教师
日期
学生
课程编号
课型
复习专题
课题
折叠问题
教学目标
1.理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口；
2.能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算。
教学重点
1.探究折叠前后图形的变化特点和规律；
2.利用勾股定理解决折叠问题
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
20
2
例题解析
60
3
师生总结
10
4
当堂检测
30
5
课后练习
30
……
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解
一、矩形中的折叠
【例1】将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．
【巩固训练】1.如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是 ．
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．
3.把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（ ）
二、纸片中的折叠
【例2】如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）
【巩固训练】1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为（ ）
将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（ ）
3.如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
三、三角形中的折叠
【例3】如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=
【巩固训练】1.在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的．
（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ；
（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于?；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．
2.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．
3.观察与发现：
将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
实践与运用：
(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
(2)将矩形纸片ABCD?按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
四、圆中的折叠
【例4】如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F点，求BE的长
【巩固训练】1.如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
2.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是多少？
解题步骤归纳：
1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
1.如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为
2．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积
3将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（ ）
4.直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．
5.如图，双曲线y = （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是多少？
1.如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．
2.一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长
3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= ，BOn=
已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（ ）
5.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（ ）
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课型
复习专题
课题
折叠问题
教学目标
1.理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口；
2.能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算。
教学重点
1.探究折叠前后图形的变化特点和规律；
2.利用勾股定理解决折叠问题
教学安排
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时长
1
知识梳理
20
2
例题解析
60
3
师生总结
10
4
当堂检测
30
5
课后练习
30
……
知识梳理
折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解
一、矩形中的折叠
【例1】将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．
BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD
则∠CBD = 90°
折叠前后的对应角相等
【巩固训练】1.如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是 ．
沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽ △ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24
对称轴垂直平分对应点的连线
2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．
由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A’DG，由A’D = AD = 3，AG’ = AG，则A’B = 5 – 3 = 2，在Rt△A’BG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值
根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可
3.把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（ ）
根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，据此即可求出∠FBC的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°
注意折叠前后角的对应关系
二、纸片中的折叠
【例2】如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）
∵∠α = ∠1，∠2 = ∠1
∴∠α = ∠2
∴2∠α+∠ABE=180°，
即2∠α+30°=180°，
解得∠α=75°．
题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形
【巩固训练】1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为
作CD⊥AB，
∵CE∥AB，∴∠1=∠2，
根据翻折不变性，∠1=∠BCA，
故∠2=∠BCA．
∴AB=AC．
又∵∠CAB=45°，
∴在Rt△ADC中，AC = ，AB =
S△ＡＢＣ ＝ AB×CD =
在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC
2.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是
如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm，
由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60°
由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ，
∴∠APQ=60°，
又∵∠PAQ=∠APQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
在Rt△PQH中，sin∠HPQ =
∴= ，则PQ =
注意掌握折叠前后图形的对应关系．
在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ
3.如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，
在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，
在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG
三、三角形中的折叠
【例3】如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=
【巩固训练】1.在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的．
（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ；
（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于?；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．
(1)∵CD = AB
∴∠ACB = 90°
∵AB = 2a，BC = a，∴AC =
∴S△ABC = ×AC×BC =
∴重叠部分的面积为：×=
(2)若AC = a，如右图
∵AD = a，∴∠2 = = 75°
∠BDC = 180°- 75°= 105°
∴∠B'DC = 105°
∴∠3 = 105°- 75°= 30°
∴∠1 = ∠3
∴AC∥B'D
∴四边形AB'DC是平行四边形
∴重叠部分△CDE的面积等于△ＡＢＣ的面积的
若折叠前△ABC的面积等于
过点C作CH⊥AB于点H，则
×AB×CH =
CH =
又tan∠1 =
∴AH =
∴BH =
则tan∠B = ，得∠B = 60°
∴△CBD是等边三角形
∴∠2 = ∠4
∴∠3 = ∠4，AD∥CB2
又CB2 = BC = BD = a，∴CB2 = AD
∴四边形ADCB2是平行四边形
则重叠部分△CDE的面积是△ABC面积的
(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB3
∴∠1 = ∠2
又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2
∴∠4 = ∠1
∴AB3∥CD
注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边
2.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．
（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；
（2）连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；
（3）将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．
解：（1）如图(1)
∠1+∠2=180°- 2∠CDE +180°- 2∠CED
=360°- 2（∠CDE+∠CED）
=360°-2（180°- ∠C）
=2∠C
=60°；
（2）如图(2)
连接DG，
∠1+∠2=180°- ∠C′-（∠ADG +∠AGD）
=180°-30°-（180°-80°）
=50°；
（3）如图(3)
∠2-∠1=180°- 2∠CED -（2∠CDE - 180°）
=360°- 2（∠CDE + ∠CED）
=360°- 2（180°- ∠C）
=2∠C
所以：∠2 - ∠1=2∠C．
由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形
3.观察与发现：
将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
实践与运用：
(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD
在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF
∴∠AEF = ∠AFE
∴△AEF是等腰三角形
(1)由折叠可知
∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG
而∠BEG = 45°+ ∠α
因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°
所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°
∠α = 22.5°
由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系
(2)将矩形纸片ABCD?按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．
由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由对称性可知，
MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，
又MF=MF，
∴△MNF≌△MPF，
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，
∴∠MNF=60°，
在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形
四、圆中的折叠
【例4】如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形的BC边沿EC折叠，点B落在圆上的F点，求BE的长
连接OC、OF，则△OCF≌△OCD(SSS)，∴∠OFC = ∠ODC = 90°，
所以∠OFE = 180°，即点O、F、E在一条直线上
设BE = x，则EF = x，AE = 2 – x，OE = 1 + x
在Rt△AEO中，AE2 + AO2 = OE2
所以 (2 - x)2 + 1 = (1 + x)2
解得：x =
用对称关系构造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法
【巩固训练】1.如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
解：延长CO交AB于E点，连接OB，
∵CE⊥AB，
∴E为AB的中点，
由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，
DE = (8×2 - 4) = 6
OE=6-4=2，
在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：AB =
注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解
2.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD=5，DB=7，则BC的长是多少？
连接CA、CD；
根据对称的性质，得：弧CB = 弧BDC
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD，
∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；
∴BE=BD+DE=9.5；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，△ABC∽△CBE，得：
BC2=BE?AB=9.5×12=114；
故BC=
此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD是等腰三角形，是解答此题的关键
1.如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为
四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则
①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长
折叠前后对应边相等
2．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积
设AE = x，则BE = GE = 4 - x，
在Rt△AEG中，根据勾股定理
有：AE2 + AG2 = GE2
即：x2 + 4 = (4 - x)2
解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5
∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°
∴∠1 = ∠3
又∵∠A = ∠D = 90°
∴△AEG ∽ △DGP
∴= ，则= ，解得GP =
PH = GH – GP = 4 - =
∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 =
∴tan∠4 = ，= ，FH = ×PH = ×=
∴CF = FH =
∴S梯形BCFE = (+ )×4 = 6
注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等
3将一张长为70?cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（ ）
设AB=xcm．
右图中，AF = CE = 35，EF = x
根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）．
则有2（35-x）+x=60，
x=10．
4.直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．
∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45+22.5+x=2x+180-4x，
解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x）°=30°．
图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=
由∠CDE=∠DEB+∠B的，45+22.5+x=2x+
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述∠B=45°或30°
先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可
5.如图，双曲线y = （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是多少？
设C(m，)
根据对称的性质有：CD = CB = CB'
所以B(m，)，A(，)，D(m，0)
AB = ，BD = ，CD = ，OD = m
则四边形OABC的面积为：
×(AB + OD)×BD - ×OD×CD
= ×(+ m)× - ×m×
= 6
明白折叠中的对应边就行
1.如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上 不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．
(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？
(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；
(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．
(1)BB’ = MN
过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’ ≌ △HNM
(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x
在Rt△ABB’中
BB’ = =
因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，
则BQ =
由△BMQ∽△BB’A得
BM×BA = BQ×BB’
∴ y = × =
(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等
由(1)可知，HM = AB’ = x，
BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x
∴梯形MNCB的面积为：
(y – x + y) ×1 = (2y - x)
= (2×– x)
= (x - )2 +
当x = 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是
2.一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长
将折叠这条展开如图，
根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，
下底等于纸条宽的2倍，即6cm，
两个三角形都为等腰直角三角形，
斜边为纸条宽的2倍，即6cm，
故超出点P的长度为（30-15）÷2=7.5，
AM=7.5+6=13.5
3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= ，BOn=
第一次折叠时，点O1是BD的中点，则BO1 = DO1
第二次折叠时，点O2是BD1的中点，则BO2 = D1O2
第三次折叠时，点O3是BD2的中点，则BO3 = D2O3
因为AB = ，BC = ，所以BD = 4
第一次折叠后，有BO1 = DO1
∴BO1 = 2
第二次折叠后，有BO2 = D1O2
∴BO2 = = =
第三次折叠后，有BO3 = D2O3
∴BO3 = = =
即当n = 1时，BO1 = 2 = =
当n = 2时，BO2 = = =
当n = 3时，BO3 = = =
则第n次折叠后，BOn =
问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系
4.已知如图：⊙O的半径为8cm，把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O，再把弧AOB沿CD折叠，使弧COD经过AB的中点E，则折线CD的长为（ ）
作CD关于C’D’的对称线段C’D’，连接OE并延长交CD于点F，交C′D′于点F′，交弧AmB于点G，根据对称的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出C’F’ = ．
5.下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是（ ）
过D点作DF∥BC，交AC于F，作A点关于BC的对称点A′，连接DA′，则DA′就是DE和AE的最小值．
∵D点是AB的中点，
∴DF=1，FC=1，
∴FA′=3
∴DA′= =
∴折痕DE和AE长度的和的最小值是
本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以
