1.1.1 四种命题
学习目标：1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．(重点)2.会分析四种命题的相互关系．(重点、难点)3.会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 命 题
阅读教材P5上半部分，完成下列问题．
1．定义：能够判断真假的语句叫做命题．
2．真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
3．命题的一般形式为“若p则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“2100是个大数”是真命题．( )
(2)“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的条件是x＝1.( )
(3)求证“四边形ABCD是平行四边形”是命题．( )
[解析] (1)×.因为不能判断真假．
(2)√.在命题“若p则q”中，p是条件，q是结论．
(3)×.该语句不是陈述句且不能判断真假．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 四种命题及其结构
阅读教材P5中间部分，完成下列问题．
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题：
(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题．
(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题．
(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题．
以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．命题的四种形式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”．( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )
[答案] (1)× (2)√
2．命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为________．
[解析] 由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为“若x≤3，则x≤2”．
[答案] 若x≤3，则x≤2
3．命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为________. 【导学号：71392000】
[解析] 由命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”．
[答案] 若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行
教材整理3 四种命题的关系
阅读教材P5以下部分，完成下列问题．
1．四种命题之间的关系
图1-1-1
2．四种命题的真假
一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题；两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
给出下列命题：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
[解析] 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．因此互为逆命题的有③和⑥，②和④；互为否命题的有①和⑥，②和⑤；互为逆否命题的有①和③，④和⑤.
[答案] ③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
[合 作 探 究·攻 重 难]
命题及真假判定
判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假．
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(5)高中数学真难学啊！
(6)把门关上. 【导学号：71392001】
[精彩点拨] 首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．
[自主解答] (1)能判断真假，是命题，是假命题．
(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．
(3)不能判断真假，不是命题．
(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．
(5)感叹句不能判断真假，因此不是命题．
(6)因为没有作出判断，所以不是命题．
[名师指津]
1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．一般情况下，感叹句，一般疑问句，开语句，祈使句都不是命题．
2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．
[再练一题]
1．判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．
(1)求证2是质数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(3)你是高一学生吗？
(4)一个正整数不是质数就是合数；
(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数；
(6)2x>5.
[解] (1)祈使句，不是命题．
(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．
(5)是假命题，如x＝，y＝－.
(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
四种命题的概念
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)当x＞3时，x2－4x＋3＞0；
(3)正方形的对角线互相平分. 【导学号：71392002】
[精彩点拨] 先要找出条件和结论，写成若p则q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清楚它们的定义．
[自主解答] (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x＞3，则x2－4x＋3＞0；
逆命题：若x2－4x＋3＞0，则x＞3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
[名师指津]
1．由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[再练一题]
2．设“若x2＋y2≠0，则x，y至少有一个不为0”是命题A的逆否命题，请写出命题A，并写出命题A的逆命题，否命题．
[解] 命题A：若x＝0且y＝0，则x2＋y2＝0.
命题A的逆命题：若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0.
命题A的否命题：若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0.
四种命题真假的判断
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零. 【导学号：71392003】
[精彩点拨] 依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定．
[自主解答] (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1.是真命题．
否命题：若q>1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根．是真命题．
逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1.是真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.是真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.是真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.是真命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.是真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零．是真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.是真命题．
[名师指津] 判断命题真假的方法
1．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证．
2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．
[再练一题]
3．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)若“x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题. 【导学号：71392004】
[解] (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但x2＜y2，所以“若x＞y，则x2＞y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x＞3，但x2－x－6＝6＞0，不满足x2－x－6≤0，故该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
四种命题的关系
[探究问题]
1．给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗？
[提示] 先把原命题写成“若p则q”的形式，它的逆命题就是“若q则p”，它的否命题就是“若非p则非q”；
当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命题同真同假．如真命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的逆命题和否命题均为假；又如真命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的逆命题和否命题均为真命题．
2．四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？能对这几种情况归纳成结论吗？
[提示] 有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
结论：①原命题和它的逆否命题同真同假；②一个命题的逆命题和否命题同真同假；③原命题和它的逆命题、否命题真假不一定相同．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[精彩点拨] 根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．
[自主解答] 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)
证明如下：
若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
[名师指津] 由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
[再练一题]
4．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
[解] 法一：原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
真假判断如下：
∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)·x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥≥1.
所以原命题成立．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列语句不是命题的个数有________个．
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.
【导学号：71392005】
[解析] ①③④是命题，含未知数的不等式不是命题．
[答案] 1
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆命题是 ________.
[解析] 根据逆命题的定义可知，命题“若α＝，
则tan α＝1”的逆命题是：若tan α＝1，则α＝.
[答案] 若tan α＝1，则α＝
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________个．
[解析] 原命题是真命题，逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”也是真命题．根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题．
[答案] 4
4．与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为________.
【导学号：71392006】
[解析] 与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除．
[答案] 若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除
5．将命题“当a＞0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式，写出其否命题和逆否命题，并判断真假．
[解] 命题“当a＞0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式为：若a＞0，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线，是真命题；
否命题：若a≤0，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，是真命题；
逆否命题：若函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，则a≤0，是真命题．
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)2.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点)3.培养辩证思维能力．
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 符号?与的含义
阅读教材P7上半部分，完成下列问题．
命题真假
“若p则q”为真
“若p则q”为假
表示方法
p?q
pq
读法
p推出q
p不能推出q
用“?”、“”填空：
(1)x>2________x≥1；
(2)a>b________ac>bc；
(3)ac2>bc2________a>b；
(4)a，b，c成等差数列________2b＝a＋c.
[解析] (1)当x>2时，一定有x≥1，故填?；
(2)当c≤0时，a>b不能推出ac>bc，故填；
(3)因为ac2>bc2，且c2>0，所以a>b，故填?；
(4)a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b，即2b＝a＋c，故填?.
[答案] (1)? (2) (3)? (4)?
教材整理2 充分、必要条件的含义
阅读教材P7中间部分，完成下列问题．
条件关系
含义
p是q的充分条件(q是p的必要条件)
p?q
p是q的充要条件
p?q
p是q的充分不必要条件
p?q，且qp
p是q的必要不充分条件
pq，且q?p
p是q的既不充分又不必要条件
pq，且qp
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．( )
(2)命题“若p则q”为假，记作“q?p”．( )
(3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(4)若“pq”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．
(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．
(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．
(4)“sin α>sin β”是“α>β”的________条件．
[解析] (1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．
(2)因为两个三角形全等?两个三角形相似，但两个三角形相似两个三角形全等，所以填“充分不必要”．
(3)因为a2＞0a＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0?a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．
(4)因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．
[答案] (1)充要 (2)充分不必要 (3)必要不充分 (4)既不充分也不必要
[合 作 探 究·攻 重 难]
充分、必要条件的判定
(1)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的________条件；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的________条件；
(3)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件；
(4)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的________条件. 【导学号：71392011】
[精彩点拨] 分清条件和结论，利用定义进行判断．
[自主解答] (1)当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．
(2)设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∵sin A≤sin B，∴2Rsin A≤2Rsin B，∴a≤b.
同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B．所以“a≤b”是“sin A≤sin B”的充要条件．
(3)若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(4)ln(x＋1)<0?0<1＋x<1?－1[答案] (1)既不充分也不必要 (2)充要 (3)充分不必要 (4)必要不充分
[名师指津]
1．判断充分条件和必要条件的一般步骤
(1)判定“若p则q”的真假；
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
2．判断充分条件和必要条件常用的方法
(1)定义法：分清条件和结论，再根据定义进行判断；
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．
(3)和数集有关的充分条件和必要条件的判断可转化为先判断两集合之间的包含关系，再确定充分、必要条件．记条件p涉及的数集为集合A；记条件q涉及的数集为集合B.①若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件；②若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A，B之间没有包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件．
[再练一题]
1．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________(填序号)．
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
[解析] ①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；
②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；
③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；
④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[答案] ①②④
充分、必要条件的探求
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件，并证明. 【导学号：71392012】
[精彩点拨] 根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列{an}为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明．
[自主解答] a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
∵p≠0，p≠1，∴＝p.
若{an}为等比数列，则＝＝p，
∴＝p，
∵p≠0，∴p－1＝p＋q，
∴q＝－1.∴{an}为等比数列的必要条件是q＝－1.
下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．
当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，
∴a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)，
∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，
＝＝p为常数，
∴q＝－1时，数列{an}为等比数列．即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.
[名师指津]
1．充分、必要条件的探求方法
(1)探求条件时，一定要注意题目的问法，不要混淆充分条件与必要条件．
(2)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是两个不同的命题，前者说明A?B，后者说明B?A，对于必要条件也要类似区分．
2．探求充要条件一般有两种方法
(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
[再练一题]
2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件．
[解] 设方程的两根分别为x1，x2，则x1，x2都大于1的充要条件是
整理得
由根与系数的关系，得
解得k<－2.
所以所求的充要条件是k∈(－∞，－2)．
充分、必要条件的应用
[探究问题]
1．若集合AB，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？
[提示] 因为AB，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．
2．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？
[提示] 当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．
3．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗？若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？
【导学号：71392013】
[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，AB，这时a的值不确定，实数a的取值范围是(2，＋∞)．
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【导学号：71392014】
[精彩点拨] 先利用不等式的解法确定命题p，q成立的条件，再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组，求a的取值范围．
[自主解答] 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)·(x－2)≥0}＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．由已知p?q且qp，得MN，
∴或
解得≤a<2或则实数a的取值范围是.
[名师指津] 根据充分条件或必要条件求参数范围
?1?记集合M＝{x|p?x?}，N＝{x|q?x?}.
?2?若p是q的充分不必要条件，则MN，
若p是q的必要不充分条件，则NM，
若p是q的充要条件，则M＝N.
?3?根据集合的关系列不等式?组?.
?4?求参数范围.
[再练一题]
3．已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0的解为条件q.
若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围.
[解] 设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}，
若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，
所以 ?m≥1.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．用“?”、“”、“?”填空．
(1)x>1________x>0；
(2)a>b________a2>b2；
(3)a2＋b2＝2ab________a＝b.
[解析] (1)x>1>0，故填“?”；
(2)因为2>－3?4<9，故填“”；
(3)a2＋b2＝2ab?(a－b)2＝0?a－b＝0?a＝b，故填“?”．
[答案] (1)? (2) (3)?
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的________条件．
[解析] 由2－x≥0得x≤2.
由|x－1|≤1得0≤x≤2.
∵x≤20≤x≤2,0≤x≤2?x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．
[解析] 由(2x－1)x＝0，得x＝或x＝0，所以应填“必要不充分”．
[答案] 必要不充分
4．不等式ax2＋2x＋a＞0恒成立的充要条件是________.
【导学号：71392015】
[解析] 据题意有解得a＞1，所以不等式ax2＋2x＋a＞0恒成立的充要条件是a＞1.
[答案] a＞1
5．指出下列各题中，命题p是命题q的什么条件．(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选出一种)
(1)p：|x＋1|≤4，q：x2＜5x－6；
(2)p：直线l上不同的两点A，B到平面α的距离相等，q: l∥α；
(3)已知平面α，直线l，直线m∥α，p：l∥α，q：l∥m.
[解] (1)解不等式|x＋1|≤4，得－5≤x≤3，解不等式x2＜5x－6，得2＜x＜3，所以pq，且q?p，故p是q的必要不充分条件．
(2)当直线l与平面α相交时，直线l上存在两个不重合的点A，B到平面α的距离相等，所以pq，且q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若l∥α，m∥α，直线l与m可能异面；若l∥m，m∥α，可能有l?α，所以pq，且qp，故p是q的既不充分也不必要条件．
1.2 简单的逻辑联结词
学习目标：1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容．(重点)2.“p或q”、“p且q”、“非p”命题的真假判断．(难点)3.知道非p与否命题的区别．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 逻辑联结词
阅读教材P10例1以上部分，完成下列问题．
1．逻辑联结词
命题中的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．
2．命题构成的形式
记法
含义
读法
p∨q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的一个新命题
p或q
p∧q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的一个新命题
p且q
非p
对命题p进行否定得到的一个新命题
非p
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)联结词“且”表示同时具有的意思．( )
(2)“p或q”有两层含义：要么是p不是q，要么是q不是p.( )
(3)联结词“非”与日常用语中的“不是”、“否定”、“全盘否定”、“问题的反面”等词语等价．( )
(4)由“p且q为假命题”可得“p为假命题”．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
教材整理2 含逻辑联结词命题的真假判断
阅读教材P10～P11思考以上部分，完成下列问题．
一般地，“p或q”、“p且q”与“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表格来表示：
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题p：{2}∈{2,3}，q：{2}?{2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号)．
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．
[解析] p假，q真，故p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假．
[答案] ①④⑤⑥
[合 作 探 究·攻 重 难]
用逻辑联结词构造新命题
(1)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题．
①p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．
②p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
(2)指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
①方程2x2＋1＝0没有实数根；
②12能被3或4整除. 【导学号：71392020】
[精彩点拨] 弄清含逻辑联结词的命题的形式，构造新命题或分解新命题为简单命题．
[自主解答] (1)①p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
非p：梯形没有一组对边平行．
②p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
(2)①是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
②是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
[名师指津] 用联结词构造新命题的注意点
?1?利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成新命题，关键是正确理解这三个逻辑联结词的含义.
?2?构成新命题时，在不引起歧义的前提下，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如李明是班长兼体育委员，就省略了“且”.
[再练一题]
1．分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题．
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：正三角形ABC三内角都相等，q：正三角形ABC有一个内角是直角．
[解] (1)p或q：π是无理数或e不是无理数．p且q：π是无理数且e不是无理数．非p：π不是无理数．
(2)p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．
p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．
非p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)p或q：正三角形ABC三内角都相等或有一个内角是直角；
p且q：正三角形ABC三内角都相等且有一个内角是直角；
非p：正三角形ABC三个内角不都相等．
含逻辑联结词命题的真假判断
分别指出下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(3)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.
【导学号：71392021】
[精彩点拨] 先判断命题p，q的真假，再判断“p且q”、“p或q”、“非p”的真假．
[自主解答] (1)∵p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(2)∵p为真命题，q为真命题，
∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题．
(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．
[名师指津] 判断含逻辑联结词命题真假的步骤
?1?确定复合命题的构成形式，是“p且q”、“p或q”还是“非p”形式.
?2?判断其中简单命题p，q的真假.,?3?根据真值表判断含逻辑联结词命题的真假.
[再练一题]
2．写出由下列命题构成的“p且q”、“p或q”形式的新命题，并指出其真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．
[解] (1)p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，假．
p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，真．
(2)p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4∴p且q为假，p或q为真．
含逻辑联结词命题真假性的应用
[探究问题]
1．在含逻辑联结词的命题中，若“p或q”为真，“p且q”为假，那么命题p和q的真假性如何？
[提示] “p或q”为真，说明命题p和q中至少有一个为真；“p且q”为假，说明命题p和q中至少有一个为假，所以p真时q假，p假时q真，即命题p，q一真一假．
2．逻辑联结词与日常生活中的意义有什么区别？试作出分析．
[提示] 逻辑联结词“且”、“或”、“非”与日常生活中的意义有所不同．如日常生活中的“且”有时与“及”、“和”相当；日常生活中的“或”是不可兼顾的．日常生活中的否定常用词有“不是”，是全盘否定，而逻辑中的“且”可以从命题的真假去理解，逻辑中的“或”可以兼顾，逻辑中的“否定”有时否定全部，有时否定一部分．
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
[精彩点拨] 这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．我们可以先利用命题的知识判断p，q的真假，再求m的值，也可以先化简p，q的取值范围，再利用命题的知识求解．
[自主解答] p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1∵p或q为真，p且q为假，
∴p为真，q为假或p为假，q为真，
即或
解得m≥3或1故m的取值范围为{m|m≥3或1[名师指津] 解决此类问题的方法一般是先化简p，q中的取值范围，然后利用命题的知识来判断p，q的真假，最后确定m的取值范围.当p，q中m的取值范围不易求出时，也可以利用非p与p，非q与q不能同真同假的特点，先求非p，非q中m的取值范围.
[再练一题]
3．已知命题p：关于x的不等式 x2＋(a－1)x＋1≤0的解集为空集?；命题q：函数y＝(a－1)x为增函数，若命题p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围. 【导学号：71392022】
[解] 若命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋1≤0的解集为空集?，
则(a－1)2－4＜0，即a2－2a－3＜0，所以－1＜a＜3，
则当p为假命题时，a≤－1或a≥3；
若命题q：函数y＝(a－1)x为增函数，为真，得a－1＞1，即a＞2，则当q为假命题时，a≤2；
因为命题p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一真一假，若p真q假，则－1＜a≤2；若p假q真，则a≥3，
所以实数a的取值范围为{a|－1＜a≤2或a≥3}.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．命题“3≥0”中，使用逻辑联结词的情况，下列说法正确的是________．
①是简单命题，没有使用逻辑联结词；②使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题；③使用了逻辑联结词，是“p且q”形式的命题；④使用了逻辑联结词，是“非p”形式的命题．
[解析] 命题“3≥0”是“3＞0或3＝0”， 即该命题使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题．
[答案] ②
2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么下列判断正确的有________．
①命题p不一定是假命题；
②命题q一定是真命题；
③命题q不一定是真命题；
④命题p与命题q的真假相同．
[解析] p或q为真说明p，q至少有一个为真，
又∵非p为真，∴p假，故q为真，故填②.
[答案] ②
3．设p：若a＞2，则a＞1，非p是________．
[解析] 命题p的否定只否定结论，条件不变．
[答案] 若a＞2，则a≤1
4．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空．
(1)命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集合A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集合?UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
[解析] (1)“也”是“且”的意思，所以为p且q命题．(2)是p或q命题．(3)为非p命题形式．
[答案] (1)p且q (2)p或q (3)非p
5．设命题p：x2－4≥0，命题q：x2＋2x－3≤0，若p且q为真，求x的取值范围. 【导学号：71392023】
[解] 解不等式x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，
解不等式x2＋2x－3≤0，得－3≤x≤1，
因为p且q为真，
则p与q都真，
所以x的取值范围是{x|－3≤x≤－2}．
1.3.1 量 词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 全称量词和全称命题
阅读教材P14内容，完成下列问题．
全称量词
“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词
符号表示
?
全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题
符号表示
?x∈M，p(x)
把下列命题中是全称命题的序号填写在横线上________．
①指数函数都是单调函数；
②?x∈R，log2x>0；
③负数的平方是正数；
④平行四边形的对边互相平行．
[解析] ①中含有“都”；②中含有“?”；③④中省略了全称量词“都”，所以都是全称命题．
[答案] ①②③④
教材整理2 存在量词和存在性命题
阅读教材P14内容，完成下列问题．
存在量词
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词
符号表示
?
存在性命题
含有存在量词的命题称为存在性命题
符号表示
?x∈M，p(x)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(2)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )
(3)命题“正方形的四条边相等”中没有全称量词，因此不是全称命题．( )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在性命题．( )
[解析] 根据定义可知(1)是正确的，(2)是错误的，(3)中省略全称量词“所有的”，所以是全称命题，(4)是正确的．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
教材整理3 全称命题和存在性命题的否定
阅读教材P16例1以上部分，完成下列问题．
图1-3-1
把下列命题进行否定，并写在横线上．
(1)p：有些三角形是直角三角形． ___________________
(2)q：所有的质数都是奇数． ___________________
(3)r：所有的人都睡觉． ___________________
(4)s：有些实数的相反数比本身大． ____________________
[解析] 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
[答案] (1)所有的三角形都不是直角三角形
(2)有些质数不是奇数
(3)有的人不睡觉
(4)所有实数的相反数都不比本身大
[合 作 探 究·攻 重 难]
全称命题和存在性命题的辨析
判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)有一个实数α，使得tan α无意义；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)在y轴上有截距；
(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；
(5)直线x＝2的斜率不存在. 【导学号：71392028】
[精彩点拨] 利用全称命题和存在性命题的定义进行判断．
[自主解答] (1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题．
(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．
(3)由于直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)表示的是一系列直线，因此该命题是全称命题．
(4)命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题．
(5)“直线x＝2的斜率不存在”表明存在一直线x＝2斜率不存在，因此是存在性命题．
[名师指津]
1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词，如本例(1)和(2)．
2．有些全称命题中并不含有全称量词，存在性命题中并不存在存在量词，这时我们要根据命题涉及的定义去判断．
[再练一题]
1．判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)若a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)存在实数T，使得|sin (x＋T)|＝|sin x|；
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
[解] (1)(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．
全称命题和存在性命题真假的判断
判断下列命题的真假．
(1)有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)对任意m∈Z且m为偶数，则2m＋为偶数. 【导学号：71392029】
[精彩点拨] 先判断出是全称命题还是存在性命题，再利用逻辑分析或举例子作出真假判断．
[自主解答] (1)由于?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在性命题“有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0”是假命题．
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．
(3)是真命题．因为m∈Z且m为偶数，所以(－1)m＝1，所以2m＋＝2m，为偶数．
[名师指津] 全称命题、存在性命题真假性的判断方法
?1?要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p?x?成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p?x?不成立即可?这就是通常所说的“举出一个反例”?.
?2?要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个x，使p?x?成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题.
[再练一题]
2．判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假．
(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；
(4)存在实数x，使＝2.
[解] (1)存在性命题，因为sin2α＋cos2α＝1，所以是假命题；
(2)全称命题，因为垂直于x轴的直线没有斜率，所以是假命题；
(3)全称命题，因为当a＝b＝0时有无穷解，当a＝0且b≠0时无解，故为假命题；
(4)存在性命题，∵＝≤，
∴＝2无解，故为假命题．
含有一个量词的命题的否定
(1)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
①对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；
②所有能被5整除的整数都是奇数；
③对任意x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
(2)写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
①有些实数的绝对值是正数；
②某些平行四边形是菱形；
③?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 【导学号：71392030】
[精彩点拨] 根据(1)(2)题目要求，顺序不同．
(1)→→→
(2)→→→
[自主解答] (1)①当x＝2时，23－22＋1＝5>0，故①是假命题．
命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1>0.
②10能被5整除，10是偶数，故②是假命题．
命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．
③有理数经过加、减、乘法运算后仍是有理数，故③是真命题．
命题的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．
(2)①命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”．
由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
②命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
③命题的否定是：“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
[名师指津]
1．对全称命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”．
2．对存在性命题否定的步骤
第一步改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”．
3．常见词语的否定
[再练一题]
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：所有的方程都有实数解；
(2)q：?x∈R,4x2－4x＋1≥0；
(3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：某些平行四边形是菱形．
[解] (1)非p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．
(2)非q：?x0∈R，使4x－4x0＋1<0，假命题．
这里由于?x∈R,4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，
所以非q是假命题．
(3)非r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4)非s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题.
含参数的全称命题和存在性命题
[探究问题]
1．如何理解全称命题“对?x∈R，ax2＋2ax＋1>0”是真命题，怎样解决？参数a有范围吗？
[提示] 意思是ax2＋2ax＋1>0恒成立，可转化为a>0且Δ<0来解决．即或a＝0，解得0≤a<1.故参数a的取值范围是[0,1)．
2．有关全称命题的问题中常出现恒成立字眼，怎么解决这种问题？
【导学号：71392031】
[提示] 在恒成立的不等式中，常经过变形分离出参数，转化为函数的最值问题．若f(x)>a恒成立，则只需a<[f(x)]min；若a>f(x)恒成立，只需a>[f(x)]max.有时转化为一元二次不等式在区间上恒成立时，一般用判别式及根的分布解决．
3．存在性问题为真命题或假命题，如何处理？
[提示] 因为存在性命题的否定是全称命题，因此当存在性命题为真命题时，可转化为它的否定是假命题处理，当存在性命题为假命题时，可转化为它的否定为真命题处理．
若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
[精彩点拨] 由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．
[自主解答] 法一：由题意，对任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立．
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
所以实数a的取值范围是[－3,1]．
法二：由x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立．
所以Δ≤0，或
即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[名师指津] 对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a，只需f(x)min≥a.也可等价转化为对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图象间的关系求解.
[再练一题]
4．对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
则y＝sin x＋cos x＝sin ≥－.
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，
∴只要m<－即可，
故实数m的取值范围是(－∞，－)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．命题“?x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是________．
[解析] 全称命题的否定是存在性命题，故所求命题的否定为：?x∈R，x2＋2x＋3≤0.
[答案] ?x∈R，x2＋2x＋3≤0
2．设命题p：?x∈R，x＋≥2，则非p是________命题(填“真”或“假”)．
[解析] 令x＝2，可知x＋≥2成立，即p是真命题，所以非p是假命题．
[答案] 假
3．命题p：?x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题非p：________，它是________命题(填“真”或“假”). 【导学号：71392032】
[解析] 含“?”，是存在性命题，其否定为全称命题，因为Δ＝4－20<0，所以x2＋2x＋5>0恒成立，故为假命题，其否定为真命题．
[答案] 存在性命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0 真
4．命题“?x属于正实数，2x＋>a成立”是真命题，则a的取值范围是________．
[解析] ∵x∈R＋时，2x＋≥2，∴a<2.
[答案] (－∞，2)
5．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)?x∈R，都有x2－x＋1>；
(2)?α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)?x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4)?x，y∈Z，使x＋y＝3.
[解] (1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝＋≥>，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1>?x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，
所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝cos＝cos ＝，cos α－cos β＝cos －cos ＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即?x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题．
第1章 常用逻辑用语
[体系构建]
[自我校对]
①逆否命题 ②必要条件 ③p?q ④p且q ⑤或 ⑥全称命题 ⑦存在量词
[题型探究]
四种命题及其相互关系
四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
已知a，b，c∈R，写出命题“若ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
[精彩点拨] 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．
[规范解答] 逆命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0”，是假命题．
如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．
逆否命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．
因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．
[再练一题]
1．给出下列命题：
①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4；
②函数y＝tan的图象关于点成中心对称；
③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题；
④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)
【导学号：71392036】
[解析] ①∵|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，∴cos〈a，b〉＝－，
∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确；
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tan x的图象的性质知，②正确；
③∵原命题的逆命题为“若a⊥b，则a·b＝0”为真，
∴其否命题也为真．∴③正确；
④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．
(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c)
∴④正确．
[答案] ①②③④
充分条件与必要条件的判断
关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定；
若“p?q”，且“pq”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
若“p?q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
若“pq”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[精彩点拨] 非p是非q的必要不充分条件也就是p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)．利用集合之间关系列不等式组求解．
[规范解答] 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵非p是非q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，
∴或
解得－≤a<0或a≤－4.
[再练一题]
2.是的什么条件？请说明理由．
[解] 当x>2且y>2时，有x＋y>4，xy>4，
即?
反之，当x＝1<2，y＝5时，有x＋y＝6>4，xy＝5>4，
即
∴是的必要不充分条件.
含逻辑联结词的命题
1.“且”、“或”、“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p或q”、“p且q”、“非p”三种形式．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p或q”中有真为真，“p且q”有假为假，非p与p真假相反．
给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点，q：若<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是________.
【导学号：71392037】
①(非p)或q；②p且q；③(非p)且 (非q)；
④(非p)或(非q)．
[精彩点拨] →→
[规范解答] ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p真．
∵x<0时，<0<1但x>1不成立，∴q假，
∴非q真，∴①②③均为假命题，④为真命题．
[答案] ④
[再练一题]
3．若命题p：x(x＋4)＞0，命题q：＞1，则非p是非q成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
[解析] 由命题p：x(x＋4)＞0得p：x＞0或x＜－4，则非p：－4≤x≤0.由q：＞1，得q：2＜x＜3，则非q：x≤2或x≥3.因为非p?非q，非q非p，所以非p是非q成立的充分不必要条件．
[答案] 充分不必要
全称命题和存在性命题
1．全称命题“?x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，
(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．
2．存在性命题“?x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；
(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．
(1)对角互补的四边形都内接于一个圆；
(2)对于定义在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在开区间(a，b)上至少有一个零点；
(3)?x∈，tan x＞sin x；
(4)?x∈R，log2(3x＋1)≤0.
[精彩点拨] →→→
[规范解答] (1)全称命题，是真命题；
(2)存在性命题，是真命题；
(3)全称命题，∵tan x＝，x∈，
∴0＜cos x＜1，sin x＞0，
∴＞1，＞sin x，即tan x＞sin x，
∴是真命题；
(4)存在性命题，∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，∴是假命题．
[再练一题]
4．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________.
【导学号：71392038】
①有一个角α，使tan(90°－α)＝tan α；
②?x∈R，使sin x＝；
③对任意角α，都有sin(180°－α)＝sin α；
④?α，β∈R，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
[解析] ①是存在性命题且是真命题，②是存在性命题且是假命题，③④都是全称命题．
[答案] ①
含一个量词的命题的否定
1．全称命题的否定一定是存在性命题．
p：?x∈M，p(x)成立；
非p：?x∈M，非p(x)成立．
2．存在性命题的否定一定是全称命题．
p：?x∈M，p(x)成立；
非p：?x∈M，非p(x)成立．
3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．
写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)p：?x∈R，x2＋x＋≥0；
(2)q：?x是质数，x不是奇数；
(3)r：至少有一个实数x，使x> ；
(4)s：所有的周期函数都有最小正周期．
[精彩点拨] →→→
[规范解答] (1)非p：?x∈R，使x2＋x＋<0.由于对任意的实数x，x2＋x＋＝≥0，故p是真命题，非p是假命题．
(2)非q：?x是质数，x是奇数．
由于2是质数，且2不是奇数，故q是真命题，非q是假命题．
(3)非r：?x∈R，x≤.
由于对任意的实数x，x≤|x|＝<，故r是假命题，非r是真命题．
(4)非s：有的周期函数没有最小正周期．
由于f(x)＝0(x∈R)是周期函数但没有最小正周期，
故s是假命题，非s是真命题．
[再练一题]
5．下列命题的否定是假命题的有________．(填序号)
①?x＞1，使x2－2x－3＝0；
②有些平行四边形，是矩形；
③?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；
④可以被5整除的整数，末位是0.
[解析] 对于①“?x＞1，使x2－2x－3＝0”是真命题，故其否定是假命题；对于②“有些平行四边形，是矩形”是真命题．故其否定是假命题；对于③“?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解”是假命题，故其否定是真命题；对于④“可以被5整除的整数，末位是0”是假命题，故其否定是真命题．
[答案] ①②
[链接高考]
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
[解析] “若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”．
[答案] 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是________.
【导学号：71392039】
[解析] 存在性命题“?x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“?x∈M，非p(x)”．
[答案] ?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
3．设θ∈R，则“＜”是“sin θ＜”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
[解析] ＜?0＜θ＜?sin θ＜，而当sin θ＜时，取θ＝－，＝＞，即sin θ＜＜，故“＜”是“sin θ＜”的充分不必要条件．
[答案] 充分不必要
4．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
[解析] 若存在负数λ，使m＝λn，则m·n＝λn·n＝λn2＝λ|n|2＜0.若m·n＜0则可得cos〈m，n〉＜0，但不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．
[答案] 充分不必要
5．已知命题p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是________(填序号). 【导学号：71392040】
①p∧q；②p∧非q；③非p∧q；④非p∧非q.
[解析] 当x＞0时，x＋1＞1，ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，即q为假命题，由复合命题真值表易知，②为真命题．
[答案] ②
