【鲁教版八下精美学案】6.3.2 正方形的性质与判定（知识梳理+考点突破+巩固提高+真题训练）

第3节 正方形的性质与判定
第2课时
知 识 梳 理
知识点1 正方形的判定方法
1.定义法:_____________________的矩形是正方形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形。
2.定理1:对角线相等的_____________是正方形.
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，
∴菱形ABCD是正方形。
3.定理2:对角线互相垂直的_____________是正方形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形。
4.定理3:______________的菱形是正方形。
几何语言:如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，
∴菱形ABCD是正方形。
注意 判定正方形的一般思路:
正方形的判定方法较多，应用时要注意灵活选择。
知识点2平行四边形菱形矩形正方形的关系
注意 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
考 点 突 破
考点1:正方形的判定
【典例1】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，
DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG。
（1）求证:AF＝BF；
（2）如果AB＝AC，求证:四边形AFCG是正方形。
思路导析:（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，再根据等角的余角相等可得∠B＝∠BAF，所以AF＝BF.（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AG＝CF.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形。
证明:（1）∵AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC。
即得DE是线段AC的垂直平分线。
∴AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACB。
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°，∠FAC＋∠BAF＝90°。
∴∠B＝∠BAF。∴AF＝BF；
（2）:AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE，又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE。
在△AEG和△CEF中， ∴△AEG≌△CEF（AAS）。
∴AG＝CF，又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形。
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形。
在Rt△ABC中，AF＝CF，AF＝BF，∴BF＝CF。
∴点F是边BC的中点，又∵AB＝AC，∴AF⊥BC。
即得∠AFC＝90°。∴四边形AFCG是正方形。
友情提示 本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质。
变式1 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号）。
变式2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F。
（1）求证:BC＝BE；
（2）连接CF，若∠ADF＝∠BCF且AD＝2AF，求证:四边形ABCD是正方形。
考点2: 正方形的性质中的折叠问题
【典例2】 如图所示，现有一张边APD长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH。
（1）求证:∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论。
思路导析:（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC即可得出答案；（2）如图所示，先由AAS证明△ABP≌△QBP得出AP＝PQ，再由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH＝QH.因此，△PDH的周长＝PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8为定值。
解:（1）证明:由折叠的性质可知∠PBC＝∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∴∠APB＝∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。
证明如下；
如图所示，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°， BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP＝QP，AB＝BQ，
又∵AB＝BC，∴BC＝BQ。
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH（HL）
∴CH＝QH
∴△PHD的周长为PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋ DH＋HC＝AD＋CD＝8。
友情提示 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定得出相等关系是解题关键。
变式3 如图所示，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上A’处，则∠A’CD＝_______。
变式4 如图所示，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE:EC＝2:1，则线段CH的长是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
考点3: 正方形性质中的旋转问题
【典例3】 在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连接AD，CF，经测量发现AD＝CF.
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长。

思路导析: （1）根据正方形的性质可得AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，然后求出
∠AOD＝∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF＝AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG＝OG＝OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD。
解:（1）AD＝CF.理由如下:在正方形ABCO和正方形ODEF中，
AO＝CO，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，
∴∠AOC＋∠COD＝∠DOF＋∠COD，即∠AOD＝∠COF，
在△AOD和△COF中， ∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD＝CF；
（2）与（1）同理求出CF＝AD，
如图所示，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG＝OG＝OE，
∵正方形ODEF的边长为，∴OE＝2OD＝×＝2。
∴DG＝OG＝OE＝×2＝1。∴AG＝AO＋OG＝3＋1＝4。
在Rt△ADG中，AD＝＝＝，
∴CF＝AD＝。
变式5 四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，
AF，EF。
（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）填空:△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转_________度得到；
（3）若BC＝8，则四边形AECF的面积为____________。
变式6 如图所示，在正方形ABCD中，点E（与点B，C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF。
（1）求证:△ABE≌△EGF；
（2）若AB＝2，S△ABE＝2S△EGF，求BE的长。

考点4: 与正方形有关的动点问题
【典例4】如图所示，在△ABC中，点O是边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F。
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O在AC上运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
思路导析:（1）由已知MN∥BC，CE，CF分别平分∠BCO和∠DCO，可推出∠OEC＝∠OCE，
∠OFC＝∠OCF，所以得EO＝CO＝FO.（2）菱形的判定问题，若使平行四边形为菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直.（3）由（1）得出的EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则由EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形.（4）由已知（3）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC是满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形。
解:（1）OE＝OF，
理由:∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF。
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF。
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO。
∴OE＝OF；
（2）不可能理由如下:
如图所示，连接BF，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACD＝（∠ACB＋∠ACD）＝90°
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形；
（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下:
∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO。
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF。
∴四边形AECF是矩形；
（4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形。
∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF。
∴四边形AECF是正方形。
变式7 如图所示，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是（ ）
A. B. C. D.
变式8 如图所示，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，
DF⊥BC于点F.
（1）求证:DE＝DF；
（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由。
巩 固 提 高
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
2.如图所示，以A，B为其中两个顶点作位置不同的正方形，一共可以作（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A. B. C. D. 3
4.如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论:
①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2＋DF2＝AF2＋DE2.其中正确的是（ ）
A.②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
5.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则
DE长（ ）
A. B. C. 1 D.
6.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有____________。
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形。
7.如图所示，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB: AD＝_________时，四边形MENF是正方形.
8.如图所示，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为____________。
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证:四边形CEDF是正方形。
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG。
（1）求证:AF＝BF；
（2）如果AB＝AC，求证:四边形AFCG是正方形。
11.已知:如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE，CE。
（1）求证:AE＝CE；
（2）若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论。
12.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，AD＝24，BC＝32，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3 cm/s的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点，也随之停止运动。
（1）从运动开始，两点运动多长时间时，PQ＝CD？
（2）从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由。
真 题 训 练
1.（2018·湘西）下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（日照中考）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB＝BC；
②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形（如图所示），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3.（2017·齐齐哈尔）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_________，
使其成为正方形（只填一个即可）
4.（2017·兰州）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD。其中正确的序号是___________________。
5.（2017·青岛）如图所示，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF。
（1）求证:△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:1.有一组邻边相等 2.菱形 3.矩形 4.有一个角是直角
考点突破
1.②③或①④
2.证明:（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC。
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形。
∴AD＝EB∴BC＝BE；
（2）由（1）知:四边形AEBD是平行四边形，∴AF＝BF＝AB，EF＝FD.
∵AD＝2AF，∴AB＝AD。∵AD∥EC，∴∠ADF＝∠BCF.
∴∠FEC＝∠BCF，∴EF＝FC＝FD。∴∠FDC＝∠FCD。
∴∠ADF＋∠FDC＝∠FCD＋∠BCF，即∠ADC＝∠BCD。
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°
∴∠BCD＝90°∴四边形ABCD是正方形。
22.5° 4.B
5.解:（1）△AEF是等腰直角三角形，
理由是:∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝∠D＝90°，
在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）
∴AE＝AF，∠DAE＝∠FAB。
∵∠DAB＝∠DAE＋∠BAE＝90°∴∠FAE＝∠DAB＝90°
即△AEF是等腰直角三角形。
（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到。
故答案为A；90.
（3）∵△ADE≌△ABF，∴S△ADE＝S△ABF，
∴四边形AECF的面积S＝S四边形ABCE＋S△ABF＝S四边形ABCE＋S△ADE＝S正方形ABCD＝8×8＝64。
故答案为64。
6.解:（1）证明:在正方形ABCD中，∵∠B＝90°，∴∠AEB＋∠BAE＝90°
∵EF⊥AE，∠AEB＋∠GEF＝90o。∴∠GEF＝∠BA。
FG⊥BC，，∠EGF＝90o。
在△ABE与△EGF中 ∴△ABE≌△EGF
（2）∵△ABE≌△EGF，AB=2，∴AB＝EG=2，S△ABE＝S△BGF
∵S△ABE＝2S△BCF ∴ S△BGF＝2S△ECF，∴EC＝CGI=1.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=2，∴BE=2－1=1.
D
8.解:（1）证明：∵CD垂直平分AB，∴AC＝CB。
∵△ABC是等腰三角形。∵CD⊥AB，∴∠ACD = ∠BCD。
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC＝90o。∴∠EDC = ∠FDC。
在△DEC与△DFC中， ∴△DEC≌△DFC（ASA）
∴DE = DF。
（2）当AB＝2CD时，四边形CEDF为正方形，理由如下：
∵AD＝BD， AB = 2CD，∴AD = BD = CD。
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝45°。∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°。
∴四边形DECF是矩形。又∵DE＝DE，∴四边形CEDF是正方形。
巩固提高
1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.④ 7. 1：2 8. 2
9.证明:如图所示，过点D作DG⊥AB于点G，∵∠C＝90o，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CEDF是矩形，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB， DE⊥ BC，∴DE＝DG。
同理可得DG＝DF，∴DE＝DF。∴矩形CEDF是正方形。
10.证明:（1）AD＝CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC。即得DE是线段AC的垂直平分线。
∴AF＝CF。∴∠FAC＝∠ACB。
在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90o，∠FAC＋∠BAF＝90o。
∴∠B＝∠BAF。∴AF＝ BF。
（2）∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE。又∵点E是边AC的中点，∴AE＝CE。
在△AEG和△CEF中， ∴△AEG≌△CEF（AAS）
∴AG＝CF，又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形。
∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形。
在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF得BF＝CF。
即得点F是边BC的中点。
又∵AB＝AC，AF⊥BC。即得∠AFC＝90°。
∴四边形AFCG是正方形。
11.解:（1）证明:四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90o，∠ABE＝∠CBE＝45°。
在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE（SAS）
∴ AE＝CE。
（2）点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形.理由如下:
由折叠的性质得:∠F＝∠AEB，AF＝AE， BF＝BE，
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，∴AE＝BD＝BE＝DE，∵AE＝CE，
∴AE＝BE＝CE＝DE＝AF＝BF.
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点。
∴AE⊥BD。∴∠AEB＝90°
∴四边形AFBE是正方形。
12.解:（1）分两种情况:
①如图1，当P，Q运动到P1D＝Q1C，P1D平行且等于Q1C，
此时四边形P1DCQ1是平行四边形，此时P1Q1＝CD。
设运动时间为t秒，则AP1＝t，P1D＝24-t，CQ1＝3t，BQ1＝32-3t，
∵P1D＝CQ1，∴24 - t＝3t，解得t＝6，
即t＝6时，P1Q1＝CD；
②如图2，当P，Q运动到P2，Q2时，过D，P2分别作DH⊥BC于H，P2G⊥BC于G，
当Q2G＝HC＝8时，△P2Q2G≌△DCH，此时P2Q2＝CD。
∵CQ2＝CH＋HG＋GQ2＝CH＋DP2＋GQ2，
∴3t＝8＋（24-t）＋8，解得t＝10。
综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，PQ＝CD；
（2）假设存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形。
如图3所示，∵∠B＝90°，AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形，
即t＝32-3t，解得t＝8，此时AP＝AB＝8。
∴矩形ABQP为正方形。
所以当t＝8时，四边形ABQP是正方形.
真题训练
1.B 2.B 3.AB＝BC（答案不唯一） 4.①③④
5.解:（1）证明:∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD。
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴ AE＝BE＝DF＝AF， OF＝DC， OE = BC，OE∥BC。
在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得:AE＝OE＝OF＝AF，四边形AEOF是菱形。
∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°。
∴四边形AEOF是正方形。