第六章 特殊平行四边形单元测试题

第六章 综合测试题
（时间：45分钟 分值：100分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.已知菱形的两条对角线长分别为8和12，那么菱形的面积等于（ ）
A.8 B.12 C.48 D.96
2.下列说法错误的是（ ）
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
3.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，E为AC的中点，连接DE.若△CDE的周长为24，则BC的长为（ ）
A.18 B.14 C.12 D.6
5.下列关于 ABCD的叙述正确的是（ ）
A.若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 B.若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C.若AC＝BD，则 ABCD是矩形 D.若AB＝AD，则 ABCD是正方形
6.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
7.如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积是（ ）
A.2 B.4 C.4 D.8
8.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数是（ ）
A.80° B.70° C.65° D.60
9.如图所示，已知正方形ABCD的面积为4，以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为（ ）
A.2 B.4 C.2＋1 D.4＋1
10.如图①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下:
甲:如图②，连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形。
乙:如图③，分别作∠BAC，∠ABC的平分线AE，BF，交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形。
下列说法正确的是（ ）
A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.已知矩形的两条对角线的夹角为60°，较短边的长为12cm，则对角线的长为________cm.
12.如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是____________。
13.如图所示，在 ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件___________，使四边形DBCE是矩形。
14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_____________。
15.如图所示，在正方形ABCD中，连接BD，O是BD的中点，若M，N是边AD上的点，连接MO，NO，并分别延长交BC于点M，N，则图中全等三角形有________对。
16.如图所示，四边形ABCD是轴对称图形，且AC所在直线是对称轴，AB∥CD，则下列结论:①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是_____（填序号）.
三、解答题（共52分）
17.（6分）如图所示，两张完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE.按图中所示放置，且AB＝BF求证:四边形BNDM为菱形。
18.（7分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接 BF.
（1）求证:D是BC的中点；
（2）若AB＝AC，∠BAC＝90°，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。
19.（8分）如图所示，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG。
（1）求证:△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长。
20.（9分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD.点E在AB边上，且CE∥AD。
（1）求证:四边形AECD是菱形；
（2）如果E是AB的中点，AC＝8，EC＝5，求四边形ABCD的面积。
21.（10分）如图所示，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
（1）求证:AP＝BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长。
22.（12分）在正方形ABCD外侧作作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
（1）依题意补全图①；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并证明。
参考答案及解析
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.B 10.C
二、填空题
11.24 12.16 13，答案不唯一，如EB＝DC 14. 15.4 16.①②③④
三、解答题
17.证明:∵四边形ABCD，BFDE是矩形，∴BM∥DN，DM∥BN。
∴四边形BNDM是平行四边形。又∵AB＝BF＝ED，∠A＝∠E＝90°，∠AMB＝∠EMD，
∴△ABM≌△EDM。∴BM = DM，∴ BNDM是菱形，
18，解:（1）证明:∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE。∴△EAF≌△EDC。
∴AF＝DC.∵AF = BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点。
（2）四边形AFBD是正方形。
证明:∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形。
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，又由（1）可知D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且AD＝BD。∴ AFBD是正方形
19.解:（1）证明:在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°.
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90o，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中 ∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）由（1）知△ABC≌△AFG，∴BG＝FG。
设BG＝FG＝x，则GC＝6-x。∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3.
∴EG＝x＋3，
在Rt△ECG中，由勾股定理，得32＋（6－x）2＝（x＋3）2，解得x＝2。
∴BG的长是2。
20.解:（1）证明:∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形。
∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.
∵AB∥CD，∴∠EAC＝∠ACD。∴∠DAC＝∠ACD.
∴AD＝CD，∴四边形AECD是菱形。
（2）∵四边形AECD是菱形，∴AE＝CE＝5.∴∠EAC＝∠ACE.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.∴BE＝CE.∴∠B＝∠ECB.
∴∠ACE＋∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°。
在Rt△ABC中，AB＝2AE＝10，AC＝8，∴BC＝6.
∴s△AEC = BC·AC＝24. ∵E是AB的中点，四边形AECD是菱形，
∴S△AEC＝S△EBC＝S△ACD＝12。∴S四边形ABCD＝S△AEC＋S△EBC＋S△ACD＝36.
21.解:（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠BAD＝90°。∴∠BAQ＋∠DAP＝90°。
∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90°。∴∠BAQ＝∠ADP。
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB＝∠DPA＝90°，∴△AQB≌△DPA，
∴AP＝BQ。
（2）①AQ－AP＝PQ，②AQ－BQ＝PQ，③DP－AP＝PQ，④DP－BQ＝PQ。
22.解:（1）如图①所示
（2）如图①所示，连接AE。∵E是点B关于直线PA的对称点，∴∠PAE＝∠PAB，AE＝AB.
∵∠PAB＝20°，∴∠PAE＝20°，∠BAE＝40°
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°。
∴AE＝AD，∠EAD＝∠BAE＋∠BAD＝130°
∴∠ADE＝∠AED＝（180°－∠EAD）＝25°，得∠ADF＝25°
（3）EF2＋FD2＝2AB2。
证明:如图②，连接BF。设BF与AD的交点为G。
由轴对称的性质，知FE＝FB，AE＝AB，∠ABF＝∠AEF。
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°。
∴AE＝AD，∴∠AEF＝∠ADF。∴∠ABF＝∠ADF。
∵∠AGB＝∠DGF，∴∠DFG＝∠BAG＝90°。
在Rt△ABD中，AB2＋AD2＝BD2，即 2AB2＝BD2，
在Rt△BFD中，BF2＋FD2＝BD2，即 EF2＋FD2＝BD2.
∴EF2＋FD2＝2AB2