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2．1 合情推理与演绎推理（解析版）
2.1.1 合情推理
考纲要求
考点 考纲要求 要求 题型
归纳推理 了解合情推理的含义， 能利用归纳推理进行简单的推理． II 选择题，填空题
类比推理 了解合情推理能利用类比推理进行简单的推理． II 选择题，填空题。解答题
知识梳理
1．归纳推理和类比推理
类别 归纳推理 类比推理
定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理(简称类比)
特点 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理
2.合情推理
含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理
过程 →→→
典例讲解
考向一 数、式中的归纳推理
[例1] (1)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为________．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解析] (1)左边为n项的乘积；等号右边为两部分：一部分为2n，另一部分为n个连续奇数的乘积．
∴第n个等式为(n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)．
(2)因为Sn＋＋2＝an(n≥2)，
所以Sn＋＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以＝－2－Sn－1(n≥2)．
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－a1＝－，所以S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N*)
[答案] (1) (n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
根据给出的数与式如何归纳一般性结论(步骤)
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．
1．(1)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝；sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________＝(*).并给出(*)式的证明．
(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)
①求a2，a3，a4；②归纳猜想{an}的通项公式．
解析：(1)sin2 α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左式＝＋＋＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝－
＝＝右边．
(2)①当n＝1时，a1＝1，
由an＋1＝(n∈N*)，得a2＝，9
a3＝＝.
a4＝＝.
②由a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
可归纳猜想{an}的通项公式为an＝(n∈N*)
考向二 几何图形中的归纳推理
[例2] 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36
[解析] 解法一：有菱形纹的正六边形个数如表：
图案 1 2 3 …
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
解法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，
故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
[答案] B
归纳推理在图形中的应用策略
(1)求解本题的关键是寻找相邻图形间正六边形变化的特点．
(2)通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
2．根据如图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．
解析：分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29.
因1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3
所以猜想第8个图形中线段的条数为28＋1－3＝509.
答案：509
考向三 类比推理及应用
[例3] 如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论＋＋＝1.
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
[解析] ＝＝，
同理，＝，＝.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴＋＋＝＝1.
类比上述结论得出以下结论：
如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论＋＋＋＝1
证明如下：＝＝，
同理，＝，＝，＝.
∵VP?BCD＋VP?ACD＋VP?ABD＋VP?ABC＝VA?BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
类比推理的思维过程与一般步骤是什么？
类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
该过程主要包括两个步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
3．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有，，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．
写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．
解析：(1)数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{an}的公差d＝3，
∴(S30－S20)－(S20－S10)
＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…＋10＝100d＝300，
同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，
所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.
过关检测
1．(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．
(3)归纳推理是由个别到一般的推理．
其中正确的是( )
A．(1) B．(2)
C．(3) D．(1)(2)(3)
解析：(1)为归纳推理．(2)类比推理的结论不一定正确．
∴(1)(2)不正确．(3)正确．
答案：C
2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )
A．白色 B．黑色
C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大
解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
答案：A
3．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
答案：B
4．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝24 01，…，则72 015的末两位数字为( )
A．01 B．43
C．07 D．49
解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.
又2 015＝4×503＋3，
所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.
答案：B
6．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
解析：①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．
答案：C
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：等比数列中积等差数列中的和
∴a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
答案：D
8．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应4个图形：
那么4个图表中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
答案：C
9．n个连续自然数按规律排列下表：
根据规律，从2 015到2 017箭头的方向依次为( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2 015到2 017为→↓，故应选D.
答案：D
10．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )
A．a100＝－a，S100＝2b－a
B．a100＝－b，S100＝2b－a
C．a100＝－b，S100＝b－a
D．a100＝－a，S100＝b－a
解析：∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b.
且a7＝a6－a5＝a，a8＝b，…，
∴数列{an}具有周期性，周期为6，且S6＝0
则a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a.
答案：A
11．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；
③各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；
④各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等．
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析：类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一原则，只有①②符合．
答案：B
12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME?7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝________.
解析：由图形和勾股定理，及a1＝OA1＝1，
∴a2＝OA2＝，a3＝OA3＝，a4＝OA4＝2，
因此猜想an＝OAn＝，n∈N*.
答案：(n∈N*)
13．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应用______________．
解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.
所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.
答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝81
14．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A?BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA?BCD＝________.
解析：内切圆半径r内切球半径R.
△ABC周长a＋b＋c棱锥A?BCD各面面积和．
答案：VA?BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
15．等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)
16．对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为__________________________．
答案：夹在两平行平面之间的平行线段相等
17．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
解析：观察知第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝，
∴第7个三角形数为＝28.
答案：28
18．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
19．设函数f(x)＝(x>0)，
观察：f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，……
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案：
20．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.
解析：由观察可得：x＋＝＋≥(n＋1)·＝(n＋1)·＝n＋1，则a＝nn.
答案：nn
21．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系， 给出正确结论．
解析：由平面直角三角形类比空间三棱锥由边垂直侧面垂直．
直角三角形的“直角边长、斜边长”类比“三棱锥的侧面积、底面积”，因此类比的结论是：“设三棱锥A?BCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两相互垂直，则S＋S＋S＝S”．
22．已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝1
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数，由此猜想，这个数列的通项公式为：an＝(n＝1,2，…)．
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