【鲁教版八下精美学案】6.3.1 正方形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】6.3.1 正方形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-03 10:21:45 | ||
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文档简介
第3节 正方形的性质与判定
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 正方形的定义
有______________的矩形是正方形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形。
注意 正方形是特殊的矩形、菱形，它具备矩形、菱形的所有性质。
知识点2 正方形的性质
1.定理1:正方形的四个角是直角，四条边都相等。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
2.定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC， OB＝OD＝BD.
3.对称性:
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有4条，分别是对角线所在直线和过每组对边中点的直线。
注意 正方形的对角线将正方形分成4个全等的大的等腰直角三角形或4个小的全等的等腰直角三角形。
知识点3 正方形的面积
1.S正方形ABCD＝AB2
2.S正方形ABCD＝AC2＝BD2
3.S正方形ABCD＝2S△ABC＝4S△AOB
考 点 突 破
考点1:正方形的定义
【典例1】已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是__________________。
思路导析:由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，再满足有一组邻边相等即可，故填AB＝BC.（答案不唯一）
答案:AB＝BC（答案不唯一）
方法归纳 在判定一个四边形是正方形时，若能判定是矩形，那么再加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可；若能判定是菱形，则再加一个角是直角或对角线相等的条件即可。
变式1下面四个定义中不正确的是（ ）
A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
变式2 如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝BC，若再补充一个条件能使平行四边形ABCD成为正方形，则这个条件是____________。（只填一个条件即可）
考点2: 利用正方形的性质求角度
【典例2】 如图所示，在正方形ABCD中，E为CD上一点，点F在BE上，AF＝AB，连接BD，FD，若∠BAF＝58°，则∠BDF的度数为______________。
思路导析: 根据正方形的性质得出∠DAB＝90°∠ADB＝45°，AB＝AD，求出AF＝AD，∠DAF＝32°，求出∠ADF＝74°，代入∠BDF＝∠ADF－∠ADB求出即可。
解:∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∠ADB＝45°，AB＝AD。
∵AF＝AB，∠BAF＝58°，∴AF＝AD，∠DAF＝90°－58°＝32°
∴∠ADF＝∠AFD＝（180°－32°）＝74°，
∴∠BDF＝∠ADF－∠ADB＝74°－45°＝29°。
故答案为29°。
答案:29°
友情提示 本题考查了等腰三角形性质、三角形内角和定理和正方形的性质，能正确熟记正方形的性质是解此题的关键。
变式3 如图所示，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A.135° B.120° C.60° D.45°
变式4 若以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE，则∠BED的度数是_____________。
考点3: 利用正方形的性质求线段长
【典例3】如图所示，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是_________cm。
思路导析: 证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是24cm2得出正方形AFCE的面积是24cm2，求出AE，EC的长，根据勾股定理求出AC即可。
解:∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°
∵在Rt△AED和Rt△AFB中， ∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL）
∴S△AED＝S△AFB
∵四边形ABCD的面积是24cm2，∴正方形AFCE的面积是24cm2。
∴AE＝EC＝＝2（cm）
勾股定理得:AC＝＝4，故答案为4。
答案:4。
友情提示 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质，勾股定理等知识点的应用.关键是求出正方形AFCE的面积。
变式5 如图所示，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形ABCD的边长为________cm.
变式6 在正方形ABCD中，点E在边CD上，DE＝3，EC＝1.若F是正方形边上的点，且BF＝AE，则FC的长为______________。
考点4: 利用正方形的性质求面积
【典例4】 如图所示，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB＝5，AE＝1，CF＝2，则BG＝_____________。
思路导析: 如图所示，连接BE，BF.首先利用勾股定理求出EF，
再根据S△BEF＝·EF·BG＝S正方形ABCD－S△ABE－S△BCF－S△DEF，列出方程即可解决问题。
解:如图所示，连接BE，BF。∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5。∵AE＝1，CF＝2，∴DE＝4，DF＝3。
∴EF＝＝5。
∵S△BEF＝·EF·BG＝S正方形ABCD－S△ABE－S△BCF－S△DEF，
∴×5×BG = 25－×5×1－×5×2－×3×4，
∴BG＝。故答案为。
答案:。
友情提示 本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型。
变式7 在直线l上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为（ ）
变式7图
A.2 B.1 C.2 D.4
变式8 如图所示，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角平分线CF于点F。
（1）证明:∠BAE＝∠FEC；
（2）证明:AE＝EF；
（3）求△AEF的面积。
考点5: 利用正方形的性质进行推理证明
【典例5】如图所示，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF。
（1）求证:△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由。
思路导析:（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB＝CB，∠ABC＝90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE＝BF，通过角的计算可得出∠ABF＝∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE＝∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB＝135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB＝∠AFB＝135°，通过角的计算即可得出∠CEF＝90°从而得出△CEF是直角三角形。
解:（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°。
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF
∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE。
在△ABF和△CBE中， ∴△ABF≌△CBE（SAS）
（2）△CEF是直角三角形，理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°
∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝135°
∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°
∴△CEF是直角三角形。
友情提示 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是:（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF＝90°本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键。
变式9 如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角线AC于点F。
求证:（1）BF＝DF；
（2）BF⊥FE.
变式10 如图1所示，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C。
（1）求证:四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM。
①如图2所示，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2所示，若CM＝3，CN＝4，求BC的长。
巩 固 提 高
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A.四个角都相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.如图所示，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为（ ）
A.50° B.55° C.70° D.75°
3.如图所示，在正方形ABCD中，AB＝1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为（ ）
A. B.4 C.2 D.
4.如图所示，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是___________。
5.如图所示，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于_____________。
6.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为____________。
7.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF＝1，CE，DF交于点0，下列结论: ①DF＝5；②△BCE≌△CDF；③DF⊥CE；④S△ODC＝S四边形BEOF其中正确的有_____________。（填序号）
8.如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M，N求证:（1）BM＝CN；（2）BM⊥CN。
9.在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证:EF＝AP。
10.探究:如图所示，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC，BE交于点P.
求证:∠ANC＝∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝_____________。
11.如图所示，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.（1）求证:△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证:四边形BECD是矩形；
（3）若四边形BECD是正方形，那么AD与DE的关系是什么？并说明理由。
12.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。
（1）如图1所示，求证:矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数。
真 题 训 练
1.（2018·兰州）如图所示， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是（ ）
A.65° B.55° C.70° D.75°
2.（2018·宜昌）如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于（ ）
A.1 B. C. D.
3.（2018·武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是___________。
4.（2018·咸宁）如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐G
E标为（2，3），则点F的坐标为____________。
5.（2018·盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示。
（1）求证:△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:一组邻边相等
考点突破
1.B 2.AC＝BD（答案不唯一） 3.B
4.45或135° 5.13 6.或3 7.C
8.解:（1）证明:∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°
在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC。
（2）证明:G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG＝GB， BE＝EC，且∠AGE＝180°－45°＝135°
又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°
在△AGE和△ECF中， ∴ △AGE≌△ECF（SAS）
∴AE＝EF
（3）由△AGE≌△ECF，得AE＝EF，又∵∠AEF＝90°
∴△AEF是等腰直角三角形
由AD＝a，BE＝a，知AE＝a，∴S△AEF = 。
9.证明:（1）如图所示
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，∠BAE＝90°
在△BAF和△DAF中， ∴△BAF≌△DAF（SAS）
∴BE＝DF。
（2）∵BE的垂直平分线FG交对角线AC于点F，
∴BF＝EF，∵BF＝DF，∴EF＝DF。∴∠FDE＝∠FED，
∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF＝∠FDE，∴∠ABF＝∠FED，
∵∠FED＋∠FEA＝180°，∴∠ABF＋∠FEA＝180°，∴∠BAE＋∠BFE＝180°。
∴∠BFE＝90o。∴BF⊥FE.
10.解:（1）证明:∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°。
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°。
∴四边形ABCD是矩形。
（2）①如图2所示，延长CM，BA交于点E。
∵AN＝BNN＝2，∴AB = CD－4。
∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD。
在△AEM和△DCM中， ∴△AME≌△DMC
∴AE＝CD＝4.∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E
∴CN＝EN＝AE＋AN＝4＋2＝6
②如图3所示，延长CM，BA交于点E.
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，∴EM = CM＝3，EN = CN ＝4 ，
设BN = x，则 BC2＝CN2 －BN2＝CE2－EB2.
∴42－x2＝62－（x＋4）2 ∴x = .
∴BC＝。
巩固提高
1.B 2.C 3.D 4.16 5. 5 6. 7.①②③④
8.略
9.证明:连接PC.∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90o，∠ABD＝∠CBD = 45°，BA＝BC。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形。∴PC＝EF
在△ABP和△CBP中， ∴△ABP≌△CBP，
∴PA＝PC，∴AP＝EF。
10.证明:四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90o。
∵∠NAC＝∠NAB＋∠BAC，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，
∴∠NAC＝∠BAE，
在△ANC和△ABE中， ∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC＝∠ABE。
应用：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB＝90o。∴∠ANC＋∠AON = 90o
∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP＋∠BOP＝90o。
∴∠BPC＝∠ABP＋∠BOP＝90o，
∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ＝BC＝3。故答案为3。
11.解:略
12.解:（1）证明:如图1所示，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA = ∠BCA，∴EQ＝EP。
∵∠QEF＋∠FEC＝45o，∠PED＋∠FEC＝45o，∴∠QEF＝∠PED。
在Rt△EQF和Rt△EPD中 ∴Rt△EQF≌Rt△EPD
∴EF＝ED。∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2所示，在Rt△ABC中.AC＝AB＝2，
∵EC＝，∴AE＝CE
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝。
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°；
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°。
综上所述，∠EFC＝120°或30°。
真题训练
1.A 2.B 3.30°或150° 4.（-1，5）
5.解:（1）证明:正方形ABCD，
∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，四边形AECF是菱形.
理由:正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF.
∴OB＋BE＝OD＋DF.
即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形。
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 正方形的定义
有______________的矩形是正方形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形。
注意 正方形是特殊的矩形、菱形，它具备矩形、菱形的所有性质。
知识点2 正方形的性质
1.定理1:正方形的四个角是直角，四条边都相等。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
2.定理2:正方形的对角线相等且互相垂直平分。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC， OB＝OD＝BD.
3.对称性:
正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有4条，分别是对角线所在直线和过每组对边中点的直线。
注意 正方形的对角线将正方形分成4个全等的大的等腰直角三角形或4个小的全等的等腰直角三角形。
知识点3 正方形的面积
1.S正方形ABCD＝AB2
2.S正方形ABCD＝AC2＝BD2
3.S正方形ABCD＝2S△ABC＝4S△AOB
考 点 突 破
考点1:正方形的定义
【典例1】已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是__________________。
思路导析:由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，再满足有一组邻边相等即可，故填AB＝BC.（答案不唯一）
答案:AB＝BC（答案不唯一）
方法归纳 在判定一个四边形是正方形时，若能判定是矩形，那么再加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可；若能判定是菱形，则再加一个角是直角或对角线相等的条件即可。
变式1下面四个定义中不正确的是（ ）
A.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B.有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
变式2 如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝BC，若再补充一个条件能使平行四边形ABCD成为正方形，则这个条件是____________。（只填一个条件即可）
考点2: 利用正方形的性质求角度
【典例2】 如图所示，在正方形ABCD中，E为CD上一点，点F在BE上，AF＝AB，连接BD，FD，若∠BAF＝58°，则∠BDF的度数为______________。
思路导析: 根据正方形的性质得出∠DAB＝90°∠ADB＝45°，AB＝AD，求出AF＝AD，∠DAF＝32°，求出∠ADF＝74°，代入∠BDF＝∠ADF－∠ADB求出即可。
解:∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∠ADB＝45°，AB＝AD。
∵AF＝AB，∠BAF＝58°，∴AF＝AD，∠DAF＝90°－58°＝32°
∴∠ADF＝∠AFD＝（180°－32°）＝74°，
∴∠BDF＝∠ADF－∠ADB＝74°－45°＝29°。
故答案为29°。
答案:29°
友情提示 本题考查了等腰三角形性质、三角形内角和定理和正方形的性质，能正确熟记正方形的性质是解此题的关键。
变式3 如图所示，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（ ）
A.135° B.120° C.60° D.45°
变式4 若以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE，则∠BED的度数是_____________。
考点3: 利用正方形的性质求线段长
【典例3】如图所示，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是_________cm。
思路导析: 证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是24cm2得出正方形AFCE的面积是24cm2，求出AE，EC的长，根据勾股定理求出AC即可。
解:∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°
∵在Rt△AED和Rt△AFB中， ∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL）
∴S△AED＝S△AFB
∵四边形ABCD的面积是24cm2，∴正方形AFCE的面积是24cm2。
∴AE＝EC＝＝2（cm）
勾股定理得:AC＝＝4，故答案为4。
答案:4。
友情提示 本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质，勾股定理等知识点的应用.关键是求出正方形AFCE的面积。
变式5 如图所示，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形ABCD的边长为________cm.
变式6 在正方形ABCD中，点E在边CD上，DE＝3，EC＝1.若F是正方形边上的点，且BF＝AE，则FC的长为______________。
考点4: 利用正方形的性质求面积
【典例4】 如图所示，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，BG⊥EF，点G为垂足，AB＝5，AE＝1，CF＝2，则BG＝_____________。
思路导析: 如图所示，连接BE，BF.首先利用勾股定理求出EF，
再根据S△BEF＝·EF·BG＝S正方形ABCD－S△ABE－S△BCF－S△DEF，列出方程即可解决问题。
解:如图所示，连接BE，BF。∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5。∵AE＝1，CF＝2，∴DE＝4，DF＝3。
∴EF＝＝5。
∵S△BEF＝·EF·BG＝S正方形ABCD－S△ABE－S△BCF－S△DEF，
∴×5×BG = 25－×5×1－×5×2－×3×4，
∴BG＝。故答案为。
答案:。
友情提示 本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型。
变式7 在直线l上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为（ ）
变式7图
A.2 B.1 C.2 D.4
变式8 如图所示，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形的外角平分线CF于点F。
（1）证明:∠BAE＝∠FEC；
（2）证明:AE＝EF；
（3）求△AEF的面积。
考点5: 利用正方形的性质进行推理证明
【典例5】如图所示，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF。
（1）求证:△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由。
思路导析:（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB＝CB，∠ABC＝90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE＝BF，通过角的计算可得出∠ABF＝∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE＝∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB＝135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB＝∠AFB＝135°，通过角的计算即可得出∠CEF＝90°从而得出△CEF是直角三角形。
解:（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°。
∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF
∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE。
在△ABF和△CBE中， ∴△ABF≌△CBE（SAS）
（2）△CEF是直角三角形，理由如下:
∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°
∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝135°
∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°
∴△CEF是直角三角形。
友情提示 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是:（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF＝90°本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键。
变式9 如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角线AC于点F。
求证:（1）BF＝DF；
（2）BF⊥FE.
变式10 如图1所示，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C。
（1）求证:四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM。
①如图2所示，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2所示，若CM＝3，CN＝4，求BC的长。
巩 固 提 高
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A.四个角都相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.如图所示，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为（ ）
A.50° B.55° C.70° D.75°
3.如图所示，在正方形ABCD中，AB＝1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为（ ）
A. B.4 C.2 D.
4.如图所示，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是___________。
5.如图所示，已知正方形ABCD的对角线交于点O，过O点作OE⊥OF，分别交AB，BC于E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于_____________。
6.如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的长为____________。
7.如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝BF＝1，CE，DF交于点0，下列结论: ①DF＝5；②△BCE≌△CDF；③DF⊥CE；④S△ODC＝S四边形BEOF其中正确的有_____________。（填序号）
8.如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M，N求证:（1）BM＝CN；（2）BM⊥CN。
9.在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，求证:EF＝AP。
10.探究:如图所示，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC，BE交于点P.
求证:∠ANC＝∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝_____________。
11.如图所示，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.（1）求证:△ABD≌△BEC；
（2）若∠BOD＝2∠A，求证:四边形BECD是矩形；
（3）若四边形BECD是正方形，那么AD与DE的关系是什么？并说明理由。
12.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG。
（1）如图1所示，求证:矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数。
真 题 训 练
1.（2018·兰州）如图所示， ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是（ ）
A.65° B.55° C.70° D.75°
2.（2018·宜昌）如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J则图中阴影部分的面积等于（ ）
A.1 B. C. D.
3.（2018·武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是___________。
4.（2018·咸宁）如图所示，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐G
E标为（2，3），则点F的坐标为____________。
5.（2018·盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示。
（1）求证:△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:一组邻边相等
考点突破
1.B 2.AC＝BD（答案不唯一） 3.B
4.45或135° 5.13 6.或3 7.C
8.解:（1）证明:∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°
在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC。
（2）证明:G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG＝GB， BE＝EC，且∠AGE＝180°－45°＝135°
又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°
在△AGE和△ECF中， ∴ △AGE≌△ECF（SAS）
∴AE＝EF
（3）由△AGE≌△ECF，得AE＝EF，又∵∠AEF＝90°
∴△AEF是等腰直角三角形
由AD＝a，BE＝a，知AE＝a，∴S△AEF = 。
9.证明:（1）如图所示
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，∠BAE＝90°
在△BAF和△DAF中， ∴△BAF≌△DAF（SAS）
∴BE＝DF。
（2）∵BE的垂直平分线FG交对角线AC于点F，
∴BF＝EF，∵BF＝DF，∴EF＝DF。∴∠FDE＝∠FED，
∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF＝∠FDE，∴∠ABF＝∠FED，
∵∠FED＋∠FEA＝180°，∴∠ABF＋∠FEA＝180°，∴∠BAE＋∠BFE＝180°。
∴∠BFE＝90o。∴BF⊥FE.
10.解:（1）证明:∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°。
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°。
∴四边形ABCD是矩形。
（2）①如图2所示，延长CM，BA交于点E。
∵AN＝BNN＝2，∴AB = CD－4。
∵AE∥DC，∴∠E＝∠MCD。
在△AEM和△DCM中， ∴△AME≌△DMC
∴AE＝CD＝4.∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，∴∠NCE＝∠ECD＝∠E
∴CN＝EN＝AE＋AN＝4＋2＝6
②如图3所示，延长CM，BA交于点E.
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，∴EM = CM＝3，EN = CN ＝4 ，
设BN = x，则 BC2＝CN2 －BN2＝CE2－EB2.
∴42－x2＝62－（x＋4）2 ∴x = .
∴BC＝。
巩固提高
1.B 2.C 3.D 4.16 5. 5 6. 7.①②③④
8.略
9.证明:连接PC.∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90o，∠ABD＝∠CBD = 45°，BA＝BC。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形。∴PC＝EF
在△ABP和△CBP中， ∴△ABP≌△CBP，
∴PA＝PC，∴AP＝EF。
10.证明:四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN＝AB，AC＝AE，∠NAB＝∠CAE＝90o。
∵∠NAC＝∠NAB＋∠BAC，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，
∴∠NAC＝∠BAE，
在△ANC和△ABE中， ∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC＝∠ABE。
应用：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB＝90o。∴∠ANC＋∠AON = 90o
∵∠BOP＝∠AON，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP＋∠BOP＝90o。
∴∠BPC＝∠ABP＋∠BOP＝90o，
∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ＝BC＝3。故答案为3。
11.解:略
12.解:（1）证明:如图1所示，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA = ∠BCA，∴EQ＝EP。
∵∠QEF＋∠FEC＝45o，∠PED＋∠FEC＝45o，∴∠QEF＝∠PED。
在Rt△EQF和Rt△EPD中 ∴Rt△EQF≌Rt△EPD
∴EF＝ED。∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2所示，在Rt△ABC中.AC＝AB＝2，
∵EC＝，∴AE＝CE
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝。
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°；
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°。
综上所述，∠EFC＝120°或30°。
真题训练
1.A 2.B 3.30°或150° 4.（-1，5）
5.解:（1）证明:正方形ABCD，
∴AB＝AD.∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，四边形AECF是菱形.
理由:正方形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF.
∴OB＋BE＝OD＋DF.
即OE＝OF，∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形。