广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）

广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
若复数??=??(???1)+(???1)??是纯虚数，其中m是实数，则
1
??
=(　　)
A. i B. ??? C. 2i D. ?2??
【答案】A
【解析】解：复数??=??(???1)+(???1)??是纯虚数，故??(???1)=0且(???1)≠0，解得??=0，故??=???，故
1
??
=?
1
??
=?
1???
?????
=??．故选：A．由纯虚数的定义可得??=0，故
1
??
=?
1
??
，化简可得．本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．
已知全集??=??，??={??|??A. {??|?1≤??<0} B. {??|?1【答案】A
【解析】解：图中阴影部分为??∩(
?
??
??)，∵??={??|???
??
??={??|??≥?1}，又??={??|??(??+2)<0}={??|?2?
??
??)={??|?1≤??<0}，故选：A．由图可得图中阴影部分为??∩(
?
??
??)，求解一元二次不等式，再由交集与补集的混合运算求解．本题考查利用图示法表示集合的关系及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
设等差数列{
??
??
}的前n项和为
??
??
，若
??
3
=9，
??
6
=36，则
??
6
+
??
7
+
??
8
=(　　)
A. 63 B. 45 C. 39 D. 27
【答案】C
【解析】解：设等差数列{
??
??
}的首项为
??
1
，公差为d，由
??
3
=9，
??
6
=36，得
6
??
1
+15??=36
3
??
1
+3??=9
，解得
??
1
=1，??=2；∴
??
6
+
??
7
+
??
8
=3
??
1
+18??=3+36=39．故选：C．设等差数列{
??
??
}的首项为
??
1
，公差为d，由题意列方程组求出
??
1
、d，再计算
??
6
+
??
7
+
??
8
的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．
为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度(单位长度：????)，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是(　　)
A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐
【答案】D
【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：
甲
=
19+20+21+23+25+29+31+32+33+37
10
=27
乙
=
10+10+14+26+27+30+44+46+46+47
10
=30
??
甲
2
<
??
乙
2
故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容.数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．
已知抛物线C：
??
2
=2????(??>0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且????⊥??轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则??=(　　)
A. 2 B. 2
2
C. 4 D. 4
2
【答案】B
【解析】解：把??=
??
2
代入
??
2
=2????可得??=±??，不妨设M在第一象限，则??(
??
2
,??)，又??(?
??
2
,0)，∴直线AM的方程为??=??+
??
2
，即?????+
??
2
=0，∴原点O到直线AP的距离??=
??
2
2
=
2
??
4
，∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，∴
??
2
4
=
??
2
8
+1，解得??=2
2
．故选：B．求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．
在△??????中，|
????
+
????
|=
3
|
????
?
????
|，|
????
|=|
????
|=3，则
????
?
????
=(　　)
A. 3 B. ?3 C.
9
2
D. ?
9
2
【答案】C
【解析】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△??????中，|
????
+
????
|=
3
|
????
?
????
|，|
????
|=|
????
|=3，如图，设|????|=??，则|????|=
3
??，所以|????
|
2
+|????
|
2
=|????
|
2
即3
??
2
+
??
2
=9，解得??=
3
2
，所以|????|=3，所以△??????为等边三角形，所以
????
?
????
=3×3×
1
2
=
9
2
；故选：C．由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△??????的形状即可求得．本题考查向量加法的平行四边形法则，向量数量积的计算公式；关键是正确判断三角形的形状．
已知命题p：若??=
0.2
0.2
，??=
1.2
0.2
，??=
log
1.2
0.2，则??0”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A. ??∧?? B. ??∧(￢??) C. (￢??)∧(￢??) D. (￢??)∧??
【答案】D
【解析】解：命题p：若??=
0.2
0.2
，??=
1.2
0.2
，??=
log
1.2
0.2，则：??=
1.2
0.2
>1，00.2
0.2
<1，??=
log
1.2
0.2<0，故：??>??>??．故命题p为假命题．命题q：“???2≥0”是“???2>0”的必要不充分条件，故命题q是真命题．则：(￢??)∧??为真命题．故选：D．直接利用指数和对数的性质判断出命题p为假命题，命题q为真命题，进一步利用真值表求出结果．本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
若函数??(??)=??sin(????+??)(其中??>0，|??|<
??
2
)图象的一个对称中心为(
??
3
,0)，其相邻一条对称轴方程为??=
7??
12
，该对称轴处所对应的函数值为?1，为了得到??(??)=cos2??的图象，则只要将??(??)的图象(　　)
A. 向右平移
??
6
个单位长度 B. 向左平移
??
12
个单位长度C. 向左平移
??
6
个单位长度 D. 向右平移
??
12
个单位长度
【答案】B
【解析】解：根据已知函数??(??)=??sin(????+??)(其中??>0，|??|<
??
2
)的图象过点(
??
3
,0)，(
7??
12
,?1)，可得??=1，
1
4
?
2??
??
=
7??
12
?
??
3
，解得：??=2．再根据五点法作图可得2?
??
3
+??=??，可得：??=
??
3
，可得函数解析式为：??(??)=sin(2??+
??
3
).故把??(??)=sin(2??+
??
3
)的图象向左平移
??
12
个单位长度，可得??=sin(2??+
??
3
+
??
6
)=cos2??的图象，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出??，由五点法作图求出??的值，可得??(??)的解析式，再根据函数??=??sin(????+??)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查由函数??=??sin(????+??)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出??，由五点法作图求出??的值，函数??=??sin(????+??)的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
已知数列{
??
??
}是1为首项，2为公差的等差数列，{
??
??
}是1为首项，2为公比的等比数列，设
?
??
=
??
??
??
，
??
??
=
??
1
+
??
2
+…+
?
??
，(??∈???)，则当
??
??
<2019时，n的最大值是(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】解：∵{
??
??
}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴
??
??
=2???1，∵{
??
??
}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴
??
??
=
2
???1
，∴
??
??
=
??
1
+
??
2
+…+
?
??
=
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
????
=
??
1
+
??
2
+
??
4
+…+??2???1=(2×1?1)+(2×2?1)+(2×4?1)+…+(2×
2
???1
?1)=2(1+2+4+…+
2
???1
)???=2×
1?
2
??
1?2
???=
2
??+1
????2，∵
??
??
<2019，∴
2
??+1
????2<2019，解得：??≤10．则当
??
??
<2019时，n的最大值是10．故选：B．由题设知
??
??
=2???1，
??
??
=
2
???1
，由
??
??
=
??
??
1
+
??
??
2
+…+
??
????
=
??
1
+
??
2
+
??
4
+…+
??
2???1
=
2
??+1
????2和
??
??
<2019，得
2
??+1
????2<2019，由此能求出当
??
??
<2019时n的最大值．本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性，综合性强，难度大，易出错．
在同一直角坐标系中，函数??=??
??
2
???+
??
2
与??=
??
2
??
3
?2??
??
2
+??+??(??∈??)的图象不可能的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：当??=0时，函数??=??
??
2
???+
??
2
的图象是第二，四象限的角平分线，而函数??=
??
2
??
3
?2??
??
2
+??+??的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；当??≠0时，函数??=??
??
2
???+
??
2
图象的对称轴方程为直线??=
1
2??
，由??=
??
2
??
3
?2??
??
2
+??+??可得：??′=3
??
2
??
2
?4????+1，令??′=0，则
??
1
=
1
3??
，
??
2
=
1
??
，即
??
1
=
1
3??
和
??
2
=
1
??
为函数??=
??
2
??
3
?2??
??
2
+??+??的两个极值点，对称轴??=
1
2??
介于
??
1
=
1
3??
和
??
2
=
1
??
两个极值点之间，故A、C符合要求，B不符合，故选：B．讨论a的值，当??=0时，知D可能，当??≠0时，求出函数??
??
2
???+
??
2
的对称轴??=
1
2??
，利用求导函数求出函数??=
??
2
??
3
?2??
??
2
+??+??的极值点为??=
1
3??
与??=
1
??
，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．
已知双曲线C：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??>0,??>0)的左、右焦点分别为
??
1
，
??
2
，离心率为e，过点
??
1
的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若
????
?
??
??
2
=0，且∠
??
1
??
??
2
=
150
°
，则
??
2
=(　　)
A. 7?2
3
B. 7?
3
C. 7+
3
D. 7+2
3
【答案】A
【解析】解：∵
????
?
??
??
2
=0，∴????⊥??
??
2
，∵∠
??
1
??
??
2
=
150
°
，∴∠????
??
2
=
30
°
，设|??
??
2
|=??，则|??
??
1
|=??+2??，|??
??
2
|=2??，|????|=
3
??，∴|??
??
1
|=|??
??
1
|?|????|=??+2???
3
??，又|??
??
2
|?|??
??
1
|=2??，∴2???(??+2???
3
??)=2??，解得??=2(
3
?1)??．∴|??
??
1
|=2
3
??，|??
??
2
|=2(
3
?1)??，在????△??
??
1
??
2
中，由勾股定理可得：12
??
2
+[(2
3
?2)??
]
2
=4
??
2
，即(7?2
3
)
??
2
=
??
2
，∴
??
2
=
??
2
??
2
=7?2
3
．故选：A．设|??
??
2
|=??，根据直角三角形的性质和双曲线的性质，用x表示出|??
??
1
|，|??
??
2
|，根据|??
??
2
|?|??
??
1
|=2??计算x，再根据勾股定理列方程得出a，c的关系，从而求出
??
2
的值．本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
定义在(0,+∞)上的函数??(??)满足 0'/>，??(3)=?ln3，则不等式??(
??
??
)+??>0的解集为(　　)
A. (
??
3
,+∞) B. (0,
??
3
) C. (ln3,+∞) D. (ln3,
??
3
)
【答案】C
【解析】解：令??(??)=??(??)+ln??，??∈(0,+∞)．∵在(0,+∞)上的函数??(??)满足 0'/>，∴??′(??)=??′(??)+
1
??
=
??
??
′
(??)+1
??
>0，∴函数??(??)在(0,+∞)上单调递增，∵??(3)=??(3)+ln3=0，∴不等式??(??)>0=??(3)的解集为：??>3．而不等式??(
??
??
)+??>0满足：
??
??
>3，即??>ln3．∴不等式??(
??
??
)+??>0的解集为(ln3,+∞)．故选：C．令??(??)=??(??)+ln??，??∈(0,+∞).在(0,+∞)上的函数??(??)满足 0'/>，可得??′(??)=
??
??
′
(??)+1
??
>0，函数??(??)在(0,+∞)上单调递增，又??(3)=??(3)+ln3=0，进而得出解集．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知实数x，y满足不等式组
???3??+5≥0
2??+???4≥0
??+2≥0
，则??=??+??的最小值为______．
【答案】1
【解析】解：画出不等式组
???3??+5≥0
2??+???4≥0
??+2≥0
表示的平面区域，如图中阴影部分所示； 由
2??+???4=0
??=?2
，解得??(3,?2)，设??=??+??，将直线l：??=??+??进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴
??
最小值
=3?2=1．故答案为：1．根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．
设定义在R上的函数满足??(??)=??(??+2)，当??∈[?1,1)时，??(??)=
??(
2
??
),?1≤??≤0
log
2
??,0，则??(
7
2
)=______．
【答案】?
1
2
【解析】解：定义在R上的函数满足??(??)=??(??+2)，所以函数的周期为2，当??∈[?1,1)时，??(??)=
??(
2
??
),?1≤??≤0
log
2
??,0，则??(
7
2
)=??(4?
1
2
)=??(?
1
2
)=??(
2
?
1
2
)=
log
2
2
?
1
2
=?
1
2
．故答案为：?
1
2
．利用函数的周期性以及分段函数，转化求解函数值即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
已知
??
??
为数列{
??
??
}的前n项和，
??
1
=1，
??
??
??
??+1
=?
??
??+1
(??∈???)，则
??
10
=______．
【答案】?
1
90
【解析】解：根据题意，数列{
??
??
}满足
??
??
??
??+1
=?
??
??+1
，即
??
??
??
??+1
=
??
??
?
??
??+1
，变形可得：
1
??
??+1
?
1
??
??
=1，又由
??
1
=1，则
1
??
1
=1，则数列{
1
??
??
}为首项为1，公差为1的等差数列，则
1
??
??
=1+(???1)=??，则
??
??
=
1
??
，则
??
10
=
??
10
?
??
9
=
1
10
?
1
9
=?
1
90
；故答案为：?
1
90
．根据题意，将
??
??
??
??+1
=?
??
??+1
变形可得
??
??
??
??+1
=
??
??
?
??
??+1
，进而可得
1
??
??+1
?
1
??
??
=1，分析可得数列{
1
??
??
}为首项为1，公差为1的等差数列，即可得
??
??
=
1
??
，又由
??
10
=
??
10
?
??
9
，计算可得答案．本题考查数列递推公式，涉及数列的前n项和与通项的关系，属于基础题．
已知三棱锥?????????的体积为2，△??????是等腰直角三角形，其斜边????=2，且三棱锥?????????的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为______．
【答案】
40
10
3
??
【解析】解：如下图所示， 取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则????//????，∵????为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△??????外接圆圆心，且O为三棱锥?????????外接球的球心，所以????⊥平面ABC，所以，????⊥平面ABC，∵△??????是等腰直角三角形，且斜边????=2，所以，????=????=
2
，则△??????的面积为
??
△??????
=
1
2
?????????=1，由锥体体积公式可得
??
?????????
=
1
3
??
△??????
?????=
1
3
×1×????=2，∴????=6，所以，????=
??
??
2
+??
??
2
=2
10
，则球O的半径为??=
1
2
????=
10
，因此，球O的体积为
4
3
??
??
3
=
4
3
??×(
10
)
3
=
40
10
3
??．故答案为：
40
10
3
??．取AC的中点E，利用球心O与△??????的外心的连线与平面ABC垂直，得到????⊥平面ABC，再由中位线得出????//????，于是得出????⊥平面ABC，根据已知条件计算出△??????的面积，并利用锥体体积公式计算出CD，再利用勾股定理得出AD，即可得出球O的半径为??=
1
2
????，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于理解球心与相应面的外接圆圆心的连线与相应的底面垂直这一性质，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
在△??????中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2??+??)cos??+??cos??=0．(1)求角B的大小；(2)若??=3，点D在AC边上，且????⊥????，????=
15
3
14
，求c边的长．
【答案】(1)由(2??+??)cos??+??cos??=0及正弦定理，可得2sin??cos??+sin??cos??+sin??cos??=0，即2sin??cos??+sin(??+??)=0，由??+??+??=??可得sin(??+??)=sin??，所以sin??(2cos??+1)=0，因为01
2
,??=
2??
3
． (2)由??=
2??
3
得
??
2
=
??
2
+
??
2
+????=
??
2
+3??+9，又因为????⊥????，所以△??????的面积??=????sin??=
1
2
???????，把??=3,??=
2??
3
,????=
15
3
14
，带入得??=
7
5
??，所以(
7??
5
)
2
=
??
2
+3??+9，解得??=5．
【解析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值．(2)利用三角形的边的关系及余弦定理和三角形面积公式，建立等量关系式求出c的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型．
《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；(2)试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；(3)已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．
【答案】解：(1)被采访人恰好在第1组或第4组的概率??=4×0.07+4×0.01=0.32…………………(2分)2)平均数
??
=162×0.2+166×0.28+170×0.32+174×0.12+178×0.04+182×0.04…………(3分)
??
=170?1.6?1.12+0.48+0.32+0.48=168.56…………………(4分)设中位数为x，则0.2+0.28+(???168)×0.08=0.5…………………(5分)∴中位数??=
0.5?0.28
0.08
+168=168.25…………………(6分)(3)共50×0.12=6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，??…………………(7分)则任选2人，可能为{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，{??,??}，共15种，…………………(9分)其中两个全是男生的有{??,??}，{??,??}，{??,??}，共3种情况，…………………(10分)设事件A：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率??(??)=1?
3
15
=
4
5
…………………(12分)
【解析】(1)利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第1组或第4组的概率．(2)利用频率分布直方图能求出平均数和中位数．(3)共50×0.12=6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面????????⊥平面ABC，∠??????=
60
°
，????⊥????，????=????=
2
．(1)若点M是线段BF的中点，证明：????⊥平面AMC；(2)求六面体ABCEF的体积．
【答案】证明：(1)连接MD，FD．∵四边形BDEF为菱形，且∠??????=
60
°
，∴△??????为等边三角形．∵??为BF的中点，∴????⊥????．∵????⊥????，????=????=
2
，又D是AC的中点，∴????⊥????．∵平面????????∩平面??????=????，平面??????⊥平面BDEF，?????平面ABC，∴????⊥平面BDEF．又?????平面BDEF，∴????⊥????．由????⊥????，????⊥????，????∩????=??，∴????⊥平面AMC． (2)
??
菱形????????
=2?
1
2
???????????sin
60
°
=
3
2
．已证????⊥平面BDEF，则
??
四棱锥???????????
=
1
3
??
菱形????????
?????=
1
3
×
3
2
×1=
3
6
．∴
??
六面体??????????
=2
??
四棱锥???????????
=
3
3
．
【解析】(1)直接利用转换关系，利用相面垂直的判定求出结论．(2)利用分割法求出几何体的体积．本题考查的知识要点：线面垂直的判定的应用，几何体的体积公式的应用．
已知椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)的左右焦点分别为
??
1
，
??
2
，左顶点为A，上顶点为B，离心率为
2
2
，△????
??
1
的面积为
2
?1
2
．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过
??
1
的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求△????
??
2
内切圆半径的最大值．
【答案】解：(1)依题意有
??
??
=
2
2
??
2
=
??
2
+
??
2
1
2
(?????)??=
2
?1
2
解得
??=
2
??=1
??=1.
，故椭圆C的方程为
??
2
2
+
??
2
=1．(2)设??(
??
1
,
??
1
)，??(
??
2
,
??
2
)，设△
??
2
????的内切圆半径为r，△
??
2
????的周长为|??
??
1
|+|??
??
2
|+|??
??
1
|+|??
??
2
|=4??=4
2
，所以
??
△
??
2
????
=
1
2
×4?????=2
2
??．根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为??=?????1，由
??
2
2
+
??
2
=1
??=????+1
，得(
??
2
+2)
??
2
?2?????1=0，△=(2??
)
2
+4(
??
2
+2)>0，??∈??，由韦达定理得
??
1
+
??
2
=
2??
??
2
+2
,
??
1
??
2
=
?1
??
2
+2
，∴
??
△
??
2
????
=
1
2
|
??
1
??
2
||
??
1
?
??
2
|=|
??
1
?
??
2
|=
(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
=
2
2
??
2
+1
??
2
+2
，令??=
??
2
+1
，则??≥1，∴
??
△
??
2
????
=
2
2
??
??
2
+1
=
2
2
??+
1
??
．令??(??)=??+
1
??
，则当??≥1时，??′(??)=1?
1
??
2
>0，??(??)单调递增，∴??(??)≥??(1)=2，
??
△
??
2
????
≤
2
，即当??=1，??=0时，
??
△
??
2
????
的最大值为
2
，此时2
2
??
??????
=
2
，
??
??????
=
1
2
．∴△
??
2
????内切圆半径的最大值为
1
2
．
【解析】(1)根据题意列方程组求出a，b的值得出椭圆方程；(2)根据根与系数的关系求出△????
??
2
的最大值，再根据内切圆的性质表示出△????
??
2
的面积，从而得出内切圆的最大半径．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，用半径表示出三角形的面积是解题的关键，属于中档题．
已知函数??(??)=
??
??
???(??+1)，??∈??．(1)求函数??(??)的单调区间和极值；(2)设??(??)=??(??)+
??
??
??
，且??(
??
1
,
??
1
)、??(
??
2
,
??
2
)(
??
1
≠
??
2
)是曲线??=??(??)上的任意两点，若对任意的??≤?1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．
【答案】解：(1)由题知定义域为(?∞,+∞)，，??∈??，…………………(1分)①当??≤0时，??′(??)>0，∴??(??)在(?∞,+∞)上单调递增，即增区间为(?∞,+∞)；则??(??)无极值；…………………(2分)②当??>0时，的解为??=ln??，当??∈(?∞,ln??)时，??′(??)<0，∴??(??)的减区间为(?∞,ln??)；当??∈(ln??,+∞)时，??′(??)>0，∴??(??)的增区间为(ln??,+∞).…………………(4分)则??(??)极小值为??(ln??)=?????(ln??+1)=???ln??，无极大值；??…………………(5分)(2)设
??
1
，
??
2
是任意的两实数，且
??
1
<
??
2
，由题设知，
??(
??
2
)???(
??
1
)
??
2
?
??
1
>??，故??(
??
2
)???
??
2
>??(
??
1
)???
??
1
，∴不妨令函数??(??)=??(??)?????，…………………(8分)则??(??)在(?∞,+∞)上单调递增，恒成立，∴对任意的??≤?1，??∈??，恒成立，∴??≤(??′(??)
)
??????
.…………………(10分)又当??≤?1时，??′(??)=
??
??
????
??
??
??
≥2
??
??
(?
??
??
??
)
???=???+2
???
=(
???
+1
)
2
?1≥3，故??≤3.…………………(12分)
【解析】(1)由题意求出函数的定义域，并且求出原函数的导函数，可得当??≤0时，??′(??)>0，??(??)在(?∞,+∞)上单调递增；当??>0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，得到函数的单调性，从而得到函数的极值；(2)设
??
1
，
??
2
是任意的两实数，且
??
1
<
??
2
，由题设知，
??(
??
2
)???(
??
1
)
??
2
?
??
1
>??，得到??(
??
2
)???
??
2
>??(
??
1
)???
??
1
，构造函数??(??)=??(??)?????，可得??(??)在(?∞,+∞)上单调递增，得到恒成立，分离参数后利用基本不等式求出的最小值，则m的取值范围可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，是中档题．
在平面直角坐标系xOy中，曲线
??
1
的参数方程为
??=1+sin??
??=1+cos??
(??为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
??
2
的极坐标方程为??cos(???
??
4
)=
2
2
??(??∈??)．(1)求曲线
??
1
的普通方程及曲线
??
2
的直角坐标方程；(2)若??≤??≤2??，当曲线
??
1
与曲线
??
2
有两个公共点时，求t的取值范围．
【答案】解：(1)由
??=1+sin??
??=1+cos??
，得
???1=sin??
???1=cos??
，两式平方相加得：(???1
)
2
+(???1
)
2
=1；由??cos(???
??
4
)=
2
2
??，得??cos??cos
??
4
+??sin??sin
??
4
=
2
2
??，∴
2
2
??+
2
2
??=
2
2
??，即??+??=??；(2)由??≤??≤2??，得曲线
??
1
：(???1
)
2
+(???1
)
2
=1(??≤0)．作出曲线
??
1
与曲线
??
2
的图象如图： 由图可知，当曲线
??
1
与曲线
??
2
有两个公共点时，实数t的取值范围为(?
2
,?1]．
【解析】(1)把已知参数方程移向平方即可得到普通方程，展开两角差的余弦，结合??=??cos??，??=??sin??求得曲线
??
2
的直角坐标方程；(2)画出两曲线的图形，数形结合即可求得t的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
已知函数??(??)=|2??|+|2??+3|+??(??∈??)．(1)当??=?2时，求不等式??(??)≤3的解集；(2)若???∈(?∞,0)，都有??(??)≥??+
2
??
恒成立，求m的取值范围．
【答案】解：(1)当??=?2时，??(??)=|2??|+|2??+3|+??=
4??+1,??≥0
1,?
3
2
?4???5,??≤?
3
2
…(2分)当
??≥0
4??+1≤3
，解得0≤??≤
1
2
；当?
3
2
??4???5≤3
??≤?
3
2
解得?2≤??≤?
3
2
此不等式的解集为[?2?,
1
2
]………………………………………(5分)(2)当??∈(?∞,0)时??(??)=|2??|+|2??+3|+??=
3+??,(?
3
2
?4???3+??,(??≤?
3
2
)
．当?
3
2
2
??
由??+
2
??
=?[(???)+(?
2
??
)]≤?2
(???)(?
2
??
)
=?2
2
当且仅当???=?
2
??
即??=?
2
时等号成立.∴??+3≥?2
2
，∴??≥?3?2
2
……………………………(7分)当??≤?
3
2
时，不等式化为?4???3+??≥??+
2
??
.∴??≥5??+
2
??
+3令??=5??+
2
??
+3，??∈(?∞,?
3
2
]∵??′=5?
2
??
2
>0,??∈(?∞,?
3
2
],∴??=5??+
2
??
+3在(?∞,?
3
2
]上是增函数．∴当??=?
3
2
时，??=5??+
2
??
+3取到最大值为?
35
6
∴??≥?
35
6
………………(9分)综上??≥?3?2
2
………………………………………………(10分)
【解析】(1)??(??)=|2??|+|2??+3|+??=
4??+1,??≥0
1,?
3
2
?4???5,??≤?
3
2
，分段解不等式即可．(2)??(??)=|2??|+|2??+3|+??=
3+??,(?
3
2
?4???3+??,(??≤?
3
2
)
.当?
3
2
2
??
，当??≤?
3
2
时，不等式化为?4???3+??≥??+
2
??
．??≥5??+
2
??
+3，利用恒成立求得m的取值范围．本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．