2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）解析版

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）
1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为．若以圆点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（　　）
A．y＝± B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x
3．（5分）条件p：x≤1，且￢p是￢q的充分不必要条件，则q可以是（　　）
A．x＞1 B．x＞0 C．x≤2 D．﹣1＜x＜0
4．（5分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
6．（5分）下列说法不正确的是（　　）
A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B．命题“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““?x∈R，x2﹣x﹣1≥0”
C．设A，B是两个集合，则“A?B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件
D．当a＜0时，幂函数y＝xa在（0，+∞）上单调递减
7．（5分）函数f（x）＝x3+ax﹣2在区间（﹣1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
8．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知函数f（x）＝ex（x2﹣x+1）﹣m，若方程f（x）＝0有一个根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．（1，e3）
C． D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）
10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x2+2xf′（1），则f（2）＝（　　）
A．0 B．﹣4 C．4 D．8
11．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）＝x2，②f（x）＝e﹣x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（x）＞f'（x），f（0）＝1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）若命题p：?x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为　 　．
14．（5分）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的　 　（填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）
15．（5分）椭圆的离心率为，则m＝　 　．
16．（5分）点p是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点p到直线y＝x﹣3的距离最小值是　 　．
三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）
17．设p：函数f（x）＝+（m﹣1）x2+x+1在R是增函数；q：方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若p为真，求实数m的取值范围；
（2）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
18．（文）已知函数f（x）＝k（x﹣1）ex+x2．
（1）求导函数f′（x）；
（2）当k＝﹣时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程．
19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），曲线C1的上点对应的参数，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2，直线l的参数方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10．
（1）说明曲线C2是哪种曲线，并将曲线C2转化为极坐标方程；
（2）求曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值．
20．设函数f（x）＝﹣x2﹣mx．
（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；
（2）若x＝﹣1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．
21．已知函数f（x）＝+mx+mlnx．．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＝1时，若方程f（x）＝+ax在区间[）上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；
22．已知抛物线x2＝ay的焦点坐标为．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）若过（﹣2，4）的直线l与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在定点P，使得以AB为直径的圆过定点P．若存在，求出点P，若不存在，说明理由．

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）
1．【解答】解：∵P的直角坐标为．
∴＝2，
tanθ＝，θ在第三象限，
∴θ＝，
∴点P的极坐标为（2，）．
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，
其焦点在y轴上，且a＝2，b＝2，
则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；
故选：D．
3．【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，
即q是p的充分不必要条件，
则q对应的范围是p对应范围的真子集关系，
则﹣1＜x＜0满足条件，
故选：D．
4．【解答】解：由导函数f'（x）的图象得：
在（﹣∞，﹣2）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，
在（﹣2，﹣1）上，f'（x）的图象在x轴上方，即f′（x）＞0，则f（x）递增，
在（﹣1，+∞）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，
故选：B．
5．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：
由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，
平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，
经过点A时，
直线的截距最大，此时z最大．
由，解得即A（3，2），
此时zmax＝3×3+2＝11，
故选：C．
6．【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；
B、根据特称命题的否定形式知B正确；
C、当A?B可得A∩B＝A，反之，当A∩B＝A时，也可推出A?B，所以“A?B”是“A∩B＝A”的充要条件，故C错误；
D、由幂函数的性质易知D正确．
故选：C．
7．【解答】解：f′（x）＝3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2 的最大值即可，
而﹣3x2 在（﹣1，+∞）上的最大值为0，所以a≥0．
即数a的取值范围是[0，+∞）．
故选：A．
8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；
当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，
∴f（x）有极小值f（）＝＞0．
结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．
故选：A．
9．【解答】解：若方程f（x）＝0有一个根，
则f（x）＝ex（x2﹣x+1）﹣m＝0得 ex（x2﹣x+1）＝m有一个解，
即函数g（x）＝ex（x2﹣x+1）与y＝m的图象有一个交点，
∵x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0，∴g（x）＞0，
函数的导数g′（x）＝ex（x2﹣x+1）+ex（2x﹣1）＝ex（x2+x）
由g′（x）＞0得x2+x＞0，即x＞0或x＜﹣1，此时函数为增函数，
由g′（x）＜0得x2+x＜0，即0＜x＜1，此时函数为减函数，
则当x＝0时，函数g（x）取得极小值，g（0）＝1，
当x＝﹣1时，函数g（x）取得极大值，g（﹣1）＝e﹣1（1+1+1）＝e3，
作出函数的图象如图：
由图象知要使y＝m与y＝f（x）的图象有一个交点，
则0＜m＜1或m＞e3，
即实数m的取值范围是（0，1）∪（e3，+∞），
故选：A．
10．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x+2f′（1），
令x＝1，得f′（1）＝2+2f′（1），得f′（1）＝﹣2，
则f（x）＝x2+2xf′（1）＝x2﹣4x，
则f（2）＝4﹣8＝﹣4，
故选：B．
11．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：
①、若f（x）＝x2；则f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；
②、若f（x）＝e﹣x；则f′（x）＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；
③、f（x）＝lnx，则f′（x）＝，若lnx＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；
④、f（x）＝tanx，则f′（x）＝（）′＝，即sinxcosx＝1，变形可sin2x＝2，无解，④不符合要求；
故选：B．
12．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＜0，
故f（x）在R递减，
而g（0）＝f（0）＝1，
故f（x）＜ex即g（x）＜g（0），
故x＞0，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：?x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为?x＞0，lnx﹣x+1＞0．
故答案为：?x＞0，lnx﹣x+1＞0．
14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，
根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．
所以“好货”?“不便宜”，
所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
15．【解答】解：当椭圆的焦点在x轴时，a＝，b＝，c＝，
∵椭圆的离心率为，
∴，解得m＝8．
当椭圆的焦点在y轴时，b＝，a＝，c＝，
∵椭圆的离心率为，
∴，解得m＝．
综上m＝或6．
故答案为：或8．
16．【解答】解：设P（x，y），则y′＝2x﹣（x＞0），
令2x﹣＝1，则（x﹣1）（2x+1）＝0，
∵x＞0，∴x＝1，
∴y＝1，即平行于直线y＝x﹣3且与曲线y＝x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1），
由点到直线的距离公式可得d＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）
17．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1，
若f（x）在R是增函数，
则f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1≥0恒成立，
即判别式△＝（m﹣1）2﹣4≤0，即﹣2≤m﹣1≤2，得﹣1≤m≤3，即实数m的取值范围是[﹣1，3]．
（2）若方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
则，得，得m＞1，即q：m＞1，
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则p，q一个为真命题一个为假命题，
若p真q假则，得﹣1≤m≤1，
若p假q真，则，得m＞3，
综上﹣1≤m≤1或m＞3，
即实数m的取值范围是﹣1≤m≤1或m＞3．
18．【解答】解：（1）f'（x）＝kex+k（x﹣1）ex+2x＝kxex+2x．
（2）∵，则切线的斜率为．
∴函数f（x）在点（1，1）处的切线方程为x﹣y＝0．
19．【解答】解：（1）当，所以，
曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），
由，得，代入C1得：，即，
化为普通方程为，为椭圆曲线C2，
化为极坐标方程为．
（2）直线l的普通方程为，
点M到直线l的方程距离为＝，
所以曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值为：
20．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣m，
由题意得f′（x）＝x2﹣2x﹣m＜0在（0，+∞）上有解，
故m＞x2﹣2x，
则m＞﹣1，
故m的范围是（﹣1，+∞）；
（2）∵f′（﹣1）＝1+2﹣m＝0，解得：m＝3，
故f′（x）＝x2﹣2x﹣3，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，
故x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，
x∈（3，5）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，
故f（x）在[0，5]的最小值是f（3）＝﹣9．
21．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝x+m+＝，
m≥0时，f′（x）＞0，
故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；
m＜0时，方程x2+mx+m＝0的判别式为：
△＝m2﹣4m＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；
（2）m＝1时，由题意得：x2+x+lnx＝x2+ax，
整理得：a＝1+，
令g（x）＝1+，g′（x）＝，
令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，
令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；
若方程f（x）＝x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，
须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，
g（x）≤g（e）＝1+，又g（x）＝1+＞1，（x＞e），
∴①g（）≤a≤1，
②当x＝e时，g（x）有最大值，g（e）＝1+，此时a＝1+满足题意，
综上，1﹣e≤a≤1或a＝1+．
22．【解答】解：（1）抛物线x2＝ay的焦点坐标为，
∴＝，
∴a＝2，
故抛物线的标准方程为x2＝2y，
（2）设P（t，），A（x1，y1），B（x2，y2），
由于直线斜率一定存在，故设直线l的方程为y＝k（x+2）+4，
联立，可得x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0，
∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8，
由题知kPA?kPB＝﹣1，
即?＝1，
即?＝﹣4，
即（t+x1）（t+x2）＝﹣4化简可得t2+2k（t﹣2）＝0，
当t＝2时等式恒成立，
故存在定点（2，2）．