京改版七年级下册第八章因式分解章节专题模块练习题解析版

因式分解

类型：因式分解的基本概念
?考点说明：判断一个式子由左边到右边的变形是否为因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式积的形式。
【易】1.下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2 B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1 D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
【答案】A
【解析】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
【易】2．下列变形是因式分解的是（　　）
A．6x2y2=3xy?2xy B．a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2
C．（x+2）（x+1）=x2+3x+2 D．x2﹣9﹣6x=（x+3）（x﹣3）﹣6x
【答案】B
【解析】解：C和D不是积的形式，应排除；
A中，不是对多项式的变形，应排除．故选B．　
【易】3．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．x2+3x﹣1=x（x+3）﹣1 B．x2﹣9+2x=（x+3）（x﹣3）+2x
C．a2﹣16=（a+4）（a﹣4） D．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4
【答案】C
【解析】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、是整式的乘法，故D不符合题意；故选：C．

类型一：公因式
?考点说明：会求公因式是因式分解的基础
【易】1．多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
【答案】D
【解析】解：多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是4xmyn﹣1．故选D．
【易】2.下列各多项式有没有公因式？如果有请找出并填在横线上：
（1）ac+bc：　　；（2）3x+x：　　；
（3）3x+6：　　；（4）30mb+5nb：　　；
（5）ab﹣2ab+ab：　　；（6）7（a﹣3）﹣b（a﹣3）：　　．
【答案】c；x；3；5b；ab；a﹣3．
【解答】解：（1）ac+bc的公因式为c；
（2）3x+x的公因式为x；
（3）3x+6的公因式为3；
（4）30mb+5nb的公因式为5b；
（5）ab﹣2ab+ab的公因式为ab；
（6）7（a﹣3）﹣b（a﹣3）的公因式为a﹣3；
【易】3、写出下列各式的公因式：
（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是　　；
（2）多项式﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2各项的公因式是　　；
（3）多项式2x2+12xy2+8xy3各项的公因式是　　．
【答案】见解析
【解析】解：（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是：4x10y3；
（2）多项式﹣xy2（x+y）3+x（x+y）2各项的公因式是：x（x+y）2；
（3）多项式2x2+12xy2+8xy3各项的公因式是：2x．
类型二： 提取公因式法
?考点说明：如果多项式有公因式，可以把公因式提取出来，将多项式写为乘积的形式
【易】1．因式分解：m2﹣m=　　．
【答案】m（m﹣1）
【解析】解：m2﹣m=m（m﹣1）故答案是：m（m﹣1）．
【易】2．分解因式：m2+2m=　　．
【答案】m（m+2）
【解析】解：原式=m（m+2）故答案为：m（m+2）
【易】3．因式分解：6x2﹣3x=　　．
【答案】3x（2x﹣1）
【解析】解：6x2﹣3x=3x（2x﹣1），
故答案为：3x（2x﹣1）．
【易】4．分解因式（x+y）2﹣3（x+y）的结果是　　．
【答案】（x+y）（x+y﹣3）
【解析】解：原式=（x+y）（x+y﹣3），故答案为：（x+y）（x+y﹣3）．　
【易】5.分解因式
（1）﹣2x2+18x2y﹣4xy2
（2）a2x2﹣ax
（3）﹣14abc﹣7ab+49ab2c．
【答案】见解析
【解析】解：（1）﹣2x2+18x2y﹣4xy2
=﹣2x（x﹣9y+2y2）；
（2）原式=ax（ax﹣1）；
（3）原式=﹣7ab（2c+1﹣7bc）．
【易】6．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于　 　．
【答案】m（a﹣2）（m﹣1）
【解析】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）
=m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
=m（a﹣2）（m﹣1）．
故答案为：m（a﹣2）（m﹣1）．
【中】7．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　　．
【答案】（x+1）（x﹣2）
【解析】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【中】8．因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为　　．
【答案】（a+b﹣1）2
【解析】解：（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1，
=（a+b）（a+b﹣1）﹣（a+b﹣1），
=（a+b﹣1）（a+b﹣1），
=（a+b﹣1）2．
类型三：公式法
?考点说明：分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法。若式中有两项，可考虑用平方差公式；若式中有两项，可考虑用平方差公式，若式中有三项，可考虑用完全平方公式。
【易】1、分解因式：4x2﹣9y2=　　．
【答案】（2x+3y）（2x﹣3y）
【解析】解：原式=（2x+3y）（2x﹣3y）．
【易】2．因式分解：
（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2
（2）81a4﹣b4．
【解答】解：（1）原式=[2（a﹣b）+4（a+b）][2（a﹣b）﹣4（a+b）]=﹣4（3a+b）（a+3b）；
（2）原式=（9a2+b2）（9a2﹣b2）=（9a2+b2）（3a+b）（3a﹣b）．
【易】3．因式分解：
（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2；
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25．
【解答】解：（1）9（m+n）2﹣16（m﹣n）2
=[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]
=（7m﹣n）（﹣m+7n）；
（2）（x+y）2﹣10（x+y）+25=（x+y﹣5）2．
【易】4.分解因式：x4﹣2x2y2+y4．
【答案】（x﹣y）2（x+y）2
【解析】解：x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2=（x﹣y）2（x+y）2．
【中】5．因式分解：
（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）
（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2．
【答案】见解析
【解析】解：（1）原式=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x﹣y）（x+y）；
（2）原式=﹣8a（x2﹣2xy+y2）=﹣8a（x﹣y）2．
【中】6．把下列各式分解因式：
（1）x（x﹣y）2﹣2（y﹣x）2
（2）（x2+4）2﹣16x2．
【答案】见解析
【解析】解：（1）x（x﹣y）2﹣2（y﹣x）2
=（x﹣y）2（x﹣2）；
（2）（x2+4）2﹣16x2
=（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）
=（x﹣2）2（x+2）2．
【中】7.分解因式：（p+1）（p﹣4）+3p=　　．
【答案】（p+2）（p﹣2）
【解答】解：（p+1）（p﹣4）+3p
=p2﹣3p﹣4+3p
=p2﹣4
=（p+2）（p﹣2）．　
类型四：十字相乘法
?考点说明：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法。此方法对于后期的章节及高中数学学习很重要，建议熟练掌握。
【易】1．下列各式，不能用十字相乘法分解因式的是（　　）
A．x2+x﹣2 B．x2﹣7x+12 C．x2﹣4x﹣12 D．x2﹣x+12
【解答】解：A、x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2），本选项不合题意；
B、x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），本选项不合题意；
C、x2﹣4x﹣12=（x﹣6）（x+2），本选项不合题意；
D、x2﹣x+12不能利用十字相乘法分解，本选项符合题意，
故选D
【易】2.分解因式：
（1）x2+2x﹣3=　　．
（2）x2﹣5x﹣6．
（3）x2﹣x﹣12．
【答案】见解析
【解析】
（1）x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）．
（2）x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
（3）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【易】3.因式分解：
（1）﹣2x2y+12xy﹣16y．
（2）a3﹣6a2+5a.
（3）3a5﹣12a4+9a3；
【答案】见解析
【解析】　（1）原式=﹣2y（x2﹣6x+8）=﹣2y（x﹣2）（x﹣4），
原式=a（a2﹣6a+5）=a（a﹣5）（a﹣1）．
原式=
【中】4．因式分解：
（1）2x2+15x+7；
（2）4m2+5m﹣6；
（3）12y2﹣11y+2．
（4）3x2﹣5x﹣2．
【答案】见解析
【解答】解：（1）原式=（2x+1）（x+7）；
（2）原式=（4m﹣3）（m+2）；
（3）原式=（3y﹣2）（4y﹣1）．
（4）原式=（x﹣2）（3x+1）
【中】5．分解因式：16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2．
【答案】见解析
【解析】解：16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2，
=（x2﹣3x﹣4）2，
=[（x﹣4）（x+1）]2，
=（x﹣4）2（x+1）2．
【中】6．（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．
【答案】见解析
【解答】解：原式=（a2﹣a﹣2）（a2﹣a﹣12）
=（a+1）（a﹣2）（a+3）（a﹣4）．
类型五：分组分解法
?考点说明：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式
【易】1.因式分解：x2﹣2xy+y2﹣z2．
【答案】见解析
【解析】解：x2﹣2xy+y2﹣z2=（x﹣y）2﹣z2=（x﹣y+z）（x﹣y﹣z）．
【易】2.因式分解．
（1）x2+2x+1﹣y2
（2）1﹣a2+2ab﹣b2
（3）1﹣a2﹣b2﹣2ab．
【答案】见解析
【解答】解：
（1）x2+2x+1﹣y2
=（x+1）2﹣y2
=（x+1+y）（x+1﹣y）；
原式=1﹣（a2﹣2ab+b2）=1﹣（a﹣b）2=（1+a﹣b）（1﹣a+b）；
（3）原式=1﹣（a+b）2=（1+a+b）（1﹣a﹣b）．
【中】3.分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．
【答案】见解析
【解析】解：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1
=（a2+4b2﹣4ab）+（﹣2ac2+4bc2）+（c4﹣1）
=（2b﹣a）2+2c2（2b﹣a）+（c2+1）（c2﹣1）
=（2b﹣a+c2+1）（2b﹣a+c2﹣1）．
【中】4．因式分解：3a2﹣6ab+3b2﹣12c2．
【答案】见解析
【解析】原式=3（a2﹣2ab+b2﹣4c2）
=3[（a﹣b）2﹣4c2]
=3（a﹣b+2c）（a﹣b﹣2c）．
【中】5.因式分解：x3+3x2﹣4
【答案】见解析
【解析】本题属于添项法，原式=x3+2x2+x2﹣4=x2（x+2）+（x+2）（x﹣2）
=（x+2）（x2+x﹣2）=（x+2）2（x﹣1）．

类型一：利用因式分解化简
?考点说明：因式分解因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
【易】1．若xy=2，x﹣y=1，则代数式﹣x2y+xy2的值等于　　．
【答案】﹣2
【解析】解：∵xy=2，x﹣y=1，
∴代数式﹣x2y+xy2=﹣xy（x﹣y）=﹣2×1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【易】2．已知ab=﹣2，a﹣b=3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为　 　．
【答案】﹣18
【解析】解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2
当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，
故答案为：﹣18　
【易】3．若2a﹣b+1=0，则8a2﹣8ab+2b2的值为　 　．
【答案】2
【解答】解：8a2﹣8ab+2b2
=2（4a2﹣4ab+b2）
=2×（2a﹣b）2
∵2a﹣b+1=0，
∴2a﹣b=﹣1，
∴原式=2×（﹣1）2=2．
故答案为：2．
【中】4.已知y=x﹣2，求x2﹣2xy+3y2﹣3的值．
答案：见解析
解析：∵y=x﹣2，
∴x﹣3y=6，
∴x2﹣2xy+3y2﹣3
=（x﹣3y）2﹣3
=×36﹣3
=9．
【中】5．已知x﹣y=4，x﹣3y=1，则x2﹣4xy+3y2的值为　　．
【答案】4
【解析】解：∵x﹣y=4，x﹣3y=1，
∴x2﹣4xy+3y2=（x﹣y）（x﹣3y）=4．
故答案为：4．
【中】6．若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=　　．
【答案】﹣2020
【解析】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020．　
类型二：利用因式分解简便运算
?考点说明：利用因式分解进行简便运算
【易】1．用简便方法计算：15×1012﹣992×15．
【答案】6000
【解析】15×1012﹣992×15
=15×（1012﹣992）
=15×（101+99）×（101﹣99）
=15×200×2
=6000
【易】2．用适当方法计算：
（1）1.992+1.99×0.01
（2）20162+2016﹣20172．
【答案】见解析
【解析】解：（1）1.992+1.99×0.01
=1.99×（1.99+0.01）
=1.99×2
=3.98
（2）20162+2016﹣20172
=20162+2016﹣（2016+1）2
=20162+2016﹣20162﹣2×2016﹣1
=﹣2017
【易】3.利用因式分解计算：
（1）5032﹣4972
（2）1722+56×172+282．
【答案】见解析
【解析】解：（1）原式=（503+497）×（503﹣497）=1000×6=6000；
（2）原式=1722+2×28×172+282=（172+28）2=2002=40000．
【中】4．利用因式分解计算：9992+999+6852﹣3152．
【解答】解：9992+999+6852﹣3152
=999×（999+1）+（685﹣315）×（685+315）
=999×1000+370×1000
=999000+370000
=1369000．
【中】5.利用因式分解计算：
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
【答案】见解析
【解答】
（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）
=（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）+…+（1+）（1﹣）
=××××××…××
=．
类型三：因式分解在几何中的应用
?考点说明：根据因式分解，求值三角形的三边关系，进而判断三角形的形状
【易】1．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．
【答案】等腰三角形
【解析】解：∵a+2ab=c+2bc，
∴a﹣c+2ab﹣2bc=0，即（a﹣c）（2b+1）=0．
∵a，b，c是△ABC的边长，
∴b＞0，
∴2b+1≠0，
∴a﹣c=0，
∴a=c，即△ABC是等腰三角形
【易】2.已知a，b，c为△ABC的三条边的长，且满足b2+2ab=c2+2ac．试判断△ABC的形状，并说明理由；
【答案】等腰三角形
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c为△ABC的三条边的长，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：（b﹣c）（b+c+2a）=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
【中】2．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．
【答案】等边三角形
【解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0
（a﹣b）2+（b﹣c）2=0
∴a﹣b=0且b﹣c=0
即a=b=c，故该三角形是等边三角形．
【中】3．已知a，b，c是△ABC的三边，试说明：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值一定是负数．
【答案】见解析
【解析】解：（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2
=（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）
=[（a+b）2﹣c2][（a﹣b）2﹣c2]
=（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c），
∵a，b，c是三角形ABC三边，
∴a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0，
∴（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，即值为负数．
【中】4．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，求△ABC的最大边c的取值范围．
【答案】4≤c＜6
【解析】因为a2+b2﹣4a﹣8b+20=a2﹣4a+4+b2﹣8b+16=（a﹣2）2+（b﹣4）2=0，
所以a﹣2=0且b﹣4=0，
所以a=2，b=4，
因为c为最大边长，且c可能等于4，所以4≤c＜6．
类型四：因式分解的其他应用
?考点说明：因式分解的其他应用
【易】1、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：胜、爱、我、优、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
我爱美 B．宜胜游 C．爱我优胜 D．美我优胜
【答案】C
【解析】（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=(x+y)(x-y)(a+b)(a-b)
x+y=我
x-y=爱
a+b=优
a-b=胜
【中】2．当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2能被4整除吗？请说明理由．
【答案】见解析
【解析】解：（n+1）2﹣（n﹣1）2=（n+1+n﹣1）（n+1﹣n+1）=4n，
∵n为整数，
∴4n为4的整数倍，
所以当n为整数时，（n+1）2﹣（n﹣1）2能被4整除．
【中】3．证明：当n为正整数时，n3﹣n的值，必是6的倍数．
【解答】证明：n3﹣n=n（n2﹣1）=n（n+1）（n﹣1），
当n为正整数时，n﹣1，n，n+1是三个连续的自然数，其中必有一个为偶数，必有一个为3的倍数，故必是2×3=6的倍数．
【难】4．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
【解答】解：（1）m2+m+4=（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥．
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．