3.1.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．
知识点一 两角差的余弦
思考1 cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？
答案 不成立．
思考2 单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么P1，P2的坐标是什么？与的夹角是多少？
答案 P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ).与的夹角是α－β.
思考3 由思考2，体会两角差的余弦公式的推导过程．
答案 在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ )，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β≤π的情况．
设向量a＝＝(cosα，sinα)，
b＝＝(cosβ，sinβ)，
则a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)．
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C(α－β))
梳理 两角差的余弦公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C(α－β))
知识点二 两角和的余弦
思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？
答案 能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinα·sin(－β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ.
梳理 两角和的余弦公式
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(C(α＋β))
特别提醒：(1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．
(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．
1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.( √ )
提示 如α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝，满足cos(α－β)＝cosα－cosβ.
2．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.( × )
提示 由两角差的余弦公式可知不正确．
3．任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( √ )
4．不存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( × )
提示 如α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos0＝1，cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
类型一 给角求值问题
例1 求下列各式的值：
(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；
(2)；
(3)cos15°＋sin15°.
解 (1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°
＝cos(70°－40°)＝cos30°＝.
(2)原式＝＝＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝.
(3)∵cos60°＝，sin60°＝，
∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°
＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.
反思与感悟 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则．如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(2).
解 (1)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)
＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝＝2.
类型二 已知三角函数值求值
例2 已知sinα＝－，sinβ＝，且π＜α＜，＜β＜π，求cos(α－β)．
解 ∵sinα＝－，π＜α＜，
∴cosα＝－＝－.
又∵sinβ＝，＜β＜π，
∴cosβ＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
引申探究
1．若将本例改为已知sinα＝－，sinβ＝，且π＜α＜2π，0＜β＜，求cos(α－β)．
解 ∵sinβ＝，0＜β＜，
∴cosβ＝＝.
又sinα＝－，且π＜α＜2π，
①当π＜α＜时，cosα＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝－；
②当＜α＜2π时，cosα＝＝，
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
综上所述，cos(α－β)＝－或.
2．若将本例改为已知sinα＝－，π＜α＜，＜β＜π，cos(α－β)＝，求sinβ.
解 ∵sinα＝－，且π＜α＜，
∴cosα＝－＝－.
又∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－，
∴0＜α－β＜π.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝，
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)，
＝×＋×＝－，
又∵<β<π，
∴sinβ＝＝.
反思与感悟 (1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．
(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
跟踪训练2 已知＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α的值．
解 因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β＜，又因为cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝×－×＝－.
类型三 已知三角函数值求角
例3 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又∵0<β<，∴β＝.
反思与感悟 求解给值求角问题的一般步骤：
(1)求角的某一个三角函数值．
(2)确定角的范围．
(3)根据角的范围写出所求的角．
跟踪训练3 已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，求α＋β的值．
解 因为α，β为锐角且sinα＝，cosβ＝，
所以cosα＝＝，sinβ＝＝，
所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝，
由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π，
又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.
1．coscos＋cossin＝.
答案
解析 coscos＋cossin
＝coscos＋sinsin＝cos
＝cos＝.
2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝.
答案
解析 a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°
＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.
3．已知cosα＝，且α为第一象限角，则cos
＝.
答案
解析 ∵cosα＝，且α为第一象限角，
∴sinα＝＝＝，
∴cos＝coscosα－sinsinα
＝×－×＝.
4．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则角β＝.
答案
解析 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值．
解 ∵sin(α－β)＝，α－β∈，
∴cos(α－β)＝－.
∵sin(α＋β)＝－，α＋β∈，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．
2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范围(找区间)；
(3)确定角的值．
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
一、填空题
1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为．
答案
解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.
2．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos＝.
答案
解析 由题意可得sinα＝，cosα＝，
cos＝coscosα－sinsinα
＝×－×＝.
3．cos263°cos203°＋sin83°sin23°的值为．
答案
解析 ∵cos263°＝cos(180°＋83°)＝－cos83°，cos203°＝cos(180°＋23°)＝－cos23°，
∴原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝.
4．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为．
答案
解析 ∵α，β∈，
∴α－β∈，2α∈(0，π)，
∴sin(α－β)＝－，sin2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
5．若x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则x的值是．
答案
解析 由已知得，coscos－sinsin
＝cosx＝0.
∵x∈[0，π]，∴x＝.
6．计算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值为．
答案
解析 sin7°cos23°＋sin83°cos67°
＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°
＝cos(83°－23°)＝cos60°＝.
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝.
答案
解析 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝.
则
得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝.
tanαtanβ＝＝.
8．已知cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则sinβ＝.
答案 －
解析 cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα
＝cos[(α－β)－α]＝m，
即cosβ＝m.
又∵β为第三象限角，
∴sinβ＝－＝－.
9．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cosA，2sinA)，b＝(3cosB,3sinB)．若a，b的夹角的弧度数为，则A－B＝.
答案 ±
解析 cos＝＝
＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)．
又－＜A－B＜，
∴A－B＝±.
10．已知sinα＝，α∈，则cos的值为．
答案
11．已知cosα＝，cos(α－β)＝－，<α<2π，<α－β<π，则cosβ＝.
答案 －1
解析 由条件知sinα＝－，sin(α－β)＝，
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－－＝－1.
二、解答题
12．已知α，β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．
解 ∵α，β∈，
∴cosα＝，sinβ＝.
∵sinα
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝，
∴α－β＝－.
13．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
解 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
三、探究与拓展
14．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是．
答案 －
解析 sinα＋sinβ＝－sinγ，①
cosα＋cosβ＝－cosγ，②
①2＋②2?2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1
?cos(α－β)＝－.
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
解 (1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝.
(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝.
3.1.2 两角和与差的正弦
学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．
知识点 两角和与差的正弦
思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？
答案 sin(α＋β)＝cos
＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
思考2 如何推导两角差的正弦呢？
答案 可以由sin(α－β)＝cos
＝cos得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．
梳理 (1)两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
α，β∈R
记忆口诀：“正余余正，符号相同”．
(2)辅助角公式
asinx＋bcosx＝，
令cosφ＝，sinφ＝，则有asinx＋bcosx＝(cosφsinx＋sinφcosx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ为辅助角．
1.任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.( √ )
提示 由两角和的正弦公式知结论正确．
2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.( × )
提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.
3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.( √ )
提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sinαcosβ－cosαsinβ＝0.
类型一 给角求值
例1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·
sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝.
(2)＝.
答案
解析 原式＝
＝
＝＝sin30°＝.
反思与感悟 (1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．
跟踪训练1 计算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．
解 (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°
＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
类型二 给值求值
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．
解 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－，
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
类型三 辅助角公式
例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sinx－cosx；
(2)sin＋cos.
解 (1)sinx－cosx＝2
＝2
＝2sin.
(2)原式＝
＝
＝cos＝cos
＝sin.
反思与感悟 一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．
跟踪训练3 sin－cos＝.
答案 －
解析 原式＝2.
方法一 原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
方法二 原式＝2
＝－2
＝－2cos＝－2cos ＝－.
例4 已知函数f(x)＝2sin－2cosx，x∈，求函数f(x)的值域．
解 f(x)＝2sin－2cosx＝sinx－cosx
＝2sin，因为≤x≤π，所以≤x－≤.
所以≤sin≤1.
所以函数f(x)的值域为[1,2]．
反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数，
即asinx＋bcosx＝sin(x±φ)的形式．
(2)根据三角函数的单调性求其值域．
跟踪训练4 (1)当函数y＝sinx－cosx(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝；
(2)函数f(x)＝sinx－cos的值域为．
答案 (1) (2)[－，]
解析 (1)y＝2sin，
∵0≤x≤2π，
∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
(2)f(x)＝sinx－cosx＋sinx
＝sinx－cosx＝sin，
∴f(x)∈[－，].
1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果为．
答案
解析 原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.
2．化简：cos＋sin＝.
答案 cosα
解析 cos＋sin
＝sin＋sin＝2sincosα＝cosα.
3．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝.
答案
解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.
4．计算cos＋sin的值是．
答案 2
解析 cos＋sin
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝2.
5．化简：sincos－cos·sin.
解 原式＝sincos－sin·
cos＝sin
＝sin＝sincos－cossin
＝×－×＝.
1．公式的推导和记忆
(1)理顺公式间的逻辑关系
C(α－β)C(α＋β)S(α＋β)S(α－β)．
(2)注意公式的结构特征和符号规律
对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；
对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，角α，β的“地位”不同也要特别注意．
2．应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin90°，＝cos60°，＝sin60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
一、填空题
1．已知α∈，sin＝，则sinα＝.
答案
解析 由α∈，得<α＋<，
所以cos＝－
＝－＝－.
所以sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×＝.
2．sin10°cos20°＋sin80°sin20°＝.
答案
解析 sin10°cos20°＋sin80°sin20°
＝sin10°cos20°＋cos10°sin20°
＝sin(10°＋20°)＝sin30°＝.
3．sin15°＋sin75°的值是．
答案
解析 sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)
＝2sin45°cos30°＝.
4．已知cos＝sin，则tanα＝.
答案 1
5．已知0<α<<β<π，又sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝.
答案
解析 ∵0<α<<β<π，sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosα＝，sin(α＋β)＝或－.
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝或0.
∵<β<π，∴sinβ＝.
6．设α为锐角，若cos＝，则sin＝.
答案
解析 因为α为锐角，所以＜α＋＜.
又cos＝，所以sin＝，
所以sin＝sin
＝sincos－cos·sin
＝×－×＝.
7．已知cos＋sinα＝，则sin的值为．
答案 －
解析 ∵cos＋sinα＝，
∴cosαcos＋sinαsin＋sinα＝，
∴cosα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，
∴sin＝.
∴sin＝－sin＝－.
8．在△ABC中，A＝，cosB＝，则sinC＝.
答案
解析 sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝(cosB＋)
＝×＝.
9．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为．
答案 1
解析 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]
＝sinx，所以f(x)的最大值为1.
10．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝.
答案
解析 由题意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，
∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝＝.
又由cosα＝，得sinα＝.
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，
又∵0<β<，
∴β＝.
11.＝.
答案 1
解析 原式＝
＝
＝tan45°＝1.
二、解答题
12．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
解 ∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝，
∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝×＋×＝.
又∵β为锐角，∴β＝.
13．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝，
∴sinβ＝－，又β是第三象限角，
∴cosβ＝－＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝×＋×
＝－.
三、探究与拓展
14．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若·＝－1，则sin＝.
答案
解析 ∵＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
∴·＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)
＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα
＝1－3(sinα＋cosα)
＝1－3
＝1－3sin＝－1，
∴sin＝.
15．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解 (1)由f＝Asin
＝Asin＝A·＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sinθ＝.
因为θ∈，所以cosθ＝，
所以f(－θ)＝3sin
＝3sin＝3cosθ＝.
3.1.3 两角和与差的正切
学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点一 两角和与差的正切公式
思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
答案 tan(α＋β)＝＝，
分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？
答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．
梳理
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和
的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差
的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
知识点二 两角和与差的正切公式的变形
1．T(α＋β)的变形
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tanαtanβ＝1－.
2．T(α－β)的变形
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．
tanαtanβ＝－1.
1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝.( × )
提示 公式成立需α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )
提示 还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.
3．若α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)恒成立．( √ )
4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.( √ )
类型一 正切公式的正用
例1 (1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为．
答案 3
解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝3.
(2)已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝.
答案
解析 因为tan α＝，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α，β均为锐角，
所以α＋β∈(0，π)，
所以α＋β＝.
反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角．
(2)利用公式T(α＋β)求角的步骤：
①计算待求角的正切值．
②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
③根据角的范围及三角函数值确定角．
跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝.
答案 －
解析 由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－
＝－.
类型二 正切公式的逆用
例2 (1)＝；
(2)＝.
答案 (1) (2)－1
解析 (1)原式＝＝tan(45°＋15°)
＝tan60°＝.
(2)原式＝＝
＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.
反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．
跟踪训练2 求下列各式的值：
(1)；(2).
解 (1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝＝＝.
类型三 正切公式的变形使用
例3 (1)化简：tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．
解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
方法二 ∵tan(23°＋37°)＝，
∴＝，
∴－tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，
∴α＋β＝60°.
反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)或②1?tan α·tan β＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．
跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠，且tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则角C的值为．
答案
解析 ∵tan A＋tan B＋＝tan AtanB?tan(A＋B)·(1－tan AtanB)＝(tan AtanB－1)．(*)
若1－tan AtanB＝0，则cosAcosB－sin AsinB＝0，
即cos(A＋B)＝0.
∵0∴由(*)得tan(A＋B)＝－，即tan C＝.
又∵01．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝.
答案
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．已知cosα＝－，且α∈，则tan＝.
答案 7
解析 由cosα＝－，且α∈，得sin α＝，
所以tan α＝＝－，
所以tan＝＝＝7.
3．已知tanα＝，则＝.
答案
解析 方法一 因为tanα＝，
所以tan＝＝＝3，
所以＝＝.
方法二 ＝
＝tan＝tanα＝.
4．已知A，B都是锐角，且tanA＝，sinB＝，则A＋B＝.
答案
解析 ∵B为锐角，sinB＝，∴cosB＝，
∴tanB＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又∵05．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝.
答案
解析 由条件知＝＝3，则tan α＝2.
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝
＝＝.
1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律
(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．
(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．应用公式T(α±β)时要注意的问题
(1)公式的适用范围
由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等．
特别要注意tan＝，
tan＝.
(3)公式的变形用
只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．
特别提醒：tanα＋tanβ，tanαtanβ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．
一、填空题
1．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝.
答案
解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝＝.
2.＝.
答案
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
3．若tan28°tan32°＝a，则tan28°＋tan32°＝.
答案 (1－a)
解析 ∵tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan28°＋tan32°＝(1－a)．
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan的值为．
答案
解析 因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan＝＝＝.
5.＝.
答案
解析 原式＝－＝
＝＝＝.
6．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝.
答案
解析 因为tan(α＋β)＝，
所以1－tanαtanβ＝＝＝，
所以tanα·tanβ＝1－＝.
7．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝.
答案
解析 由a·b＝2cosα－sinα＝0，得tanα＝2.
tan＝＝＝.
8．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝.
答案 1
解析 ∵tanβ＝＝，
∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα，
∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，
又α，β均为锐角，∴tanα＋tanβ＝1－tanα＋tanβ≠0，
∴＝1，
∴tan(α＋β)＝1.
9．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的最小正值为．
答案
解析 ∵(tan α－1)(tan β－1)＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtanβ－1，
∴tan(α＋β)＝－1.
∴α＋β＝－＋kπ，k∈Z.
∴α＋β的最小正值为π.
10．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，则B＝.
答案 60°
解析 由公式变形得
tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)
＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)
＝－tanC(1－tanAtanB)
＝－tanC＋tanAtanBtanC.
∴tanA＋tanB＋tanC
＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC
＝tanAtanBtanC＝3.
又∵tan2B＝tanAtanC，
∴tan3B＝3，
∴tanB＝，又∵B是三角形的内角，∴B＝60°.
11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝.
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝＝，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝＝＝.
12．若α，β均为锐角，tanα＝(1＋m)，(tanαtanβ＋m)＋tanβ＝0，则α＋β＝.
答案
解析 由已知得tanα＝＋m，①
tanβ＝－tanαtanβ－m，②
①＋②得tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，
∵＝tan(α＋β)＝，
∴0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α＋β＜π，
∴α＋β＝.
二、解答题
13．已知tan＝，tan＝2，求：
(1)tan的值；(2)tan(α＋β)的值．
解 (1)tan＝tan
＝＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝＝＝2－3.
三、探究与拓展
14．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0两根，则＝.
答案 －
解析 由题意得tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3.
＝
＝＝＝－.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解 由条件得cosα＝，cosβ＝.
∵α，β为锐角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.
∴tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
又∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
第1课时 二倍角的三角函数
学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点 二倍角公式
思考1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？
答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα
＝2sinαcosα；
cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan(α＋α)＝.
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？
答案 cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；
或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.梳理 (1)倍角公式
①sin2α＝2sinαcosα.(S2α)
②cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α
＝2cos2α－1.(C2α)
③tan2α＝.(T2α)
(2)二倍角公式的重要变形——升幂公式
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，
1＋cosα＝2cos2,1－cosα＝2sin2.
1．sinα＝2sincos.( √ )
2．cos4α＝cos22α－sin22α.( √ )
3．对任意角α，tan2α＝.( × )
提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义．
类型一 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cos72°cos36°；(2)－cos215°；(3)；(4)－.
解 (1)cos36°cos72°＝
＝＝＝＝.
(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－.
(3)＝2·＝2·＝－2.
(4)－＝
＝
＝＝＝4.
反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)coscoscos；(2)＋.
解 (1)原式＝
＝＝
＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝＝4.
类型二 给值求值
例2 已知tanα＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
解 (1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢．
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)一个重要结论：(sin θ±cosθ)2＝1±sin 2θ.
跟踪训练2 若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝.
答案
解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
类型三 利用倍角公式化简
例3 化简.
解 方法一 原式＝
＝＝
＝＝1.
方法二 原式＝
＝
＝＝＝1.
反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：
①能求出值的应求出值．
②使三角函数种数尽量少．
③使三角函数式中的项数尽量少．
④尽量使分母不含有三角函数．
⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简的方法：
①弦切互化，异名化同名，异角化同角．
②降幂或升幂．
③一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.
跟踪训练3 化简：＜α＜，则＝.
答案 sinα－cosα
解析 ∵α∈，∴sinα＞cosα，
∴＝
＝
＝＝sinα－cosα.
1.sincos的值为．
答案
解析 原式＝sin＝.
2．sin4－cos4＝.
答案 －
解析 原式＝·
＝－＝－cos＝－.
3.＝.
答案 1－
解析 ＝·
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝×＝1－.
4．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是．
答案
解析 ∵sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈，
∴sinα≠0,2cosα＋1＝0即cosα＝－，sinα＝，tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝.
5．化简：－.
解 原式＝＝＝tan2θ.
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos2α＝2sin2α；④sin2α＝.
一、填空题
1．2sin222.5°－1＝.
答案 －
解析 原式＝－cos45°＝－.
2．已知α是第三象限角，cosα＝－，则sin2α＝.
答案
解析 由α是第三象限角，且cosα＝－，
得sin α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcosα＝2××＝.
3．sin6°sin42°sin66°sin78°＝.
答案
解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°
＝
＝＝＝.
4．若tanθ＝－，则cos2θ＝.
答案
解析 tanθ＝－，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝.
5．如果|cosθ|＝，<θ<3π，则sin的值是．
答案 －
解析 ∵<θ<3π，|cosθ|＝，
∴cosθ<0，cosθ＝－.
∴sin2＝＝，
又∵<<，∴sin<0.
∴sin＝－.
6．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝.
答案 －
解析 由cosx＝，x∈，得sinx＝－，
所以tanx＝－，
所以tan2x＝＝＝－.
7．已知sin2α＝，则cos2＝.
答案
解析 因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝.
8．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝.
答案 －
解析 由题意得(sin α＋cosα)2＝，
∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.
∵α为第二象限角，∴cosα<0，sin α>0，cosα－sin α<0.
又∵sin α＋cosα>0，
∴|cosα|<|sin α|，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，
∴cos 2α＝－
＝－＝－＝－.
9．若cos＝，则sin2α＝.
答案 －
解析 因为sin2α＝cos＝2cos2－1，
又因为cos＝，所以sin2α＝2×－1＝－.
10．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝，则tan2α＝.
答案
解析 cosα＝＝，
∴x2＝9，x＝±3.
又∵α是第二象限角，∴x＝－3，
∴cosα＝－，sin α＝，
∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝＝.
11．已知tanx＝2，则tan2＝.
答案
12．若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为．
答案 0
解析 由tan α＋＝，得tan α＝或tan α＝3.
又∵α∈，∴tan α＝3.
∴sin α＝，cosα＝ .
∴sin＋2cos cos2α
＝sin 2αcos＋cos 2αsin ＋2cos cos2α
＝×2sin αcosα＋(2cos2α－1)＋cos2α
＝sin αcosα＋2cos2α－
＝××＋2×2－
＝－＝0.
二、解答题
13．已知角α在第一象限且cosα＝，求的值．
解 ∵cosα＝且α在第一象限，∴sinα＝.
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin2α＝2sinαcosα＝，
∴原式＝
＝＝.
三、探究与拓展
14．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为．
答案
解析 设A是等腰△ABC的顶角，
则cosB＝，sinB＝＝＝.
所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B
＝2sinBcosB＝2××＝.
15．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈，
求sinα及tanα的值．
解 由题意得sin22α＋sin2αcosα＝1＋cos2α＝2cos2α，
所以2sin2αcos2α＋sinαcos2α－cos2α＝0.
因为α∈，所以cosα≠0，
所以2sin2α＋sinα－1＝0，即(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.
因为sinα＋1≠0，所以2sinα－1＝0，所以sinα＝.
因为0＜α＜，所以α＝，所以tanα＝.
第2课时 二倍角的三角函数的应用
学习目标 1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换．
知识点 降幂公式
思考 如何用cosα表示sin2，cos2？
答案 ∵cosα＝2cos2－1＝1－2sin2，
∴sin2＝，cos2＝.
梳理 降幂公式
(1)sin2＝.
(2)cos2＝.
(3)tan2＝.
类型一 化简求值
例1 (1)化简cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ；
(2)已知π＜α＜，化简：
＋.
解 (1)cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos2θ
＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1.
(2)∵π＜α＜，∴＜＜，
原式＝＋
＝－＋
＝－cos.
跟踪训练1 (1)化简sin2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋cos2θ；
(2)求证：tan2x＋＝.
(1)解 原式＝＋＋cos2θ
＝1－[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋cos2θ
＝1－(2cos2θcos30°)＋cos2θ
＝1－cos2θ＋cos2θ＝1.
(2)证明 ∵左边＝＋
＝＝
＝＝
＝
＝＝右边，
∴等式成立．
类型二 与三角函数性质有关的问题
例2 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解 (1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，得f(x)＝－
＝－cos2x
＝sin2x－cos2x＝
＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
类型三 三角函数在实际问题中的应用
例3 点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP面积最大？
解 如图所示，∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，AB＝1，
PA＝cosα，PB＝sinα.
又PT切圆于P点，
∠TPB＝∠PAB＝α，
作BC⊥PT于点C.
∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝PA·PB＋PT·BC
＝PA·PB＋PT·PB·sinα
＝sinαcosα＋sin2α
＝sin2α＋(1－cos2α)
＝(sin2α－cos2α)＋
＝sin＋.
∵0<α<，∴－<2α－<，
∴当2α－＝，即α＝时，S四边形ABTP最大．
反思与感悟 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．
跟踪训练3 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解 在直角三角形OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.
在直角三角形OAD中，＝tan＝.
∴OA＝DA＝BC＝sinα，
∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sinα
＝sinαcosα－sin2α＝sin2α－(1－cos2α)
＝sin2α＋cos2α－
＝－＝sin－.
∵0<α<，∴<2α＋<，
∴当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝.
∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
1．已知tan＝3，则cosθ＝________.
答案 －
解析 cosθ＝
＝＝＝－.
2．若cosα＝，且α∈(0，π)，则sin的值为________．
答案
解析 ∵α∈(0，π)，∴∈，
∴sin＝＝＝.
3．函数y＝1＋4cos2x的单调增区间是______________．
答案 (k∈Z)
解析 y＝1＋4cos2x＝2cos2x＋3，
由－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴该函数单调增区间为(k∈Z)．
4．若＝，则tan2α＝________.
答案 －
解析 ∵＝＝＝，
∴tanα＝2，
∴tan2α＝＝＝－.
5．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是________．
答案
解析 f(x)＝＋sin2x＝sin＋，
∵x∈，∴2x－∈，
∵sin∈，∴f(x)max＝1＋＝.
1．二倍角余弦公式的变形可用来降幂，应灵活掌握：sin2α＝，cos2α＝.
2．解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．
3．对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理，由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．
一、填空题
1.＝________.
答案 2
解析 ＝＝＝2.
2．若cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________.
答案
解析 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.
3．设sin＝，则sin2θ＝________.
答案 －
解析 sin2θ＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－.
4．已知tan＝，则＝________.
答案
解析 ＝＝＝tan＝.
5．求值：－＝________.
答案 4
解析 原式＝
＝＝＝4.
6．若α为第三象限角，则－＝______.
答案 0
解析 ∵α为第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，
∴－＝－
＝－＝0.
7．已知5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin＝________.
答案 －
解析 ∵θ∈(5π，6π)，∴∈.
又sin2＝，cos＝a，
∴sin＝－＝－.
8．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
答案
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝，所以cos2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2＝＋＝.
9．化简：cos2－sin2＝________.
答案 cosx
解析 原式＝－
＝
＝
＝＝cosx.
10．已知α为锐角，且sinα＝，则tan＝________________.
答案 －7
解析 因为α为锐角，且sinα＝，所以cosα＝，
所以tanα＝2，所以tan2α＝＝＝－，
故tan＝＝＝－7.
二、解答题
11．已知α为第三象限角，且cos>0，tanα＝3，求tan的值．
解 ∵tanα＝3，∴＝3，
即3tan2＋2tan－3＝0，
∴tan＝－＋或tan＝－－.
∵cos>0，α为第三象限角，∴为第四象限角，
∴tan<0，∴tan＝－－.
12．已知函数f(x)＝2cosxsinx＋2cos2x.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解 (1)因为f(x)＝sin2x＋2cos2x
＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin＋1，所以f＝2sin＋1
＝2sin＋1＝2sin＋1＝2sin＋1＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin＋1，
因为x∈，所以2x＋∈，
所以－≤sin≤1，
所以0≤2sin＋1≤3，即f(x)的值域是[0,3]．
13．已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．
解 (1)∵f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－＝cos2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)有最大值.
此时x的取值集合为.
§3.3 几个三角恒等式
学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．
知识点一 积化和差与和差化积公式
思考1 如何用sin(α＋β)，sin(α－β)表示sinαcosβ和cosαsinβ？
答案 ∵
∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
同理得cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
思考2 若α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用θ，φ表示α，β？
答案 α＝，β＝.
梳理 (1)积化和差公式
sin αcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cosαsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sincos.
sinα－sinβ＝2cossin.
cosα＋cosβ＝2coscos.
cosα－cosβ＝－2sinsin.
知识点二 万能代换公式
思考 结合前面所学倍角公式，能否用tan表示sinα？
答案 sinα＝2sincos＝
＝，即sinα＝.
梳理 万能公式
(1)sinα＝.
(2)cosα＝.
(3)tanα＝.
知识点三 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换α，结果怎样？
答案 结果是cosα＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.
思考2 根据上述结果，试用sinα，cosα表示sin，cos，tan.
答案 ∵cos2＝，∴cos＝±，
同理sin＝±，∴tan＝＝±.
思考3 利用tanα＝和倍角公式又能得到tan与sinα，cosα怎样的关系？
答案 tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
梳理 半角公式
(1)sin＝±.
(2)cos＝±.
(3)tan＝±＝＝.
特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定．
(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是α的半角，而α是2α的半角．
1．若α≠kπ，k∈Z，则tan＝＝恒成立．( √ )
2．cosαsinβ＝.( × )
类型一 积化和差与和差化积公式
例1 求下列各式的值．
(1)sin37.5°cos7.5°；
(2)sin20°·sin40°·sin80°；
(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°.
解 (1)sin37.5°cos7.5°
＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin45°＋sin30°)＝.
(2)sin20°·sin40°·sin80°
＝－[cos 60°－cos(－20°)]·sin80°
＝－sin80°＋sin80°cos20°
＝－sin80°＋×(sin100°＋sin60°)
＝－sin80°＋sin80°＋＝.
(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°
＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)]
＝－sin50°－＋cos40°＝.
反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应用sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差．
跟踪训练1 化简：4sin(60°－θ)·sinθ·sin(60°＋θ)．
解 原式＝－2sinθ·[cos 120°－cos(－2θ)]
＝－2sinθ
＝sinθ＋2sinθcos2θ＝sinθ＋sin3θ－sinθ
＝sin3θ.
例2 已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求sin(α＋β)的值．
解 因为cosα－cosβ＝，
所以－2sinsin＝.①
又因为sinα－sinβ＝－，
所以2cossin＝－.②
因为sin≠0，所以由①②得－tan＝－，
即tan＝.
所以sin(α＋β)＝
＝＝＝.
反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要的作用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式，如果是一正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化成积的形式．
跟踪训练2 求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值．
解 方法一 原式＝(1－cos40°)＋(1＋cos100°)＋sin20°·cos50°
＝1＋(cos100°－cos40°)＋(sin70°－sin30°)
＝－sin70°·sin30°＋sin70°＝.
方法二 原式＝(sin20°＋cos50°)2－sin20°·cos50°
＝(2sin30°·cos10°)2－(sin70°－sin30°)
＝cos210°－cos20°＋
＝－cos20°＋＝.
类型二 利用万能公式化简求值
例3 (1)已知cosθ＝－，并且180°＜θ＜270°，求tan的值；
(2)已知＝－5，求3cos2θ＋4sin2θ的值．
解 (1)∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜＜135°，∴tan＜0.
∵cosθ＝＝－，
∴tan2＝4，∴tan＝－2.
(2)∵＝－5，
∴＝－5，∴tanθ＝2.
又cos2θ＝＝－，sin2θ＝＝，
∴3cos2θ＋4sin2θ＝－＋＝.
反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可以表示为“单角”的正切的有理式的形式．
(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．
跟踪训练3 已知tan＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．
解 ∵tan＝3，∴＝3，∴tanθ＝.
sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1
＝－－1
＝－－1＝－.
类型三 三角恒等式的证明
例4 求证：＝.
证明 要证原式，可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，∴原等式成立．
反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
跟踪训练4 证明：＝tan＋.
证明 ∵左边＝＝
＝＝
＝tan＋＝右边，
∴原等式成立.
1．若cosα＝，α∈(0，π)，则cos的值为________．
答案
解析 由题意知∈，∴cos>0，cos＝＝.
2．已知α－β＝，且cosα＋cosβ＝，则cos(α＋β)＝________________________.
答案 －
解析 cosα＋cosβ＝2coscos＝2coscos＝cos＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
3．已知sin－cos＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.
答案 2
解析 对已知等式两边平方，得sinα＝，又450°＜α＜540°，∴cosα＝－，∴tanα＝－，
又tanα＝，且∈(225°，270°)，∴tan＝2.
4．化简：(0＜α＜π)．
解 ∵tan＝，∴(1＋cosα)tan＝sinα.
又∵cos＝－sinα，且1－cosα＝2sin2，
∴原式＝＝＝－.
∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴sin＞0.
∴原式＝－2cos.
1．本节重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式特征．同时要理解公式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．
2．三角恒等式的证明类型
(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式：条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法．
一、填空题
1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝________.
答案 －
解析 ∵α是第三象限角，cosα＝－，
∴sin α＝－，tan ＝＝＝－3.
原式＝＝－.
2．已知2sinx＝1＋cosx，则tan＝________.
答案
解析 由2sinx＝1＋cosx，得＝＝＝tan.
3．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若cosB＋cosC＝sinB＋sinC，则△ABC为________三角形．(填三角形的形状)
答案 直角
解析 由cosB＋cosC＝sinB＋sinC，得
2coscos＝2sincos，
两边同除以2cos，得sin＝cos，
即tan＝1，∵0＜B＋C＜π，∴0＜＜，
∴＝，即B＋C＝，∴A＝，
∴△ABC为直角三角形．
4．若π＜α＜2π，则＝________.
答案 －cos
解析 ∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos＜0，
原式＝＝＝－cos.
5．若tanθ＝3，则sin2θ－cos2θ的值是________．
答案
解析 因为tanθ＝3，所以sin2θ＝＝＝，cos2θ＝＝＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－＝.
6．若tanθ＋＝m，则sin2θ＝________.
答案
解析 因为tanθ＋＝m，即＝m，
所以sin2θ＝＝.
7．已知sinθ＝，cosθ＝，则tan＝________.
答案 5
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8，当m＝0时，sinθ＜0，不符合＜θ＜π.
∴m＝0舍去，故m＝8，sinθ＝，cosθ＝－，
tan＝＝＝5.
8．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.
答案 －m
解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.
9．函数f(x)＝sinx的最小正周期是________．
答案 2π
解析 f(x)＝sinx·
＝sinx·＝sinx·
＝＝tanx.
因为函数f(x)的定义域为，
即x≠kπ＋且x≠2kπ＋π，k∈Z.显然有f(0)＝0，
而f(π)无意义，所以T＝2π.
10．已知α，β为锐角，且α－β＝，则sinαsinβ的取值范围是________．
答案
解析 ∵α－β＝，
∴sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
＝－＝－.
∵α，β为锐角，且α－β＝，
∴0＜＋β＜，即0＜β＜，∴＜2β＋＜，
∴－＜cos＜，
∴0＜－＜，
∴sinαsinβ的取值范围为.
11．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cosβ－sinβ·cos(α＋β)＝－，则tan＝________.
答案 －5
解析 ∵sin(α＋β)cosβ－sin βcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－，
又∵α是第三象限角，∴cosα＝－.
∴tan ＝＝＝－5.
二、解答题
12．求证：tan－tan＝.
证明 ∵左边＝tan －tan ＝－
＝＝
＝＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
13．已知在△ABC中，A＞C，且B＝60°，能否利用log4sinA＋log4sinC＝－1求出A和C的大小？若能，请求出；若不能，请说明理由．
解 ∵在△ABC中，A＞C，B＝60°，
∴A＋C＝120°.①
∵log4sinA＋log4sinC＝－1，∴sinAsinC＝.
∵sinAsinC＝[cos(A－C)－cos(A＋C)]，
∴[cos(A－C)－cos(A＋C)]＝，
∴cos(A－C)＝＋cos(A＋C)＝＋cos120°＝0.
又∵0°＜A－C＜180°，
∴A－C＝90°. ②
由①②，得A＝105°，C＝15°.
第3章 三角恒等变换
1 三角恒等变换中角的变换的技巧
三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧．
一、利用条件中的角表示目标中的角
例1 设α，β为锐角，且满足cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
分析 利用变换β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系．
解 ∵α，β为锐角，且tan(α－β)＝－<0，
∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－，
cos(α－β)＝＝，
sinα＝＝.
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝.
二、利用目标中的角表示条件中的角
例2 设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝_________________________.
分析 要求tan2α的值，注意到sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα，代入到＝，首先求出cos2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan2α.
解析 由＝
＝＝2cos2α＋cos2α＝.
∵2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝.∴cos2α＝.
∵α为第四象限的角，
∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，
∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，
∴2α可能在第三、四象限，又∵cos2α＝，
∴2α在第四象限，∴sin2α＝－，tan2α＝－.
答案 －
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角
例3 已知sin＝，0分析 转化为已知一个角的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现这个角的三角函数．
解 原式＝＝
＝2sin＝2cos，
∵sin＝，且0∴cos＝＝，
∴原式＝2×＝.
四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角
例4 求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos(x＋40°)的最大值．
分析 观察角(x＋40°)－(x－20°)＝60°，可以把x＋40°看成(x－20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f(x)．
解 f(x)＝sin(x－20°)－cos[(x－20°)＋60°]
＝sin(x－20°)－sin(x－20°)－cos(x－20°)cos60°＋sin(x－20°)sin60°
＝[sin(x－20°)－cos(x－20°)]＝sin(x－65°)，
当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.
2 三角函数化简求值的“主角”
三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招：
第一招 单角化复角
例1已知sinα＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________．
解析 因为sin α＝，α为第二象限的角，
所以cos α＝－，所以tan α＝－.
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝＝＝－.
答案 －
点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式，如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
第二招 复角化单角
例2化简：－2cos(α＋β)．
解 原式＝
＝
＝＝＝.
点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和的正弦或余弦公式展开即可．
第三招 复角化复角
例3已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解 因为<α<，<＋α<π，
所以sin＝＝.
又因为0<β<，<＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－＝.
点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较烦琐，故需要找到α＋β与＋α和＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.
3 三角恒等变换的几个技巧
有关三角的题目是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助．
一、灵活降幂
例1＝________.
解析 ＝＝＝2.
答案 2
点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ，等等．
二、化平方式
例2化简求值：.
解 因为α∈，所以∈，所以cos α>0，
sin>0，故原式＝＝＝＝sin.
点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α，1－cos 2α，1＋sin 2α，1－sin 2α常常化为平方式：2cos2α，2sin2α，(sin α＋cos α)2，(sin α－cos α)2.
三、灵活变角
例3已知sin＝，则cos＝________.
解析 cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝2×2－1＝－.
答案 －
点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余．
四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4已知tanθ＝－，则的值是________．
解析 ＝
＝＝＝＝3.
答案 3
点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比．
五、分子、分母同乘以2nsinα求cosαcos2αcos4α·cos8α…cos2n－1α的值
例5求值：sin10°sin30°sin50°sin70°.
解 原式＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝＝
＝＝·＝.
点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.
4 聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求解
例1 求函数f(x)＝的最值．
解 原函数变形得：f(x)＝
＝＝
＝sin2x＋.∴f(x)max＝，f(x)min＝.
例2 求函数y＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合．
解 原函数化简得：y＝sin2x＋2cos2x＋1＝sin2x＋1＋cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋2
＝sin＋2.当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋，k∈Z时，ymin＝2－.
此时x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
点评 形如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx＋d(a，b，c，d为常数)的式子，都能转化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值．
二、利用正弦、余弦函数的有界性求解
例3 求函数y＝的值域．
解 原函数整理得：sinx＝.
∵|sinx|≤1，∴≤1，解出y≤或y≥3.
例4 求函数y＝的值域．
解 原函数整理得：sinx－ycosx＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝－4y－3，
∴sin(x＋φ)＝.
∵|sin(x＋φ)|≤1，解不等式≤1得：
≤y≤.
点评 对于形如y＝或y＝的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x的函数y＝cos2x－2acosx－2a的最小值为f(a)，写出f(a)的表达式．
解 y＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)＝22－.
当<－1，即a<－2时，f(a)＝ymin＝1，此时cosx＝－1.
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(a)＝ymin＝－－2a－1，此时cosx＝.
当>1，即a>2时，f(a)＝ymin＝1－4a，此时cosx＝1.
综上所述，f(a)＝
点评 形如y＝acos2x＋bcosx＋c的三角函数可转化为二次函数y＝at2＋bt＋c在区间[－1,1]上的最值问题解决．
例6 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最值．
解 设sinx＋cosx＝t，t∈[－， ]，则2sinxcosx＝t2－1，原函数变为y＝t2＋t＋1，t∈[－， ]，当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋.
点评 一般地，既含sinx＋cosx(或sinx－cosx)又含sinxcosx的三角函数采用换元法可以转化为t的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝(t2－1)；sinx－cosx＝t，则sinxcosx＝(1－t2)．
四、利用函数的单调性求解
例7 求函数y＝的最值．
解 y＝＝
＝(sinx＋2)－，
令t＝sinx＋2，则t∈[1,3]，y＝t－.
利用函数单调性的定义可证函数y＝t－在[1,3]上为增函数．
故当t＝1即sinx＝－1时，ymin＝0；
当t＝3即sinx＝1时，ymax＝.
例8 在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB＝a，∠ABC＝θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q.求的最小值．
解 AC＝atanθ，P＝AB·AC＝a2tanθ.设正方形边长为x，AG＝xcosθ，BC＝.
BC边上的高h＝asinθ，∵＝，
即＝，∴x＝，
∴Q＝x2＝.
从而＝·
＝＝1＋.
设t＝sin2θ(0∵函数y＝＋在区间(0,1]上是单调减函数，
∴当sin2θ＝1时，min＝.
点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决．
5 行百里者半九十
——《三角恒等变换》一章易错问题盘点
一、求角时选择三角函数类型不当而致错
例1 已知sinα＝，sinβ＝，α和β都是锐角，求α＋β的值．
[错解] 因为α和β都是锐角，且sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝，cosβ＝，
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×＋×＝.
因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝或.
[剖析] 由sinα＝，sinβ＝，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值．
[正解] 因为α和β都是锐角，且sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝，cosβ＝，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.因为α，β∈，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
温馨点评 根据条件求角，主要有两步：(1(求角的某种三角函数值；(2(确定角的范围，从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数，且确定范围要尽量缩小.
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例2 已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
[错解] 由题意知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π，
∴α＋β＝或α＋β＝.
[剖析] 由①②知tanα<0，tanβ<0.角α，β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．
[正解] 由
可知tanα<0，tanβ<0.∵α，β∈(0，π)，
∴<α<π，<β<π.∴π<α＋β<2π.
又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝.
温馨点评 在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大.解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误.
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例3 在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cosC.
[错解] 由sinA＝，得cosA＝±，
由cosB＝，得sinB＝，当cosA＝时，
cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝.
当cosA＝－时，
cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝.
[剖析] 在△ABC中，三个内角A，B，C的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cosA＝±后，没有对cosA＝－这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．
[正解] 由cosB＝>0，∴B∈，且sinB＝.
由sinA＝，得cosA＝±，
当cosA＝－时，cosA<－.∴A>.
∵sinB＝>，B∈，∴B>.
故当cosA＝－时，A＋B>π，与A，B是△ABC的内角矛盾．
∴cosA＝，
cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝.
温馨点评 涉及三角形中的内角问题时，一定要注意内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件.尤其是由内角正弦值确定角的大小时，要防止增解出现.
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4 判断函数f(x)＝的奇偶性．
[错解] f(x)＝
＝
＝＝tan，
由此得f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，
因此函数f(x)为奇函数．
[剖析] 运用公式后所得函数f(x)＝tan的定义域为.两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错．
[正解] 事实上，由1＋sinx＋cosx≠0可得
sinx＋cosx≠－1，
即sin≠－1，从而sin≠－，
所以x＋≠2kπ＋且x＋≠2kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域是
，
显然该定义域不关于原点对称．
因此，函数f(x)为非奇非偶函数．
温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数．上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错．
五、误用公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)而致错
例5 若函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，x∈R是偶函数，求θ的值．
[错解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)，
∴f(0)＝sinθ＋cosθ＝sin.
∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数．
∴|f(0)|＝f(x)max＝.∴f(0)＝sin＝±，
∴sin＝±1，∴θ＋＝kπ＋，k∈Z.
即θ＝kπ＋，k∈Z.
[剖析] ∵x＋θ与x－θ是不同的角．
∴函数f(x)的最大值不是，上述解答把f(x)的最大值误当作来处理．
[正解] ∵f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x－θ)是偶函数．
∴f(x)＝f(－x)对一切x∈R恒成立．
即sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)恒成立．
∴[sin(x＋θ)＋sin(x－θ)]＋[cos(x－θ)－cos(x＋θ)]＝0.
∴2sinxcosθ＋2sinxsinθ＝0恒成立．
即2sinx(cosθ＋sinθ)＝0恒成立．
∴cosθ＋sinθ＝sin＝0.
∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z.
温馨点评 注意公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ(的左端是同角x.当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.
例如：函数f(x(＝sin(x＋θ(＋cos(x－θ((x∈R(的最大值不是2.
第3章 三角恒等变换
章末复习
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
tan(α＋β)＝.
tan(α－β)＝.
2．二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα.
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝.
3．升幂公式
1＋cos2α＝2cos2α.
1－cos2α＝2sin2α.
4．降幂公式
sinxcosx＝，cos2x＝，sin2x＝.
5．和差角正切公式变形
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
6．辅助角公式
y＝asinωx＋bcosωx＝sin(ωx＋θ)．
7．积化和差公式
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
8．和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sincos.
sinα－sinβ＝2cossin.
cosα＋cosβ＝2coscos.
cosα－cosβ＝－2sinsin.
9．万能公式
(1)sinα＝.
(2)cosα＝.
(3)tanα＝.
1.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )
2．对任意角α，sin2α＝2sinα均不成立．( × )
提示 如α＝kπ，k∈Z，则sin2α＝2sinα＝0.
3．y＝sinx＋cosx的最大值为2.( × )
提示 ∵y＝sinx＋cosx＝sin，∴函数最大值为.
4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cosα＋cosβ成立．( √ )
提示 如α＝－，β＝，则cos(α＋β)＝cos＝，cosα＋cosβ＝cos＋cos＝cos＝，两式相等．
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
解 ∵α是锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.
∵β是锐角，∴cosβ＝.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α－β)的值；
(2)求α＋β的值．
解 (1)由题可知，cos α＝，cos β＝.
由于α，β为锐角，则sin α＝，sin β＝，
故tan α＝，tan β＝，
则tan(α－β)＝＝＝－.
(2)因为tan(α＋β)＝＝1，
sin α＝<，sin β＝<，
即0<α＋β<，故α＋β＝.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．
解 设sinx＋cosx＝t，
则t＝sinx＋cosx＝
＝sin，
∴t∈[－，]，
∴sinx·cosx＝＝.
∵f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，
∴g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1，t∈[－，]．
当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f(x)min＝－1，
此时，由sin＝－，
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z.
当t＝，即sinx＋cosx＝时，f(x)max＝＋，
此时，由sin＝，即sin＝1，
解得x＝2kπ＋，k∈Z.
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值，f(x)max＝＋.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域．
解 令sinx－cosx＝t，
则由t＝sin知，t∈[－，]．
又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，
∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2
＝－2＋.
当t＝时，ymax＝；
当t＝－时，ymin＝－－1.
∴函数的值域为.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
解 (1)因为f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
又因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈[－1,2]．
所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，f(x0)＝2sin.
又因为f(x0)＝，
所以sin＝.
由x0∈，得2x0＋∈，
所以cos＝－＝－，
cos 2x0＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)在三角恒等变换中充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
跟踪训练3 已知cos＝，解 ＝
＝
＝
＝sin2x·tan.
∵又∵cos＝，∴sin＝－.
∴tan＝－.
sin2x＝sin
＝－cos
＝1－2cos2
＝1－2×2
＝.
∴＝－.
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sinx＋2cosy＝2，求2sinx＋cosy的取值范围．
解 设2sin x＋cos y＝a.
由解得
从而解得1≤a≤.
故2sin x＋cos y的取值范围是.
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值．
解 设x＝cos θ，y＝sin θ，则有
消去y，并整理得4x2＋2ax＋a2－1＝0.①
由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sin αsin β＝(cos α＋a)(cos β＋a)
＝3cos αcos β＋a(cos α＋cos β)＋a2
＝.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－＝.
1．已知sin＋cos＝，那么sinθ＝，cos2θ＝.
答案
解析 ∵sin＋cos＝，
∴2＝，
即1＋2sincos＝，
∴sinθ＝，
∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.
2．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝.
答案
解析 由＝sin4θ＋cos4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ，
得sin22θ＝，即sin22θ＝.
又∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，
故sin 2θ＝.
3．已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，则sin(α－β)＝.
答案 －
解析 由(sinα＋cosβ)2＋(sinβ－cosα)2＝，
得2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
4．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝，
∴sin＝.
sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin＝sin＝＝.
5．已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解 (1)由已知，有f(x)＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，
f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
一、填空题
1．cos2017°cos1583°－sin2017°sin1583°＝.
答案 1
解析 原式＝cos(2017°＋1583°)＝cos3600°＝1.
2．函数y＝sin2x＋sin2x(x∈R)的值域是．
答案
解析 y＝sin 2x＋
＝＋
＝sin＋.
∵x∈R，∴2x－∈R，
∴sin∈[－1,1]，
∴函数的值域是.
3．若tanα＝2tan，则＝.
答案 3
解析 ＝＝
＝＝＝＝3.
4．已知tan＝－，且＜α＜π，则＝.
答案 －
解析 ＝＝2cosα.
∵tan＝＝－，∴tanα＝－3，
∵α∈，cosα＝－.
则＝2cosα
＝2×＝－.
5．已知向量a＝(sinα，1)，b＝(2,2cosα－)，若a⊥b，则sin＝.
答案
解析 ∵a⊥b，
∴a·b＝2sinα＋2cosα－＝2sin－＝0，
∴sin＝.
∵<α<π，∴<α＋<，
∴cos＝－.
∴sin＝－sin＝－cos＝.
6．若＝3，则cos2θ＋sin2θ的值是．
答案
解析 由题意知，tanθ＝，
则cos2θ＋sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ＝＝＝.
7．函数y＝sinxcosx＋cos2x－的最大值为．
答案
解析 y＝sin2x＋(1＋cos2x)－
＝sin－，
当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1－＝.
8．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α＝.
答案 －2
解析 由题意知，tanα＝－2，
sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2cos2α－2sin2α
＝
＝＝＝－2.
9．函数y＝(acosx＋bsinx)cosx有最大值2，最小值－1，则实数a＝，b＝.
答案 1 ±2
解析 y＝acos2x＋bsinxcosx＝sin2x＋cos2x＋
＝sin(2x＋φ)＋，
＋＝2，－＋＝－1，
a＝1，b＝±2.
10．若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)＝.
答案 4
解析 由已知得4(tanα－tanβ)＝16(1＋tanαtanβ)，
即＝4.
∴tan(α－β)＝4.
11．函数y＝cos2＋sin2－1的最小正周期为．
答案 π
解析 ∵y＝cos2＋sin2－1
＝＋－1
＝
＝sin2x，∴T＝＝π.
二、解答题
12．已知△ABC的内角B满足2cos2B－8cosB＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ)．
解 2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，
4cos2B－8cosB＋3＝0，
解得cosB＝，sinB＝，
cosθ＝＝－，sinθ＝，
sin(B＋θ)＝sinBcosθ＋cosBsinθ＝.
13．设函数f(x)＝sin2x＋cos.
(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合；
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，已知cos B＝，f＝－，且C为锐角，求sin A的值．
解 (1)∵f(x)＝＋cos 2x－sin 2x＝－sin 2x，
∴当sin 2x＝－1时，f(x)max＝，
此时2x＝2kπ－(k∈Z)，x＝kπ－(k∈Z)，
∴x的取值集合为.
(2)∵f＝－sin C＝－，
∴sin C＝.
∵C为锐角，∴C＝.
由cos B＝，得sin B＝＝，
∴sin A＝sin＝cos B＋sin B
＝.
三、探究与拓展
14．若tan＝3＋2，则＝.
答案
解析 tan＝
＝3＋2，∴tan α＝.
又＝＝tan α.∴原式＝.
15．已知向量＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0]．向量m＝(2,1)，n＝(0，－)，且m⊥(－n)．
(1)求向量；
(2)若cos(β－π)＝，0<β<π，求cos(2α－β)的值．
解 (1)∵＝(cosα，sinα)，
∴－n＝(cosα，sinα＋)．
∵m⊥(－n)，∴m·(－n)＝0，
∴2cosα＋sinα＋＝0.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sinα＝－，cosα＝－，
∴＝.
(2)∵cos(β－π)＝，∴cosβ＝－.
又∵0<β<π，∴sinβ＝＝.
又∵sin2α＝2sinαcosα＝2××＝，
cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
∴cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ
＝×＋×
＝＝.
