第3节 电势差
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1．理解电势差，了解电势差与电场力做功之间的关系，会用公式W＝qUAB进行有关的计算．(难点)
2．了解电势差与电场强度之间的关系，会用公式E＝进行有关的计算．(重点)
3．了解示波器工作原理．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
[知识梳理]
一、电势差与电场力做功
1．电势差
(1)定义：电场中两点电势的差值，用符号U表示．
(2)定义式：UAB＝φA－φB.
(3)单位：与电势单位相同，国际单位是伏特，符号为V.
(4)标矢性：电势差是标量，但是有正负．UAB＞0，表示A点电势比B点电势高．
2．电场力做功
(1)公式：WAB＝EpA－EpB＝qUAB.
(2)电子伏特：1 eV＝1.60×10－19 J，表示在电势差为1 V的两点之间电子自由移动时电场力所做的功．
二、电场强度与电势差的关系
1．关系式：E＝.
图2-3-1
2．适用条件
(1)匀强电场．
(2)d是沿电场方向两点间的距离．
3．物理意义：电场强度等于沿电场方向单位距离上的电势差．
三、示波器的工作原理
1．示波器的核心部件是示波管．
2．示波管的结构和工作原理：构造如图2-3-2所示．阴极射线管示波器主要由电子枪、偏转电极、荧光屏组成，示波管内抽成真空．
图2-3-2
[基础自测]
1．思考判断
(1)电势差的正、负代表了电势差的大小．(×)
[提示] 电势差正、负表示了两点间电势的高低．
(2)UAB＝－6 V，表示A点电势比B点高6 V．(×)
[提示] UAB＝φA－φB，故UAB＝－6 V表示A点电势比B点低6 V.
(3)把正电荷从A点移到B点，电场力做正功，则有UAB＞0.(√)
(4)公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比．(×)
[提示] 电场两点间的电势差与WAB和q无关．
(5)把正电荷从A点移到B点，电场力做正功，则有UAB＞0.(√)
(6)电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功．(×)
[提示] 单位正电荷q从A点移到B点时电场力做的功．
(7)由E＝可知，E与U成正比，与d成反比．(×)
[提示] E与U和d无关．
(8)场强的方向是电势降落最快的方向．(√)
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A．沿电场线的方向，电势逐渐降低
B．A、B两点间的电势差与零电势点的选取有关
C．电势差是一个标量，但有正值和负值之分
D．电场中某点的电势和放入该点的电荷的电性、电荷量无关
ACD [沿电场线的方向电势逐渐降低，选项A正确；某点的电势和零电势点的选取有关，但两点间的电势差和零电势点的选取无关，选项B错误；电势差是标量，可正、可负，选项C正确；电场中某点的电势和检验电荷无关，由电场本身的性质决定，选项D正确．]
3．对公式E＝Uab/d的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是匀强电场中a、b两个等势面间的垂直距离
D [公式E＝仅适用于匀强电场，且d为a、b两点距离沿电场线方向的投影，故选D.]
(多选)如图所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某圆上，将一试探电荷从B、C、D各点分别移到A点时，电场力做功大小关系是( )
A．WBA＞WCA B．WDA＞WBA
C．WCA＝WDA D．WBA＝WCA
CD [点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故UBA＝UCA＝UDA，将同一试探电荷从B、C、D各点分别移到A点，由W＝qU可得电场力做功相同，故选项C、D正确．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
电势差与电场力做功的关系
1.电势差的“两性”
(1)标量性：电势差是标量，但有正、负，其正负表示两点电势的高低，可表示为UAB＝－UBA，电势差的大小叫电压，U＝|UAB|＝|UBA|.
(2)绝对性：电场中两点间的电势差只与两点的位置有关，与零电势点的选取无关，只要两点是确定的，两点间的电势差就是确定值．
2．对公式WAB＝qUAB或UAB＝的理解
(1)UAB＝可以看成电势差的定义式，是按比值法定义的物理量．电势差UAB由电场本身决定，与q、WAB无关．
(2)在一般的计算中，各物理量都要带入符号，即WAB、UAB、q均可正可负，其中WAB取正号表示从A点移动到B点时静电力做正功，WAB取负号表示从A点移动到B点时静电力做负功，做负功时也可以说成电荷克服电场力做了功．
(3)注意：用公式WAB＝qUAB或UAB＝计算时W与U的角标要对应．
把带电荷量2×10－8 C的正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服电场力做功8×10－6 J，若把该电荷从无限远处移到电场中B点，需克服电场力做功2×10－6 J，取无限远处电势为零．求：
(1)A点的电势；
(2)A、B两点的电势差；
(3)若把2×10－5 C的负电荷由A点移到B点电场力做的功．
[解析] (1)正点电荷从无限远处移到电场中A点，要克服电场力做功8×10－6 J，所以EpA＝8×10－6 J.
φA＝＝ V＝400 V.
(2)EpB＝2×10－6 J，
φB＝＝ V＝100 V.
由电势差定义：UAB＝φA－φB＝300 V.
(3)把2×10－5 C的负电荷由A点移到B点电场力做的功为WAB＝qUAB＝－2×10－5×300 J＝－6×10－3 J.
[答案] (1)400 V (2)300 V (3)－6×10－3 J
求解电场力做功的常用方法
(1)功的定义法：W＝qEd，仅适用于匀强电场，公式中d表示始末位置沿电场线方向的距离．
(2)电势差法：WAB＝qUAB，既适用于匀强电场，又适用于非匀强电场，计算时要注意带符号运算．
(3)电势能变化法：WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB，适用于任何电场．
(4)动能定理法：W电场力＋W其他力＝ΔEk，适用于任何电场．四个公式中，前三个公式可以互相导出，应用时要注意它们的适用条件，要根据具体情况灵活选用公式．
[针对训练]
1．在电场中有A、B两点，它们的电势分别为φA＝－100 V，φB＝200 V，把电荷量q＝－2.0×10－7 C的电荷从A点移到B点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？
[解析] 解法一 用W＝－ΔEp计算．
电荷在A、B两点的电势能分别为EA＝qφA＝(－2.0×10－7)×(－100) J＝2.0×10－5 J，EB＝qφB＝(－2.0×10－7)×200 J＝－4.0×10－5 J．根据W＝－ΔEp，电荷从A→B的过程中电场力所做的功W＝－(EB－EA)＝6.0×10－5 J．因为W＞0，所以是电场力做功．
解法二 用WAB＝qUAB计算．
电荷从A→B的过程中，电场力做的功WAB＝qUAB＝(－2.0×10－7)×[(－100)－200] J＝6.0×10－5 J．由于计算得出的W为正值，所以是电场力做功．
[答案] 电场力做功，大小为6.0×10－5 J
电场强度与电势差的关系
1.电势差与电场强度的区别与联系
物理量
电势差U
电场强度E
定义式
U＝
E＝
大小
数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时，电场力所做的功
数值上等于单位电荷受到的力
方向
标量、无方向
矢量，规定正电荷在该点所受电场力的方向为正方向
联系
(1)场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向
(2)场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即E＝或U＝Ed(匀强电场)
2.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上的距离相同的两点间的电势差相等，相互平行的相等线段的两端点电势差也相等．
(2)在匀强电场中，不与电场线垂直的同一条直线上或几条相互平行的直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比．如图2-3-3所示，AC∥PR，则有：＝＝＝.
图2-3-3
如图2-3-4所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图2-3-4
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
思路点拨：→→
A [x轴上OA的中点C的电势为3 V，则BC的连线为等势线，如图所示，电场的方向与等势线垂直，且由电势高处指向电势低处．根据几何图形，O点到BC的距离为d＝1.5 cm，所以E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确．]
“等分法”计算匀强电场中电势
(1)“等分法”在匀强电场中，沿任意一个方向上，电势降落都是均匀的，把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的.
(2)已知电场中几点的电势，如果要求某点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点．
[针对训练]
2．如图2-3-5所示，a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，由此可知c点的电势为( )
图2-3-5
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
B [Uad＝φa－φd＝20 V－4 V＝16 V，在匀强电场中，相互平行的等长线段两端点电势差相等，故Ubc＝Uad，又Ubc＝φb－φc，所以φc＝φb－Uad＝24 V－16 V＝8 V，B正确．]
带电粒子在电场中的加速和偏转
1.带电粒子在电场中的加速模型
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场时，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加(减)速直线运动．
处理这类问题的方法
(1)用牛顿第二定律结合运动学公式求解．
a＝＝，v2＝2ad，所以v＝＝＝.
(2)由动能定理求解．
qU＝mv2或qU＝mv2－mv.
2．带电粒子在电场中的偏转
(1)运动状态分析：带电粒子(不计重力)以初速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做匀变速曲线运动．
(2)运动的规律：
如图2-3-6所示为两组平行金属板，一组竖直放置，一组水平放置，今有一质量为m的电子(电荷量为e)静止在竖直放置的平行金属板的A点，经电压U0加速后通过B点进入两板间距为d、电压为U的水平放置的平行金属板间，若电子从两块水平平行板的正中间射入，且最后电子刚好能从右侧的两块平行金属板穿出，A、B分别为两块竖直板的中点，求：
图2-3-6
(1)电子通过B点时的速度大小；
(2)右侧平行金属板的长度；
(3)电子穿出右侧平行金属板时的动能．
思路点拨：①加速电场中可用动能定理求末速度．
②偏转电场中电子做类平抛运动，可利用分解思想结合动力学知识和功能关系求解．
[解析] (1)设电子出B孔时速度为v0，由动能定理得eU0＝mv解得v0＝.
(2)竖直方向：d＝at2，a＝＝＝
水平方向：l＝v0t
解得l＝·＝d.
(3)在右侧的平行板中，电子初末位置电势差为，穿出电场时的动能设为Ek，由动能定理得qU＝Ek－mv
所以Ek＝qU＋mv＝e.
[答案] (1) (2)d (3)e
带电粒子加速(偏转)问题的两点注意
(1)要掌握电场力的特点，电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关．在匀强电场中，同一带电粒子所受电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受电场力的大小和方向都可能不同．
(2)是否考虑重力要依据情况而定
基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)．
带电粒子：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确暗示外，一般都不能忽略重力．
[针对训练]
3．如图2-3-7所示，电子在电势差为U1的电场中由静止开始加速运动后，垂直射入电势差为U2的偏转电场，整个装置处于真空中，在满足电子能射出偏转电场的条件下，下列情况中一定能使电子偏移量变大的是( )
图2-3-7
A．U1变大、U2变大 B．U1变小、U2变大
C．U1变大、U2变小 D．U1变小、U2变小
B [电子在加速电场中加速，初速度为零，由动能定理得＝eU1，然后电子进入偏转电场做类平抛运动，在垂直于电场方向上做匀速直线运动，t＝，平行于电场方向做匀加速直线运动，a＝＝，因此，偏移量y＝＝＝，所以y与U1成反比、与U2成正比，选项B正确．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列关于匀强电场中场强和电势差的关系的说法正确的是( )
A．任意两点之间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B．在任何方向上，若两点间距离相等，则它们之间电势差就相等
C．沿着电场线方向，任何相等距离上的电势降落必定相等
D．电势降落的方向必定是电场强度的方向
C [匀强电场中电势差与场强的关系U＝Ed，其中d是两点沿电场线方向的距离，并不是两点间的距离，选项A错误；两点间距离相等，两点沿电场线方向的距离不一定相等，选项B错误；根据公式U＝Ed可得出，沿电场线方向，任何相等距离上的电势降落相等，电势降落最快的方向才是电场强度的方向，选项C正确，D错误．]
2．(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．φA、φB都有正负，所以电势是矢量
B．UAB表示B点与A点之间的电势差，即UAB＝φB－φA
C．UAB和UBA是不同的，它们有关系：UAB＝－UBA
D．零电势点的规定虽然是任意的，但人们常常规定大地或无穷远处为零电势点
CD [电势、电势差都是标量，选项A错误；UAB表示A点与B点之间的电势差，UAB＝－UBA，选项B错误，C正确；易知选项D正确．]
3．一个带负电的质点，带电荷量为2.0×10－9 C，在静电场中由a点移动到b点．在这个过程中，除电场力外，其他外力做的功为6.0×10－5 J，质点的动能减少了8.0×10－5 J，则a、b两点间的电势差Uab为( )
A．1×104 V B．－1×104 V
C．7×104 V D．－7×104 V
C [设电场力做功为W，由动能定理知W＋6.0×10－5 J＝－8.0×10－5 J，可求得W＝－1.4×10－4 J，因此a、b两点间的电势差为Uab＝＝7×104 V，故选项C正确．]
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