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第2节 感应电动势与电磁感应定律感 应 电 动 势电磁感应 电源 无关 × √ 电 磁 感 应 定 律磁通量变化率 伏特(V) Blv Blvsinθ √ × √
第2节 感应电动势与电磁感应定律
学 习 目 标
知 识 脉 络
1.理解感应电动势，知道感应电动势与感应电流的区别与联系．
2．理解电磁感应定律的内容和数学表达式．(重点)
3．理解导体垂直切割磁感线时感应电动势的数学表达式及其与一般表达式的区别．
4．会用电磁感应定律解决有关问题．(重点、难点)
感 应 电 动 势
[先填空]
1．定义
在电磁感应现象中产生的电动势．
2．产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
3．在电磁感应现象中，感应电动势的产生与电路是否闭合、电路如何组成无关．
4．电磁感应现象也伴随着能量的转化，通常是机械能转化为电能．
[再判断]
1．有感应电动势一定有感应电流．(×)
2．感应电动势的方向由电源的负极指向电源的正极．(√)
[后思考]
产生感应电动势的条件与产生感应电流的条件有何不同？
【提示】 产生感应电流的条件是穿过闭合导体回路的磁通量发生变化；不论回路是否闭合，只要穿过它的磁通量发生变化，就会产生感应电动势．
[合作探讨]
图1－2－1
如图1－2－1所示，一有缺口的圆形线圈在有界匀强磁场中运动．
探讨1：回路中有感应电动势吗？
【提示】 有．
探讨2：回路中有感应电流吗？
【提示】 没有．
[核心点击]
感应电动势与感应电流的比较
比较项目
感应电动势E
感应电流I
定义
在电磁感应现象中产生的电动势
在电磁感应现象中产生的电流
产生条件
磁通量发生变化，与电路是否闭合无关
电路闭合，磁通量发生变化
大小决定因素
闭合电路内磁通量变化的快慢，与外电路无关
感应电动势与电路的具体组成
因果关系
感应电动势是原因和本质，感应电流是结果和现象
数学关系
遵循闭合电路欧姆定律，
即I＝E/(R＋r)
1．(多选)下列关于感应电动势的说法中，正确的是( )
A．只要回路内磁通量发生变化，就会有感应电动势产生
B．只要回路内磁通量发生变化，就会有感应电流产生
C．导体棒无论沿哪个方向切割磁感线都会有感应电动势产生
D．导体棒必须垂直于磁场方向运动才会有感应电动势产生
【解析】 只要回路内磁通量变化，就可以产生感应电动势；而只有在闭合回路中，磁通量发生变化，才产生感应电流，故A正确，B错误；无论导体棒沿什么方向切割磁感线，磁场在垂直于导体棒方向都有分量，所以都会有感应电动势产生，故C正确，D错误．
【答案】 AC
2．(多选)关于感应电流和感应电动势的关系，下列叙述中正确的是( )
A．电路中有感应电流，一定有感应电动势
B．电路中有感应电动势，不一定有感应电流
C．两个不同电路中，感应电动势大的其感应电流也大
D．两个不同电路中，感应电流大的其感应电动势也大
【解析】 有感应电流则磁通量一定变化，因此一定有感应电动势，选项A正确；电路中有感应电动势，若电路不闭合，则无感应电流，故B项正确；两个不同电路，总阻值不一定相等，由I＝，当E大时，若总阻值R＋r很大，则电流可能较小，故C、D两项均错．
【答案】 AB
感应电动势和感应电流产生条件的比较
导体棒只要切割磁感线，就产生感应电动势，与电路是否闭合无关．而感应电流产生必须具备两个条件：(1)闭合回路，(2)磁通量发生变化．
电 磁 感 应 定 律
[先填空]
1．内容
电路中感应电动势的大小与穿过这一电路的磁通量变化率成正比．
2．表达式
对单匝线圈E＝k，k为比例常数，国际单位制中k＝1.上式可简化为E＝，对n匝线圈E＝n.
3．单位
在国际单位制中，感应电动势E的单位是伏特(V)．
4．特例——导体切割磁感线产生的感应电动势
导体在匀强磁场中运动，如图1－2－2甲所示，当B、l、v两两垂直时，
E＝Blv.
图1－2－2
当导体与磁感线垂直，导体的运动方向与导体本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时(如图1－2－1乙)，E＝Blvsin_θ.
[再判断]
1．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．(√)
2．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大．(×)
3．当B、l、v三者大小、方向均不变时，在Δt时间内的平均感应电动势和它在任意时刻产生的瞬时感应电动势相同．(√)
[后思考]
ΔΦ与线圈匝数有关吗？E感与线圈匝数有关吗？
【提示】 无关，有关
[合作探讨]
探讨1：在图1－2－3中，将条形磁铁从同一高度插入线圈中，快插入和慢插入有什么相同和不同？电流表指针偏转是否相同？
图1－2－3
【提示】 磁通量变化相同，但磁通量变化的快慢不同，电流表指针偏转程度不同．
探讨2：如图1－2－4所示，闭合电路一部分导体ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的有效长度为l，ab以速度v匀速切割磁感线，求回路中产生的感应电动势．
图1－2－4
【提示】 在时间Δt内移动了Δx，则Δx＝vΔt，则面积的变化量ΔS＝lΔx＝lvΔt，穿过闭合电路的磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt，代入公式E＝n中，匝数n＝1，则E＝Blv.
[核心点击]
1．公式E＝n与E＝Blvsin θ的区别与联系
E＝n
E＝Blvsin θ
区
别
研究
对象
某个回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
研究
内容
(1)求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应
(2)当Δt→0时，E为瞬时感应电动势
(1)若v为瞬时速度，公式求的是瞬时感应电动势
(2)若v为平均速度，公式求的是平均感应电动势
(3)当B、l、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用
范围
对任何电路普遍适用
只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系
(1)E＝Blvsin θ可由E＝n在一定条件下推导出来
(2)整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
2.对E＝Blv的理解
(1)当B、l、v三个量的方向相互垂直时，E＝Blv该式适用于导体平动时，即导体上各点的速度相等时；当有任意两个量的方向平行时，E＝0.
(2)式中的l应理解为导线切割磁感线时的有效长度
如图1－2－5所示，导线切割磁感线的情况应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab两点的距离．
图1－2－5
(3)当导体绕一端转动时如图1－2－6所示，由于导体上各点的速度不同，是线性增加的，所以导体运动的平均速度为＝＝，由公式E＝Blv得，E＝Bl＝Bl2ω.
图1－2－6
(4)公式中的v应理解为导线和磁场的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生．
(5)切割磁感线的导体中产生感应电动势，该部分导体等效为电源，电路中的其余部分等效为外电路．
3. 如图1－2－7所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
A. B. C. D.
图1－2－7
【解析】 根据法拉第电磁感应定律解题．线圈中产生的感应电动势E＝n＝n··S＝n··＝，选项B正确．
【答案】 B
4．如图1－2－8所示的几种情况中，金属导体中产生的感应电动势为BLv的是( )
图1－2－8
A．只有乙和丁 B．甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁 D．只有乙
【解析】 题图甲中v、L、B两两垂直，则金属导体产生的感应电动势E甲＝BLv.题图乙中金属导体的有效长度为L，产生的感应电动势E乙＝BLv.题图丙中金属导体有效长度为Lsin θ，产生的感应电动势E丙＝BLvsin θ.题图丁中金属导体的有效长度为L，产生的感应电动势E丁＝BLv.
【答案】 B
5．如图1－2－9所示，在磁感应强度为0.2 T的匀强磁场中，有一长为0.5 m、电阻为1.0 Ω的导体AB在金属框架上以10 m/s的速度向右滑动，R1＝R2＝2.0 Ω，其他电阻不计，求流过R1的电流I1.
图1－2－9
【解析】 AB切割磁感线相当于电源，其等效电路如图所示，
E＝Blv＝0.2×0.5×10 V＝1 V
由闭合电路欧姆定律得I＝
R1、R2并联，由并联电路电阻关系得＝＋
解得：R＝＝1.0 Ω，IAB＝I＝0.5 A
因为R1＝R2，所以流过R1的电流为I1＝＝
0．25 A.
【答案】 0.25 A
处理电磁感应中电路问题的基本思路
1．分析产生感应电动势的原因，确定产生感应电动势的“导体”——电源．
2．明确电路结构，分清内、外电路．
3．根据电路组成，画出等效电路图，结合闭合电路欧姆定律列出相应的方程式．
第2节 感应电动势与电磁感应定律
学习目标
核心提炼
1.知道感应电动势的概念。
1个概念——感应电动势
2个公式——E＝n和E＝Blvsin θ
2个应用——会用E＝n和E＝Blvsin θ解决问题
2.掌握法拉第电磁感应定律的内容和数学表达式，会用法拉第电磁感应定律解答有关问题。
3.掌握导体切割磁感线产生的电动势E＝Blvsin θ的推导及意义，能够用此关系式解答有关问题。
一、感应电动势
阅读教材第9～10页，明确感应电动势的概念及特点。
1.定义：在电磁感应现象中产生的电动势，叫感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于电源。
2.感应电动势和感应电流的关系
(1)产生电磁感应现象时，闭合电路中有感应电流，有感应电动势；电路断开时，没有感应电流，有感应电动势。
(2)感应电动势的产生与电路是否闭合、电路如何组成无关(填“有关”或“无关”)，感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。
二、电磁感应定律
阅读教材第10～12页，了解法拉第电磁感应定律的内容及公式，会从E＝n推导出E＝Blv。
1.探究影响感应电动势大小的因素
如图1所示，用不同速度移动滑动变阻器的滑片，快速移动滑片时，电流表指针摆动幅度大，缓慢移动滑片时电流表指针摆动幅度小(填“大”或“小”)。
图1
快速地移动滑动变阻器的滑片时，穿过线圈B的磁通量变化快，缓慢地移动滑片时，穿过B的磁通量变化慢(填“快”或“慢”)。
这说明电路中感应电动势的大小与电路中磁通量变化的快慢有关。
2.内容：电路中感应电动势的大小与穿过这一电路的磁通量变化率成正比。这就是法拉第电磁感应定律。
3.公式：E＝n
n为线圈的匝数，ΔΦ是磁通量的变化量，是磁通量的变化率。
4.单位：ΔΦ的单位是韦伯(Wb)，Δt的单位是秒(s)，E的单位是伏特(V)。
5.导体切割磁感线时的感应电动势
如图2所示电路中，闭合电路的一部分导体ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab切割磁感线的有效长度为l，以速度v匀速切割磁感线。
图2
(1)在Δt时间内导体棒由原来的位置运动到a1b1，线框面积的变化量是ΔS＝lvΔt。
(2)穿过闭合电路磁通量的变化量：ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt。
(3)感应电动势的大小E＝＝Blv。
①当磁场方向、导体方向、导体运动方向三者两两垂直时，导体所产生的感应电动势E＝Blv。②若导体与磁场方向垂直，导体运动方向与导体本身垂直，但与磁场方向的夹角为θ时，如图3所示，则求导体运动所产生的感应电动势时，应将速度v进行分解，利用速度垂直磁场的分量来进行计算，其数值为E＝Blv1＝Blvsin__θ。
图3
思考判断
(1)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。(×)
(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。(×)
(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大。 (×)
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。(√)
思维拓展
如图所示的情况中，金属导体中产生的感应电动势为Blv的是________。
答案 甲、乙、丁
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
法拉第电磁感应定律的理解与应用
[要点归纳]
1.对感应电动势的理解
(1)感应电动势的大小由穿过电路的磁通量的变化率和线圈的匝数n共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系，和电路的电阻R无关。
(2)磁通量的变化常由B的变化或S的变化引起。
①当ΔΦ仅由B的变化引起时，E＝nS。
②当ΔΦ仅由S的变化引起时，E＝nB。
(3)E＝n计算的是Δt时间内平均感应电动势，其中n为线圈匝数，ΔΦ取绝对值。当Δt→0时，E＝n的值才等于瞬时感应电动势。
2.在Φ－t图象中，磁通量的变化率是图象上某点切线的斜率。
[精典示例]
[例1] 关于感应电动势的大小，下列说法正确的是( )
A.穿过线圈的磁通量Φ最大时，所产生的感应电动势就一定最大
B.穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ增大时，所产生的感应电动势也增大
C.穿过线圈的磁通量Φ等于0，所产生的感应电动势就一定为0
D.穿过线圈的磁通量的变化率越大，所产生的感应电动势就越大
解析 根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，与磁通量Φ及磁通量的变化量ΔΦ没有必然联系。当磁通量Φ很大时，感应电动势可能很小，甚至为0。当磁通量Φ等于0时，其变化率可能很大，产生的感应电动势也会很大，而ΔΦ增大时，可能减小。如图所示，t1时刻，Φ最大，但E＝0；0～t1时间内Φ增大，但减小，E减小；t2时刻，Φ＝0，但最大，E最大，故选项D正确。
答案 D
[例2] (多选)如图4甲所示的螺线管，匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2，方向向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化，
图4
(1)2 s内穿过线圈的磁通量的变化量是多少？
(2)磁通量的变化率多大？
(3)线圈中感应电动势的大小为多少？
解析 (1)磁通量的变化量是由磁感应强度的变化引起的，则Φ1＝B1S，Φ2＝B2S，ΔΦ＝Φ2－Φ1，
所以ΔΦ＝ΔBS＝(6－2)×20×10－4 Wb＝8×10－3 Wb
(2)磁通量的变化率为＝ Wb/s＝4×10－3 Wb/s
(3)根据法拉第电磁感应定律得感应电动势的大小
E＝n＝1 500×4×10－3 V＝6 V
答案 (1)8×10－3 Wb (2)4×10－3 Wb/s (3)6 V
(1)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正、负。
(2)＝·S，为Φ－t图象的斜率，为B－t图象的斜率。
[针对训练1] (多选)如图5甲所示，线圈的匝数n＝100匝，横截面积S＝50 cm2，线圈总电阻r＝10 Ω，沿轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正，磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，则在开始的0.1 s内( )
图5
A.磁通量的变化量为0.25 Wb
B.磁通量的变化率为2.5×10－2 Wb/s
C.a、b间电压为零
D.在a、b间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A
解析 通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ＝|B2S－(－B1S)|，代入数据即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb＝2.5×10－3 Wb，A错误；磁通量的变化率＝ Wb/s＝2.5×10－2 Wb/s，B正确；根据法拉第电磁感应定律可知，当a、b间断开时，其间电压等于线圈产生的感应电动势，感应电动势大小为E＝n＝2.5 V且恒定，C错误；在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I＝＝ A＝0.25 A，D项正确。
答案 BD
[针对训练2] 如图6甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝，面积S＝2×10－2 m2，电阻r＝1 Ω。在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻。把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示。求：
图6
(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；
(2)t＝5 s时，电阻R两端的电压U。
解析 (1)根据法拉第电磁感应定律得，0～4 s内，回路中的感应电动势E＝n
＝1 000× V＝1 V
(2)在t＝5 s时，线圈的感应电动势为
E′＝n ＝1 000× V＝4 V
根据闭合电路欧姆定律得电路中的电流为
I＝＝ A＝0.8 A，
故电阻R两端的电压
U＝IR＝0.8×4 V＝3.2 V。
答案 (1)1 V (2)3.2 V
对公式E＝Blv的理解与应用
[要点归纳]
1.对E＝Blv的理解
(1)当l垂直B、l垂直v，而v与B成θ角时，导体切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ。
(2)若导线是曲折的，或l与v不垂直时，则l应为导线的有效切割长度。
(3)公式E＝Blv中，若v为一段时间内的平均速度，则E为平均感应电动势，若v为某时刻的切割速度，则E为瞬时感应电动势。
(4)当导体在垂直于磁场的平面内，绕一端以角速度ω匀速转动切割磁感线产生感应电动势时，E＝Bl＝Bl2ω。
2.公式E＝n与Blv的比较
E＝n
E＝Blv
区别
研究对象
整个闭合回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
适用范围
各种电磁感应现象
只适用于导体切割磁感线运动的情况
计算结果
Δt内的平均感应电动势
某一时刻的瞬时感应电动势
联系
E＝Blv是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看作法拉第电磁感应定律的一个推论
[精典示例]
[例3] 在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平固定放置的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，如图7所示，框架上放置一质量为0.05 kg、电阻为1 Ω 的金属杆cd，框架电阻不计。若cd杆以恒定加速度a＝2 m/s2，由静止开始做匀变速直线运动，则：
图7
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
(2)第5 s末，回路中的电流多大？
(3)若安培力与运动方向相反，在第5 s末，作用在cd杆上的水平外力多大？
解析 (1)5 s内的位移x＝at2＝25 m，
5 s内的平均速度＝＝5 m/s
(也可用＝＝ m/s＝5 m/s求解)
故平均感应电动势E＝Bl＝0.4 V。
(2)第5 s末v′＝at＝10 m/s，
此时感应电动势E′＝Blv′
则回路电流为
I＝＝＝ A＝0.8 A。
(3)杆做匀加速运动，则F－F安＝ma，F安＝BIl
即F＝BIl＋ma＝0.164 N。
答案 (1)0.4 V (2)0.8 A (3)0.164 N
[针对训练3] 如图8所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，它们每米长度的电阻都是0.2 Ω，磁场的磁感应强度为0.2 T。问：
图8
(1)3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？回路中的电流为多少？
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
解析 (1)夹在导轨间的部分导体切割磁感线产生的电动势才是电路中的感应电动势。
3 s内导体AB运动的距离为x＝vt＝15 m
3 s末时刻，夹在导轨间导体的长度为
l＝xtan 30°＝15×tan 30° m＝5 m
此时E＝Blv＝0.2×5 ×5 V＝5 V
电路电阻为R＝(15＋5 ＋10 )×0.2 Ω＝3(1＋) Ω
所以I＝≈1.06 A
(2)3 s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5 Wb＝ Wb
3 s内电路产生的平均感应电动势为
E＝＝ V≈4.33 V
答案 (1)5 m 5 V 1.06 A (2) Wb 4.33 V
1.(法拉第电磁感应定律的理解)(多选)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B.穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电流越大
解析 由法拉第电磁感应定律E＝n知，感应电动势的大小与线圈匝数有关，选项A错误；感应电动势正比于，与磁通量的大小无直接关系，选项B错误；穿过线圈的磁通量变化越快，越大，感应电动势越大，感应电流也越大，选项C、D正确。
答案 CD
2.(法拉第电磁感应定律的理解)如图9所示，半径为R的n匝线圈套在边长为a的正方形abcd之外，匀强磁场垂直穿过该正方形，当磁场以的变化率变化时，线圈产生的感应电动势的大小为( )
图9
A.πR2 B.a2 C.nπR2 D.na2
解析 由题目条件可知，线圈中磁场的面积为a2，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中产生的感应电动势大小为E＝n＝na2，故选项D正确。
答案 D
3.(对E＝Blv的理解)如图10所示，平行金属导轨间距为d，一端跨接电阻R，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面，一根长金属棒与导轨成θ角放置，棒与导轨电阻不计，当棒沿垂直于棒的方向以恒定速率v在导轨上滑行时，通过电阻的电流是( )
图10
A. B.
C. D.
解析 导体棒切割磁感线的有效长度l＝，故E＝Blv＝，则电流I＝＝，故A正确。
答案 A
4.(法拉第电磁感应定律的应用)如图11所示，可绕固定轴OO′转动的正方形线框的边长为L，不计摩擦和空气阻力，线框从水平位置由静止释放，到达竖直位置所用的时间为t，ab边的速度为v，设线框始终处在竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场中，试求：
图11
(1)这个过程中回路中的平均感应电动势；
(2)到达竖直位置时回路中的感应电动势。
解析 (1)线框从水平位置到达竖直位置的过程中回路中的感应电动势E＝＝。
(2)线框到达竖直位置时回路中的感应电动势E′＝BLv。
答案 (1) (2)BLv
基础过关
1.下列各图中，相同的条形磁铁穿过相同的线圈时，线圈中产生的感应电动势最大的是( )
解析 感应电动势的大小为E＝n＝n，A、B两种情况磁通量变化量相同，C中ΔΦ最小，D中ΔΦ最大，磁铁穿过线圈所用的时间A、C、D相同且小于B所用的时间，所以选项D正确。
答案 D
2.如图1所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′。则等于( )
图1
A. B. C.1 D.
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为L′＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝BL′v＝B·Lv＝E，所以＝，选项B正确。
答案 B
3.如图2所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中。在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B。在此过程中，线圈中产生的感应电动势为( )
图2
A. B.
C. D.
解析 由法拉第电磁感应定律可知，在Δt时间内线圈中产生的平均感应电动势为E＝n＝n＝，选项B正确。
答案 B
4.如图3所示，PQRS是一个正方形的闭合导线框，MN为一个匀强磁场的边界，磁场方向垂直于纸面向里，如果线框以恒定的速度沿着PQ方向向右运动，速度方向与MN边界成45°角，在线框进入磁场的过程中( )
图3
A.当Q点经过边界MN时，线框的磁通量为零，感应电流最大
B.当S点经过边界MN时，线框的磁通量最大，感应电流最大
C.P点经过边界MN时跟F点经过边界MN时相比较，线框的磁通量小，感应电流大
D.P点经过边界MN时跟F点经过边界MN时相比较，线框的磁通量小，感应电流也小
解析 P点经过MN时，正方形闭合导线框切割磁感线的导线有效长度最大，感应电动势最大，感应电流也最大。选项C正确。
答案 C
5.(多选)如图4所示，闭合开关S，将条形磁铁插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次磁铁的起始和终止位置相同，则( )
图4
A.第一次线圈中的磁通量变化较快
B.第一次电流表G的偏转角较大
C.第二次电流表G的偏转角较大
D.若断开S，电流表G均不偏转，故两次线圈两端均无感应电动势
解析 磁通量变化相同，第一次时间短，则第一次线圈中磁通量变化较快，故A正确；感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，磁通量的变化率大，感应电动势大，产生的感应电流大，故B正确，C错误；断开电键，电流表不偏转，知感应电流为零，但感应电动势不为零，故D错误。
答案 AB
6.(多选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ与时间t的关系图象如图5所示，则( )
图5
A.在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B.在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C.在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D.在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
解析 由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s时刻，E＝0，A错误，C正确；t＝1×10－2 s时最大，E最大，B正确；0～2×10－2 s时间内，ΔΦ≠0，E≠0，D错误。
答案 BC
7.如图6所示，粗细均匀的、电阻为r的金属圆环，放在图示的匀强磁场中，磁感应强度为B，圆环直径为l；长为l、电阻为的金属棒ab放在圆环上，以v0向右运动，当ab棒运动到图示虚线位置时，金属棒两端的电势差为( )
图6
A.0 B.Blv0 C. D.
解析 按照E＝Blv0求出感应电动势，所求的金属棒两端的电势差为路端电压。左右侧圆弧均为半圆，电阻均为，并联的总电阻即外电路电阻R＝，金属棒的电阻等效为电源内阻r′＝，故U＝＝，故选项D正确。
答案 D
能力提升
8.(多选)如图7所示，三角形金属导轨EOF上放有一金属杆AB，在外力作用下，使AB保持与OF垂直，以速度v匀速从O点开始右移，若导轨与金属棒均为粗细相同的同种金属制成，则下列判断正确的是( )
图7
A.电路中的感应电流大小不变
B.电路中的感应电动势大小不变
C.电路中的感应电动势逐渐增大
D.电路中的感应电流逐渐减小
解析 导体棒从O开始到如题图所示位置所经历时间设为t，∠EOF设为θ，则导体棒切割磁感线的有效长度l⊥＝·tan θ，故E＝Bl⊥·v⊥＝Bv·vttan θ＝Bv2·ttan θ，即电路中电动势与时间成正比，C正确；电路中电流强度I＝＝
而l＝△OAB的周长＝＋＋
＝vt＋vt·tan θ＋＝vt，
所以I＝＝恒量，所以A正确。
答案 AC
9.如图8所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字型，并使上、下两圆半径相等。如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为( )
图8
A. B. C.0 D.
解析 磁通量的变化量为ΔΦ＝Bπr2－2·Bπ()2＝Bπr2，电荷量q＝IΔt＝·Δt＝·Δt＝＝，B正确。
答案 B
10.(多选)如图9所示 ，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
图9
A.感应电动势的大小不变
B.CD段直线始终不受安培力
C.感应电动势最大值E＝Bav
D.感应电动势的平均值＝πBav
解析 在半圆形闭合回路进入磁场的过程中磁通量不断增加，始终存在感应电流，CD边始终受到安培力作用，故选项B错误；有效切割长度如图所示，所以进入过程中l先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝Blv可知，最大值Emax＝Bav，最小值为0，A错误，C正确；平均感应电动势为＝＝＝πBav，故选项D正确。
答案 CD
11.如图10所示，半径为r的圆形导轨处在垂直于圆平面的匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里。一根长度略大于2r的导线MN以速度v在圆导轨上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路的定值电阻为R，其余电阻忽略不计，试求：
图10
(1)在滑动过程中通过电阻R的电流的平均值；
(2)当导线MN通过圆形导轨中心时，导线MN所受安培力的大小；
(3)如果导线MN的电阻为R0，当导线MN通过圆形导轨中心时，电阻R两端的电压。
解析 (1)整个过程中磁通量的变化ΔΦ＝BS＝Bπr2，所用时间为Δt＝，代入＝，可得＝＝。
根据闭合电路欧姆定律得通过电阻R的电流平均值为＝＝。
(2)当导线MN通过圆形导轨中心时，瞬时感应电动势为E＝Blv＝2Brv。
根据闭合电路欧姆定律，此时电路中的感应电流为I＝＝，
则导线MN此时所受到的安培力为F＝BIl＝。
(3)根据闭合电路欧姆定律，电路中的感应电流为
I′＝＝，
则电阻R两端的电压为U＝I′R＝。
答案 (1) (2) (3)
12.如图11甲所示，平行光滑导轨MN、PQ水平放置，电阻不计，两导轨间距d＝10 cm，导体棒ab、cd放在导轨上，并与导轨垂直。每根棒在导轨间的部分，电阻均为R＝1.0 Ω。用长为l＝20 cm的绝缘丝线(丝线不可伸长)将两棒系住，整个装置处在匀强磁场中。t＝0时刻，磁场方向竖直向下，丝线刚好处于未被拉伸的自然状态。此后，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。不计感应电流磁场的影响，整个过程中丝线未被拉断。求：
图11
(1)0～2.0 s时间内，电路中感应电流的大小；
(2)t＝1.0 s时刻丝线的拉力大小。
解析 (1)由题图乙可知＝0.1 T/s，
由法拉第电磁感应定律有E＝＝S＝2.0×10－3 V，
则I＝＝1.0×10－3 A。
(2)每根导体棒在水平方向上受丝线拉力和安培力平衡，
由图乙可知t＝1.0 s时B＝0.1 T，
则FT＝F安＝BId＝1.0×10－5 N。
答案 (1)1.0×10－3 A (2)1.0×10－5 N
