北师大版 数学 八年级下 1.4 角平分线（1） 教学设计
课题
1.4 角平分线（1）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：了解角平分线的性质及判定，会利用角平分线的性质和判定进行简单的推理、判断与计算；
过程与方法：在探究发现角平分线的性质和判定的过程中，培养学生的观察力、实验推理能力；
情感态度与价值观：使学生在学习中体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何美.
重点
角平分线性质和判定的证明
难点
角平分线性质和判定的应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了线段的垂直平分线的有关内容，下面请同学们回答：
问题1、.什么是角平分线？
答案：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
问题2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了角平分线的什么性质呢？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
追问：你能证明这一结论吗？
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾角平分线的定义和性质，为证明角平分线的性质定理、探究判定定理做好铺垫
新知讲解
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
归纳：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
几何语言：
∵点P在∠AOB 平分线上，
且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.
练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
答案：D
想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.
答案：逆命题：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．是真命题.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，?
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
且PD=PE，
∴点P在∠AOB 的平分线上.
追问：角平分线的性质定理及判定定理之间有什么关系呢？
答：它们是一组互逆定理.
温馨提示：
角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；
角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一.
练习2：如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上都不对
答案：C
例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.
证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,
且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝AD＝×10＝5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE=DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
学生在老师的引导下进行证明.
学生归角平分线的性质定理，并将其转化为符号语言.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生回答老师的问题，然后在老师的引导下进行证明.
学生归纳角平分线的判定定理，并将其转化为符号语言.
学生思考并回答问题.
学生独立完成例题及练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
证明角平分线的性质定理.
归纳角平分线的性质定理，并掌握其几何语言.
应用角平分线的性质解决实际问题.
探究角平分线的判定定理.
归纳角平分线的判定定理，并掌握其几何语言.
进一步体会角平分线性质定理及判定定理之间的关系.
应用角平分线的判定定理解决实际问题.
课堂练习
1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案了：B
2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．M B．N C．P D．Q
答案：A
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∵ CD＝ED，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE.
又∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.
又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB.
∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.
∴△DEB的周长为6 cm.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
答案：B
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说角平分线的性质定理？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2、说一说角平分线的判定定理？
答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第30页习题1.9第2题
能力作业
教材第30页习题1.9第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
1.4 角平分线（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，要使点D到AB的距离等于DC，则必须满足（ ）
A．点D是BC的中点 B．点D在∠BAC的平分线上
C．AD是△ABC的一条中线 D．点D在线段BC的垂直平分线上
2．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．11 B．8 C．12 D．3
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF=OE=OD，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
4．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（ ）
A．一定相等 B．一定不相等 C．当BD=CD时相等 D．当DE=DF时相等
5．如图，已知点 P 在△ABC 的外部，在∠DAE 的内部，若点 P 到 BD，CE 的距离相 等，则下列关于点 P 的位置的说法中，正确的是（ ）
A．在∠DBC 的平分线上 B．在∠BCE 的平分线上
C．在∠DAE 的平分线上 D．在∠A 和∠DBC 的平分线的交点处
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AC的长是________．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=____________cm．
8．如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于点E,∠BAC=30°,则∠CAE=__.?
9．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 OB=OC．
求证：AO平分∠BAC．
11．已知,如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=15,BD=25,求AC的长.
12．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
试题解析
1．B
【解析】根据角平分线的判定定理解答即可．
解：如图所示，DE为点D到AB的距离．
∵DC＝DE，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴AD平分∠CAD，
则点D在∠BAC的平分线上．
故选B．
2．C
【解析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形的面积公式求出即可．
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3， ∴EF=DE=3， ∴△BCE的面积S=12×BC×EF=12×8×3＝12， 故选：C．
3．D
【解析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC＋∠ACB，然后求出∠OBC＋∠OCB，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵OF＝OD＝OE，
∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°，
∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×110°＝55°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.
故答案为：D.
4．D
【解析】已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．
解：根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选D．
5．C
【解析】利用平分线性质的逆定理分析．由已知点 P 到 BD，CE 的距离相等进行思考可得出结论．
解： ∵点 P 到 BD，CE 的距离相等,
∴点P在∠DAE 的平分线上,
无法证明在其余角的角平分线上.
故选C.
6．23
【解析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可．
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴AC＝AE，
由勾股定理，得BE＝BD2?DE2＝23，
设AC＝AE＝x，
由勾股定理，得x2＋62＝(x＋23)2，
解得x＝23.
故答案为：23.
7．2
【解析】作DF⊥BC，由BD是∠ABC的角平分线知DE=DF，再利用△ABC的面积等于△ABD的面积与△BCD的面积之和求解即可.
解：如图作DF⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB
∴DE=DF，
设DE=x,
∵S△ABC=S△ABD+S△BCD,
即30=12AB×DE+12BC×DF,
30=12×18x +12×12x,
解得x=2，即DE=2.
8．75°
【解析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC，再根据∠FAC与∠BAC互补即可．
证明：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA， ∴EH=EG． ∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC， ∴EI=EG， ∴EI=EH， ∵EH⊥BA，EI⊥AC，
∴AE平分∠FAC
∵∠BAC=30°
∴∠FAC=180°-∠BAC=150°
∴∠CAE=12∠FAC=75°
故答案为：75°
9．150°
【分析】先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=12∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°
10．详见解析.
【解析】根据已知条件证明△BOD≌△COE（AAS），再利用全等三角形性质即可解题.
解：证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO=∠CEO=90°，
在△BOD 和△COE 中，
∴△BOD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，
∴点 O 在∠BAC 的平分线上， 即 AO 平分∠BAC．
11．AC=30.
【解析】过D作DE⊥AB,垂足为E，利用AD为∠CAB的角平分线得CD=DE，再证Rt△ACD≌Rt△AED,得AC=AE，然后在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC即可.
解：过D作DE⊥AB,垂足为E,
∵∠1=∠2,
∴CD=DE=15,
在Rt△BDE中,BE=252?152=20,
∵CD=DE,AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED,
∴AC=AE.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,
即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,
解得AC=30.
12．（1）60°；（2）27.
【解析】（1）先求出∠BAC＝ 60°，再用AD是△ABC的角平分线求出∠BAD，再根据垂直，即可求解；（2）过D作DF⊥AC于F，三角形ABC的面积为三角形ABD和三角形ACD的和即可求解.
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝12∠BAC＝12×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
课件21张PPT。1.4角平分线（1）数学北师大版 八年级下新知导入 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 1.什么是角平分线？2、在《生活中的轴对称》这一章中，我们通过折纸，得到了角平分线的什么性质呢？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 你能证明这一结论吗？新知讲解已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2, OP＝OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).新知讲解角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．几何语言：∵点P在∠AOB 平分线上，
且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE. 新知讲解练习1：如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是( )
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PDD新知讲解想一想：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你加以证明.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．真命题证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，?
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.新知讲解已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.新知讲解角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
且PD=PE，
∴点P在∠AOB 的平分线上. 新知讲解角平分线的性质定理∵PD⊥OA，PE⊥OB，
且PD=PE，
∴点P在∠AOB 的平分线上. ∵点P在∠AOB 平分线上，
且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE. 角平分线的判定定理互逆定理
到角两边的距离相等
温馨提示：
角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径；
角平分线的逆定理是证明点在直线上（或直线经过某一点）的根据之一.
点在角平分线上
新知讲解练习2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上都不对 C证明：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,
且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝ AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜边的一半).新知讲解 例1:如图,在△ABC中,∠BAC＝60°,点D在BC上,AD＝10, DE丄AB,DF丄AC ,垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长.新知讲解练习3：如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∵∠BDE=∠CDF，∠DEB=∠DFC，BE=CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE=DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.课堂练习1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )
A．1
B．2
C．3
D．4B课堂练习2．在正方形网格中，∠AOB和点P，Q，M，N的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．M
B．N
C．P
D．QA拓展提高如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∵ CD＝ED，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE.
又∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.
又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB.
∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.
∴△DEB的周长为6 cm.中考链接（2018·大庆）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°B课堂总结1、说一说角平分线的性质定理？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2、说一说角平分线的判定定理？在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．板书设计
课题：1.4角平分线（1）??
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2、判定定理：基础作业
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教材第30页习题1.9第3、4题
作业布置
