3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.2 共面向量定理
学习目标：1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，掌握空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2.了解向量共面的含义，理解共面向量定理.3.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 空间向量及其线性运算
阅读教材P81的部分，完成下列问题．
1．空间向量
在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
定义(或法则)
加法
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b
减法
与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量
空间向量的数乘
空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：
大小：|λa|＝|λ||a|.
方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；
当λ＜0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．( )
(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( )
(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆．( )
(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.( )
(5)已知四边形ABCD，O是空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是平行四边形．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．如图3-1-1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________(填序号)．
图3-1-1
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
[解析] ①－－＝－＝；
②＋－＝＋＝；
③－－＝－＝－＝≠；
④－＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.
[答案] ①②
教材整理2 共线向量
阅读教材P82例1上面的部分，完成下列问题．
1．共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
教材整理3 共面向量
阅读教材P84的部分，完成下列问题．
1．共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
有下列命题：
①平行于同一直线的向量是共线向量；
②平行于同一平面的向量是共面向量；
③平行向量一定是共面向量；
④共面向量一定是平行向量．
其中正确的命题有________．
[解析] “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．
[答案] ①②③
[合 作 探 究·攻 重 难]
空间向量及有关概念
下列四个命题：
①所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；
④零向量没有方向．
其中不正确的命题的序号为________. 【导学号：71392156】
[精彩点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．
[自主解答] 对于①：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故①错；对于②：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故②错；对于③：向量是不能比较大小的，故不正确；对于④：零向量有方向，只是没有确定的方向，故④错．
[答案] ①②③④
[名师指津]
1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．
2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．
[再练一题]
1．下列命题中正确的个数是________．
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③同向且等长的有向线段表示同一向量；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
[解析] ①③④正确，②不正确．
[答案] 3
空间向量的线性运算
化简：(－)－(－)．
[精彩点拨] 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．
[自主解答] 法一：将减法转化为加法进行化简．
∵－＝＋，
∴(－)－(－)＝＋－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＝0.
法二：利用－＝，－＝化简．
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
法三：∵＝－，＝－，
＝－，＝－，
∴(－)－(－)
＝(－－＋)－(－－＋)
＝－－＋－＋＋－＝0.
[名师指津]
1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．
2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：
(1)三角形法则和平行四边形法则；
(2)正确使用运算律；
(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．
[再练一题]
2．如图3-1-2所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用向量a，b，c表示).
【导学号：71392157】
图3-1-2
[解析] 法一：＝－＝＋－＝－＋－－＝a－b＋c－b＋b＝a－b＋c.
法二：＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b.
[答案] a－b＋c
共线向量定理及其应用
如图3-1-3，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
图3-1-3
[精彩点拨] 要证明B，G，N三点共线，可证明∥，即证明存在实数λ，使＝λ.
[自主解答] 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B，G，N三点共线．
[名师指津] 判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：
(1)考察是否存在实数λ，使＝λ；
(2)考察对空间任意一点O，是否有＝＋t；
(3)考察对空间任意一点O，是否有＝x＋y (x＋y＝1).
[再练一题]
3．在例3中，若把条件“GM∶GA＝1∶3”换为“GM∶GA＝1∶1”．把“N是面ACD的重心”换为“＝λ”，增加条件“B，G，N三点共线”，其余不变，试求λ的值．
[解] 设＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．
∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝－a＋λb＋λc.
∵B，G，N三点共线，故存在实数k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故
解得k＝，λ＝.
共面向量定理及其应用
如图3-1-4所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
图3-1-4
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.
【导学号：71392158】
[精彩点拨] (1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x，y，使＝x＋y即可．
(2)要证BD∥平面EFGH，只需证向量与向量，共面即可．
[自主解答] (1)如图所示，连接BG，EG，则
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋.
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．
(2)设＝a，＝b，＝c，
则＝－＝c－a.
＝＋＝－＋(c＋b)＝－a＋b＋c，
＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.
假设存在x，y，使＝x＋y.
即c－a
＝x＋y
＝a＋b＋c.
∵a，b，c不共线．
∴解得
∴＝－.
∴，，是共面向量，
∵BD不在平面EFGH内．
∴BD∥平面EFGH.
[名师指津]
1．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在实数对x，y，使＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
2．用共面向量定理证明线面平行的关键
(1)在直线上取一向量；
(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；
(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．
[再练一题]
4．已知两个非零向量e1，e1不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面．
[证明] ∵＋＝(3e1－3e2)＋(2e1＋8e2)＝5(e1＋e2)＝5，
∴＝＋，又与不共线，
∴，，共面，又它们有一个公共起点A，
∴A，B，C，D四点共面.
共线、共面向量的特征
[探究问题]
1．如何理解共线向量及共线向量定理？
[提示] (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．
(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ或＝λ即可．
(3)对于空间任意一点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线．
2．如何理解共面向量定理？
[提示] (1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．
(2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据．
3．若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？
[提示] 两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面．
如图3-1-5所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：与，共面.
【导学号：71392159】
图3-1-5
[精彩点拨] 由共面向量定理，只要用，线性表示出即可．
[自主解答] ∵＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋
＝＋，
∴与，共面．
[再练一题]
5．如图3-1-6，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
图3-1-6
[证明] 法一：＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．
法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连接FG，BG，则有FGDD1，
BEDD1，
∴FGBE，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
BG?平面A1BD，EF?平面A1BD，
∴EF∥共面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴，，都与平面A1BD平行．
∴，，是共面向量．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则＋＋＋＝________.
[解析] ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
[答案] 0
2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝________(用a，b，c表示)．
[解析] 由条件AF＝EF知，EF＝2AF，所以＝＝
＝＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
[答案] a＋b＋c
3．a＝λb(λ是实数)是a与b共线的______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
[解析] a＝λb?a∥b，但当b＝0，a≠0时，
则a∥b，a≠λb.
[答案] 充分不必要
4．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值是________.
【导学号：71392160】
[解析] ∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
∵e1，e2是空间两个不共线的向量，
∴
∴k＝－8.
[答案] －8
5．已知?ABCD，从平面AC外一点O，引向量＝k，＝k，＝k，＝k.
图3-1-7
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)平面AC∥平面EG.
[证明] (1)四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋.
∵＝－＝k·－k·＝k(－)
＝k＝k(＋)
＝k(－＋－)
＝－＋－
＝＋，∴E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝－＝k(－)＝k·，又∵＝k·，∴EF∥AB，EG∥AC，所以平面AC∥平面EG.
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示
学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行．(重点)3.基向量的选取及应用．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 空间向量基本定理
阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底、基向量
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．
3．正交基底、单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．
4．空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
已知是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断能否作为空间的一个基底？并说明理由．
[解] 能作为空间的一个基底，理由如下：
假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3.
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无实数解．
∴，，不共面．
∴能作为空间的一个基底．
教材整理2 空间向量的坐标运算
阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量的加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量的减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
向量平行
a∥b(a≠0)? b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R
已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.
[解析] b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．
[答案] (2,1，－1)
[合 作 探 究·攻 重 难]
基底的判断
(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．
①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．
(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.
【导学号：71392165】
[精彩点拨] (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解．
[解析] (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
(2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面．
由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y，
即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．
故解得x＝，y＝－，k＝5.
[答案] (1)③ (2)5
[名师指津] 基底的判断
判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.
用基底表示空间向量
如图3-1-14所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
【导学号：71392166】
图3-1-14
[精彩点拨] →→
→
→→
[自主解答] ＝－，∵＝，
∴＝×(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋×(＋)
＝a＋(b＋c)，
∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，
即＝－a.
[名师指津] 用基底表示向量的技巧
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果.
(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
[再练一题]
1．如图3-1-15所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
图3-1-15
[解] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.
空间向量的坐标运算
如图3-1-16，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
图3-1-16
[精彩点拨] 根据题意，以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用，，表示向量，即可得到结果．
[自主解答] 法一：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，∴＝.
法二：∵P(0,0,1)，C(1,1,0)，
∴N.
又∵M，
∴＝.
[名师指津]
1．本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便．
2．运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用．
[再练一题]
2．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3-1-17所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
图3-1-17
[解] ∵D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，∴＝(2,2,2)，＝(2,2,1)，＝(0,1,0).
空间向量平行的坐标表示
已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)是否存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【导学号：71392167】
[精彩点拨] 根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解．
[自主解答] (1)由条件，易得＝(－2，－1,2)，因为c∥，
故设c＝λ＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)，又因为|c|＝3，
∴4λ2＋λ2＋4λ2＝9，解得λ＝±1，故c的坐标为(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)．
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，假设存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)，即存在实数λ，使ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k,2)＝λ(k＋2，k，－4)，
即
解得λ＝－，k＝0，
所以存在实数k＝0，使(ka＋b)∥(ka－2b)．
[名师指津] 两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，
②依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．
[再练一题]
3．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行．
[解] ∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，
∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，
5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．
∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，
∴＝＝，
∴λ＝0，μ∈R，
即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行.
空间向量的坐标运算
[探究问题]
1．如何建立空间直角坐标系？
[提示] (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．
(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示．
2．如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？
[提示] 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：
(1)建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标；
(3)写出向量的坐标；
(4)结合公式进行论证、计算；
(5)转化为几何结论．
如图3-1-18，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．
图3-1-18
求证：PQ∥RS. 【导学号：71392168】
[精彩点拨] 以O为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明．
[自主解答] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．
∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，
Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
于是＝＝，∴∥.
∵R?PQ，∴PQ∥RS.
[再练一题]
4．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
[证明] ∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴＝＝，
∴与共线，即AB∥CD.
又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴≠≠，
∴与不平行．
∴四边形ABCD为梯形．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.
[解析] ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，
∴＝＝3k＋2，解得k＝－1.
[答案] －1
2．已知向量a＝(－1,2,1)，a＋b＝(0,1,2)，则b＝______.
[解析] b＝a＋b－a＝(0,1,2)－(－1,2,1)＝(1，－1,1)．
[答案] (1，－1,1)
3．已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝平行，则λ等于________.
【导学号：71392169】
[解析] 法一：由题意知，存在实数k，使b＝ka，即＝k(2，－3,5)，即
解得k＝，λ＝－.
法二：由a∥b，显然λ≠0，
得＝＝，
∴λ＝－.
[答案] －
4．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3-1-19所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为________，________.
图3-1-19
[解析] 由题意得，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，则D(2,1,4)，∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．
[答案] (－2，－1，－4) (－4,2，－4)
5．如图3-1-20所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3-1-20
[解] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(－)
＝－a－b＋c＋b－c
＝－a＋b＋c.
3.1.5 空间向量的数量积
学习目标：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 空间向量的夹角
阅读教材P91～P92上半部分，完成下列问题．
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，?a，b?的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
如图3-1-27，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求向量与夹角的大小．
图3-1-27
[解] ∵＝，
∴∠CAD1的大小就等于〈，〉．
∵△ACD1为正三角形，
∴∠CAD1＝，∴〈，〉＝.
∴向量与夹角的大小为.
教材整理2 空间向量的数量积
阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题．
1．数量积的定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的性质
(1)cos?a，b?＝(a，b是两个非零向量)．
(2)a⊥b?a·b＝0(a，b是两个非零向量)．
(3)|a|2＝a·a＝a2.
3．数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.( )
(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )
(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________.
【导学号：71392174】
[解析] cos〈a，b〉＝＝＝－，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
[答案]
教材整理3 数量积的坐标表示
阅读教材P93～P94例3以上的部分，完成下列问题．
1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
2．空间两点间距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.
1．若a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且a⊥b，则x＝______.
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得x＝2.
[答案] 2
2．与向量a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．
[解析] |a|＝＝3，故与a方向相同的单位向量是＝(1,2,2)＝.
[答案]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求空间向量的数量积
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·.
【导学号：71392175】
[精彩点拨] 法一(基向量法)：
与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可．
法二(坐标法)：
建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
[自主解答] 法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，
∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，
(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.
(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.
[名师指津] 解决此类问题的常用方法
(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算.注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量.
(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可.
[再练一题]
1．在上述例1中，求·.
[解] 法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，∴＝(－1,2,1)，＝(2,2,0)，
∴·＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.
利用数量积求夹角和距离
如图3-1-28所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
图3-1-28
(1)求AC′的长；
(2)求与的夹角的余弦值.
【导学号：71392176】
[精彩点拨] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．
[自主解答] (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)法一：设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
由余弦定理可得
cos θ＝＝＝.
法二：设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cos θ＝＝＝.
[名师指津]
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a，b〉∈时，它们相等；而当〈a，b〉∈时，它们互补．
[再练一题]
2．如图3-1-29，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
图3-1-29
(1)用a，b，c分别表示向量，；
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值．
[解] (1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]
＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)，
＝(＋)＝[(－)－]
＝[(a－b)－b]＝(a－2b)．
(2)设棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)
＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为.
利用数量积解决平行和垂直问题
已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[精彩点拨] 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．
[自主解答] (1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2)．
[名师指津] 向量平行与垂直问题主要有两种题型
(1)平行与垂直的判断.
(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用.
[再练一题]
3．如图3-1-30所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．求证：A1B⊥C1M.
【导学号：71392177】
图3-1-30
[证明] 如图所示，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系C-xyz.
依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，C1?0，0，2)，B1(0,1,2)，则M，于是＝(－1,1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，故A1B⊥C1M.
空间向量数量积的运算特征
[探究问题]
1．数量积运算是否满足消去律？
[提示] 对于三个不为0的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.对于三个非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，不能得出b＝c，即向量不能约分．
如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，则SC⊥AC，SC⊥BC.设＝a，＝b，＝c，则a·b＝a·c＝0，但b≠c.
2．数量积运算是否有除法？
[提示] 数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝，例如当非零向量a，b垂直时，a·b＝0，但a＝显然是没有意义的．
3．数量积运算满足结合律吗？
[提示] 由定义得(a·b)c＝(|a||b|cos〈a，b〉)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cos〈b，c〉)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
如图3-1-31，已知正四面体OABC的棱长为1.求：
图3-1-31
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
[精彩点拨] 在正四面体OABC中，，，的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用，，线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可．
[自主解答] 在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.
(1)·＝||||·cos∠AOB
＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝＋2·－2·＋2－2·
＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
(3)|＋＋|＝
＝＝.
[再练一题]
4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
【导学号：71392178】
[解析] 由条件知，(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，
及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.
两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.
代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.
[答案] 60°
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．
[解析] ∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13.
[答案] －13
2．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)．若a，b成120°的角，则k＝________.
[解析] cos 〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－.
[答案] －
3．如图3-1-32，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3-1-32
[解析] ＝＋，＝＋，设棱长为1.
又∵·＝(＋)(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－＋0＋0＋＝0，
∴cos〈，〉＝＝0，
∴⊥，
∴直线AB1与BM所成的角为90°.
[答案] 90°
4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
[解析] ∵＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·(－)＝2－
·＋·－2＝4－0＋0－2＝2.
[答案] 2
5．如图3-1-33所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值.
【导学号：71392179】
图3-1-33
[解] 由题意知＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴cos 〈，〉＝＝＝，
∴OA与BC所成角的余弦值为.
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习目标：1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理1 直线的方向向量
阅读教材P99上半部分，完成下列问题．
我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.
[解析] ＝(－1,0,1)，由题意知，a∥，则存在实数λ，使a＝λ，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.
[答案] －2
教材整理2 平面的法向量
阅读教材P99中间部分，完成下列问题．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.
[解析] 易知a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1.
[答案] 1
2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.
【导学号：71392184】
[解析] 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
[答案] (1,1,0)(答案不惟一)
[合 作 探 究·攻 重 难]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________.
【导学号：71392185】
[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)即是直线AB的一个方向向量，利用＝求点P的坐标．
[解析] (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得x＝－14，y＝6.
(2)＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得＝.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，
即x－2＝0，y＝，z－1＝2·，
解得x＝2，y＝，z＝，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.
[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2)
[名师指津]
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.
求平面的法向量
如图3-2-1，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量．
图3-2-1
[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．
[自主解答] ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SBA的法向量，
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥，n⊥，则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.
n·＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.
[名师指津]
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.
[再练一题]
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量.
【导学号：71392186】
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M，N.
∴＝，＝.
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).
证明平面的法向量
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
图3-2-2
求证：是平面ADE的法向量. 【导学号：71392187】
[精彩点拨] 要证明是平面ADE的法向量，只需证明D1F⊥平面ADE即可．
[自主解答] 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则
D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F，
所以＝(－1,0,0)，＝，＝，所以·＝(－1,0,0)·＝0，
·＝·＝0，
所以⊥，⊥，又AD∩AE＝A，
所以⊥平面ADE，
从而是平面ADE的法向量．
[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
[再练一题]
2．如图3-2-3所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥正方形ABCD所在的平面，PA＝AD＝1，M，N分别是AB，PC的中点．
图3-2-3
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量的坐标；
(2)求证：为平面PCD的一个法向量．
[解] (1)由PA⊥正方形ABCD所在平面知PA，AB，AD两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
图3-2-3
由PA＝AD＝1得P(0,0,1)，C(－1,1,0)，D(－1,0,0)，M，N，
∴＝.
(2)证明：由(1)＝，＝(－1,1，－1)，＝(－1,0，－1)，
则·＝－×(－1)＋0×1＋×(－1)＝0，
·＝－×(－1)＋0×0＋×(－1)＝0，
∴MN⊥PC，MN⊥PD.
又∵PC∩PD＝P，PC?平面PCD，PD?平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
∴为平面PCD的一个法向量.
方向向量与法向量的特征
[探究问题]
1．如何正确地判断直线的方向向量？
[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
2．过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？
[提示] 由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．
由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？
[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？
[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．
(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，ν＝；
(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝.
【导学号：71392188】
[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．
[自主解答] (1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝，
∴u·ν＝(－1,1，－2)·＝－3＋2＋1＝0，
∴u⊥ν，故α⊥β.
(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，
∴u⊥a，故l?α或l∥α.
[再练一题]
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
[解] (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，
∴a⊥b，即l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，
∴ν＝－3u，
∴ν∥u，即α∥β.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a和b在同一直线上，则m＝________.
[解析] ∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴＝，
∴m＝－6.
[答案] －6
2．若点A(0,1,2)，B(－1,0,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为________．
[解析] ＝(－1，－1,0)，即为l的一个方向向量．
[答案] (－1，－1,0)
3．若向量a＝(x,2,1)，b＝(1，y,3)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________.
[解析] 据题意可知，a∥b，故存在实数λ，使a＝λb，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝，y＝6，x＝，x＋y＝＋6＝.
[答案]
4．若直线l⊥α，且l的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为，则m为________.
【导学号：71392189】
[解析] ∵(m,2,4)＝λ，
∴
∴m＝1.
[答案] 1
5．如图3-2-4，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一个法向量．
图3-2-4
[解] 法一：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)．∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则解得x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
法二：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，
∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则令z＝1，则x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
3.2.2 空间线面关系的判定
学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)3.向量法证明线面平行．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 向量法判定线面关系
阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．
设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α1
e1⊥n1
e1∥n1
α1与α2
n1∥n2
n1⊥n2
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．
[解析] ∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
[答案] 垂直
3．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________.
【导学号：71392194】
[解析] ∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.
[答案] 垂直
4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝，n2＝，则平面α与β的位置关系是________．
[解析] ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.
[答案] 平行
[合 作 探 究·攻 重 难]
向量法证明平行问题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图3-2-7)，设O，O1分别为AC，A1C1的中点，求证：
图3-2-7
(1)BO1∥OD1；
(2)BO1∥平面ACD1；
(3)平面A1BC1∥平面ACD1.
【导学号：71392195】
[精彩点拨] →→→→→
[自主解答] 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．
(1)由上可知＝(－1，－1,2)，＝(－1，－1,2)，
∴＝，∴∥，
又直线BO1与OD1无公共点，∴BO1∥OD1.
(2)法一：由上可知，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,2)，
∴＝－＋，
∴，，共面，
∴∥平面ACD1，又BO1?平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1.
法二：设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y,1)，由得∴
∴n＝(1,1,1)．
∴·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，
∴⊥n.又∵BO1?平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1.
(3)法一：∵＝(－2,0,2)，＝(－2,0,2)，
∴∥，又BC1与AD1不重合，
∴BC1∥AD1，又BC1?平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1.
又由(1)知，BO1∥平面ACD1.
∵BC1，BO1?平面A1BC1，且BC1∩BO1＝B，
∴平面A1BC1∥平面ACD1.
法二：设平面A1BC1的一个法向量为n′＝(x，y,1)，由可求得n′＝(1,1,1)，∴n′＝n，
∴平面ACD1∥平面A1BC1.
[名师指津]
1．证明线面平行常用的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．
(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
2．证明面面平行常用的方法
(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．
(2)证明两个平面的法向量平行．
(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
提醒：直线与平面平行与向量与平面平行是有区别的，通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行．需要特别说明直线的方向向量不在平面内．
[再练一题]
1．如图3-2-8所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
图3-2-8
[证明] 法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
∴＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则从而可得
令x＝1，得y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
∴·n＝0，∴⊥n.
∵MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥.∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法三：∵＝－＝－＝(＋)－(＋)＝＋－－＝＋＋(－)＝＋＋＝＋0·，∴可用与线性表示，故与和是共面向量，
∵MN?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
向量法证明垂直问题
如图3-2-9所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
图3-2-9
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE. 【导学号：71392196】
[精彩点拨] →→→→
[自主解答] AB，AD，AP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，
则P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，
∴C，
E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.
又·＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
∵＝(1,0,0)，∴·＝0.
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
法二：＝(1,0,0)，＝，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
[名师指津]
1．证明线线垂直常用的方法
证明这两条直线的方向向量互相垂直．
2．证明线面垂直常用的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
3．证明面面垂直常用的方法
(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
[再练一题]
2．在例2中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
[解] 由例2，可知＝，＝，设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝，则x＝1，z＝2，即m＝(1，，2)，
由例2知，平面ABE的法向量为n＝(0,2，－)，
∴m·n＝0＋2－2＝0，∴m⊥n.
所以平面ABE⊥平面PDC.
利用向量法证明平行、垂直关系
[探究问题]
1．向量法判定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？
[提示] 向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．
2．用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？
[提示] (1)建立空间图形与空间向量的联系；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
3．向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？
[提示] 在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．
如图3-2-10所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
图3-2-10
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.
【导学号：71392197】
[精彩点拨] 根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论．
[自主解答] (1)证明：连接BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，B，C，＝，＝，则·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：
由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝，设＝t，则＝＋＝＋t＝，
而·＝0，
∴－a2＋a2t＝0，∴t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
[再练一题]
3．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
图3-2-11
[解] 假设在线段AB上存在一点M，使直线DE∥平面A1MC，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC＝a，BC＝b，AA1＝c，则D，E，A(a,0,0)，A1(a，0，c)，B(0，b,0)．
设M(x0，y0,0)，且0≤x0≤a,0≤y0≤b，
则＝，＝(a,0，c)，＝(x0，y0,0)，
设平面A1MC的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则z＝－，y＝－，
∴n＝.
若DE∥平面A1MC，则n·＝－＝0，即bx0－ay0＝0. ①
又＝λ，即(x0－a，y0,0)＝λ(－x0，b－y0,0)，
∴解得bx0＋ay0－ab＝0. ②
由①②解得x0＝，y0＝，即M，
所以存在点M为线段AB的中点时，使DE∥平面A1MC.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填序号)．
①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)；②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)；③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)；④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)．
[解析] 两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直．
[答案] ①
2．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.
[解析] 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
[答案] (－64，－26，－17)
3．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________.
【导学号：71392198】
[解析] ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1与l2不重合，∴l1∥l2.
[答案] 平行
4．下列命题中，正确的是________(填序号)．
①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ?n1·n2＝0；
③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
[解析] ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．
[答案] ②③④
5．如图3-2-12, 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
图3-2-12
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
[证明] 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，
＝，＝，设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0. ①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)，∴＝－n2.
∴∥n2，∴PB⊥平面EFD.
3.2.3 空间的角的计算
学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 空间角的向量求法
阅读教材P106～P108的部分，完成下列问题．
1．两条异面直线所成角的向量求法
若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cos θ＝|cos
|.
2．直线和平面所成角的向量求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角为θ2，则sin θ2＝|cos θ1|＝.
(1) (2)
图3-2-19
3．二面角的向量求法
设二面角α-l-β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos|＝，θ取锐角还是钝角由图形确定．
图3-2-20
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )
(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
[解析] 由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
[答案] 30°
3．异面直线l与m的方向向量分别为a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为________________．
[解析] ∵a·b＝－3＋4＝1，|a|＝＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
[答案]
4．已知二面角α-l-β，α的法向量为n＝(1,2，－1)，β的法向量为m＝(1，－3,1)，若二面角α-l-β为锐角，则其余弦值为________．
[解析] cos〈n，m〉＝＝＝－.
又因二面角为锐角，所以余弦值为.
[答案]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求两条异面直线所成的角
(1)如图3-2-21，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直线AM与A1N所成角的大小为________.
【导学号：71392202】
图3-2-21
(2)在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，DA＝4，AB＝AC＝2，AB⊥AC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________．
[精彩点拨] (1)思路一：以，，为基向量，表示，，求cos〈，〉的余弦值；思路二：以，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos〈，〉．(2)题思路如(1)题．
[自主解答] (1)法一：＝－，
＝＋＝－－，
∴·＝·＝－×16＋4＝0，∴⊥，即异面直线AM与A1N所成的角为90°.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系：
则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)，
∴＝(－2,0,2)，＝(－2,2，－2)，
∴·＝4＋0－4＝0，
即⊥，故异面直线A1N与AM所成的角为90°.
(2)法一：如图所示，＝(＋)，＝－＝＋－.
·＝·
＝－×4＋×4＝－1，
又易知||＝，
||2＝×16＋×4＋4＝9，∴||＝3.
∴cos〈，〉＝＝－，
则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1，1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)，
∴＝(1,1,0)，＝(－2,1,2)，
∴·＝－2＋1＝－1.
∵||＝，||＝3，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
[答案] (1)90° (2)
[名师指津]
1．利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．
2．向量法求异面直线所成角的步骤
(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)；
(2)求〈a，b〉；
(3)利用cos θ＝|cos〈a，b〉|，求θ.
[再练一题]
1．如图3-2-22所示，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
图3-2-22
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0，2,0)，
∴＝－
＝(－，1，－)，
＝－＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉＝
＝
＝－.
异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
求线面角
如图3-2-23，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
图3-2-23
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
【导学号：71392203】
[精彩点拨] 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
(1)求出和，证明·＝0；
(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．
[自主解答] (1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
[名师指津] 利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：
(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；
(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；
(3)利用公式cos〈a，b〉＝，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；
(4)将〈a，b〉转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90°.
[再练一题]
2．如图3-2-24所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
图3-2-24
[解] 由题设条件知，AS，AB，AD两两垂直，设AB＝1，
以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系．(如图所示)
则A(0,0,0)，S(0,0,1)，C(－1,1,0)，
∴＝(0,0,1)，＝(1，－1,1)．
显然是底面ABCD的一个法向量，设与的夹角为α，
则cos α＝＝＝＝.
∵SC与底面ABCD的夹角为θ，
∴sin θ＝|cos α|＝.
∵θ∈，
∴cos θ＝＝＝.
即直线SC与底面ABCD夹角的余弦值为.
求二面角
如图3-2-25，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
图3-2-25
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
【导学号：71392204】
[精彩点拨] (1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；
(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值．
[自主解答] (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4).
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，得sin θ＝.
因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
[名师指津] 求二面角的步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；
(2)求两法向量的夹角；
(3)确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.
[再练一题]
3．如图3-2-26，在直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝3，线段AC，A1B上分别有一点E，F，且满足2AE＝EC,2BF＝FA1.
图3-2-26
(1)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2)求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．
[解] (1)证明：∵BC⊥AB，BC⊥AA1，∴BC⊥平面A1ABB1.又∵BC?平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.
(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∴B(0,0,0),A(0,3,0),C(3,0,0),A1(0,3,3)．
又∵线段AC，A1B上分别有一点E，F，
满足2AE＝EC,2BF＝FA1，
∴E(1,2,0), F(0,1,1), ∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)．
设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，即取y＝－1，则x＝2，z＝1，故n＝(2，－1,1)．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC.
∵E在AC上，
∴平面BEC即平面ABC.
∴BB1⊥平面BEC.
易知平面BEC的一个法向量m＝(0,0,1)，
∴cos〈n，m〉＝＝＝.
所求二面角的平面角与向量n，m的夹角相等或互补，
根据图形可知二面角F-BE-C的平面角与两向量n，m的夹角互补，设二面角F-BE-C的平面角为θ，
则cos θ＝－.
夹角的向量求法
[探究问题]
1．利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？
[提示] (1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围为[0，π]．
(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角．
2．利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？
【导学号：71392205】
[提示] (1)直线与平面所成角θ的范围是，斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角．
(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有：
①当φ为锐角时，θ＝－φ，sin θ＝cos φ，cos θ＝sin φ；
②当φ为钝角时，θ＝φ－，sin θ＝－cos φ，cos θ＝sin φ.
综上所述，sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
3．两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？
[提示] (1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是0≤θ≤，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，范围是0≤θ≤π.
(2)用向量法求二面角的大小时，要注意〈n1，n2〉与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出〈n1，n2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的还是互补的．一般地，当n1，n2的方向一进一出时，θ＝〈n1，n2〉；当n1，n2同进同出时，θ＝π－〈n1，n2〉．
如图3-2-27所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BD1-C的大小为________．
图3-2-27
[解析] 连接DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，
又二面角A-BD1-C为钝角，
所以二面角A-BD1-C的大小为120°.
[答案] 120°
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为_______________．
[解析] 设l与α所成的角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，
∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.
又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
[答案] 30°
2. 若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________.
【导学号：71392206】
[解析] ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3，|a|＝＝，
∴cos〈n，a〉＝＝＝－.
又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
[答案]
3．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
[解析] 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，
∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，
∴cos〈，〉＝＝.
[答案]
4．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
[解析] ＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)，设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，得令x＝2则y＝1，z＝，∴n＝.
平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)，cos〈n，〉＝＝＝.
[答案]
5．如图3-2-28，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．
图3-2-28
[解] 以点B为原点，BA，BC，BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，
∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)．
设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)．∵n⊥，n⊥，
∴即
解得a＝1，b＝－2，
∴n＝(2,1，－2)．
又设AB与平面BDF所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝，
即AB与平面BDF所成角的正弦值为.
第3章 空间向量与立体几何
[体系构建]
[自我校对]
①数乘运算
②空间向量的数量积
③垂直
④夹角
⑤数乘结合律
⑥线面关系
⑦点面距
[题型探究]
空间向量及其运算
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础．
沿着正四面体OABC的三条棱，，的方向有大小等于1,2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值.
【导学号：71392211】
[精彩点拨] 用向量表示f1，f2，f3，再根据模与夹角的向量运算公式求解．
[规范解答] 如图所示，用a，b，c分别代表棱，，上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12cos 60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
[再练一题]
1．如图3-1，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.其中正确结论的序号是________．
图3-1
[解析] 容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
[答案] ③④
空间平行与垂直的证明
向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理证明，即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向向量．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
图3-2
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
【导学号：71392212】
[精彩点拨] 建立空间直角坐标系，(1)利用向量，可用平面BCE内的两个不共线向量表示证明；(2)题可利用(1)的结论证明．
[规范解答] 依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．
∵F为CD的中点，
∴F.
(1)易知，＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)．
∵＝(＋)，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即AF⊥CD，AF⊥ED.
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
[再练一题]
2．正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°，求证：EF⊥平面BCE.
[证明] 因为△ABE为等腰直角三角形，所以AB＝AE，
AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE?平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD，
因此AD，AB，AE两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．
因为FA＝FE，∠AEF＝45°，
所以∠AFE＝90°，
从而F，
所以＝，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)．
·＝0＋－＝0，·＝0，
所以EF⊥BE，EF⊥BC.
因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE＝B，
所以EF⊥平面BCE.
利用空间向量求空间角
利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解；
(2)直线与平面所成的角： 要求直线l与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线l的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉；
(3)二面角：如图3-3，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
图3-3
如图3-4，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
图3-4
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；
(3)求二面角A-EB-C的大小．
[精彩点拨] (1)根据判定定理求解；(2)由(1)知是平面EBC的一个法向量，先求〈，〉，直线AB与平面EBC所成的角为90°－〈，〉；(3)求出平面AEB的法向量n，计算cos〈n，〉，再确定二面角A-EB-C的大小．
[规范解答] (1)证明：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
∴＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0，∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
(3)设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥且n⊥，∴n·＝0且n·＝0.
∴即
取y＝－1，∴x＝1，∴n＝(1，－1,0)．
又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
设二面角A-EB-C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，
则cos θ＝|cos〈n，〉|＝，
∴θ＝60°.
∴二面角A-EB-C等于60°.
[再练一题]
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.
【导学号：71392213】
[解] 不妨设正方体的棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，
∴||＝，||＝，·＝－1＋0＋4＝3.
又·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.
用空间向量解决空间中的探索性问题
用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式，处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作—证—算”中的难点，具有较强的可操作性．
提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键．
在四棱锥P-ABCD中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在PC上是否存在点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论.
【导学号：71392214】
[精彩点拨] 易知PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，由BF∥平面AEC得＝λ1＋λ2，确定，，的坐标及系数λ1，λ2即可．
[规范解答] 以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y轴，z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示．
由题设条件可得，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E，所以＝，＝，＝(0,0，a)，＝，＝，
设点F是棱PC上的点，＝λ＝，其中0<λ<1，
则＝＋＝＋＝.
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即λ＝，＝－＋，
所以当F是PC的中点时，，，共面．
又BF?平面AEC，所以BF∥平面AEC.
[再练一题]
4．如图3-5，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
图3-5
[解] 由题意知PA，AB，AD两两垂直，以A点为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1，a,0)，D(0，a,0)，设P(0,0，b)，
假设BC边上存在点Q，使⊥，且＝λ(0＜λ＜1)，则Q(1，λa,0)．
∴＝(1，λa，－b)，＝(1，λa－a,0)．
∵⊥，∴·＝0，
∴1＋λa(λa－a)＝0，即a2λ2－a2λ＋1＝0.①
∵a＞0，
∴把①视为关于λ的一元二次方程．
令Δ＝(－a2)2－4a2＝0解得a＝2.
当0＜a＜2时，方程无实数解．
当a≥2时，方程有实数解．
综上可知，当0＜a＜2时，不存在满足条件的点Q，
当a≥2时，存在满足条件的点Q.
数形结合的思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
如图3-6(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图3-6(2))，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD的夹角．
(1) (2)
图3-6
[精彩点拨] 在图(1)中易知△ABE和△ADE都是等边三角形，取AE中点M，连接BM，DM，由平面BAE⊥平面AEC知，BM⊥平面AEC，以M为原点建立空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角计算．
[规范解答] 取AE中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，所以△ABE与△ADE都是等边三角形，所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系M-xyz，如图，则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD的夹角为45°.
[再练一题]
5．在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC夹角的余弦值．
[解] 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2，4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC夹角的余弦值为.
转化与化归的思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
如图3-7所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值. 【导学号：71392215】
图3-7
[精彩点拨] 求两平面的夹角，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上．
[规范解答] 如图所示，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H，在Rt△ADC中，AC＝＝5，cos∠DAC＝＝.
在Rt△ADG中，
AG＝ADcos∠DAC＝3×＝，
DG＝＝，
同理cos∠BCA＝，CH＝，BH＝.
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－×＋×3×＋3××＋0＝，
又||·||＝，∴cos〈，〉＝，
即所求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值为.
[再练一题]
6．在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
[证明] 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)，
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
函数与方程思想
共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理都是由几个向量间的等式关系组成的，因此解决相关问题时，常用到方程思想．而利用空间向量的坐标运算解决已知夹角、距离的问题时，常需要建立方程求解，或者利用函数求最值．
图3-8
如图3-8，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小；
(3)当MN最小时，求平面MNA与平面MNB所成二面角α的余弦值.
【导学号：71392216】
[精彩点拨] →→→→
[规范解答] (1)以B为坐标原点，分别以BA，BE，BC为x，y，z轴建立空间直角坐标系B-xyz(图略)，
由CM＝BN＝a，M，N，
∴＝，
∴||＝
＝(0(2)由(1)，
得||＝，
所以当a＝时，||min＝，
即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
(3)取MN的中点P，连接AP，BP(图略)，因为AM＝AN，BM＝BN，
所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角．
MN的长最小时，M，N.
由中点坐标公式，得P，
又A(1,0,0)，B(0,0,0)．
∴＝，＝.
∴cos∠APB＝
＝＝－.
∴平面MNA与平面MNB所成二面角α的余弦值为－.
[再练一题]
7．已知空间的一组基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
[解] 显然m与n不共线，设p＝xm＋yn，则3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
[链接高考]
1．如图3-9，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
图3-9
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．
[解] 在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.
∵AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥AE，AA1⊥AD.
如图，以为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，∵AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，
∴A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)．
(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)，
cos〈，〉＝＝＝－.
因此，异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
(2)平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)，
设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量．
又A1B＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，
则即不妨取x＝3则y＝，z＝2，
∴m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量．
cos〈，m〉＝＝＝.
设二面角B-A1D-A的大小为θ，则|cos θ|＝.
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝＝.
因此二面角B-A1D-A的正弦值为.
2．如图3-10，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
图3-10
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值．
[解] (1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EFBC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°＝＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
3.如图3-11，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
图3-11
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.
【导学号：71392217】
[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得E，
故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，
则即
可取n＝.
设m是平面AEC的法向量，则
同理可取m＝(0，－1，)，
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
4．如图3-12，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
图3-12
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
[解] (1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME，
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形，
所以E为BD的中点，
所以M为PB的中点．
①
(2)如图②，取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD.
如图②，建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0,0，)，D(2，0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．
②
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝.
于是n＝(1,1，)．
平面PAD的法向量为p＝(0,1,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝.
由题意知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2,4,0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝，
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
