第五章 相交线与平行线
5.3.1 平行线的性质
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1．如图5-3-7，AB∥AB，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180° D．∠3＋∠5＝180°
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图5-3-7 图5-3-8
2．[2017·邵阳]如图5-3-8，已知 AB∥AB，下列结论正确的是( )
A．∠ 1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠4 D．∠ 3＝∠4
3．[2018·襄阳]如图5-3-9，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上．若∠1＝50°，则∠2的度数为( )
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图5-3-9
A．55° B．50° C．45° D．40°
4．[2018·绵阳]如图5-3-10，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )
A．14° B．15° C．16° D．17°
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图5-3-10 图5-3-11
5．[2018·临沂]如图5-3-11，AB∥AB，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是( )
A．42° B．64° C．74° D．106°
6．[2018·重庆A卷]如图5-3-12，AB∥AB，BC平分∠ABD，∠1＝54°.求∠2的度数．
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图5-3-12
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7．[2018·自贡]在平面内，将一个直角三角板按如图5-3-13所示摆放在一组平行线上．若∠1＝55°，则∠2 的度数是( )
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图5-3-13
A．50° B．45° C．40° D．35°
8．[2018春·东西湖区期中]如图5-3-14，直线DE经过点A.若∠EAC＝∠C，AC平分∠BAE，∠B＝44°，求∠C的度数．
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图5-3-14
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9．如图5-3-15，已知AB∥AB，EG，FR分别是∠BAB，∠ABC的角平分线．试说明：EG∥FR.
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图5-3-15
参考答案
【分层作业】
1.D
2.C
3.D
4.C
5.C
6． 解：∵AB∥AB，
∴∠ABC＝∠1＝54°，∠ABD＋∠BDC＝180°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝108°.
∴∠BDC＝180°－∠ABD＝72°，
∴∠2＝∠BDC＝72°.
7．D
8． 解：∵∠EAC＝∠C，
∴DE∥BC，
∴∠BAE＝180°－44°＝136°.
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝68°，
∴∠C＝∠EAC＝68°.
9．解：∵AB∥AB，∴∠BAB＝∠ABC.
∵EG，FR分别是∠BAB，∠ABC的角平分线，
∴2∠GAB＝∠BAB，2∠ABR＝∠ABC，
∴2∠GAB＝2∠ABR，∴∠GAB＝∠ABR，
∴EG∥FR.
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
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1．下列命题是真命题的是( )
A．过直线外一点可以画无数条直线与已知直线平行
B．如果甲看乙的方向是北偏东60°，那么乙看甲的方向是南偏西30°
C．3条直线交于一点，对顶角最多有6对
D．与同一条直线相交的两条直线相交
2．如图5-3-17，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
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图5-3-17
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180° 时，一定有a∥b
3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，将其改写成“如果……那么……”的形式．
(1)连接AB；
(2)过直线外一点作已知直线的垂线；
(3)对顶角相等；
(4)等量可以代换；
(5)圆的周长是2πr.
4．[2018·徐州期末]填空并完成以下证明：
如图5-3-18，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：AB⊥AB.
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图5-3-18
证明：∵FH⊥AB(已知)，
∴∠BHF＝________．
∵∠1＝∠ACB(已知)，
∴DE∥BC，(___________________)
∴∠2＝____________．(_____________________________)
∵∠2＝∠3(已知)，
∴∠3＝__________，(______________)
∴AB∥FH(________________)
∴∠BDC＝∠BHF＝______________°，(_____________________________)
∴AB⊥AB.
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5．[2018·益阳]如图5-3-19，AB∥AB，∠1＝∠2.
证明：AM∥CN.
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图5-3-19
6．如图5-3-20，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.
(1)求证：AE∥CF；
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图5-3-20
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7．[2017春·宁城期末]有一天李明同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，AB，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图5321①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图5321②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着李明同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
(2)请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．
/,
① ② ③ ④
图5-3-21
参考答案
【分层作业】
1.C
2.D
3. 解：(1)(2)不是命题．
(3)是命题；如果两个角是对顶角，那么它们的大小相等．
(4)是命题；如果两个量相等，那么这两个量可以互相代换．
(5)是命题；如果一个图形是以r为半径的圆，那么它的周长是 2πr.
4． 90° 同位角相等，两直线平行 ∠BAB
两直线平行，内错角相等 ∠BAB 等量代换
同位角相等，两直线平行 90 两直线平行，同位角相等
5．证明：∵AB∥AB，
∴∠EAB＝∠AAB.
∵∠1＝∠2，
∴∠EAB－∠1＝∠AAB－∠2，
即∠EAM＝∠ACN，
∴AM∥CN.
6． (1)证明：∵∠1＋∠2＝180°，
∠2＋∠ABB＝180°，
∴∠ABB＝∠1，
∴AE∥CF.
(2)解：BC平分∠DBE.
理由：∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB.
∵AE∥CF，
∴∠A＝∠FDA，∠FDB＝∠EBD.
∵∠A＝∠C，∴∠FDA＝∠C，∴AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBE＝∠EBD－∠CBD＝∠FDB－∠ADB＝∠FDA＝∠ADB＝∠CBD，
即BC平分∠DBE.
7．解：(1)①∠B＋∠D＝∠BED；②∠B＋∠D＋∠BED＝360°；③∠B＝∠BED＋∠D；④∠B＝∠D＋∠BED.
(2)选择①.理由：
如答图1，过E作AB∥AB.
∵AB∥AB，∴AB∥AB，
∴∠B＝∠BAB，∠D＝∠DAB，
∴∠BED＝∠BAB＋∠DAB＝∠B＋∠D.
选择②.理由：
如答图2，过E作AB∥AB.
∵AB∥AB，∴AB∥AB，
∴∠B＋∠BAB＝180°，∠D＋∠DAB＝180°，
∴∠B＋∠BED＋∠D＝180°＋180°＝360°.
选择③.理由：
如答图3，延长AB交DE于点F.
∵AB∥AB，∴∠D＝∠BFE.
∵∠ABE是△BAB的外角，
∴∠ABE＝∠BAB＋∠BFE＝∠BED＋∠D.
选择④.理由：
如答图4，设AB与BE交于点F.
∵AB∥AB，
∴∠B＝∠CFE，
∵∠CFE是△DAB的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E，即∠B＝∠D＋∠BED.
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答图1 答图2 答图3 答图4
第五章 相交线与平行线
5.4 平移
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1．[2017春·麦积期末]下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
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A B C D
2．如图5-4-4，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M，N，图①中的图形M平移后的位置如图②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是( )
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① ②
图5-4-4
A．向右平移2格，向下平移3格
B．向右平移1格，向下平移3格
C．向右平移1格，向下平移4格
D．向右平移2格，向下平移4格
3．如图5-4-5，将△ABE向右平移2 cm得到△DCF.如果△ABE的周长是
16 cm，那么四边形ABFD的周长是( )
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图5-4-5
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．21 cm
4．如图5-4-6，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为______．
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图5-4-6 图5-4-7
5．[2017·龙岩一模]如图5-4-7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB方向平移得到△DAB.若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离为____．
6．如图5-4-8.
(1)过点A作BC的垂线，垂足为点D；
(2)画出把△ABC沿射线AD方向平移1.7 cm后得到的△A1B1C1；
(3)根据图形平移的性质，求BB1的长，判断AC与A1C1的位置关系．
/图5-4-8
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7．[2018·灵石期中]如图5-4-9，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径同时从A出发爬到B，则( )
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图5-4-9
A．乙比甲先到 B．甲比乙先到
C．甲和乙同时到 D．无法确定
8．如图5-4-10所示，一块白色正方形布，边长是1.8 m，上面横、竖各有两道黑条，黑条的宽是0.2 m，请利用平移的知识，算出白色部分的面积为__ __．
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图5-4-10
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9．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图5-4-11所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280 m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为__ __m.
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图5-4-11
参考答案
【分层作业】
1.D
2.B
3.C
4. 30°
5. 2
6．
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解： (1)如答图，直线AD 即为所求；
(2)如答图，△A1B1C1即为所求；
(3)BB1＝1.7 cm，
AC与A1C1的位置关系是AC∥A1C1.
7．C
8．1.96 m2
9．140
【解析】小桥可以平移到长方形的边上，得出小桥的长等于长方形的长与宽的和，故小桥总长为280÷2＝140(m)．
