.
2.2.1 向量的加法
学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，
这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OABC的对角线表示的力是与表示的力的合力，体现了向量的加法运算．
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？
答案 三角形法则和平行四边形法则．
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)向量求和的法则
向量求和的法则
三角形法则
已知向量a，b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OABC，
则以O为起点的对角线就是a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义．
知识点二 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
答案 交换律和结合律．
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)
答案 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)
答案 ∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c，
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
梳理 向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
1．0＋a＝a＋0＝a.( √ )
2.＋＝.( √ )
3.＋＝0.( √ )
4.＋>.( × )
5．||＋||＝||.( × )
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
解 (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c.
反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．
跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连结，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．
(2)向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋An－1A1＝0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
答案 2
解析 |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解 作出图形，如图所示．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10m/min，
||＝|v船|＝20m/min，
∴cosα＝＝＝，
∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
∴船是沿与水流的方向成120°的角的方向行进．
引申探究
1．若本例中条件不变，则经过1h，该船的实际航程是多少？
解 由本例知v船＝20m/min，v实际＝20×sin60°＝10(m/min)，
故该船1h行驶的航程为10×60＝600(m)＝(km)．
2．若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值．
解 如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tanα＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题关键．
跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos30°
＝10×＝5 (N)，
||＝||cos60°＝10×＝5 (N)．
∴A处所受的力为5N，B处所受的力为5N.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝________.
考向 向量加法法则
题点 结合图形求向量的和
答案
解析 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
2.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是________．(填序号)
①＋＋＝0；
②＋＋＝0；
③＋＋＝；
④＋＋＝.
答案 ④
解析 ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
3．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案 2
解析 ∵＋＝，∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2.
4．如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形一定是____________．
答案 平行四边形
解析 ∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，
即＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
5．小船以10km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
答案 20
解析 如图，
设船在静水中的速度为|v1|＝10km/h，河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
一、填空题
1．已知向量a表示“小船向东航行1km”，向量b表示“小船向南航行1km”，则a＋b表示________km.
答案 小船向东南航行
2．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
答案 0
3．(＋)＋(＋)＋化简后的向量为________．
答案
解析 根据向量加法的运算法则有(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝.
4．作用在同一物体上的两个力F1＝60N，F2＝60N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为________．
答案 60N
5.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝.
6．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＝|a|－|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
答案 ①③⑤
解析 ∵a＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|，故填①③⑤.
7．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝____________________.
答案 2
解析 ＝，
∴＋＋＝＋＋＝，
∵AB＝1，
∴|＋＋|＝||＝2.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则|＋＋|＝________.
答案 2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
9．已知△ABC是等边三角形，给出下列等式：
①|＋|＝|＋|；
②|＋|＝|＋|；
③|＋|＝|＋|；
④|＋＋|＝|＋＋|.
其中正确的有________．(写出所有正确等式的序号)
答案 ①③④
解析 ①∵＋＝，＋＝，∴|＋|＝|＋|，①对，同理②错，③④对．
10．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
答案 1
解析 在菱形ABCD中，连结BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，
|＋|＝||＝1.
二、解答题
11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明 ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
12．如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
解 以BA，BC为邻边作?ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作?ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
13．在水流速度为4km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向．
解 如图，
设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连结BC，作AD∥BC且AD＝BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4，||＝12，
∴tan∠ACB＝＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8，
∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8km/h，方向与水流速度成120°角．
三、探究与拓展
14．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________________．
答案 8km 北偏东45°
解析 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
15．如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
证明 ＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
2.2.2 向量的减法
学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．
知识点一 相反向量
思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？
答案 相反向量．
梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．
(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
③零向量的相反向量仍是零向量．
知识点二 向量的减法
思考 根据向量的加法，如何求作a－b?
答案 先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b)．
梳理 (1)向量减法的定义
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
(2)向量的减法法则
以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.
1．相反向量就是方向相反的向量．( × )
提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．
2．向量与是相反向量．( √ )
提示 与大小相等、方向相反．
3．－＝，－(－a)＝a.( √ )
提示 根据相反向量的定义可知其正确．
4．两个相等向量之差等于0.( × )
提示 两个相等向量之差等于0.
类型一 向量减法的几何作图
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连结OC，则＝a＋b－c.
引申探究
若本例条件不变，则a－b－c如何作？
解 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.
反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量．
跟踪训练1 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
类型二 向量减法法则的应用
例2 化简下列式子：
(1)－－－；
(2)(－)－(－)．
解 (1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．
跟踪训练2 化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解 (1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
类型三 向量减法几何意义的应用
例3 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解 ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3，15]．
反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a
与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.
跟踪训练3 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状一定是________．
答案 矩形
解析 ∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形.
1.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是________________．
答案 a＋b和b－a
解析 由向量的加法、减法法则，得
＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a.
2．化简－＋＋的结果为________．
答案
3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
答案 7 17
4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
答案 2
解析 ＝＝＝＝2.
5．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，则|a－b|＝________.
答案 10
解析 设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD(如图所示)，
则＝a＋b，＝a－b，
因为|a＋b|＝|a－b|，
所以||＝||.
又四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
在Rt△DAB中，||＝6，||＝8，
由勾股定理得||＝＝＝10，
所以|a－b|＝|a＋b|＝10.
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连结两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．
一、填空题
1．化简－＋所得的结果是________．
答案 0
解析 －＋＝＋＝0.
2．已知一点O到?ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量＝________.(用a，b，c表示)
答案 a－b＋c
解析 如图所示，＝＋＝＋＝＋－＝－＋＝a－b＋c.
3．设平面内有四边形ABCD和O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________．
答案 平行四边形
解析 由＋＝＋，即－＝－，
所以＝，所以四边形ABCD是平行四边形．
4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＋＋＝________.
答案 0
解析 ＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.
5．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为________．
答案
解析 如图，作菱形ABCD，
则|－|＝|－|＝||＝.
6．已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________．
①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)；
②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c；
③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.
答案 ①②③
解析 根据题意画出图形如图所示，
可知以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确．
7．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝____________.(用a，b，c表示)
答案 a－b＋c
8．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
答案 13
解析 ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.
∵＝a，＝b，
∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
答案
10.如图所示，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．(填序号)
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋.
答案 ①
解析 ∵－＋＝＋＝，
＋＝＋＝≠，
－＝≠，＋＝≠，
∴填①.
二、解答题
11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，求||.
解 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，
∵|＋|＝|－|，∴||＝||，
又∵||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，试求|a－b＋c|.
解 作＝，连结CF，则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.∴|a－b＋c|＝2.
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
解 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由题意知，||＝||＝2，||＝1.
如图所示，过点B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AB交直线AB的延长线于点F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝.
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，∴cos∠CBF＝，
∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，∴CF＝.
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝＝＝，
∴|a＋b|＝.
三、探究与拓展
14．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则＝________.
答案 b－c
解析 ＝＝－＝b－c.
15.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)＋＋.
解 (1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝d－a.
(3)＋＋＝＋＋＋＋＋＝0.
2.2.3 向量的数乘
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识点一 向量数乘的定义
思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？
答案 向量．
思考2 向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
梳理 向量的数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．
知识点二 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
答案 结合律，分配律．
梳理 向量数乘的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三 向量共线定理
思考 若b与非零向量a共线，是否存在λ满足b＝λa？若b与向量a共线呢？
答案 若b与非零向量a共线，存在λ满足b＝λa；若b与向量a共线，当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.
梳理 (1)向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
(2)向量的线性运算
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
1．若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( × )
提示 当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．
2．若b＝λa，则a与b共线．( √ )
提示 由向量共线定理可知其正确．
3．若λa＝0，则a＝0.( × )
提示 若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
类型一 向量数乘的基本运算
例1 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
解 [2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)＝－4a＋4b.
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
解
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 (1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a－8a)＋(b＋3b)
＝－10a＋4b.
(2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________________.
答案 a－b＋c
解析 因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
类型二 向量共线的判定及应用
例2 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判断向量a，b是否共线；
(2)若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(1)解 ∵b＝6a，∴a与b共线．
(2)证明 ∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b＝λa(a≠0)，还要说明向量a，b有公共点．
跟踪训练2 已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．
答案 A，B，D
解析 ∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
例3 已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值．
解 ∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有
∴k＝±1.
反思与感悟 利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
跟踪训练3 已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
答案 1
解析 由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，则x＋y＝1.
类型三 用已知向量表示其他向量
例4 在△ABC中，＝a，＝b，若点D满足＝2，则＝________________.(用a，b表示)
答案 a＋b
解析 示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路：
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．
(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练4 如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
解 ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a，
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋
＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
1．已知a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则2a－3b＋c＝________.
答案 23e
解析 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
2．在△ABC中，M是BC的中点，则＋＝________.
答案 2
解析 如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，
由题意知，＋＝＝2.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝________.
答案
解析 ∵m与n共线，∴m＝λn，
即(2λ－1)e1＋(k－λ)e2＝0，
∵e1，e2是两个不共线的向量，
∴∴k＝.
4．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则向量y＝________________.(用a，b，c表示)
答案 a－b＋c
解析 因为2－(c＋b－3y)＋b＝2y－a－
c－b＋y＋b＝0，所以y＝a＋c－b，
所以y＝a－b＋c.
5．如图所示，已知＝，用，表示.
解 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．
2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．
3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．
4．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，A，P，B三点共线?m＋n＝1.
一、填空题
1．(a＋9b－2c)＋(b＋2c)＝________.
答案 a＋10b
2．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________.
答案 －2a＋4b
解析 原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
3．在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么＝________.(用a，b表示)
答案 a＋b
解析 由题意，得＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋a＋，即＝b＋a＋，解得＝a＋b.
4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ＝________.
答案
解析 ∵A，B，D三点共线，∴＋λ＝1，λ＝.
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
答案
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又∵向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝__________.(用a，b表示)
答案 a＋b
解析 连结CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，
∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
7．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是________．(填序号)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
答案 ①②
解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
8．在△ABC中，＝a，＝b，D为△ABC所在平面内一点，且＝3，则＝____________.(用a，b表示)
答案 －a＋b
解析 ∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋
＝－a＋b.
9．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则________三点共线．
答案 A，B，D
10．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
答案 b－a
解析 ＝＋＋＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)＝(b－a)．
二、解答题
11．若非零向量a与b不共线，ka＋2b与3a＋kb共线，试求实数k的值．
解 ∵ka＋2b与3a＋kb共线，
∴存在实数λ，使得ka＋2b＝λ(3a＋kb)，
∴(k－3λ)a＋(2－λk)b＝0，
∴(k－3λ)a＝(λk－2)b.
∵a与b不共线，∴，∴k＝±.
12．计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)－；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝－
＝－
＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
13．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
解 如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，
∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)，
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
三、探究与拓展
14．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为________．
答案 －1或3
15．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
证明 如图所示．
∵＝＋＋
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
2.3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解平面向量的正交分解及向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一 平面向量基本定理
思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
梳理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点二 向量的正交分解
思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于
斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
答案 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
梳理 正交分解的含义
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底．( × )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底．
2．零向量可以作为基向量．( × )
提示 由于0和任意向量共线，故不可作为基向量．
3．平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( × )
提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底．
类型一 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
答案 ②③
解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
跟踪训练1 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．
①e1＋e2，e1＋3e2；②3e1－2e2，4e2－6e1；③e1＋2e2，e2＋2e1；④e2，e1＋e2；⑤2e1－e2，e1－e2.
答案 ②⑤
解析 由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，即3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，∴2e1－e2与e1－e2共线，⑤不能作基底．
类型二 用基底表示向量
例2 如图所示，在?ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解 ∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
引申探究
若本例中其他条件不变，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解 取CF的中点G，连结EG.
∵E，G分别为BC，CF的中点，
∴＝＝b，
∴＝＋＝a＋b.
又∵＝＝，
∴＝＝＝a＋b.
又∵＝＝＋＝＋＝＋，
∴＝＝b＋
＝a＋b.
反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
跟踪训练2 如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于点P，用基底a，b表示.
解 ＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)
＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n＝＋n(－)
＝b＋n＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
类型三 平面向量基本定理的应用
例3 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．
解 方法一 (基向量法)
由＝λ＋μ，
得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，
则＋＋＝0，
得＋＋＝0，
得＋＝0.
又因为，不共线，所以由平面向量基本定理得
解得
所以λ＋μ＝.
方法二 (待定系数法)
如图所示，连结MN
并延长交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以，＝＝λ＋μ，即＝λ＋μ.因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝1，所以λ＋μ＝.
反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
跟踪训练3 已知向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．
解 将a＝e1＋e2与b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb，
得c＝λ(e1＋e2)＋μ(3e1－2e2)＝(λ＋3μ)e1＋(λ－2μ)e2.
因为c＝2e1＋3e2，且向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得
1．已知＝a，＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则＝________________.(用a，b表示)
答案 a＋b
2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
答案 －15 －12
解析 ∵向量e1，e2不共线，
∴解得
3．如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．
答案 a＋b 2a＋c
解析 由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到．
4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
答案
解析 ＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－＋，
又∵与不共线，
∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．
2．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
3．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
一、填空题
1．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.
答案 －2或
2．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.
答案 －
解析 由方程组解得
所以e1＋e2＝＋＝a＋b.
3．设点O是?ABCD两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．
①与；②与；③与；④与.
答案 ①③
解析 寻找不共线的向量组即可，在?ABCD中，与不共线，与不共线，而∥，∥，故①③可作为基底．
4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为______________．
答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)
解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.
5．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为________．
答案 4
解析 因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，
所以解得
6．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是____________．
答案 x＋y－2＝0
7．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为________．
答案
解析 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
8．设e1与e2是两个不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－2e1＋5e2，若实数λ，μ满足λa＋μb＝5e1－e2，则λ，μ的值分别为____________．
答案 1，－1
解析 由题设λa＋μb＝(3λe1＋4λe2)＋(－2μe1＋5μe2)＝(3λ－2μ)e1＋(4λ＋5μ)e2.又λa＋μb＝5e1－e2，由平面向量基本定理，知解得λ＝1，μ＝－1.
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝________________.
答案 a＋b
解析 如图，设＝λ，＝μ，
则＝－＝b－a，
故＝＋＝a＋λb.
∵＝＝(＋)＝＝a＋b，
∴由平面向量基本定理，得∴
∴＝a＋b.
10.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
二、解答题
11．判断下列命题的正误，并说明理由：
(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d；
(2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
解 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，
所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
12.如图，平面内有三个向量，，.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，
＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
13．在梯形ABCD中，∥，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k.设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
解 方法一 如图所示，
∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2.
又∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝e1＋(k－1)e2.
又∵＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－＝－＋＋
＝e2.
方法二 如图所示，过C作CE∥DA，交AB于点E，交MN于点F.
同方法一可得＝ke2.
则＝＋＝－(－)＋＝e1＋(k－1)e2，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝e2.
方法三 如图所示，连结MB，MC.
同方法一可得＝ke2，＝e1＋(k－1)e2.
由＝(＋)，得＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.
三、探究与拓展
14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 设＝k(0
则＝－＝k－
＝(kλ－1)＋kμ.
∵D是OC与AB的交点，
∴A，D，B三点共线，
∴，共线．
设＝m，
又＝－，
∴(kλ－1)＋kμ＝m－m.
∵，不共线，
∴
∴kλ－1＝－kμ，
即k(λ＋μ)＝1，
∴λ＋μ＝>1.
15．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明 若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解 设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)解 由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
第1课时 平面向量的坐标表示及坐标运算
学习目标 1.掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的坐标表示
思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
答案 a＝2i＋2j.
思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？
答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．
梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
区
别
表示形
式不同
向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同
点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系
当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点二 平面向量的坐标运算
思考 设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？
答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
梳理 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ
数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘
λa＝(λx1，λy1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
1．相等向量的坐标相等．( √ )
2．在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2)．( × )
提示 ＝(x2－x1，y2－y1)．
3．与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1，0)，j＝(0，1)．( √ )
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标．
解 (1)如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
∴B的坐标为.
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos60°，2sin60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2，0)，＝(1，)，
＝＝(－1，)，
＝＝.
类型二 平面向量的坐标运算
例2 已知三点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围．
解 设P(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．
因为＝(3，1)，＝(5，7)，所以＝＋λ
＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以所以
所以点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
所以当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上．
(2)当点P在第三象限时，有成立，
解得λ＜－1.
∴实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2 已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
解 (1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)
＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7)．
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)
＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1，2)－(2，1)
＝－＝.
类型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知A(2，4)，B(－4，6)，若＝，＝，则的坐标为________．
答案
反思与感悟 坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
答案 －3
解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得
故m－n＝2－5＝－3.
1．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝________.
答案 (7，3)
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是________．
答案
解析 ∵＝－＝(－8，1)，
∴＝.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为________．
答案
解析 设D点坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，
由＝2，得∴∴D.
4．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案 (－7，－4)
解析 ＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
答案
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(3，4)．
∵c＝xa＋yb，∴
解得因此x＋y＝.
1．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．
一、填空题
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，那么向量3b－a的坐标是________．
答案 (4，－2)
解析 3b－a＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)．
2．已知a－b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，则a的坐标为________．
答案 (2，－2)
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为________．
答案 －1，2
解析 由 解得
4．在?ABCD中，已知＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是________．
答案
解析 ＝－＝－(＋)
＝－×(－2，3)－×(3，7)＝.
5．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是________．
答案
解析 因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.
6．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝________.
答案 (－23，－12)
解析 ∵a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，
且3a－2b＋c＝0，
∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，则以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式为___________________________________．
答案 a＝e1＋e2
解析 设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
由解得
所以a＝e1＋e2.
8．已知平面上三点A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，则－的坐标是________．
答案 (－3，6)
9．已知点A(2，1)，B(－2，3)且＝，则点C的坐标为________．
答案 (0，2)
10．已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案 (3，3)
解析 方法一 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．
又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3，3)．
11．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
答案 (－3，3)
二、解答题
12．已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
解 设P点坐标为(x，y)，||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2.
即(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB的延长线上时，＝－2.
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
∴解得
综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．
13．已知a＝(2，1)，b＝(－1，3)，c＝(1，2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a，b表示p.
解 p＝2a＋3b＋c
＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)
＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13)．
设p＝xa＋yb，
则有解得
∴p＝a＋b.
三、探究与拓展
14．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)，
由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，
∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.
15．已知点A(－1，2)，B(2，8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，
(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，
∴＝(－2，－4)．
第2课时 向量平行的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点 向量平行的坐标表示
已知下列几组向量：
(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；
(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；
(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝，b＝.
思考1 上面几组向量中，a，b有什么关系？
答案 (1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.
思考2 以上几组向量中，a，b共线吗？
答案 共线．
思考3 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
答案 坐标不为0时成比例．
梳理 (1)向量平行的坐标表示
①条件：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0.
②结论：如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
(2)若＝λ，则P与P1，P2三点共线．
①当λ∈(0，＋∞)时，P位于线段P1，P2的内部，特别地，当λ＝1时，P为线段P1P2的中点．
②当λ∈(－∞，－1)时，P在线段P1P2的延长线上．
③当λ∈(－1，0)时，P在线段P1P2的反向延长线上．
1．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.( × )
提示 当y1y2＝0时不成立．
2．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( × )
3．若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.( √ )
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中，共线的是________．
①a＝(－2，3)，b＝(4，6)；
②a＝(2，3)，b＝(3，2)；
③a＝(1，－2)，b＝(7，14)；
④a＝(－3，2)，b＝(6，－4)．
答案 ④
解析 ①中(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
②中2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
③中1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
④中(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 ＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反．
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，＝，＝，求证：∥.
证明 设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝.
∴(x1，y1)－(－1，0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，∴∥.
类型二 利用向量平行求参数
例2 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解 方法一 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)．
得解得k＝λ＝－.
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
引申探究
1．若本例条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
解 由例2知当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，
∴ka＋b与a－3b反向．
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？”，又如何求k的值？
解 a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，
3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)，
∵a＋kb与3a－b平行，
∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，
解得k＝－.
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
跟踪训练2 设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
答案 2
解析 λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？
解 ＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
若A，B，C三点共线，则∥，
∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，
解得k＝－2或11，
又，有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3 已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
证明 ＝＝，
＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－×8＝0，
∴∥，且AB，有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是________．
答案 －4
解析 ∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.
2．与a＝(6，8)平行的单位向量为____________________________________．
答案 或
解析 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
3．已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
答案 6
解析 A＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)．
A＝(3，m)－(1，2)＝(2，m－2)．
∵A，B，C三点共线，即向量A，A共线，
∴存在实数λ使得A＝λA，
即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴?
即m＝6时，A，B，C三点共线．
4．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD是梯形．
证明 ∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5)．
∴＝(－2，3)，＝(4，－6)．
∴＝－2，即||＝||，
∴AB∥CD，且AB≠CD，
∴四边形ABCD是梯形．
5．已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标．
解 设点M的坐标为(x，y)．由||＝3||，得＝3或＝－3.
由题意，得＝(x－3，y－5)，＝(6－x，9－y)．
当＝3时，(x－3，y－5)＝3(6－x，9－y)，
∴解得
当＝－3时，(x－3，y－5)＝－3(6－x，9－y)，
∴解得
故点M的坐标是或.
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
一、填空题
1．已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
答案 －6
解析 因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
2．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x＝________.
答案 －2
解析 因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.
3．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是________．
答案 (1，－1)
4．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________．
答案 1
5．已知a＝(2，1)，b＝(x，－2)，且a＋b与2a－b平行，则x＝________.
答案 －4
解析 因为(a＋b)∥(2a－b)，又a＋b＝(2＋x，－1)，2a－b＝(4－x，4)，所以(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，解得x＝－4.
6．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n，0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．
答案 －
解析 因为A，B，C三点共线，所以∥，因为＝(2，m＋2)，＝(n＋2，2)，所以4－(m＋2)(n＋2)＝0，所以mn＋2m＋2n＝0，因为mn≠0，所以＋＝－.
7．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ＝________.
答案 －2
解析 ∵e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，
∴a＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1)．
又∵a∥b，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.
8．已知向量＝(k，6)，＝(4，5)，＝(1－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
答案
解析 ＝－＝(4－k，－1)，
＝－＝(－3－k，5)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
即(4－k)×5＋(－3－k)＝0，
k＝.
9．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．
答案 (0，－2)
解析 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．
10．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________.
答案 23
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
答案 λ＝μ
12．设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
答案 {m|m∈R且m≠6}
解析 ∵A，B，C三点能构成三角形．
∴，不共线．
又∵＝－＝(1，1)，
＝(m－2，4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0.
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}．
二、解答题
13．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解 (1)设点D的坐标为(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1，3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以解得
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2，1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，
得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，解得k＝－.
三、探究与拓展
14．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1，3)，b＝(m，2m－3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋b，则m的取值范围是____________．
答案 {m|m∈R且m≠－3}
解析 根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m－3－3m≠0，解得m≠－3.
所以m的取值范围是{m|m∈R且m≠－3}．
15．如图所示，已知在△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
解 ∵＝＝(0，5)＝，
∴C.
∵＝＝(4，3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，
＝＝.
∵∥，
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
又∵＝，＝，∥，
∴x－4＝0，
即7x－16y＝－20. ②
联立①②，解得x＝，y＝2，
故点M的坐标为.
第1课时 向量的数量积
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
知识点一 平面向量的数量积
一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
思考1 如何计算这个力所做的功？
答案 W＝|F||s|cosθ.
思考2 力做功的大小与哪些量有关？
答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
梳理 平面向量的数量积
(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.
特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．
知识点二 两个向量的夹角
思考 把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？
答案 角．
梳理 两个向量的夹角
(1)定义：
已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB＝θ，称为向量a与b的夹角．
(2)范围：0°≤θ≤180°.
(3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．
(4)当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
知识点三 平面向量数量积的几何意义
思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？
答案 如图所示，＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.
|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？
答案 由投影的定义知，二者不一定相同．
梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为θ.
(2)投影：
向量b在a方向上的投影
|b|cosθ
向量a在b方向上的投影
|a|cosθ
(3)a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点四 平面向量数量积的性质及运算律
思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．
思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？
答案 由两个非零向量的夹角决定．
当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数．
当θ＝90°时，非零向量的数量积为零．
当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数．
梳理 (1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
②当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
③当a⊥b时，a·b＝0；
④a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)数量积的运算律
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
1．向量数量积的运算结果是向量．( × )
2．向量a在向量b方向上的投影一定是正数．( × )
3．在等边△ABC中，向量与向量夹角为60°.( × )
提示 向量与向量夹角为120°.
4．向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
5．λ(a·b)＝λa·b.( √ )
类型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°
＝4×5×＝10.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝________.
答案 a2
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos60°＋a2＝a2.
类型二 求向量的模
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝＝＝5.
|a－b|＝＝＝＝5.
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
解 a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝，
|2a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－2b|＝＝
＝＝5.
反思与感悟 求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值．
解 |3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
类型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解 (1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1，
∴cosθ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 向量b在a方向上的投影为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.
答案 1
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
答案 11
解析 (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos60°－4×2×3×cos60°＝11.
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
答案 －25
解析 易知||2＝||2＋||2，C＝90°.
∴cosB＝，
又cos〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
5．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解 (1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
3．a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分．
4．求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.
(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.
5．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
一、填空题
1．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，则|a－b|＝________.
答案
解析 因为|a＋b|2＝19，
所以a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6，
于是|a－b|＝＝＝.
2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b＝________.
答案 －6
3．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为________．
答案 135°
解析 ∵cosθ＝＝＝－，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为________．
答案 －1
解析 向量a在向量b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.
5．已知a，b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是________．
答案
解析 由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0，得a2＝b2＝2|a||b|cosθ，所以cosθ＝，0∈[0，π]，所以θ＝.
6．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则(a＋2b)·(a－3b)＝________.
答案 －48
解析 由题意，得a·b＝|a||b|cos120°＝－12，
则(a＋2b)·(a－3b)＝a2－6b2－a·b＝62－6×42－(－12)＝－48.
7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．
答案
解析 如图所示，∵＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·(－)
＝－||2－·＋||2
＝－×1－×1×1×＋＝.
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
答案 120°
9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
答案
解析 ∵|a|＝＝＝3，
|b|＝＝＝2，
∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e
＝9－9×1×1×＋2＝8，
∴cosβ＝＝＝.
10．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.
答案 2
解析 |2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2.
11．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
答案 －25
解析 ∵||2＝||2＋||2，
∴∠B＝90°，∴·＝0.
∵cosC＝，cosA＝，
∴·＝||||cos (180°－C)＝4×5×＝－16.
·＝||||cos(180°－A)＝5×3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
二、解答题
12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解 由向量垂直得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝，
又∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴a与b的夹角为.
13．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
解 (1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82
＝256.
∴|4a－2b|＝16.
三、探究与拓展
14．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|恒成立，则|b|的取值范围为__________．
答案 [1，＋∞)
解析 对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，(xa＋2b)2≥(a＋b)2，所以x2·|a|2＋4a·bx＋4|b|2≥|a|2＋2a·b＋|b|2，又a与b的夹角为，且|a|＝1，则有a·b＝|a|·|b|·cos＝|b|，所以有x2＋4x·|b|＋4|b|2≥1＋|b|＋|b|2，即x2＋2|b|x＋3|b|2－1－|b|≥0，此式对一切实数x恒成立，所以有Δ＝4|b|2－4(3|b|2－1－|b|)≤0，即有2|b|2－|b|－1≥0，所以(2|b|＋1)(|b|－1)≥0，所以或所以|b|≥1或|b|≤－(舍去)．
15．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解 (1)设向量a，b的夹角为θ.
∵(a－b)·(a＋b)＝，∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.
又∵|a|＝1，∴|b|＝.
又∵a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，∴cosθ＝，
又∵θ∈[0°，180°]，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
第2课时 平面向量数量积的坐标运算
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
设i，j是两个互相垂直且分别与x轴，y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1 i·i，j·j，i·j分别是多少？
答案 i·i＝1×1×cos0°＝1，j·j＝1×1×cos0°＝1，
i·j＝0.
思考2 取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.
答案 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.
思考3 若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？
答案 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理 若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0
知识点二 平面向量的模
思考1 若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．
答案 ∵a＝xi＋yj，x，y∈R，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2
＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
∴|a|＝.
思考2 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？
答案 ∵＝－
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，
∴||＝.
梳理 向量的模及两点间的距离
向量
模
a＝(x，y)
|a|＝
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量
||＝
知识点三 向量的夹角
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.
1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( √ )
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1y2－x2y1＝0.( × )
3．若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．( × )
提示 当两向量同向共线时，cosθ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.
类型一 平面向量数量积的坐标运算
例1 已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立．
跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝________.
答案 1
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.
类型二 向量的模、夹角问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16，12)，B(－5，15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解 (1)由＝(16，12)，
＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，
得||＝＝20，||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos?，(
＝.
其中·＝－·
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝求两向量的模．
(3)代入夹角公式求cosθ，并根据θ的范围确定θ的值．
跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．
类型三 向量垂直的坐标形式
例3 (1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．
答案 －
解析 由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，
所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
(2)在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解 ∵＝(2，3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若(－t)⊥，则实数t＝________.
答案 －1
解析 ∵＝(－3，－1)，
∴－t＝(－3－2t，－1＋t)，
又∵＝(2，－1)，(－t)⊥，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0.
∴t＝－1.
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为________．
答案
解析 ∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]．
∴a与b的夹角为.
2．已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.
答案 30°
解析 ∵||＝1，||＝1，
∴cos∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°.
3．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
答案 －3
解析 因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，
由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.
4．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________.
答案
解析 ∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝1，
∴a，b方向相同，∴b＝a＝.
5．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解 (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误．
一、填空题
1．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝________.
答案 5
解析 因为a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，所以b＝2a－(3，1)＝2(1，2)－(3，1)＝(－1，3)，所以a·b＝(1，2)·(－1，3)＝－1＋2×3＝5.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|＝________.
答案 2
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
3．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为________．
答案
解析 ∵2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，
a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，
∴(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
设所求两向量夹角为α，则cosα＝＝，
∵0≤α≤π，∴α＝.
4．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为________________________________．
答案 或
解析 设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，
∵(x，y)是单位向量，
∴＝1，即x2＋y2＝1，①
又∵(x，y)表示的向量垂直于a，
∴2x－3y＝0，②
由①②得或
5．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
答案 2
解析 因为a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，
b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.
因为c与a的夹角等于c与b的夹角，
所以＝，即＝，
所以＝，
解得m＝2.
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝________.
答案
解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
∵(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又∵c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②
由①②解得x＝－，y＝－.
7．已知a＝(3，)，b＝(1，0)，则(a－2b)·b＝________.
答案 1
解析 a－2b＝(1，)，
(a－2b)·b＝1×1＋×0＝1.
8．已知△ABC是边长为1的正三角形，动点M为△ABC所在平面内一点，若·<0，||＝1，则·的取值范围是________．
答案
解析 如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
则B(1，0)，C，设M(x，y)，
则·＝(x，y)·(1，0)＝x<0，由||＝1得2＋2＝1，
所以－≤x<0，
所以||·||＝·(1，0)＝x－∈.
9．已知a＝(1，3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．
答案 ∪
解析 由a与b的夹角为锐角，
得a·b＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5，
当a∥b时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－.
故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－.
10．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，且||＝2，则点B的坐标为________．
答案 (5，4)
解析 设＝(2λ，3λ)(λ>0)，
则||＝＝2，
∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，
∴＝(4，6)，
∴＝＋＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4)．
∴点B的坐标为(5，4)．
二、解答题
11．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解 (1)设c＝(x，y)，
由c∥a及|c|＝2，
可得
所以或
因为c与a方向相反，
所以c＝(－2，－4)．
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－.
所以cosθ＝＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
12．已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明 ∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴C点坐标为(0，5)．
由于＝(－2，4)，＝(－4，2)，
所以·＝8＋8＝16>0，
||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
13．平面内有向量＝(1，7)，＝(5，1)，＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
解 (1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，
∴向量与共线．
又∵＝(2，1)，∴x－2y＝0，
∴x＝2y，
∴＝(2y，y)．
又∵＝－＝(1－2y，7－y)，
＝－＝(5－2y，1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4，2)．
(2)由(1)知＝(－3，5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝
＝－.
三、探究与拓展
14．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，P为边AB上的一点，＝λ.
(1)若λ＝3，试用，表示；
(2)若||＝4，||＝3，且||·||＝－6，求λ的值．
解 (1)∵＝3，∴－＝3(－)，
∴＝＋.
(2)以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(4，0)，B(0，3)，
∴＝(4，0)，＝(0，3)，＝(－4，3)．
由＝λ，得－＝λ(－)，
∴＝＋＝.
又∵·＝－6，
∴·(－4)＋·3＝－6，解得λ＝.
15．已知＝(4，0)，＝(2，2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影；
(2)证明A，B，C三点共线，且当＝时，求λ的值；
(3)求||的最小值．
解 (1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴在上的投影为||cosθ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2，2)，＝－
＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，
又与有公共点B，且λ2≠λ，
所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝162＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值，为2.
§2.5 向量的应用
学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．
知识点一 几何性质与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
答案 可用向量共线的相关知识：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
答案 可用向量垂直的相关知识：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．
知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点三 物理中的量和向量的关系
1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．
2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算．
1．功是力F与位移S的数量积．( √ )
2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ )
3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √ )
类型一 用平面向量求解直线方程
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解 (1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)．
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥.
∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)．
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
跟踪训练1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
解 ＝(3，4)，＝(－8，6)，
∠A的平分线的一个方向向量为
a＝＋＝＋＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，∴∥a，
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
类型二 用平面向量求解平面几何问题
例2 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．
(1)∵＝(－1，2)，＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2，1)，∵∥，
∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥，得y＝－2x＋4，
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝＝2＝||，
即AP＝AB.
反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路：
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．
跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连结DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋a×a×cos45°＋a×(1－a)×cos45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
∴⊥，即DP⊥EF.
方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设正方形ABCD的边长为1，
AP＝λ(0<λ<)，
则D(0，1)，P，
E，F.
∴＝，＝．
∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，
∴⊥，即DP⊥EF.
类型三 向量在物理学中的应用
例3 (1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
解 如图，两根绳子的拉力之和＋＝，
且||＝||＝300N，∠AOC＝30°，
∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，
∠AOC＝30°，
则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos30°＝150(N)，
||＝||·sin30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，
设帆船行驶的速度为v，
则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10，10)，向量v2＝(20，0)，
则帆船的行驶速度为
v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0)＝(30，10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tanα＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，
所以α＝30°，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20km/h.
反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．
跟踪训练3 河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10km/h，求小船的实际航行速度．
解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连结，如图，则＝a＋b，并且即为小船的实际航行速度．
∴||＝＝＝20(km/h)，
tan∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度为20km/h，按北偏东30°的方向航行．
例4 已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
解 (1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102J.
反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
跟踪训练4 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解 以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，
F3＝(－3，3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24J.
1．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.
答案 300
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J)．
2．过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为________________．
答案 2x＋y－7＝0
解析 设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.
答案 10
解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，
∴每根绳子的拉力都为10N.
4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
答案 22
解析 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
5．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
答案 2
解析 连结AO，∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，则m＋n＝2.
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．
一、填空题
1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是________．
答案
解析 ∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝________.
答案 (1，2)
解析 ∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3，2)－(4，－3)＝(1，2)．
3．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.
答案 3
解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v实际|＝
＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝＝0.05(h)
＝3(min)．
∴该船到达B处所需的时间为3min.
4．在四边形ABCD中，若＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．
答案 5
解析 ∵·＝0，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
5．已知△ABC三边BC，CA，AB的中点分别为D(1，2)，E(3，4)，F(5，6)，则顶点A的坐标是________．
答案 (7，8)
解析 设点A的坐标为(x，y)．
由已知得＝(4，4)，
＝(x－3，y－4)．
∵∥且||＝||，
∴
解得或
∵与同向，故(－1，0)舍去，∴A点的坐标为(7，8)．
6．过点A(3，－2)且垂直于向量n＝(5，－3)的直线方程是____________________．
答案 5x－3y－21＝0
解析 设P(x，y)为直线上异于A的任意一点，∴＝(x－3，y＋2)，又⊥n，∴5(x－3)－3(y＋2)＝0，即5x－3y－21＝0.
7．在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
答案
解析 设AB的长为a(a＞0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1，
又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
答案 －
解析 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为
y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，
∴C(2，1)．
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1，1)，
∴＋＝，＝(－2，1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
9．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则·＝________.
答案 －
解析 如图，作OD⊥AB于点D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，所以·＝||||cos120°＝1×1×(－)＝－.
10．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
答案 1∶3
解析 如图，D为BC边的中点，
则＝(＋)．
因为3－－＝0，
所以3＝2，
所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
二、解答题
11．在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
解 如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，
所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，
所以∠CAD＝30°，
即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
12．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值．
解 在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·(＋)
＝·＋·＋λ·＋λ·
＝2×1×cos60°＋2×＋λ×1×1×cos60°＋λ·×cos120°＝＋＋，
由对勾函数的性质知·≥2＋＝，
当且仅当＝，即λ＝(舍负)时，取得最小值.
13.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
证明 设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有
＝＋＝λ＋＝λ(-)
＝(2λ＋1)－λ，
＝－.
∵∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k.
于是有解得λ＝.
∴＝，
∴＝＋＝＋，＝－，
从而·＝(＋)·(－)
＝a2－a2－a2cos60°＝0，∴⊥，
∴BP⊥DC.
三、探究与拓展
14．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为________．
答案 2
解析 由题意得，·＝，
∵2＝(＋)2＝2＋2·＋2
＝2＋2－2·＝2＋9－2×＝5.
∴2＝1
∴AD＝||＝1，
∴AC＝2.
15．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4，1)，C(6，8)．
(1)求顶点D的坐标；
(2)若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
解 (1)设点D(m，n)，因为＝，
所以(m，n)＝(6，8)－(4，1)＝(2，7)，
所以顶点D的坐标为(2，7)．
(2)设点I(x，y)，则点F的坐标为，
由于＝2，
故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，所以E，
由于＝，＝(x－4，y－1)，∥，
所以(x－4)＝－3(y－1)，①
又∥，所以x＝y，②
解①②得x＝，y＝.
则点I的坐标为.
第2章 平面向量
1 向量线性运算的应用
平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面．
一、化简
例1化简下列各式：
(1)(2－)－(－2)；
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]．
解 (1)(2－)－(－2)
＝2－－＋2＝2＋＋＋2
＝2(＋)＋(＋)＝2＋＝.
(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]
＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)
＝－a＋b.
点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量．
二、求参数
例2如图，已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析 如图，
因为＋＋＝0，
即＝－(＋)，
即＝＋，
延长AM，交BC于D点，
所以D是BC边的中点，
所以＝2，
所以＝，所以＋＝2＝3，
所以m＝3.
答案 3
点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．
三、表示向量
例3如图所示，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N，设＝a，＝b，用向量a，b表示，，，，.
解 因为DE∥BC，＝，
所以＝＝b，＝－＝b－a，
由△ADE∽△ABC，得＝＝(b－a)，
又M是△ABC底边BC的中点，DE∥BC，
所以＝＝(b－a)，
＝＋＝a＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．
2 走出平面向量的误区
平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区．
一、理解失误
例1已知e1，e2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(只填序号)
①e1，e2两个向量可以共线，也可以是零向量；
②λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
③对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数对．
错解 ①②③
正解 由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误；故正确答案为②.
答案 ②
点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a都可用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底．
二、考虑不全
例2与模为13的向量d＝(12,5)平行的单位向量为________．
错解 由题意得|d|＝13，则与d＝(12,5)平行的单位向量为.
正解 与d＝(12,5)平行的单位向量为或.
答案 或
点评 与d平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况．
三、概念混淆
例3已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝
3，＝2，试求点M，N和向量的坐标．
错解 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)，
所以点M(3,24)，点N(12,6)，＝(9，－18)．
正解 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)，
又C(－3，－4)，
所以点M(0,20)，点N的坐标为(9,2)；
所以＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等．
第2章 平面向量
章末复习
学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．
1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量运算
法则(或几何意义)
坐标运算
向
量
的
线
性
运
算
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx1，λy1)
向量的数
量积运算
a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，
数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积
a·b＝x1x2＋y1y2
2．两个定理
(1)平面向量基本定理
①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
3．向量的平行与垂直
a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得
b＝λa(a≠0)
x1y2－x2y1＝0
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )
提示 平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．
2．若向量和向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上．( × )
提示 也可能AB∥CD.
3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( × )
4．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( × )
提示 当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.
类型一 向量的线性运算
例1 如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案
解析 设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋
＝(m－1)＋.
＝＋＝－＋.
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，∴m＝.
反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．
跟踪训练1 如图，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得＝＋，若存在，说明D点位置；若不存在，说明理由．
解 假设存在D点，使得＝＋.
＝＋?＝＋(＋)＝＋
?－＝?＝
?＝×?＝.
所以当点D为AC的三等分点时，
＝＋.
类型二 向量的数量积运算
例2 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
解 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝.
(2)a·b＝＝.
由对勾函数的单调性可知，f(k)＝在(0，1]上单调减，在[1，＋∞)上单调增，
∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝＝，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，
a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cosθ＝＝.
跟踪训练2 已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
解 (1)若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－(3＋m))，
∴＝(3，1)，＝(－m－1，－m)，
∵与不平行，
∴－3m≠－m－1，解得m≠，
∴当实数m≠时满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，而＝(3，1)，＝(2－m，1－m)，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
类型三 向量坐标法在平面几何中的应用
例3 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．
解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，其中a>0，
c>0，则B(－c，0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c，0)，＝(2c，0)．
因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝.
因为⊥，所以·＝0，
即－＋＝0，化简得a2＝9c2，
又因为cosA＝＝＝＝.
即顶角A的余弦值为.
反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．
跟踪训练3 如图，半径为的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案
解析 由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则O(0，0)，A(0，)，C(，0)，B(×cos30°，
－×sin30°)，即B.
因为＝λ＋μ，
所以(，0)＝λ(0，)＋μ，
即则
所以λ＋μ＝.
1．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·＝________.
答案 －2
解析 如图，设对角线AC与BD交于点O，∴＝＋.
·＝·(＋)＝－2＋0＝－2.
2．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________.
答案 9
解析 ?ABCD的图象如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
3．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为________．
答案 －2
解析 ma＋4b＝(2m－4，3m＋8)，a－2b＝(4，－1)．
∵ma＋4b与a－2b共线，
∴(2m－4)×(－1)－(3m＋8)×4＝0，解得m＝－2.
4．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案 2
解析 由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长||＝||＝，由勾股定理得||＝＝2.
5．平面向量a＝(，－1)，b＝，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．
解 由a＝(，－1)，b＝，
得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，
由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，
即－4k＋t3－3t＝0，
所以k＝(t3－3t)，令f(t)＝(t3－3t)，
所以函数关系式为k＝f(t)＝(t3－3t)．
1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．
2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
一、填空题
1．设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x为__________________________________．
答案 3
解析 ∵a∥b，∴2×6－4x＝0，∴x＝3.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝___________________.
答案 5
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
3．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
答案 (－3，6)
解析 设b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3，则
＝3，∴k＝－3，b＝(－3，6)．
4．已知a＝(2，3)，b＝(－1，4)，c＝(5，6)，那么(a·b)·c＝________.
答案 (50，60)
解析 因为a·b＝(2，3)·(－1，4)＝－2＋12＝10，
所以(a·b)c＝10(5，6)＝(50，60)．
5．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为________．
答案
解析 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，即3m＋(5m－3)×2×cos60°－5×4＝0，解得m＝.
6．若＝(sinθ，－1)，＝(2sinθ，2cosθ)，其中θ∈，则||的最大值为________．
答案 3
解析 ∵＝－＝(sinθ，2cosθ＋1)?||＝＝＝，
∴当cosθ＝1，即θ＝0时，||取得最大值3.
7．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
答案
解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2)．所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos30°＝1.
∴|b|＝.
8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
答案 －
解析 由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
9．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．
答案 120°
解析 ∵A，B，C为单位圆上三点，
∴||＝||＝||＝1，
又∵＋＋＝0.
∴－＝＋.
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，
可得cos〈，〉＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴向量，的夹角为120°.
10．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且||＝3||，当＝x＋y时，x－y＝________.
答案 －2
解析 由||＝3||，得＝3，
则＝，
所以＝＋＝＋＝＋(－)
＝－＋.
所以x＝－，y＝，所以x－y＝－－＝－2.
11．已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
答案
解析 将2a，3b，c的起点都移到坐标原点，如图．
∵(2a－c)·(3b－c)＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
又∵a⊥b，∴⊥，
即OA⊥OB，
∴O，A，C，B共圆．
∴|c|的最大值即为圆的直径AB＝.
二、解答题
12．已知＝(1，0)，＝(0，1)，＝(t，t)(t∈R)，O是坐标原点．
(1)若A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，·取到最小值？并求出最小值．
解 (1)＝－＝(－1，1)，＝－＝(t－1，t)．
∵A，B，M三点共线，∴与共线，
∴－t－(t－1)＝0，∴t＝.
(2)∵＝(1－t，－t)，＝(－t，1－t)，
∴·＝2t2－2t＝22－，易知当t＝时，·取得最小值－.
13．如图，在同一平面内，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，||＝2，||＝3，||＝4.
(1)用和表示；
(2)若＝λ，⊥，求λ的值．
解 由题意，得∠BOC＝90°，以OC所在的直线为x轴，以BO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则O(0，0)，A(－1，)，B(0，－3)，C(4，0)．
(1)设＝λ1＋λ2，
则(－1，)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)，
∴λ1＝－，λ2＝－，
∴＝－－.
(2)设D(x，y)，∵＝λ，
∴(x＋1，y－)＝λ(5，－)，
∴
∴D(5λ－1，－λ＋)，＝(5λ－1，3－λ＋)．
∵·＝0，
∴(5λ－1)×5＋(3＋－λ)×(－)＝0，
解得λ＝.
三、探究与拓展
14．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
答案
解析 ∵⊥，
∴·＝(λ＋)·(－)
＝－λ2＋(λ－1)·＋2
＝－9λ＋(λ－1)×3×2×＋4＝0，
∴λ＝.
15．在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
解 方法一 如图，
∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＋0
＝－a2－·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·的值最大，其最大值为0.
方法二 以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设AB＝c，AC＝b，则A(0，0)，B(c，0)，
C(0，b)，设点P的坐标为(x，y)，由题意知PQ＝2a，
BC＝a，则Q(－x，－y)，x2＋y2＝a2，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)
＝－(x2＋y2)＋cx－by.
又·＝2cx－2by＝a×2a×cosθ，
∴cx－by＝a2cosθ
∴·＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·的值最大，其最大值为0.
