第2章 相交线与平行线单元检测卷A

2018-2019北师大版七年级下第2章相交线与平行线元检测卷A
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
如图，由∠1=∠2，∠D=∠B，推出以下结论，其中错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AD∥BC C．∠DAB=∠BCD D．∠DCA=∠DAC
如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为( )
A．50° B．60° C．65° D．70°
如图，已知DE∥BC，如果∠1=70°，那么∠B的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．120°
如图，已知AB∥CD，CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，则∠1+∠2=( )
A．45° B．90° C．60° D．75°
如图，能判断AB∥CD的条件是（　　）
A．∠1=∠2
B．∠1+∠2=180°
C．∠3=∠4
D．以上都对
下列说法错误的是（ ）A．无数条直线可交于一点B．直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条C．直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条D．互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角
如图，直线AB，CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE=40°，则∠AOF的度数是(　　).
A．65° B．60° C．50° D．40°
如图，已知直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，如果∠1=62°，则∠2的度数是（　　）
A．36° B．32° C．30° D．28°
如图，AB，CD交于点O，OE⊥AB于点O，则下列不正确的是(　　)
A．∠AOC与∠BOD是对顶角 B．∠BOD和∠DOE互为余角
C．∠AOC和∠DOE互为余角 D．∠AOE和∠BOC是对顶角
如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（　　）
A．∠A+∠C+∠D+∠E=360° B．∠A+∠D=∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E=180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A=90°
如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（　　）
A．30° B． 35° C． 36° D． 40°
定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠EOD=26°，则∠AOC=____，∠COB=___.
如图，直线AB、CD相交于点O．∠AOC：∠AOD=2：3．则∠BOD=_____°．
已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是　 　．
如图，点在同一条直线上，.若从点引出一条射线，使,则的度数为____________.
珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=　　度．
在同一平面内有两条直线a、b，分别根据下列情形，写出a、b的位置关系．（1）如果它们没有公共点，则????．（2）如果它们都平行于第三条直线，则????．（3）如果它们有且只有一个公共点，则????．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
如图，已知AD∥BC，∠1=∠2，说明∠3+∠4=180°，请完成说明过程，并在括号内填上相应依据：
【解析】∠3+∠4=180°，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（????????????????????????）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠2=∠3（等量代换）；
∴???????∥????????（?????????????????????）
∴∠3+∠4=180°（??????????????????????）
读下列语句，并完成作图．
如图，过点分别作的垂线段、．
如图，①过点，作出的垂线段；②过点作出表示点到的距离的线段．
如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；
（2）若∠BOC=4∠1，求∠BOD的度数．
平面上有9条直线，任意两条都不平行，欲使它们出现29个交点，能否做到，如果能，怎么安排才能做到？如果不能，请说明理由．
如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥OC，∠BOC∶∠BOE＝1∶3，∠AOF＝2∠COE.
求：（1）∠COE的度数；（2）∠AOD的度数.
如图所示，AB∥CD，∠CFE的平分线与∠EGB平分线的反向延长线交于点P，若∠E=20°，则∠FPH的度数为多少？
如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=40°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
（1）填空：∠BOD=_____度；
（2）试说明OE⊥OF.
如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；
（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．
答案解析
、选择题
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DC，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠D+∠BAD=180°，∠B+∠BCD=90°然后求出∠B+∠BAD=180°，再根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，根据等角的补角相等可得∠DAB=∠BCD；∠DCA=∠DAC无法求出．
解：∵∠1=∠2，
∴AB∥DC，故A选项结论正确；
∴∠D+∠BAD=180°，∠B+∠BCD=90°，
∵∠D=∠B，
∴∠B+∠BAD=180°，∠DAB=∠BCD，故C选项结论正确；
∴AD∥BC，故B选项结论正确；
只有AC平分∠BAD时，∠DCA=∠DAC，故D选项结论错误．
故选D．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，
∴∠BEF=180°﹣50°=130°，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=65°，
∴∠2=65°．
故选C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质，以及角平分线的性质．
【考点】平行线的性质
【分析】设DE与AB相交于点F，由∠1=70°，可得∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠B的度数．
解：设DE与AB相交于点F，
因为∠1=70°，
所以∠AFE=110°，
因为DE∥BC，
所以∠B=∠AFE=110°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAC+∠ACD=180°，又由CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，可得∠1=∠BAC，∠2=∠ACD，则可求得∠1+∠2的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，
∴∠1=∠BAC，∠2=∠ACD，
∴∠1+∠2=∠BAC+∠ACD=（∠BAC+∠ACD）=×180°=90°．
故选B．
【点评】此题考查了平行线与角平分线的性质．题目比较简单，注意数形结合思想的应用．
【考点】平行线的判定
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
解：∠1与∠2既不是同位角又不是内错角，因而A选项无法判断AB∥CD；
同理C选项也不能判断AB∥CD；
B选项符合同旁内角互补两直线平行；
D选项也不对．
故选B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．　
【考点】直线的位置关系、垂线的性质、平行公理，邻补角定
【分析】根据直线的位置关系、垂线的性质、平行公理，邻补角定义即可判断．解：A．由于过一点可以画无数条直线，所以无数条直线可交于一点，故说法正确，本选项不符合题意；B、直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条，故说法正确，本选项不符合题意；C、直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条，故说法正确，本选项不符合题意；D、互为邻补角的两个角还有可能都是直角，故说法错误，本选项符合题意．故选D．
【点评】本题考查了直线的位置关系、垂线的性质、平行公理，邻补角定义，比较简单．
【考点】对顶角、邻补角，角平分线的性质，余角的性质
【分析】根据余角的性质，可得∠BOD的度数，根据邻补角的性质的性质，可得∠AOD的度数，根据角平分线的性质，可得答案．
解：由余角的性质，得∠BOD=90°-∠BOE=90°-40°=50°，
由邻补角的性质，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°，
由角平分线的性质，得∠AOF=∠AOD=×130°=65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，利用了余角的性质，邻补角的性质，角平分线的性质．
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】先根据垂线的定义得出∠BAC=90°，再由直角三角形的性质求出∠B的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
解：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°．
∵∠1=62°，
∴∠B=90°﹣62°=28°．
∵直线a∥b，
∴∠2=∠B=28°．
故选D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
【考点】对顶角，余角的性质
【分析】根据对顶角和余角的性质即可解题.
解：A． ∠AOC与∠BOD是对顶角,正确,
B. ∠BOD和∠DOE互为余角,正确,
C. ∠AOC和∠DOE互为余角,正确,
D. ∠AOD和∠BOC是对顶角, ∠AOC与∠BOD是对顶角,∴D错误,
故选D.
【点睛】本题考查了对顶角和余角的性质,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
【考点】平行线的性质．
【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ACG，∠CDH=∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH=180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．
解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
则∠A=∠ACG，∠EDH=180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH=∠DCG，
∴∠C=∠ACG+∠CDH=∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠C+∠D+∠E=180°．
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解
解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°，
∴∠1+∠2=30°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．
【考点】点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．
【分析】“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．
解：如图，
∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，
到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，
∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．
故选C．
【点评】本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．
、填空题
【考点】垂线的定义
【分析】根据垂线的定义进行作答.
解：由OE⊥AB，得到∠AOE=90°，所以∠AOC=180°-∠EOD-∠AOE=64°；因为∠BOD=64°，∠COB=180°-∠BOD= 116°.
【点睛】本题考查了垂线的定义，熟练掌握垂线的定义是本题解题关键.
【考点】邻补角和对顶角
【分析】设∠AOC=2x°，∠AOD=3x°，利用邻补角互补可得2x+3x=180，解出x可得答案．
解：设∠AOC=2x°，∠AOD=3x°，
2x+3x=180，
解得：x=36，
∴∠AOC=2×36°=72°，
∴∠BOD=∠AOC=72°，
故答案为：72．
【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．
【考点】 平行线之间的距离．
【分析】 直线c的位置不确定，可分情况讨论．
（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；
（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm．
解：（1）直线c在直线b的上方，如图1：
直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；
（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：
直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm；
所以a与c的距离是8cm或2cm，
故答案为：8cm或2cm．
【点评】 此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．
【考点】垂线，角的和差
【分析】根据题意画出图形，要分两种情况：一种是OD在∠AOC内，一种是OD在∠AOC外，然后根据角的和差关系计算出∠AOD的度数．
解：如图1，
∵OD⊥OC，
∴∠DOC=90°.
∵∠COB=25°，
∴∠AOD=180°-90°-25°=65°.
如图2，
∵OD⊥OC，
∴∠DOC=90°.
∵∠COB=25°，
∴∠BOD=90°-25°=65°，
∴∠AOD=180°-65°=115°.
综上可知，∠AOD的度数为65°或115°.
【点睛】本题考查垂线、由垂直得90°角，解答关键是分类讨论.
【考点】平行线的性质．
【分析】由已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得，∠BCF+∠ABC=180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，
又由CF∥DE，所以∠CDE=∠DCF．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC=180°，
∴∠BCF=60°，
∴∠DCF=20°，
∴∠CDE=∠DCF=20°．
故答案为：20．
【点评】此题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
【考点】平行公理和推论
【分析】（1）根据平行线的定义解答；（2）根据平行公理解答；（3）根据相交线的定义解答．解：（1）如果它们没有公共点，则a∥b．（2）如果它们都平行于第三条直线，则a∥b．（3）如果它们有且只有一个公共点，则a与b相交．故答案为：a∥b；a∥b；a与b相交．
【点评】本题考查了平行公理，主要利用了平行线的定义与平行公理以及相交线的定义，需熟记．
、解答题
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质推出∠1=∠3=∠2，根据平行线的判定推出BE∥DF，根据平行线的性质推出即可．
解：∵AD∥BC（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3（等量代换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），
【点评】此题考查平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．
【考点】点到直线的垂线作法
【分析】(1)根据点到直线距离的作法利用直角三角尺分别作出即可;
(2)分别过点C作CM⊥AB,AN⊥BC,注意要延长BC得出.
解：如图所示：
如图所示．
【点睛】此题主要考查了点到直线的垂线作法以及钝角三角形中高线的作法,正确作出钝角三角的高线是解题关键.
【考点】垂直的定义
【分析】(1)只需要证明∠2＋∠AOC＝90°；(2)由∠BOC＝4∠1求出∠1，而∠1＋∠BOD＝90°.
解：(1)证明：∵OM⊥AB(已知)，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°(垂直的定义)，∴∠1＋∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＋∠AOC＝90°(等量代换)，
即∠CON＝90°，
∴ON⊥CD(垂直的定义)；
(2)解：∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM＝3∠1＝90°，
解得：∠1＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°．
【点睛】本题考查了垂直的定义，证明两条直线垂直，只需要证明这两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角.
【考点】相交线
【分析】 根据相交线最多交点的个数的公式进行计算即可求解．
解:
理由如下：
9条直线，任意两条都不平行，最多交点的个数是=36，
∵36＞29，
∴能出现29个交点，
安排如下：先使4条直线相交于一点P，另外5条直线两两相交最多可得=10个交点，与前四条直线相交最多可得5×4=20个交点，让其中两个点重合为点O，所以交点减少1个，交点个数一共有10+20-1=29个．
故能做到．
【点评】本题考查了相交线的问题，熟记最多交点的公式然后求出最多时的交点个数是解题的关键．
【考点】对顶角、垂直的定义，角的和差，一元一次方程的应用
【分析】（1）设∠BOC=x，根据已知条件得到∠COE=2x，求得∠COF=4x，由垂直的定义得到∠COF=90°,从而∠BOC+∠AOF=90°，据此列出方程即可得到结论；
（2）由（1）的结论即可得到结果．
解：（1）设∠BOC＝x,
∵∠BOC∶∠BOE＝1∶3,
∴∠COE＝2x.
∵∠AOF＝2∠COE,
∴∠AOF＝4x.
∵OF⊥CD,
∴∠COF=90°.
∴∠BOC＋∠AOF＝90°，
∴x+4x=90°
即5x＝90°,
解得x＝18°,
∴∠COE=2x＝36°.
(2)由（1）得∠AOD＝∠BOC＝18°.
【点睛】本题考查了对顶角、垂直的定义，角的和差及见比设参的数学思想，根据角的和差列出一元一次方程求出∠BOC的度数是解答本题的关键．
【考点】平行线的性质
【分析】作PM∥CD，如图，则AB∥PM∥CD，根据平行线的性质得∠4=∠2，∠3=∠1，则∠FPH=∠1+∠2，再利用角平分线定义得到∠CFQ=2∠1，∠EGB=2∠BGH，而∠BGH=∠2，所以∠FPH=（∠CFQ+∠EGB），利用三角形外角性质得∠EGB=∠E+∠EQG，利用邻补角得∠EQG=180°﹣∠EQA，利用平行线的性质得∠CFQ=∠EQA，则∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ，于是得到∠FPH=（∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ）=（20°+180°），然后把∠E=20°代入计算即可．
【解答】解：作PM∥CD，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠4=∠2，∠3=∠1，
∴∠FPH=∠1+∠2，
∵∠CFE的平分线与∠EGB的平分线的反向延长线交于点P，
∴∠CFQ=2∠1，∠EGB=2∠BGH，
∵∠BGH=∠2，
∴∠FPH=（∠CFQ+∠EGB），
∵∠EGB=∠E+∠EQG，
∵∠EQG=180°﹣∠EQA，
∵CD∥AB，
∴∠CFQ=∠EQA，
∴∠EGB=∠E+180°﹣∠CFQ，
∴∠FPH=（∠CFQ+∠E+180°﹣∠CFQ）
=（20°+180°）
=100°．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
【考点】垂直定义，对顶角的性质
【分析】（1）根据对顶角相等即可求出答案；
（2）求出∠AOD的度数，求出∠1、∠2的度数，相加即可求出∠EOF，根据垂直定义求出即可．
解：（1）∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°；
（2）∵∠AOC＝40°，
∴ ∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴ ∠2∠AOD°，∠1∠BOD20°，
∴ ∠EOF＝∠1+∠2＝20°+70°＝90°，
∴ OE⊥OF．
【点睛】本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC，
∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．