【新北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章《圆》（原题卷）
（全卷满分100分限时90分钟）
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．﹣2
2．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2
3．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．80°
4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+π C．﹣ D．2+
5.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）
A．2π B．π C． D．
7.半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ）
A．R2 B．R C．（+1）R D．（+2）R
8.如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
9.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
10.一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
11.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
12.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
二.填空题：（每小题3分共12分）
13．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 ．
14.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 （结果保留π）．
15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为 ．
三.解答题（共52分）
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
18.如图，将边长为1，中心为点O的正方形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°．
（1）第1秒点O经过的路线长为 ，第2秒点O经过的路线长为 ，第2013秒点O经过的路线长为 ．
（2）分别求出第1秒、第2秒、第2013秒点A经过的路线长．
19.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
20.如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
21.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，求AF的长.（结果保留根号）．
23.如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【新北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章《圆》（解析卷）
（全卷满分100分限时90分钟）
一.选择题：（每小题3分，共36分）
1．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（ ）
A． B．2﹣2 C．2﹣ D．﹣2
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【解答】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，
∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，
∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．
故选B．
2．正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A．：3 B．：2 C．1：2 D．：2
【分析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则AC=AB=a，
∴OC==a，
∴正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2．
故选B．
3．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．80°
【分析】根据弧长的公式l=可以得到n=．
【解答】解：∵弧长l=，
∴n===40°．
故选A．
4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．+π C．﹣ D．2+
【分析】设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
【解答】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形）+S扇形FBE=2（﹣）+=+．
故选A．
5.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（ ）
A．2π B．π C． D．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长==π．
故选B．
7.半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ）
A．R2 B．R C．（+1）R D．（+2）R
【分析】首先根据弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），求出弧长是多少；然后用弧长加上2条半径的长度，求出半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为多少即可．
【解答】解：
=
=（+2）R
∴半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（+2）R．
故选：D．
8.如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】先由矩形的性质可得：∠BCD=90°，然后根据CD=1，∠DBC=30°，可得BD=2CD=2，然后根据勾股定理可求BC=，然后由旋转的性质可得：BE=BD=2，然后再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算扇形DBE的面积和三角形BCD的面积，然后相减即可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CD=1，∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2，
由勾股定理得BC==，
∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，
∴BE=BD=2，
∵S扇形DBE===，
S△BCD=?BC?CD==，
∴阴影部分的面积=S扇形DBE﹣S△BCD=﹣．
故选B．
9.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC?AD，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=BC?AD=×2×3=3；
故选：B．
10.一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A．60° B．120° C．150° D．180°
【分析】首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，再解方程即可．
【解答】解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，
解得：n=120°，
故选：B．
11.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．
12.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r?sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
二.填空题：（每小题3分共12分）
13．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 9 ．
【分析】分∠OAB=70°和∠AOB=70°两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是：360÷40=9；
当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．
故答案是：9．
14.如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于 （结果保留π）．
【分析】B，C两点恰好落在扇形AEF的上，即B、C在同一个圆上，连接AC，易证△ABC是等边三角形，即可求得的圆心角的度数，然后利用弧长公式即可求解．
【解答】解：∵菱形ABCD中，AB=BC，
又∵AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴弧BC的长是：=，
故答案是：．
15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π ．（结果保留π）
【分析】根据等腰直角三角形性质求出∠A度数，解直角三角形求出AC和BC，分别求出△ACB的面积和扇形ACD的面积即可．
【解答】解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AB=4，
∴AC=BC=AB×sin45°=4，
∴S△ACB===8，S扇形ACD==2π，
∴图中阴影部分的面积是8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为 ．
【分析】连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．
【解答】解：
连接OB，过B作BM⊥OA于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB==60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=6，
∴BM=OB?sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB?COS60°=3，
即B的坐标是（3，3），
∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，
∴k=3×3=9，
故答案为：9．
三.解答题（共52分）
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；
（2）首先根据∠COB=3∠AOB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°；
（2）∵∠COB=3∠AOB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，
∴∠AOB=30°，
∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=2，
∴OE=OC?tan∠OCE=2?tan30°=2×=2，
∴S△OEC=OE?OC=×2×2=2，
∴S扇形OBC==3π，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2．
18.如图，将边长为1，中心为点O的正方形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°．
（1）第1秒点O经过的路线长为 π ，第2秒点O经过的路线长为 π ，第2013秒点O经过的路线长为 π ．
（2）分别求出第1秒、第2秒、第2013秒点A经过的路线长．
【分析】（1）第1秒点O经过的路线长为以点B为圆心，OB长为半径，90°的圆弧；第2秒点O经过的路线长为以点C为圆心，OC长为半径，90°的圆弧，根据弧长公式计算即可，正方形每秒都要翻滚90°，翻转一周共四次，一共翻滚360°，算出OC的长等于，再求出正方形的中心O所经过的路径长；
（2）第1秒点A经过的路线长为以点B为圆心，AB长为半径，90°的圆弧，第2秒是C点为圆心CA为半径，第三秒D点为圆心DA为半径，第四秒A为圆心路径为0，4秒一个大周期，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB=1，
∴OC=，
∴第1秒点O经过的路线长为=π，
第2秒点O经过的路线长为=π，
第2013秒点O经过的路线长为=π，
故答案为π，π，π；
（2）第1秒点A经过的路线长为=π，
第2秒点A经过的路线长为=π，
第2013秒点A经过的路线长为=π．
19.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）
（1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长．
【分析】（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可．点A旋转到A2所经过的路线是半径为OA，圆心角是90度的扇形的弧长．
【解答】解：（1）画出△A1B1C1；
（2）画出△A2B2C2
连接OA，OA2，，
点A旋转到A2所经过的路线长为．
20.如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH=AB=1，OH=BH=，OB=2OH=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴四边形OADC为菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中
，
∴△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OBH=（180°﹣120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH=AB=1，
OH=BH=，
OB=2OH=，
∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB
=﹣×2×
=．
21.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC=．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为： ．
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，求AF的长.（结果保留根号）．
【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF=S△ABC，即：=×AC×BC，
又∵AC=BC=1，
∴AF2=，
∴AF=．
故答案为．
23.如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，
∴AB=AE=4，
∴DE==2，
∴EC=CD﹣DE=4﹣2；
（2）∵sin∠DEA==，
∴∠DEA=30°，
∴∠EAB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：
S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB
=﹣×2×2﹣
=﹣2．
