【鲁教版八下精美学案】第六章 特殊平行四边形章末复习（知识构建+考点归纳+真题训练）

第六章 特殊平行四边形
章 末 复 习
知 识 构 建
特殊的平行四边形：
1.菱形 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质定理： （1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直
判定定理： （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（2）四条边都相等的四边形是菱形
2.矩形 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质定理： （1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
判定定理： （1）对角线相等的平行四边形是矩形
（2）有三个角是直角的四边形是矩形
直角三角形斜边上的中线：
定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半→如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角边三角形
3.正方形 定义:有一组邻边相等的矩形叫做正方形
性质定理：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分
判定定理：（1）对角线相等的菱形是正方形
（2）对角线垂直的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
考 点 归 纳
考点1:菱形的性质
考查角度
对应训练
1.利用菱形的性质计算
1
2.利用菱形的性质证明
2
1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A.24 B.18 C.12 D.9
2.如图所示，在菱形ABCF中，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，EA，延长EA交CD于点G.
（1）求证:△ACE≌△CBD；
（2）求∠CGE的度数。
考点2:菱形的判定
考查角度
对应训练
1.菱形判定
3
2.菱形性质和判定的综合应用
4
3.如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2 = ____________。
4.如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，给出下列判断:①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF其中结论正确的是___________（只需填写正确结论的序号）。
考点3:矩形的性质
考查角度
对应训练
1.利用矩形的性质计算和证明
5
2.直角三角形斜边中线的应用
6
5.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则∠AOE＝__________。
6.如图所示，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，并说明理由。

考点4：矩形的判定
考查角度
对应训练
1.矩形的判定的应用
7
2.矩形中的折叠问题
8
3.矩形中的数形结合思想
9
4.矩形中的动态问题
9
7.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（ ）
A. ∠BAC = ∠DCA B. ∠BAC = ∠DAC C.∠BAC = ∠ABD D.∠BAC = ∠ADB
8.如图所示，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C’处，点B落在B’处，其中AB = 9，BC = 6，则FC’ 的长为（ ）
A. B. 4 C. 4.5 D. 5
9.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（10,0）,（0,3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标。
考点5:正方形的性质
考查角度
对应训练
1.利用正方形的性质计算
10，11
2.利用正方形的性质进行推理证明
12
10.如图所示，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A.45° B.60° C.70° D.75°
11.如图所示，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则△BCG的周长为_________。
12.如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN。
（1）求证:OM＝ON。
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长。
考点6:正方形的判定
考查角度
对应训练
1.正方形的判定
13
2.正方形性质和判定的综合应用
14，15
13.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF求证:四边形EDFG是正方形。
14.如图所示，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点。
（1）求证:△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD:AB＝__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
15.如图所示，在正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm.如果点B在线段BC上以2cm/s的速度由点P向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动，设运动的时间为ts。
（1）CP的长为__________cm（用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，△BPE与△CQP能否全等？若能全等，求出点Q的运动速度，若不能全等，请说明理由。
真 题 训 练
1.（2018·孝感）如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为（ ）
A.52 B.48 C.40 D.20
2.（2018·威海）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A.1 B. C. D.
3.（2018·岱岳区校级期中）如图所示，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A.75° B.60° C.55° D.45°
4.（枣庄中考）如图所示，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为（ ）
A.2 B. C. D.1

5.（2017·江西）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F，G分别在AD，AC，BC上，且四边形CGEF是正方形，则∠DEB的度数为（ ）
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.（2018·岱岳区校级期中）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标为__________。
7.（2016·泰安）如图所示，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为_____________。
8.（2018·泰山区期末）已知，如图所示，在 ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF。
（1）求证:四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积。
9.（2018·肥城期末）如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF。
（1）求证:四边形DBCF是平行四边形；
（2）探究:当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由。
10.（2018·泰山区期中）如图所示，在 ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H。
（1）求证:四边形EFGH是矩形；
（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积。
11.（2017·上海）已知:如图所示，四边形ABCD中AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且 EA＝EC。
（1）求证:四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2:3，求证:四边形ABCD是正方形。
12.（2017·湖北）如图所示，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H。
（1）若BD＝BF，求BE的长；
（2）若∠ADE＝2∠BFE，求证:HF＝HE＋HD。
参考答案及解析
考点归纳
1.A
2.解:（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60o，∴△ABC是等边三角形。∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，
∵BE＝AD、∴BE＋BC＝AD＋AB。即CE＝BD。
在△ACE和△CBD中 ∴△ACE≌△CBD（SAS）
（2）由（1）可知△ACE≌△CBD，∴∠E＝∠D.
∵∠BAE＝∠DAG，∴∠E＋∠BAE＝∠D＋∠DAG。
∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60o，∴∠CGE＝60o。
3.36 4.①③④ 5.135o
6.解:AN⊥CD，理由如下:
如图所示，连接ND，NC。
在Rt△ABD中，∠ADB＝90o，N是AB的中点。
∴ND＝AB，同理可证NC＝AB，∴ND＝NC。∴△NDC是等腰三角形。
在等腰△NDC中，∵MM是CD的中点，∴MN⊥CD。
7.C 8.D 9.（1，3）或（4，3）或（9，3） 10.C 11.＋3
12.解:（1）证明:四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45o，∠OBA＝45o。
∴∠OAM＝∠OBN＝135°。∵∠EOF＝90o，∠AOB＝90o，
∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON。
（2）如图所示，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2。
∵E为OM的中点，∴HM＝4.则OM＝，
∴MN＝OM＝2。
13.证明:连接CD，如图所示。
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝ 90o， D是AB的中点，
∴∠A＝∠DCF=45o，AD = CD。
在△ADE和△CDF中 ∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE＋∠EDC＝90o；
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形。
∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF。
∴四边形EDFG是正方形
14.解:（1）证明:四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°。
∵M为AD中点，∴AM＝ DM。
在△ABM和△DCM中，∴△ABM≌△DCM.
（2）∵△ABM≌△DCM，四边形MENF是菱形。
证明如下:∵N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，FMCM，∴NE＝FM，NE∥FM.
∴四边形MENF是平行四边形，
∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM。又∵E，F分别是BM，CM的中点，
∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形。
（3）当AD:AB＝2:1时，四边形MENP是正方形。
理由如下:M为AD的中点，∴AD＝2AM.
∵AD:AB＝2:1，∴AM＝AB。
∵∠A＝90°，∠ABM＝∠AMB＝45o同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°。
∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形，故答案为2:1。
15.解:（1）（10－2t）
（2）△BPE与△CQP全等.理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，且t＝2s，
∴BP＝CQ＝22＝4（cm）。∵CP＝BC－BP＝6cm。∴BE＝CP。
在△BPE和△CQP中 ∴△BPE≌△CQP。
（3）能全等，理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ。
∵∠B＝∠C＝90°，∴若△BPE与△CQP全等，则BP = PC＝5 cm， CQ＝BE＝6 cm.
∴点P，Q运动的时间t，此时点Q的运动速度为 cm/S。
真题训练
1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.（3，-1） 7.
8.解:（1）证明:四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC。
∴∠DAE＝∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE。∴∠BAE＝∠BEA。
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF。∴AF＝BE。∵AD∥BC，即AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形。
（2）作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB=BF＝4。
∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF=AE·BF＝BE·FG，∴GF＝。
∵BE＝5，CE＝3，∴BC = 8。
S平行四边形ABCD＝BC·FG＝。
9.解:（1）证明::D，E分别是AB，AC的中点，∴DE =BC，DE∥BC。又EF＝DE，
∴DF＝DE＋EF = BC。
∴四边形DBCF是平行四边形。
（2）当AC＝BC时，平行四边形ADCF矩形。
理由:∵四边形ADCF是矩形，AC＝ DF。
∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线。
∴DE＝BC，又∵EF＝DE，∴DF＝ BC。∴AC＝ BC。
10.解:（1）证明:∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝∠BAD，
∠GBA =∠ABC，∴ ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠GAB＋∠GBA = （∠DAB+∠ABC）＝90°，即∠AGB＝90°，
同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）依题意得，∠BAG＝∠BAD＝30°。∵AB＝6，
∴BG＝AB＝3， AGCE。∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30o，
∴BF＝BC＝2， CF，∴EF＝，GF＝3－2＝1，
∴矩形EFGH的面积＝ EF×GE＝。
11.证明:（1）在△ADE与△CDE中， ∴△ADE≌△CDE。
∴∠ADE＝∠CDE。∵AD∥BC，∠ADE＝∠CBD。∴∠CDE＝∠CBD。
∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC = AD。∴四边形ABCD为平行四边形。
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC。∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝＝45o。∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45o。∴∠ABC＝90°。∴四边形ABCD是正方形。
12.解:（1）如图所示，∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°， BC＝CD＝6，
∴BD＝6。∵DF⊥DE，∴∠ADE＋∠EDC＝90°。∴∠EDC＋∠CDF＝90°。
∴∠ADE＝∠CDF。
在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（ASA）
∴AE＝CF，又∵BD＝BF＝6，∴AE＝CF＝BF－BC＝6－6.
∴BE＝AB－AE＝6－（6－6）＝12－6，即BE的长为12－6；
（2）证明:在FE上截取一段FI，使得 FI＝EH，
∵由（1）知，△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形。
∴∠DEF＝∠DFE＝45°＝∠DBC。∵∠DHE＝∠BHF，∴∠EDH＝∠BFH（三角形的内角和定理）。在△DEH和△DFI中， ∴△DEH≌△DFI（SAS）
∴DH＝DI.又∵∠HDE＝∠BFE，∠ADE＝2∠BFE，∴∠HDE＝∠BFE＝∠ADE。
∵∠HDE＋∠ADE＝45°∴∠HDE＝15°。
∴∠DH＝∠DEH＋∠HDE＝60° 即△DHI为等边三角形，
∴DH＝HI，∴HF＝F1＋HI＝HE＋HD，即HF＝ HE＋HD.