2.1 圆锥曲线
学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 圆锥曲线
阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．
1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．
2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．
定义(自然语言)
数学语言
椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
PF1＋PF2＝2a＞F1F2
双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
PF＝d，其中d为点P到l的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )
(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )
(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )
(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( )
[解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．
(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．
(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．
(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
[合 作 探 究·攻 重 难]
椭圆的定义及应用
(1)已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹；
(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.
【导学号：71392047】
[精彩点拨] (1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．
[自主解答] (1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．
(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.
[名师指津] 椭圆定义的应用方法
(1)判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数，(2)该常数是否大于两定点之间的距离.
(2)判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线AB与椭圆的两个交点.
(3)当条件中同时出现椭圆的两个焦点及椭圆上一点时，可考虑应用椭圆的定义进行求解.
[再练一题]
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．
[答案] 必要不充分
双曲线的定义及应用
已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
[精彩点拨] 把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．
[自主解答] (1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线的右支．
[名师指津] 在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线.
[再练一题]
2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.
【导学号：71392048】
[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，
∴P的轨迹为双曲线的一支．
又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，
∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．
[答案] 双曲线的一支 一条射线
抛物线的定义及应用
已知动点M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5，试判断动点M的轨迹．
[精彩点拨] 把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．
[自主解答] 选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝，MF＝.由题意知d＝MF，且F?l，由抛物线定义知，M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
[名师指津] 抛物线定义的应用方法
(1)涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹.
(2)应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上.
(3)若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等.
[再练一题]
3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．
[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．
[答案] 抛物线
如何区分椭圆与双曲线
[探究问题]
1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？
【导学号：71392049】
[提示] 若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．
2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？
[提示] 在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．
已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．
[精彩点拨] 根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．
[自主解答] 由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，
因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1. ①
又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3. ②
②－①得MC2－MC1＝2，且2
所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
[名师指津] 设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式.注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点(－1，0)，所以M的轨迹不过点(－1，0).
[再练一题]
4．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆.
【导学号：71392050】
[证明] 设MB＝r.
∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距MA＝10－r，
即MA＋MB＝10(大于AB)，
∴圆心M的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，动点P满足PF1＋PF2＝6，则点P的轨迹是________．
[解析] ∵PF1＋PF2＝6＞F1F2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
[答案] 以F1，F2为焦点的椭圆
2．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为，则点P到抛物线准线的距离为________．
[解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为.
[答案]
3．以F1，F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1，F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.
[解析] 由椭圆的定义可知P2F1＋P2F2＝10.
又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.
[答案] 5
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点P的轨迹为________.
【导学号：71392051】
[解析] ∵MN＝4，PM－PN＝3<4，
∴动点P的轨迹为双曲线的右支．
[答案] 双曲线的右支
5．动点P(x，y)的坐标满足－＝4，试确定点P的轨迹．
[解] 的几何意义是点P到定点A(5,0)的距离，的几何意义是点P到定点B(－5，0)的距离，因此原式可化为PA－PB＝4＜AB＝10，故点P的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．
2.2.1 椭圆的标准方程
学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 椭圆的标准方程
阅读教材P30～P31思考上面内容，完成下列问题．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图象
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．( )
(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( )
(3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程．( )
(4)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．( )
(5)设椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2.( )
(6)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2,0)．( )
[解析] (1)(2)明显正确；
(3)＋＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；
(4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；
(5)方程＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以错误；
(6)因为a2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[合 作 探 究·攻 重 难]
椭圆标准方程的求法
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)；
(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P.
【导学号：71392056】
[精彩点拨] 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x轴上还是y轴上分类讨论．
[自主解答] (1)①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c＝1，点P(－，0)在椭圆上，
∴解得故椭圆的标准方程为＋＝1.
②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则有解得故椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
(2)法一：∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知
2a＝＋＝2，
∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得
解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法三：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>2)，
∵点在椭圆上，∴＋＝1，
整理得2a4－25a2＋50＝0，
解得a2＝(舍)，a2＝10，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[名师指津] 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为
[再练一题]
1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B.
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆经过点(5,0)，所以＝1，a2＝25，又c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)法一：①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，把A，B两点坐标代入得解得(舍去)．
②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)把A，B两点的坐标代入得解得
故椭圆的标准方程为＋x2＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，
把A、B两点坐标代入得
解得故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
椭圆标准方程的识别
已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．
(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围；
(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围.
【导学号：71392057】
[精彩点拨] (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．
(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．
[自主解答] 将椭圆方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．
(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，
则>－>0，即
所以π<α<π，即α的取值范围是.
(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则－>>0，即
所以<α<，即α的取值范围是.
[名师指津]
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．
2．焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大，焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[再练一题]
2．(1)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
(2)已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
[解析] (1)据题意可知解得3＜k＜6，
所以实数k的取值范围是(3,6)．
(2)将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．
[答案] (1)(3,6) (2)必要不充分
焦点三角形问题
[探究问题]
1．点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，|PF1||PF2|的最大值是什么？
[提示] 因为|PF1|＋|PF2|＝2a(定值)，由基本不等式得|PF1||PF2|≤＝＝a2，这时PF1＝PF2，即P为y轴上的交点时，|PF1||PF2|取的最大值为a2.
2．若∠F1PF2＝θ，当θ取最大值时，cos θ的最小值是多少？
[提示] 在△PF1F2中，令PF1＝r1，PF2＝r2则
r1＋r2＝2a，由F1F2＝2c，所以cos θ＝＝＝＝－1≥－1＝－1，这时θ最大，
当且仅当r1＝r2时，cos θ取得最小值－1.
3．当P为椭圆与y轴的交点时，若∠F1PF2为锐角，椭圆上是否存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角呢？
[提示] 若∠F1PF2为锐角时，不存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点M，使∠F1MF2＝90°.
如图2-2-1所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积. 【导学号：71392058】
图2-2-1
[精彩点拨] 根据椭圆的标准方程知PF1＋PF2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解．
[自主解答] 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，
由余弦定理，得
PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2cos 120°，
即PF＝PF＋4＋2PF1. ①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，
即PF2＝4－PF1. ②
②代入①解得PF1＝.
∴S＝PF1·F1F2·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
[名师指津] 在椭圆中，由三条线段PF1，PF2，F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF1＋PF2＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
[再练一题]
3．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．
[解析] 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
[答案]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为________．
[解析] ∵a2＝36，b2＝25，∴c＝＝，
故焦点坐标为(，0)，(－，0)．
[答案] (，0)，(－，0)
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
[解析] 据题意有解得3＜k＜4.
[答案] (3,4)
3．若a＝5，c＝2，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．
[解析] 由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
4．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
[解析] 由条件知PF1＋PF2＝2F1F2＝4，由椭圆定义知，点P轨迹是椭圆，且2a＝4，∴a＝2.
∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故动点P的轨迹方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
5．已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程.
【导学号：71392059】
[解] 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为点和点都在椭圆上，
所以
即
解得
所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质
学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 椭圆的简单几何性质
阅读教材P34，完成下列问题．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
F1F2＝2c
对称轴
x轴，y轴
对称中心
(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )
(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．( )
(4)椭圆＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．( )
[解析] (1)＋＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；
(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；
(4)椭圆＋y2＝1中，a＝，故x的范围是[－，]，故错误．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理2 离心率
阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．
1．定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．
2．范围：e＝∈(0,1)．
3．作用：
当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．
填空：
(1)椭圆＋＝1的离心率是________．
(2)两个椭圆＋y2＝1和＋＝1中，更接近于圆的是________．
(3)椭圆＋＝1(a>2)的离心率e＝，则实数a的值为________.
【导学号：71392064】
[解析] (1)＋＝1中，a＝2，c＝＝1，所以离心率e＝.
(2)椭圆＋y2＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，所以椭圆＋＝1更接近于圆．
(3)因为a>2，所以e＝＝，解得a＝2.
[答案] (1) (2)＋＝1 (3)2
[合 作 探 究·攻 重 难]
由椭圆的方程求其几何性质
(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．
(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．
[精彩点拨] 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．
[自主解答] (1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得＋＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝，故2c＝2.
[答案] 2
(2)椭圆的方程可化为
x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，
∴c＝＝＝4，
∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.
∵椭圆的焦点在y轴上，
故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，
B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.
[名师指津] 研究椭圆几何性质的方法
求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.
[再练一题]
1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标.
【导学号：71392065】
[解] 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
因为m－＝>0，所以m>，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得e＝＝＝，所以m＝1.
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
由椭圆的几何性质求方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[精彩点拨] →→→
[自主解答] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，
∴a＝3.
又e＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知焦点在x轴上，
故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
[名师指津] 由椭圆的几何性质求方程的方法步骤
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.
[再练一题]
2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程．
[解] 法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二：设椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意得或
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
求离心率
(1)如图2-2-2，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，则该椭圆的离心率为________．
图2-2-2
(2)已知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，∠OAB＝30°，则椭圆的离心率为________.
【导学号：71392066】
[精彩点拨] (1)求出直线l与x、y轴交点，找出a，b，进而求出离心率e；
(2)在直角三角形OAB中，由∠OAB＝30°，可得a，b的关系，利用这个a，b的关系可求离心率．
[自主解答] (1)在直线l的方程x－2y＋2＝0中令y＝0得x＝－2，令x＝0得y＝1，故F1(－2,0)，B(0,1)，所以c＝2，b＝1，故a2＝b2＋c2＝5.
所以a＝，因此离心率e＝＝＝.
(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x轴上，由条件得∠OAB＝30°，OA＝a，OB＝b，
∴＝tan 30°＝，
∴e2＝＝1－＝1－＝，
∴e＝.
[答案] (1) (2)
[名师指津] 求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可.
[再练一题]
3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
[解] 如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥BF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c.
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，∴＝－1.
∴椭圆的离心率e＝－1.
直线与椭圆的位置关系
[探究问题]
1．直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？
[提示] (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．
(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．
2．直线与椭圆相交时，若交点为A，B，则线段AB是椭圆的弦，如何计算弦AB的长呢？
[提示] 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．
设直线y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为：
|AB|＝|x1－x2|
＝·，
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
3．与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB的中点坐标为(x0，y0)，能否确定直线AB的斜率？
[提示] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
这种方法叫平方差法，也叫点差法．
已知椭圆＋y2＝1.
(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？
(2)当m＝2时，求直线y＝x＋m被椭圆截得的线段长.
【导学号：71392067】
[精彩点拨] →→→→
[自主解答] (1)联立消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0.(*)
∵Δ＝64m2－80(m2－1)>0，∴－∴当－(2)当m＝2时，方程(*)化为5x2＋16x＋12＝0，
设线段端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得
x1＋x2＝－，x1x2＝，又k＝1，
∴AB＝·＝.
[名师指津] 直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式
(1)直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断.
(2)求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝·进行求解，也可利用AB＝|y1－y2|＝·进行求解.
[再练一题]
4.如图2-2-3，已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．
图2-2-3
[解] 设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝＝1，解得k＝－.
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是________．
[解析] 6x2＋y2＝6可变形为＋x2＝1，长轴在y轴上，易知a＝，所以端点坐标为(0，±)．
[答案] (0，±)
2．椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．
[解析] 由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以标准方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
3．椭圆＋y2＝1被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为________.
【导学号：71392068】
[解析] 右焦点为(，0)，把x＝代入得＋y2＝1，解得y＝±，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为×2＝1.
[答案] 1
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
[解析] 如图，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF2A＝60°，PF2＝F1F2＝2c，∴AF2＝c，
∴2c＝a，∴e＝.
[答案]
5．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 设直线l与椭圆的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，
即k＝－，∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
2.3.1 双曲线的标准方程
学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 双曲线的标准方程
阅读教材P39～P40例1以上部分，完成下列问题．
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c之间的关系
c2＝a2＋b2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( )
(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2＝b2＋c2.( )
(3)双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．( )
(4)在双曲线－＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )
[解析] (1)方程－＝1中，a>0，b>0.
a＝b时也是双曲线，故不正确；
(2)在双曲线标准方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正确．
(3)根据标准方程特点，正确．
(4)在－＝1中，c＝＝，所以焦点坐标为(0，±)．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[合 作 探 究·攻 重 难]
求双曲线标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.
【导学号：71392073】
[精彩点拨] 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．
[自主解答] (1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴点P和Q在双曲线上，
∴
解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵P，Q两点在双曲线上，
∴
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
[名师指津]
1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[再练一题]
1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程．
[解] 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
双曲线标准方程的讨论
(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．
(2) “ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
(3)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围.
【导学号：71392074】
[精彩点拨] 根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解．
[自主解答] (1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．
(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．
[答案] (1)(－2，－1) (2)必要不充分
(3)由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
[名师指津] 方程表示双曲线的条件及参数范围的求法
(1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线.进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程－＝1，则当mn＞0时表示双曲线.且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线.
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围.
[再练一题]
2．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？
[解] 由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,925，分别进行讨论．
(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹.
双曲线中的焦点三角形
[探究问题]
1．双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？
[提示] 焦点三角形中，常用的关系式有：
(1)MF1－MF2＝±2a；
(2)S＝MF1·MF2·sin∠F1MF2；
(3)F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.
2．在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F1PF2的变化，△F1PF2的面积将怎样变化？
[提示] 由公式S＝PF1·PF2sin∠F1PF2，
cos∠F1PF2
＝
＝
＝
＝
＝＋1，
∴PF1·PF2＝.
从而得S＝(θ＝∠F1PF2)．
∵0<θ<π，∴0<<，
在内，是单调递减的，
∴当θ增大时，S＝减小．
设F1，F2为双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及△F1PF2的面积.
【导学号：71392075】
[精彩点拨] 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1＋PF2与PF1·PF2，再求周长与面积．
[自主解答] 法一：∵点P在双曲线－＝1上，
∴|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4.
又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
∴PF＋PF＝F1F＝32.
列方程组
解得或
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝(2＋2)(2－2)＝4.
法二：同解法一得
|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4，PF＋PF＝32.
∴(|PF1－PF2|)2＝PF＋PF－2PF1·PF2，
即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，
∴PF1＋PF2＝4.
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×8＝4.
[名师指津] 在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合PF1－PF2＝±2a，运用平方的方法，建立它与PF1·PF2的联系，体现了数学中的一种整体思想.
[再练一题]
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
[解析] 由双曲线方程得a＝，b＝，则c＝＝2.因为PF1－PF2＝2，且PF1＝2PF2，所以PF1＝4，PF2＝2，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.
[答案]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若k∈R，方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
[解析] 据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，
解得－3＜k＜－2.
[答案] (－3，－2)
2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________．
[解析] 由条件可知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，c＝5，则b2＝c2－a2＝16，所以动点P的轨迹方程为－＝1.
[答案] －＝1
3．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
[解析] 由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.
[答案] 1
4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．
[解析] 方程可化为－＝1.由条件可知－－＝9，解得k＝－1.
[答案] －1
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).
【导学号：71392076】
[解] (1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵c2＝16＋4＝20，∴c＝2，
∴F(±2，0)，
∴2a＝|－|
＝4，∴a2＝12，
∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为－＝1.
法二：设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标：1.了解双曲线的简单几何性质．(重点)2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点)3.知道椭圆与双曲线几何性质的区别．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 双曲线的简单几何性质
阅读教材P43～P46例1以上部分，完成下列问题．
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴
x轴，y轴
对称中心
原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为a，b.( )
(3)双曲线的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，其渐近线斜率的绝对值越大．( )
(5)在双曲线－y2＝1中，x的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．( )
[解析] (1)正确．
(2)错误．因为实轴长为2a，虚轴长为2b.
(3)错误．当焦点在y轴上时，渐近线是y＝±x.
(4)错误．e＝，e越大，只能说明的绝对值越大．
(5)正确．
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
教材整理2 等轴双曲线
阅读教材P45倒数第八行以上内容，完成下列问题．
1．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
2．性质：(1)等轴双曲线的离心率e＝；
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．
填空：
(1)双曲线x2－y2＝－2的渐近线为________．
(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为________．
(3)等轴双曲线x2－y2＝4的焦点坐标为________．
[解析] (1)x2－y2＝－2为等轴双曲线，则渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
(2)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把(2,3)代入可得λ＝22－32＝－5，
∴方程为x2－y2＝－5，即－＝1.
(3)方程可化为－＝1，
∴c＝2，焦点为(±2，0)．
[答案] (1)x±y＝0 (2)－＝1 (3)(±2，0)
[合 作 探 究·攻 重 难]
由双曲线的方程求其几何性质
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.
【导学号：71392081】
[精彩点拨] 本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．
[自主解答] 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
作草图，如图所示：
[名师指津] 用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：
(1)将双曲线方程化为标准方程形式；
(2)判断焦点的位置；
(3)写出a2与b2的值；
(4)写出双曲线的几何性质.
[再练一题]
1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．
[解] 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
[精彩点拨] 利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．
[自主解答] (1)设以直线y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[名师指津] 双曲线方程的求解方法
(1)根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程.
(2)以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论.
[再练一题]
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
[解] (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线的离心率及其取值范围
(1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________.
【导学号：71392082】
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．
[精彩点拨] (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan 60°.
[自主解答] (1)由题意2c＝AB＝BC，
∴AC＝2×2c×sin 60°＝2c，
由双曲线的定义，
有2a＝AC－BC＝2c－2c?a＝(－1)c，
∴e＝＝＝.
[答案]
(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝，
直线的斜率为k＝tan 60°＝，故有≥，
所以e＝＝≥＝2，
所以所求离心率的取值范围是[2，＋∞)．
[名师指津]
1．求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2＝a2＋b2进行转化．
2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c>a，或c>b.
[再练一题]
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
[解] 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，
知PF1＝F1F2，
∴＝2c，∴b2＝2ac，
∴c2－2ac－a2＝0，∴－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
直线与双曲线的位置关系
[探究问题]
1．直线与双曲线有几种位置关系？交点个数怎样？直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断？
[提示] 三种位置关系：相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有交点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断．
2．过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？
[提示] 过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切线，两条是分别与渐近线平行的直线．解决这种问题时，应注意直线与渐近线平行的情况．
3．在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？
[提示] 直线与双曲线相交时， 两交点可能在两支上，也可能在同一支上．弦长公式为P1P2＝·|x1－x2|或|y1－y2|.
设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围.
【导学号：71392083】
[精彩点拨] 把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用Δ＞0可得a的取值范围，进而可求离心率的取值范围．
[自主解答] 由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以解得0双曲线的离心率e＝＝，因为0所以e>且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．
[名师指津]
1．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2．直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．
3．直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜率比较．对于实轴在x轴上的双曲线，若|k|>，则交在同一支上；若|k|<，则交在两支上．若直线过焦点，则可考虑用双曲线的定义．
[再练一题]
4．已知双曲线x2－＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．
[解] ①当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上可知，当k＝或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．双曲线－＝1的渐近线方程是________．
[解析] 由双曲线的方程，易知a＝2，b＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
[答案] y＝±x
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．
[解析] 因为渐近线方程为y＝x，所以＝，
所以离心率e＝＝＝＝.
[答案]
3．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是________．
[解析] 双曲线的焦点在x轴上，则c＝，＝3.
又∵a2＋b2＝c2，解得a2＝1，b2＝9，
∴方程为x2－＝1.
[答案] x2－＝1
4．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为________.
【导学号：71392084】
[解析] 直线的斜率为，由得x2＋3x＋2＝0，
x1＋x2＝－3，x1x2＝2.
所以AB＝＝2.
[答案] 2
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
[解] (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1，由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
2.4.1 抛物线的标准方程
学习目标：1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．(重点)2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程．(重点)3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 抛物线的标准方程
阅读教材P51例1以上的部分，完成下列问题．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)抛物线的方程都是二次函数．( )
(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．若抛物线的方程为x＝2ay2(a＞0)，则焦点到准线的距离p＝________.
【导学号：71392089】
[解析] 把抛物线方程化为标准形式：y2＝x，故p＝.
[答案]
3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．
[解析] ∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.
[答案] x2＝－12y
[合 作 探 究·攻 重 难]
求抛物线的焦点及准线
(1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是_________，准线方程是________．
(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．
[自主解答] (1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x，
∴2p＝，p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是x＝－.
(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y，
当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是，准线方程是y＝－.
当a<0时，则2p＝－，＝－.
∴焦点坐标是，准线方程是y＝－，
综上，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
[答案] (1) x＝－ (2) y＝－
[名师指津] 求抛物线的焦点及准线步骤
(1)把解析式化为抛物线标准方程形式.
(2)明确抛物线开口方向.
(3)求出抛物线标准方程中p的值.
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程.
[再练一题]
1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．
[解] 抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－y.
∵m>0，∴2p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是y＝.
求抛物线的标准方程
根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上.
【导学号：71392090】
[精彩点拨] (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．
[自主解答] (1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得
由得
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
[名师指津] 求抛物线的标准方程
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.
①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)，或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.
②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，再根据条件求a.
[再练一题]
2．以双曲线16x2－9y2＝144的左顶点为焦点的抛物线方程是________．
[解析] 双曲线16x2－9y2＝144的标准方程是－＝1，
左顶点是(－3,0)，由题意设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
∴－＝－3，∴p＝6，抛物线的标准方程是y2＝－12x.
[答案] y2＝－12x
抛物线的标准方程及定义的应用
(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标.
【导学号：71392091】
[精彩点拨] (1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．
[自主解答] (1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
[名师指津] 抛物线定义在求最值中的应用
(1)解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
(2)数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.
[再练一题]
3．已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值．
[解] 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝(AC＋BD)．
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
MN＝x＋，则x≥－＝.
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
抛物线的标准方程
[探究问题]
1．四种形式的标准方程的异同点是什么？
[提示] 对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝(p>0)；(4)焦点到准线的距离均为p.
不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
2．通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？
【导学号：71392092】
[提示] 在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用．
(1)如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；
(2)如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下．
3．我们知道，二次函数y＝ax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？
[提示] 焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝2py，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
[精彩点拨] 设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论．
[自主解答] 法一：设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，
＝|x|＋2，化简得y2＝4x＋4|x|＝
∴动点M的轨迹方程是y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0)．
法二：①当x≥0时，∵动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x(x≥0)．
②当x<0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴距离比它到(2,0)的距离小于2，∴动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)．
综上，动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．
[解析] 由准线方程为x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.
[答案] y2＝8x
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________．
[解析] 抛物线的标准方程为x2＝y.
则a＜0且2＝－，
得a＝－.
[答案] －
3．若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
[解析] 椭圆的右焦点为(2,0)，故p＝.
[答案]
4．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为________.
【导学号：71392093】
[解析] ∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，∴点P到焦点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离．∵点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P到焦点F的距离为3.
[答案] 3
5．已知抛物线的方程为y2＝－8x.
(1)求它的焦点坐标和准线方程；
(2)若该抛物线上一点到y轴的距离为5，求它到抛物线的焦点的距离；
(3)该抛物线上的点M到焦点的距离为4，求点M的坐标．
[解] (1)焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
(2)设M(x0，y0)是抛物线y2＝－8x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|＝|x0|＋＝5＋2＝7.
∴它到抛物线焦点的距离为7.
(3)∵M到焦点的距离为4，
∴M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为－2.∴M的坐标为(－2，±4)．
2.4.2 抛物线的几何性质
学习目标：1.掌握抛物线的简单几何性质．(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)3.直线与抛物线的公共点问题．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 抛物线的几何性质
阅读教材P52表格的部分，完成下列问题．
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形．( )
(2)抛物线的范围是x∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形．( )
(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( )
(5)抛物线x2＝2py(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0＋.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．若椭圆＋＝1的左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则p＝________.
[解析] 由椭圆标准方程知a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆的左焦点为(－1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，所以－＝－1，故p＝2.
[答案] 2
教材整理2 抛物线的焦点弦、通径
阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．
抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．
1．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________.
【导学号：71392097】
[解析] 易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.
[答案] 4
2．如图2-4-2，过抛物线x2＝－4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．
图2-4-2
[解析] F(0，－1)，将y＝－1代入得xA＝2，∴AB＝4，
∴S△OAB＝×4×1＝2.
[答案] 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
依据抛物线的几何性质求抛物线标准方程
(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________.
【导学号：71392098】
[自主解答] (1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.
[答案] (1)x2＝16y (2)y2＝4x
[名师指津] 利用抛物线几何性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.
(4)焦点：解决焦点弦问题.
[再练一题]
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为________．
[解析] 椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，
∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
[答案] x2＝12y或x2＝－12y
与抛物线有关的最值问题
求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
【导学号：71392099】
[精彩点拨] 本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．
[自主解答] 法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，
它到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝
＝＋.
∴当t＝时，d有最小值.
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.
[名师指津] 抛物线中最值的求解策略
(1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围.
(2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题，一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.
[再练一题]
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
[解析] 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝＝＝2，所以距离之和最小值是2.
[答案] 2
抛物线的几何性质
[探究问题]
1．从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？
[提示] (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．
(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．
2．如何认识抛物线的焦点弦？
[提示] 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；
(2)AB＝2(焦点弦长与中点关系)；
(3)AB＝x1＋x2＋p；
(4)若直线AB的倾斜角为α，则AB＝；
如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；
(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
(6)＋＝.
3．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径PF、焦点弦AB，如何表示．
[提示]
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦半径PF
PF＝x0＋
PF＝－x0
PF＝y0＋
PF＝－y0
焦点弦AB
AB＝x1＋x2＋p
AB＝p－x1－x2
AB＝y1＋y2＋p
AB＝p－y1－y2
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程.
【导学号：71392100】
[精彩点拨] 求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，AB＝x1＋x2＋p＝p求解．
[自主解答] 由题意可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋，BF＝dB＝x2＋，
于是AB＝x1＋x2＋p＝p，∴x1＋x2＝p.
当x1＝x2＝时，AB＝2p<p，
故直线AB与x轴不垂直．
设直线AB的方程为y＝k.
由
得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
∴x1＋x2＝，即＝p，解得k＝±2.
故直线AB的方程为y＝2或y＝－2.
[再练一题]
3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 由题意知抛物线焦点为F(1,0)，kAB＝1，所以AB的方程为y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段AB的长为8.
直线与抛物线的位置关系
[探究问题]
4．直线与抛物线有几种位置关系？交点的个数怎样？直线与抛物线的交点个数能否用判别式来判断？
[提示] 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断．
5．设直线l：y＝kx＋b，抛物线y2＝2px(p>0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？
[提示] 直线与抛物线交点的个数等价于方程组的解的个数，也等价于方程ky2－2py＋2bp＝0的解的个数．
(1)若k≠0，
当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；
当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．
(2)若k＝0，则直线l与抛物线y2＝2px(p>0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝m，则当m>0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，l与抛物线相切，有一个公共点；当m<0时，l与抛物线相离，无公共点．
(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程.
【导学号：71392101】
[精彩点拨] 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．
[自主解答] 若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.
由得
∴直线x＝0与抛物线只有一个公共点；
若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y＝kx＋1.
由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，有即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝，
即方程为y＝x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．
综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
[再练一题]
4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，则b＝________.
[解析] 由消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
由Δ>0，得－2b＋1>0，即b<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.
[答案] －4
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．
[解析] 通径长为2p.
[答案] 2p
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.
【导学号：71392102】
[解析] PQ＝x1＋x2＋2＝10.
[答案] 10
3．直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A，则实数b的值为________．
[解析] 由得x2－4x－4b＝0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
[答案] －1
4．已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为________．
[解析] 由题意得l的方程为y＝x＋1，即x＝2(y－1)．代入抛物线方程，得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1＋y2＋p＝5.
[答案] 5
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过C(－4,0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点．若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是________.
【导学号：71392103】
[解析] 由抛物线的对称性知，AB⊥x轴．因为直线AB经过抛物线的焦点，∴|AB|＝2p.又点C到直线AB的距离d＝＋4，∴△CAB的面积S＝×|AB|×d＝×2p×＝24.整理，得p2＋8p－48＝0，解得p＝4或p＝－12(舍去)，∴p＝4，∴直线AB的方程为x＝2.∴以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.
[答案] y2＝－8x
2.5 圆锥曲线的统一定义
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．(重点)2.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 圆锥曲线的统一定义
阅读教材P56“思考”以上的部分，完成下列问题．
1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
当0当e>1时，它表示双曲线；
当e＝1时，它表示抛物线．
其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为y＝±.
双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±，
双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆＋y2＝1的准线方程是x＝±.( )
(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．( )
(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．双曲线－y2＝1的准线方程为________．
[解析] 易知a2＝15，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，则双曲线的准线方程为x＝±.
[答案] x＝±
3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±的椭圆的标准方程为______.
【导学号：71392108】
[解析] 由题意知c＝2，则＝＝，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为＋y2＝1.
[答案] ＋y2＝1
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝，则右焦点的坐标为________．
[解析] 据题意知解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．
[答案] (2,0)
[合 作 探 究·攻 重 难]
已知焦点和准线求圆锥曲线的方程
已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：
(1)e＝；
(2)e＝1；
(3)e＝.
【导学号：71392109】
[精彩点拨]
[自主解答] (1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝，所求方程为＋＝1.
(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，＝1，可得y2＝－4x.
(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝.
所求方程为－＝1.
[名师指津] 本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式.
[再练一题]
1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
[解] 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
用圆锥曲线的统一定义求轨迹
已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹.
【导学号：71392110】
[精彩点拨] 此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．
[自主解答] 法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，
∴e＝＝，与已知条件相符．
∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.
b2＝18，其方程为＋＝1.
法二：由题意得＝.
整理得＋＝1.
P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．
[名师指津] 解决此类题目有两种方法：
(1)是直接列方程，代入后化简整理即得方程.
(2)是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.
[再练一题]
2．方程＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________．
[解析] 由＝|x＋y－1|，
得＝.
可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．
[答案] 双曲线
圆锥曲线统一定义的应用
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．
[精彩点拨] (1)利用椭圆的定义进行转化求解．
(2)注意e＝，则MA＝＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．
[自主解答] (1)如图所示，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.
所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．
因为MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2，
即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x＝.由(1)图可知，点M到右准线的距离为MM′，
由圆锥曲线的统一定义，得＝e＝，所以MA＝MM′.
所以MB＋MA＝MB＋MM′.
由(1)图可知，当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，
即BM′＝－2＝.
当y＝2时，有＋＝1，解得x＝(舍去负值)，
即点M的坐标为.
故MB＋MA的最小值为，此时点M的坐标为.
[名师指津]
1．解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义．
2．圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．
[再练一题]
3．已知双曲线－＝1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PA＋PF的最小值.
【导学号：71392111】
[解] 由双曲线的方程，知a＝2，b＝2，∴c＝4，离心率e＝＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有＝2，即PF＝d，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PA＋PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，D三点共线时，PA＋PD的值最小，为4－1＝3.
圆锥曲线的统一定义
[探究问题]
1．圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？
[提示] 椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．
2．在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？
[提示] 在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线只有一个焦点对应一条准线．也就是说，定点F和定直线是“相对应”的．
3．利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？
[提示] 根据定义＝e，则PF＝ed(e为离心率)．
(1)椭圆的焦半径
设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.
(2)双曲线的焦半径
设P(x0，y0)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝|ex0＋a|，PF2＝|ex0－a|.
(3)抛物线的焦半径
设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px的一点，F是焦点，则PF＝x0＋.
椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x＝8，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长.
【导学号：71392112】
[精彩点拨] (1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解．
[自主解答] (1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得＝，
两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，
化简得＋＝1.
(2)设椭圆的另一个焦点为F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，
与椭圆＋＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2
＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋(x1＋x2)＝.
[再练一题]
4．过双曲线－＝1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] 易知F(5,0)，则直线的方程为y＝x－5.
由得7x2－160x＋544＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由圆锥曲线的统一定义，知AF＝e·d＝e＝x1－a，同理BF＝x2－a，
∴AB＝AF＋BF＝－2a＝×－8＝.
即AB的长为.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P(x，y)满足＝，则PA＋PB＝________.
[解析] ∵点P到A(－2,0)的距离与它到直线x＝－3的距离之比为，∴点P的轨迹是椭圆，且＝，c＝2，∴a＝，故PA＋PB＝2a＝2.
[答案] 2
2．已知椭圆＋y2＝1，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为________．
[解析] 由椭圆的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝，故椭圆的左准线方程为x＝－，故所求抛物线的方程为y2＝x.
[答案] y2＝x
3．到点F(2,0)与直线x＝的距离的比等于2的曲线方程为________.
【导学号：71392113】
[解析] 由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c＝2，＝，即a2＝1，故b2＝3，则双曲线的方程为x2－＝1.
[答案] x2－＝1
4．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为________．
[解析] 由＋＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，
∴e＝.根据椭圆的第二定义得＝e.
又∵PF1＝3，
∴d＝＝3×＝5，
∴点P到左准线的距离为5.
[答案] 5
5．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求△ABF2的周长(F2为双曲线的右焦点)．
[解] 根据题意，得F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AB的方程为y＝x＋2.
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得2x2－4x－7＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－.
∴AB＝ ＝×＝6.
由x1x2＝－<0知，弦AB与双曲线左、右两支均相交，
由焦半径公式，得AF2＝a－ex1＝1－2x1，BF2＝ex2－a＝2x2－1，
∴AF2＋BF2＝1－2x1＋2x2－1＝2(x2－x1)
＝2＝6.
∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝6＋6.
2.6.1 曲线与方程
学习目标：1.了解曲线与方程的对应关系，了解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(难点、易错点)2.能根据曲线方程的概念解决一些简单问题．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 曲线的方程 方程的曲线
阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．
1．方程与曲线的定义
在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
2．方程与曲线的关系
图2-6-1
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程．( )
(2)如果f(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )
(3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．( )
(4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．( )
(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．点A在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，则m＝________.
【导学号：71392118】
[解析] 据题意，有m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－.
[答案] 2或－
3．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．
[解析] ∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．
[答案] 两条直线
4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．
①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．
[解析] 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．
[答案] ①
[合 作 探 究·攻 重 难]
曲线与方程的概念
下列命题正确的是________(填序号)．
①过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
④△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0. 【导学号：71392119】
[解析] ①正确，因为过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上任意一点的横坐标都是3，满足方程x＝3，满足方程x＝3的解为坐标的点都在过点A(3,0)且垂直于x轴的直线上．
②错误，因为到x轴距离为2的点的轨迹方程为|y|＝2，即y＝±2.
③错误，因为到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x|·|y|＝1即xy＝±1.
④错误，因为三角形中线AD是一条线段，而不是直线，AD方程应为x＝0(－3≤y≤0)．
[答案] ①
[名师指津] 判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.
[再练一题]
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．
①方程f(x，y)＝0的曲线是C；
②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；
③f(x，y)＝0是曲线C的方程；
④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
[解析] 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．
[答案] ②
由方程确定曲线
方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么图形？
[精彩点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．
[自主解答] 方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，
∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.
∴方程表示点(1，－1)．
[名师指津] 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.
[再练一题]
2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示什么图形？
[解] 方程4x2－y2＋6x－3y＝0等价于(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝0，
等价于(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，等价于2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
故方程表示两条相交直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
点与曲线的关系及应用
(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________.
【导学号：71392120】
[精彩点拨] (1)由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．(2)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得．
[自主解答] (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，
所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5.
[答案] (2)－1或－5
[名师指津] 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0).,(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)＝0.
(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上?f(x0，y0)≠0.
[再练一题]
3．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，则实数k的取值范围是________．
[解析] ∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，
∴a2＝－a2＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝2－，
∴k≥－，
∴k的取值范围是.
[答案]
曲线与方程的关系
[探究问题]
1．怎样理解曲线与方程的概念？
[提示] 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．
2．理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？
【导学号：71392121】
[提示] (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．
分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5.
(2)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0.
[精彩点拨] 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：
一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．
[自主解答] (1)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，如点(1，－5)，但是，以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离的积等于5，因此，与两坐标轴距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(2)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
[名师指津] 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点缺一不可，一是检验点的坐标是否满足方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上，要判断点是否在方程的曲线上，只需验证点的坐标是否满足方程即可.
[再练一题]
4．判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝；
(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.
[解] (1)不正确，因为以原点为圆心，r为半径的圆上的一点如点在圆上，但此点坐标不满足方程y＝.
(2)不正确，因为坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，如|－2|＝2，但点(－2,0)不在直线l上．因此方程|x|＝2不是直线l的方程，l的方程是x＝2.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．
①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；
③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.
[解析] 因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．
[答案] ④
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.
【导学号：71392122】
[解析] ∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0) 在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，
∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．
[答案] 充要
3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为___________．
[解析] ∵P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝.
[答案]
4．如图2-6-2中，方程表示图中曲线的是________．
图2-6-2
[解析] ∵x2＋y2＝1表示单位圆，故①错；x2－y2＝0表示两条直线y＝x和y＝－x，故②错；lg x＋lg y＝0可化为xy＝1(x>0，y>0)，故④错；只有③正确．
[答案] ③
5．方程(x＋y－2)·＝0表示什么曲线？
[解] (x＋y－2)·＝0变形为
x2＋y2－9＝0或
表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线．
2.6.2 求曲线的方程
学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 求曲线的方程
阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．
1．求曲线方程的一般步骤
求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：
↓
↓
↓
↓
求曲线方程的流程图可以简记为：
→→→→
2．求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )
(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( )
(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )
(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．
[解析] 由圆的定义知，点M的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.
[答案] x2＋y2＝4
3．设P为曲线＋y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．
[解析] 设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x0＝2x，y0＝2y，
∵＋y＝1，∴x2＋4y2＝1.
[答案] x2＋4y2＝1
4．到A(－3,0)，B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.
【导学号：71392127】
[解析] 设P(x，y)，PA＝PB，即＝，即(x＋3)2＋y2＝(x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.
[答案] 16x－2y－17＝0
[合 作 探 究·攻 重 难]
直接法求轨迹方程
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．
[精彩点拨] 由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．
[自主解答] 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得AC＋BC＝2AB.
即＋＝4，
整理化简得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.
又∵a>c>b，∴x<0且x≠－2.
所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(x<0且x≠－2)．
[名师指津] 直接法求动点轨迹的关键及方法
(1)关键
①建立恰当的平面直角坐标系；
②找出所求动点满足的几何条件.
(2)方法
求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：①建系、设点；②根据动点满足的几何条件列方程；③对所求的方程化简、说明.
[再练一题]
1．若将本例已知条件“a>c>b且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程.
【导学号：71392128】
[解] 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，
由已知得AC＋BC＋AB＝6.
即＋＝4.
化简整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.
∵A，B，C三点不能共线，
∴x≠±2.
综上，点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2).
定义法求曲线方程
已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
[精彩点拨] 利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．
[自主解答] 如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，
所以AP＝PQ，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，
A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)
则＝2，∴p＝4，
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
[名师指津] 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.
[再练一题]
2．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
[解] 设d是点P到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.
由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＝8为准线的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则解得
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
故点P的轨迹方程为＋＝1.
代入法求动点的轨迹方程
已知P在抛物线y＝x2上运动，另有一点Q(4,2)，求线段PQ的中点M的轨迹方程.
【导学号：71392129】
[精彩点拨] 设M(x，y)，由M为线段PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．
[自主解答] 设M(x，y)，P(x0，y0)．
由M为线段PQ的中点，
得＝x，＝y，
则x0＝2x－4，y0＝2y－2.
因为P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，
即y0＝x，得2y－2＝(2x－4)2，
化简得y＝2x2－8x＋9.
即线段PQ的中点M的轨迹方程为y＝2x2－8x＋9.
[名师指津]
1．动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．
2．代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而导致错误．
[再练一题]
3．在例3中，若点M满足＝3，则点M的轨迹方程是什么？
[解] 设P(x0，y0)，则y0＝x，设M(x，y)，则＝(4－x0,2－y0)，＝(4－x,2－y)，由＝3，得即又y0＝x，∴3y－4＝(3x－8)2，化简得y＝3x2－16x＋，即点M的轨迹方程为y＝3x2－16x＋.
曲线方程的特征
[探究问题]
1．在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？
[提示] 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．
2．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？
[提示] (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．
3．在求动点的轨迹方程时 ，如何确定变量的取值范围？
[提示] 在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．
4．如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？
[提示] (1)当动点坐标x，y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x，y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角α，截矩b，时间t等作为参数．
(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．
设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，当直线l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
【导学号：71392130】
[精彩点拨] 设出直线的方程，其斜率为k，运用所给条件，用k表示点P的纵、横坐标，消去k，得x，y的关系式，即动点P的轨迹方程．
[自主解答] 直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A，B满足方程组
消去y，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
设P(x，y)，则由＝(＋)，
得
消去k，得4x2＋y2－y＝0；
当斜率k不存在时，P是坐标原点，也满足这个方程，
故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
[再练一题]
4．过原点作直线l和抛物线y＝x2－4x＋9交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解] 由已知，直线l的斜率一定存在，设l的方程为y＝kx，把它代入抛物线方程中，得
x2－(4＋k)x＋9＝0.由Δ＝(4＋k)2－36>0，得k>2或k<－10.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由根与系数的关系得
x1＋x2＝4＋k，则x＝＝，y＝kx＝，
由消去参数k，得y＝2x2－4x.
由k>2或k<－10，知x>3或x<－3，
即所求的轨迹方程为y＝2x2－4x(x>3或x<－3)．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．
[解析] 设P(x，y)到两坐标轴的距离相等，则|x|＝|y|，即y＝±x.
[答案] y＝±x
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．
[解析] 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
[答案] 2x－y＋5＝0
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
[解析] 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，
即轨迹所包围的面积等于4π.
[答案] 4π
4．已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝16，动圆M与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.
【导学号：71392131】
[解析] 由圆F1的方程知圆心F1(－5,0)，半径r1＝1，由圆F2的方程知圆心F2(5,0)，半径r2＝4，设动圆M的半径为R，因为圆M与圆F1，F2都外切，所以有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，从而有MF2－MF1＝3＜10＝F1F2，根据双曲线的意义知，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，焦距为2c，则2a＝3,2c＝10，∴a＝，c＝5.
∴b2＝c2－a2＝.∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
[答案] －＝1
5．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积为－，求顶点C的轨迹方程．
[解] 设顶点C的坐标为(x，y)，
则kCA＝(x≠－3)，kBC＝(x≠3)．
∵kCA·kBC＝－，∴·＝－.
化简得＋＝1(x≠±3)．
当x＝±3时，A，B，C三点共线，则不能构成三角形，故x≠±3.
∴所求顶点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．
2.6.3 曲线的交点
学习目标：1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点)3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 两条曲线的交点与相交弦长
阅读教材P65的部分，完成下列问题．
1．两条曲线的交点
对于曲线C1：f1(x，y)＝0和曲线C2：f2(x，y)＝0，
(1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点?
(2)求两条曲线的交点坐标，就是求方程组的实数解．
2．弦长公式
设直线l的方程为y＝kx＋b，l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
3．代点法
设直线l与圆锥曲线C：f(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则可将A，B两点坐标代入方程f(x，y)＝0，得两式作差，变形，即可得到弦AB的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点．( )
(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条．( )
(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切．( )
(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2＝________.
[解析] 由得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0.
由题意得Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝0，解得m2＝.
[答案]
3．曲线x2＋2xy＋y2－2＝0与x轴的交点坐标为______．
[解析] 在曲线方程中，令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，则曲线与x轴的交点坐标为(±，0)．
[答案] (±，0)
4．直线y＝x＋1与曲线x2＝2y交于A，B两点，则AB＝________.
【导学号：71392135】
[解析] 由得x2－2x－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，
由弦长公式得
AB＝
＝·
＝2.
[答案] 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
曲线公共点的个数问题
已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点.
【导学号：71392136】
[精彩点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．
[自主解答] 将直线与双曲线方程联立消去y，得
(1－4k2)x2－16kx－20＝0. ①
当1－4k2≠0时，
有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．
(1)当1－4k2≠0且Δ<0，即k<－或k>时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．
当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．
故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，即－[名师指津] 判定直线与圆锥曲线公共点个数的步骤
[再练一题]
1．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
图2-6-6
[解] (1)当k＝0时，直线l与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点．
(2)当k≠0时，联立
消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，
Δ＝16－4k×4(2k＋1)．
①当Δ＝0，即k＝－1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；
②当Δ>0，即－1③当Δ<0，即k<－1或k>时，直线l与抛物线相离，没有公共点．
综上，当k＝－1或或0时，
直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点．
直线被圆锥曲线截得的弦长问题
已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[精彩点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A，B坐标间的联系，进行整体运算．
[自主解答] ∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2.
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法一：由方程组
得交点A(0，－2)，B.
则AB＝
＝＝＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的公共解．
对方程组消去y，得3x2－5x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴AB＝
＝
＝
＝＝.
法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y，得3x2－5x＝0，
则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两根．
∴x1＋x2＝.
由圆锥曲线的统一定义，得AF1＝×(5－x1)，
F1B＝×(5－x2)，
则AB＝AF1＋F1B＝×[10－(x1＋x2)]＝×＝.
[名师指津] 弦长的求法
(1)求弦长要分一般弦还是焦点弦，若是一般弦，利用一般弦长公式求解，若是焦点弦，可利用圆锥曲线的统一定义求解.
(2)弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷.
[再练一题]
2．如图2-6-7，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
图2-6-7
[解] 由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，
∴c＝＝.
由c＝知F1(－，0)，F2(，0)，
又直线l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直线l的方程为x－y＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由
法一：消去y，整理得
25x2＋32x－32＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝＝
＝
＝＝.
又点F2到直线l的距离d＝＝，
∴S＝AB·d＝××＝.
法二：消去x，整理得
25y2－18y－81＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴|y1－y2|＝
＝＝，
∴S＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
直线与圆锥曲线的综合问题
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，焦距为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线过D(－1,0)与椭圆交于E，F两点，若＝2，求直线EF的方程；
(3)是否存在实数k，直线y＝kx＋2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过D(－1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：71392137】
[精彩点拨] (1)根据直线的倾斜角求得a，b的关系式，又2c＝2，结合a2＝b2＋c2可得a2和b2，即得方程；(2)设出直线方程，利用＝2及韦达定理可求EF的方程；(3)假设存在，利用PD⊥QD建立方程推导．
[自主解答] (1)由＝，a2－b2＝c2＝2，得a＝，b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m≠0)，代入＋y2＝1，
得(m2＋3)y2－2my－2＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.
由y1＋y2＝－y2＝， y1y2＝－2y＝，
得＝，∴m＝1或m＝－1.
直线EF的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(3)将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0.(*)
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，PQ为直径的圆过D(－1,0)，则PD⊥QD，即(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，得(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝＝0，
解得k＝，此时(*)方程Δ＞0，∴存在k＝满足题设条件．
[名师指津] 存在性问题的一般方法
对于存在性问题，一般是假设存在，利用已知条件进行推导，如本例中的以PQ为直径的圆过点D，转化为PD⊥QD，若存在，则利用构建的方程可解出未知数；若不存在，则推出矛盾.
[再练一题]
3．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值.
【导学号：71392138】
[解] (1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>，且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x2＝－，x＝－，
消去x2，得－＝.由a>0，解得a＝.
直线与圆锥曲线的相交弦问题
[探究问题]
解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么？
[提示] (1)“设而不求”的方法，若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法．
(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．
[精彩点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．
[自主解答] 法一：由题意，弦所在直线存在斜率，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上面的方程的两个根，
所以x1＋x2＝，
因为P为弦AB的中点，
所以2＝＝，
解得k＝－，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
又因为A，B在椭圆上，
所以x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以＝＝－，即kAB＝－.
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
[再练一题]
4．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长AB.
[解] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. ②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
AB＝
＝
＝
＝·
＝·＝.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有________条．
[解析] 点(0,1)在抛物线y2＝x的外部，过点(0,1)与抛物线相切的直线有两条．过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有3条．
[答案] 3
2．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________.
【导学号：71392139】
[解析] 由题意知a≠0.由消去y得ax2－x＋1＝0，
该方程的判别式Δ＝(－1)2－4×a×1＝1－4a，令Δ＝0，即1－4a＝0，解得a＝.
[答案]
3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的交点个数为________．
[解析] 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有2个交点．
[答案] 2
4．若直线y＝2x＋b被曲线y2＝4x截得的弦AB的长为3，则实数b等于________．
[解析] 联立方程得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，(*)
设两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得
故AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝3.
化简得＝3，于是b＝－4，
当b＝－4时，方程(*)的判别式为
Δ＝(4b－4)2－16b2＝－32b＋16
＝－32×(－4)＋16＝144>0.
故直线与曲线有两个交点，于是所求的b的值为－4.
[答案] －4
5．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系.
【导学号：71392140】
[解] 由
消去y得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，
直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，
直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，
直线与椭圆相离．
第2章 圆锥曲线与方程
[体系构建]
[自我校对]
①＋＝1(a＞b＞0) ②＋＝1(a＞b＞0) ③(±a，0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0) ④2a ⑤2b ⑥(－c,0)，(c,0) ⑦2c ⑧ ⑨－＝1(a＞0，b＞0) ⑩y＝±x ?y＝±x ?y2＝±2px(p＞0) ?x2＝±2py(p＞0) ? ?y＝± ?＝e
[题型探究]
圆锥曲线定义的应用
“回归定义”解题的三点应用：
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离互相转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．
已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB的最大值与最小值．
[精彩点拨] A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．
[规范解答] 如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．
由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，
∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．
∵|MB－MA1|≤A1B＝2，即－2≤MB－MA1≤2，又2a＝10，∴MA＋MB的最大值是10＋2，最小值为10－2.
[再练一题]
1．双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，求△PF1F2的面积.
【导学号：71392145】
[解] 双曲线方程16x2－9y2＝144化为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义，
可知|m－n|＝2a＝6，
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝＝＝，所以∠F1PF2＝60°.
所以S＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝m·n·sin 60°＝16，所以△PF1F2的面积为16.
圆锥曲线的性质与标准方程
1．有关圆锥曲线的焦点、离心率、准线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是：
(1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型；
(2)设方程：根据方程的类型，设出方程；
(3)求参数：利用已知条件，求出a，b或p的值；
(4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且离心率为的椭圆的标准方程．
[精彩点拨] 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解．
[规范解答] 因为c＝＝，所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为e＝＝，c＝，所以a＝5，
所以b2＝a2－c2＝20，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
[再练一题]
2．设双曲线－＝1(b>a>0)的焦半距长为c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
[解析] 法一：如图，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OE＝c，AB＝＝c.
由于AB·OE＝OA·OB，
∴c·c＝ab，∴(a2＋b2)＝ab，两边同时除以a2，得－＋＝0，
∴＝或＝(舍去)．
∴e＝＝＝＝2.
法二：直线l方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，由原点到直线l的距离为c，得＝c，即ab＝c2，两边平方得a2b2＝c4.
∴16a2(c2－a2)＝3c4，
∴3c4－16a2c2＋16a4＝0，
同除以a4得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝(舍去)，
∴e＝2.
[答案] 2
求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程的方法有直接法、定义法、代入法和参数法，首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程.
【导学号：71392146】
[精彩点拨] 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解．
[规范解答]
法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示：
即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为＋y2＝(去掉原点)．
法二(定义法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意知，CB⊥OA，OC的中点记为M，
则MB＝OC＝，
故B点的轨迹方程为＋y2＝(去掉原点)．
法三(代入法)：
设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，
由题意得即
又因为(x1－1)2＋y＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.
即＋y2＝(去掉原点)．
法四(交轨法)：
设直线OA的方程为y＝kx，
当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－(x－1)，
直线OA，BC的方程联立，消去k即得其交点轨迹方程y2＋x(x－1)＝0，即＋y2＝(x≠0,1)，
显然B(1,0)满足＋y2＝，
故＋y2＝(去掉原点)即为所求．
[再练一题]
3．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，求点P与Q(0，－1)连线中点M的轨迹方程．
[解] 设P(x0，y0)，中点M(x，y)，
则∴
又P(x0，y0)在曲线y＝2x2＋1上，
∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.
∴点M的轨迹方程为y＝4x2.
直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．
2．直线l截圆锥曲线所得的弦长AB＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
如图2-1所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
图2-1
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
【导学号：71392147】
[精彩点拨] 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解．
[规范解答] (1)过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－2)．
(2)把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得
k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M，N两点在抛物线上，∴y·y＝4x1x2＝16，
而y1y2<0，∴y1y2＝－4.
(3)∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0，
∴⊥，∴OM⊥ON.
[再练一题]
4．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截线段的中点坐标．
[解] 过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线y＝(x－3)代入椭圆C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
∴x1＋x2＝3，∴＝，
＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
圆锥曲线的最值问题
与圆锥曲线有关的最值问题的三种解决方法有：
(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值．
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[精彩点拨] →→→→→→
[规范解答] (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以d＝
＝
＝
＝
＝，
所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
[再练一题]
5．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若AF＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB长的最小值．
[解] (1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，则由抛物线的定义，可知AF＝x1＋1＝4，
∴x1＝3，代入y2＝4x中，得y＝4×3，即y1＝±2，故A点的坐标为(3，±2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，AB＝x1＋x2＋p＝4＋＞4；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时AB＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
函数与方程的思想
1．在解析几何中，已知某些点或直线在运动变化，这就会引出一些相互制约的量，它们之间可能构成函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理．
2．由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题．一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题．
点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
【导学号：71392148】
[精彩点拨] (1)由PA⊥PF得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P点的坐标．
(2)由M到直线AP的距离等于MB，求出M点坐标，将距离d表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．
[规范解答] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)．设点P(x，y)，则kAP·kPF＝－1.
由已知可得
消去y整理得2x2＋9x－18＝0，
解得x＝或x＝－6(舍去)．
所以x＝，由于y＞0，故y＝.
所以点P的坐标是.
(2)由(1)知P，A(－6,0)，
由两点式方程得直线AP的方程为＝，即x－y＋6＝0.
设点M(m,0)，
由点到直线的距离公式，
得M到直线AP的距离是.又MB＝|m－6|，
于是＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15.
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值.
[再练一题]
6．已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若|AB|＝2，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程．
[解] 由
消去y，整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
又设AB的中点M(xM，yM)，
则xM＝＝，yM＝－xM＋2＝.
∵直线OM的斜率kOM＝＝，
∴＝，∴a2＝4b2，
从而x1＋x2＝＝4，x1x2＝＝8－2b2.
又∵AB＝2，∴·＝2，
即×＝2，解得b2＝4，∴a2＝4b2＝16，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
[链接高考]
1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
[解析] 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x＝，两条渐近线方程为y＝±x，右准线与两条渐近线的交点坐标为.不妨设F1(－2,0)，F2(2,0)，P，Q，
则四边形F1PF2Q的面积为S＝|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
[答案] 2
2．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为________.
【导学号：71392149】
[解析] 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径r＝2，
不妨设双曲线C的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0.
因为该渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，
所以＝＝，两边平方得3a2＝b2，即＝3，
从而e＝＝＝2.
[答案] 2
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为________．
[解析] 由双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，可知＝①.
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
∴a2＋b2＝9②.由①②联立可解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线C的方程为－＝1.
[答案] －＝1
4．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为.已知A是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为，求直线AP的方程．
[解] (1)设点F的坐标为(－c,0)．
依题意，得＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，进而得b2＝a2－c2＝.
所以椭圆的方程为x2＋＝1，抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线AP的方程为x＝my＋1(m≠0)，与直线l的方程x＝－1联立，可得点P，故点Q.
将x＝my＋1与x2＋＝1联立，消去x，
整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，
解得y＝0或y＝.
由点B异于点A，可得点B.
由点Q，
可得直线BQ的方程为(x＋1)－＝0，
令y＝0，解得x＝，故点D.
所以|AD|＝1－＝.
又因为△APD的面积为，
故··＝，
整理得3m2－2|m|＋2＝0，
解得|m|＝，所以m＝±.
所以直线AP的方程为3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0.
